Teoria dei Giochi: lezione del 18 Maggio 2017: Equilibri di Nash, Strategie ESS e RE

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1 Teoria dei Giochi: lezione del 18 Maggio 2017: Equilibri di Nash, Strategie ESS e RE Chiara Mocenni Corso di Teoria dei Giochi e Giochi Evolutivi

2 Replicator equation, equilibri di Nash ed equilibri ESS Possiamo riscrivere l insieme degli equilibri di Nash (NE) a l equazione replicator (RE) come segue: NE = {x : π(e i, x) = max π(z, x) i C(x)} z x i = [ π(e i, x) π(x, x) ] x i = π(e i x, x)x i dove π(, ) è una funzione di payoff.

3 Uno stato di popolazione x è stazionario nella RE sse π(e i x, x)x i = 0 per ogni strategia pura i K Equivalentemente, lo stato di popolazione x è stazionario nella RE sse tutte le strategie pure i guadagnano precisamente lo stesso payoff contro la strategia mista x. Dunque, l insieme degli stati stazionari della RE è: 0 = {x : π(e i, x) = π(x, x) i C(x)}

4 La condizione di stazionarietà è banalmente soddisfatta da ogni vertice del simplesso x = e i, dal momento che in tale stato x, tutti gli individui utilizzano la stessa strategia pura i e guadagnano lo stesso payoff. Da qui l insieme finito {e 1,..., e k } di vertici è un sottoinsieme di 0. L insieme non vuoto e chiuso NE è un sottoinsieme di 0 : se tutte le strategie pure nel supporto della strategia x guadagnano lo stesso payoff massimo contro x, allora tutti guadagnano il payoff medio della popolazione. π(x, x) = k π(e j, x)x j = j=1 j C(x) π(e j, x)x j

5 Lo stesso risultato vale per gli stati interni della popolazione x: Se x int( ) è stazionario nella RE, allora π(e i, x) = π(x, x) per ogni strategia pura i nel gioco, quindi ogni strategia pura è una best reply per le strategie miste x e conseguentemente x NE Sia ora 00 (non necessariamente non vuoto) l insieme di stati stazionari interni 00 = 0 int( ). Dal momento che tutti gli equilibri di Nash sono stazionari otteniamo 00 = NE int( ) L insieme 00 è necessariamente convesso, infatti ogni combinazione lineare di stati stazionari è sempre uno stato stazionario

6 Figura: Relazione tra i punti stazionari delle equazioni di replicator e gli equilibri di Nash del gioco

7 Gli stati stazionari che non sono equilibri di Nash, non soddisfano il criterio di stabilità di Lyapunov (stabilità debole). La ragione per la quale uno stato della popolazione x non appartenente a NE è instabile, è semplicemente che esistono alcune strategie pure i che non vengono utilizzate (x i = 0), ma che otterrebbero un payoff maggiore contro x rispetto alle strategie pure utilizzate nello stato x. Quindi, se un parte arbitrariamente piccola della popolazione iniziasse a utilizzare tale strategia redditizia i, gli individui individui di questo gruppo guadagnerebbero un payoff maggiore, il che porterebbe lo stato della popolazione a lasciare x.

8 Theorem Se x è Lyapunov stabile nella RE, allora x NE. Dimostrazione. Supponiamo che x 0 e che x / NE. Allora tutte le strategie pure nel supporto C(x) hanno lo stesso payoff non ottimale contro x. Quindi esistono i / C(x) tali che π(e i x, x) > 0. Dalla continuità di π, esiste un δ > 0 ed un intorno U di x tale che π(e i y, y) δ per ogni y U. Così ξ i (t, x 0 ) aumenta inizialmente in modo esponenziale da ogni x 0 U int( ), e anche x i = 0, quindi x non è Lyapunov stabile.

9 Figura: Relazione tra gli equilibri di Nash e la stabilità dei punti stazionari delle equazioni di replicator

10 Tutti gli individui nella popolazione conoscono la distribuzione delle strategie pure della popolazione durante il trascorrere del tempo, e cercano di massimizzare il payoff ottenuto contro questa distribuzione Se uno stato è il limite di una soluzione del sistema di equazioni differenziali ordinarie, allora tale stato è necessariamente stazionario. Se accade che la traiettoria di una soluzione della RE converge a qualche stato interno della popolazione, allora questo stato limite appartiene a 00 e quindi anche a NE

11 Theorem Se x 0 int( ) e ξ(t, x 0 ) t x, allora x NE Dimostrazione. Supponiamo che x 0 int( ), ξ(t, x 0 ) t x ma x / NE. Allora esistono alcune strategie i K tali che π(e i x, x) = ɛ per alcuni ɛ > 0. Dato che ξ(t, x 0 ) x e che π è continua, esistono alcuni T R tali che π(e i ξ(t, x 0 ), ξ(t, x 0 )) > ɛ/2 t T. Dalla (2.14) x i = x i ɛ/2 t T, e quindi ξ(t, x 0 ) > ξ(t, x 0 ) exp(ɛ(t T )/2) t T, implica che ξ i (t, x 0 ) (da ξ(t, x 0 ) > 0), una contraddice l ipotesi. Quindi x NE. In altre parole, uno stato x si dice raggiungibile se esiste qualche stato interno a partire dal quale la soluzione converge a x. Ogni stato raggiungibile x appartiene a NE.

12 Teorema. Se x S N è un NE del gioco descritto dalla matrice di payoff A, allora x è uno stato stazionario della RE (cioè x = 0). Inoltre, se x è Lyapunov stabile, allora è un NE del gioco. Teorema. Se x S N è un ESS del gioco con matrice di payoff A, allora è uno stato stazionario asintoticamente stabile della RE. Un esempio di stato stazionario asintoticamente stabile ma non ESS è rappresentato dall equilibrio interno al simplesso S 3 presente nel gioco descritto dalla matrice A = Infatti nel gioco vi sono anche altre strategie ESS nel bordo.

13 Studiare la dinamica del gioco Falchi e Colombe generalizzato, descritto dalla matrice di payoff (dove C > G): A = G C 2 G G 0 2 G(G C) 2C G(G+C) 2C G(C G) 2C G(C G) 2C G(C G) 2C. Sol. La strategia e 3 non può essere invasa da e 1 o e 2 perché è ESS.

14 Studiare la dinamica del gioco descritto dalla matrice di payoff: A = Sol. La strategia e 3 è stabile contro l invasione di e 1 o e 2 separatamente, ma non da una combinazione delle due.

15 Studiare la dinamica del gioco morra cinese generalizzato: 0 a 2 b 3 A = b 1 0 a 3 a 1 b 2 0 sapendo che l equilibrio misto (1/3, 1/3, 1/3) è stabile asintoticamente sse a 1 a 2 a 3 < b 1 b 2 b 3 ed è instabile se a 1 a 2 a 3 > b 1 b 2 b 3.