Appunti sulla teoria dei giochi e sui giochi evolutivi

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1 Appunti sulla teoria dei giochi e sui giochi evolutivi Dario Madeo e Chiara Mocenni Dipartimento di Ingegneria dell Informazione Università di Siena {madeo@dii.unisi.it, mocenni@dii.unisi.it} 1 I giochi 1.1 Introduzione In molti contesti reali, un soggetto si trova nella situazione di dover prendere una decisione, scegliendo fra varie opzioni possibili. In generale, la scelta cade su quell opzione che permette di ottenere il miglior esito in base ad una scala di preferenze (in alcuni casi, si sceglie il meno peggio!). In altri termini, la decisione sarà guidata dalla voglia di massimizzare un certo profitto, relativo ad una certa scala di valori che varia da contesto a contesto. Si supponga di avere a disposizione n scelte numerate per affrontare una certa situazione. Per indicare in maniera formale la scelta, si utilizza un vettore x di n componenti (x R n ). In particolare la componente i-esima x i sarà l unica pari ad 1 se si è deciso di adottare la strategia indicata con il numero i. Un vettore siffatto determina univocamente la scelta strategica che è stata adottata. In altri termini: { 1 se la strategia adottata è la i x i = 0 se la strategia adottata non è la i Si può pensare al profitto, normalmente chiamato payoff, come ad una funzione π(x) : R n R che associa ad ogni vettore di scelta x un numero reale che quantifica il profitto che il soggetto trae dall utilizzare la strategia scelta. In generale però le scelte sono condizionate da altri fattori. Non è raro trovarsi in contesti in cui il guadagno che si ottiene non dipende esclusivamente dalle proprie decisioni; vi possono essere ulteriori soggetti che partecipano nel processo di scelta, i quali hanno le stesse intenzioni: massimizzare 1

2 il proprio profitto. In questi casi, succede spesso che il guadagno che si può ottenere non dipenderà solo dalle proprie scelte, ma anche da quelle altrui (e viceversa). Se fosse possibile comunicare con gli altri partecipanti, si potrebbe in qualche maniera trovare un accordo. In tal caso la scelta potrebbe essere guidata da un semplice compromesso tra le parti in gioco. Tuttavia il caso più interessante si ha nel momento in cui le scelte dei vari partecipanti sono fra loro indipendenti e guidate solo dalla voglia di ogni soggetto di massimizzare il proprio guadagno. L interazione appena descritta viene detta gioco, ed i soggetti che vi partecipano sono i giocatori. Nel caso più semplice, il gioco si sviluppa tra due soggetti. Usando la definizione presentata in precedenza, si indichi con x R n come il vettore che identifica la scelta del primo soggetto su un pool di n strategie, così si indicherà con y R m la scelta del secondo partecipante, il quale ha a disposizione m opzioni. I payoff sono dunque rappresentati da due funzioni, una per ogni soggetto: π 1 (x, y) : R n R m R payoff giocatore 1 π 2 (x, y) : R n R m R payoff giocatore 2 L obiettivo dei giocatori ora diventa quello di massimizzare il proprio payoff, ma tenendo conto di ciò che farà l avversario. Il meccanismo di decisione si sviluppa a busta chiusa; le scelte di entrambi sono rese note contemporaneamente, dunque non vi è spazio per tentennamenti, escamotage o simili. È analogo al funzionamento di una asta per appalti pubblici: si scrive la propria scelta in una busta chiusa e tutte le buste vengono aperte contemporaneamente. La teoria dei giochi, di cui si parlerà nel seguito, è una branca della matematica che ci permette di effettuare delle scelte razionali. La razionalità di cui si parla è qualcosa di astratto, probabilmente diverso rispetto a quella prettamente umana; essa viene definita in base a determinati assiomi matematici, che, al solito, cercano nel miglior modo possibile di fornire un modello abbastanza potente e allo stesso tempo semplice da poter descrivere e gestire situazioni reali. La teoria dei giochi è uno strumento che ci aiuta a prendere decisioni. Essa è abbastanza robusta e si avvantaggia di svariati risultati e teoremi. Tali risultati si basano sul fatto che sono note tutte le funzioni di payoff; tutti i risultati della teoria infatti, si basano, oltre che sulla razionalità dei giocatori, anche sul fatto che si conoscono già i payoff. In realtà costruire le 2

3 funzioni di payoff è spesso un lavoro arduo; è quasi come chiedere di quantificare la felicità che trae una persona dal fare una certa cosa! In questi casi ci vengono in aiuto altri strumenti, come ad esempio la stima del costo dell informazione. Si assumerà comunque che i payoff siano ben determinati tramite qualche metodo e la teoria dei giochi subentrerà per dare delle risposte di tipo esecutivo, basate su tale informazione a priori. 1.2 Matrici di payoff e best response function Dovrebbe essere chiaro fino a questo punto che il payoff del giocatore 1, così come quello del giocatore 2, sono determinati dalla coppia di strategie (i, j), dove i è la strategia adottata dal giocatore 1 e j quella adoperata dal giocatore 2. Si indica con a ij il payoff che il giocatore 1 ottiene se egli usa la strategia i mentre il suo avversario la strategia j. Con b ij si indica il payoff del secondo giocatore: ancora, b ij è il guadagno che ottiene quando lui sceglie j e il primo giocatore sceglie i. Segue in maniera naturale dalla descrizione precedente, che sono state implicitamente definite due matrici di payoff A, B R n m, tali che A = {a ij } e B = {b ij }. Mediante tali matrici, si caratterizzano le funzioni di payoff: π 1 (x, y) = x T Ay π 2 (x, y) = x T By Infatti, nel momento in cui x ed y sono vettori costruiti come descritto in precedenza, allora x T Ay e x T By selezionano gli elementi a ij della matrice A e b ij della matrice B, posto che x i ed y j siano le uniche componenti di x e di y pari ad 1. Vale a dire che: { π1 (x, y) = a x i = y j = 1 x k = 0, k i y k = 0, k j = ij π 2 (x, y) = b ij Nell ambito della teoria dei giochi, vengono introdotte le best response function (lett. funzione di miglior risposta). Queste sono delle particolari funzioni che ci aiutano nel processo decisionale. La best response function del giocatore 1 associa ad ogni scelta strategica del giocatore 2 l insieme delle strategie che il giocatore 1 deve adottare se vuole massimizzare il suo payoff. Si indicano con BR 1 (j) e BR 2 (i) le best response function dei giocatori. Ecco un esempio: 3

4 A = = BR 1 (1) = {3} BR 1 (2) = {3} BR 1 (3) = {2} In pratica, considerando che le colonne indicano le strategie del giocatore 2, si fissa la colonna relativa alla strategia j; si cerca in tale colonna l elemento massimo. La best response sarà dunque la strategia i (riga) al quale corrisponde l elemento massimo. Un altro esempio: A = = BR 1 (1) = {3} BR 1 (2) = {1, 2} BR 1 (3) = {1} Nel caso precedente succede che, se il giocatore 2 adotta la strategia j = 2, allora il giocatore 1 è indifferente nell utilizzare le strategie i = 1 ed i = 2, in quanto gli garantiscono lo stesso payoff. La costruzione della best response function del giocatore 2 è del tutto analoga a quella appena descritta, salvo scambiare i ruoli alle righe (strategie del giocatore 1) con le colonne (strategie del giocatore 2). 1.3 È una questione di... equilibrio! Si consideri il seguente gioco: A = = B = = BR 1 (1) = {3} BR 1 (2) = {1, 2} BR 1 (3) = {1} BR 2 (1) = {2} BR 2 (2) = {3} BR 2 (3) = {2, 3} Il giocatore 1 potrebbe voler adottare come strategia i = 1, nella speranza che il giocatore 2 scelga j = 3. In tal caso, il giocatore 1 guadagnerebbe il payoff più alto (20). Ma se il giocatore 2 scegliesse j = 3, otterrebbe un payoff pari a 2. Il giocatore 2 dal canto suo sarebbe molto propenso ad ottenere il payoff 10 e può raggiungere tale obiettivo scegliendo j = 3 e sperando che l avversario scelga i = 2; ma in questo modo il giocatore 1 otterrebbe un modesto payoff pari ad 1. 4

5 Lo scenario delineato conduce ad un circolo vizioso, mosso essenzialmente dall egoismo di entrambi i giocatori. Agendo come descritto in precedenza, essi potrebbero prendere una decisione che poi potrebbe quasi certamente non rispecchiare le aspettative. L idea per uscirne fuori è quella di giungere ad un compromesso, ovvero effettuare una scelta strategica che va bene ad entrambi i giocatori. Bisogna cioè raggiungere una situazione di equilibrio tra le parti. In termini matematici, si può definire un equilibrio alla seguente maniera: { i (i, j ) è un equilibrio BR 1 (j ) j BR 2 (i (1) ) Tale nozione è stata formalizzata dal premio Nobel J.F.Nash da cui il nome equilibri di Nash. Osservando le best response function riportate in precedenza, si ottiene che (i, j ) = (1, 2). Infatti e i = 1 BR 1 (j = 2) = {1, 2} j = 2 BR 2 (i = 1) = {2}. Se il giocatore 2 fosse a conoscenza del fatto che l avversario sceglie i = 1, allora sicuramente sceglierebbe j = 2; questa mossa gli garantirebbe il massimo payoff raggiungibile in relazione al fatto che i = 1. Il giocatore 1 similmente, venendo a conoscenza del fatto che il giocatore 2 giocherà j = 2, si troverà nella situazione di dover scegliere tra i = 1 ed i = 2, nel qual caso riuscirà comunque a massimizzare il suo payoff. Se ai giocatori venisse data la possibilità di cambiare la propria strategia una volta scelti i = 1 e j = 2, essi non ne avrebbero motivo. Per questo si parla di equilibrio. L equilibrio di Nash trovato in particolare è non stretto, a causa del fatto che il giocatore 1 ha due opzioni per massimizzare il suo payoff rispetto alla scelta j = 2. Nei casi in cui questa ambiguità non si presenta, si parlerà invece di equilibri stretti. Non è però in generale garantito che, dato un certo gioco, esista un solo equilibrio di Nash. Si possono presentare delle situazioni in cui gli equilibri sono più di uno, o addirittura nessuno! Si possono trovare gli equilibri di Nash (qualora esistono!) utilizzando uno schema a bimatrice. Si supponga di avere un gioco definito dalle seguenti matrici di payoff: A = [ ] [ 2 1, B = ]

6 Si costruisce a partire dalle matrici A e B la seguente bimatrice: gioc. 1 gioc. 2 strat. 1 strat. 2 strat. 1 (5, 2) (1, 1) strat. 2 (1, 7) (2, 3) La lettura della bimatrice è semplice: ad esempio la coppia (1, 7) indica il payoff che ottengono i giocatori se il primo usa la strategia 2 ed il secondo la strategia 1; chiaramente 1 è il payoff che ottiene il primo giocatore, 7 è il payoff per il secondo. Si può a questo punto provare a valutare se esistono equilibri di Nash facendo le seguenti considerazioni: se il giocatore 1 adotta la strategia 1, l avversario preferisce scegliere la strategia 1; per questo, si disegnano delle frecce che partono da tutti gli elementi della riga indicata dalla strategia 1, verso la strategia (1, 1); se il giocatore 1 utilizza la strategia 2, l avversario sceglie la strategia 1; si mandano quindi delle frecce che partono da tutti gli elementi della riga indicata dalla strategia 2, verso la strategia (2, 1); se il giocatore 2 sceglie la strategia 1, l avversario usa la strategia 1; di nuovo, si tracciano delle frecce che partono da tutti gli elementi della colonna indicata dalla strategia 2, verso la strategia (1, 1); infine, se il giocatore 2 adotta la strategia 2, l avversario preferisce scegliere la strategia 2; si disegnano delle frecce che partono da tutti gli elementi della colonna indicata dalla strategia 2, verso la strategia (2, 2). Si ottiene dunque la seguente situazione: gioc. 2 strat. 1 strat. 2 strat. 1 (5, 2) (1, 1) gioc. 1 strat. 2 (1, 7) (2, 3) Nel momento in cui si ottiene una certa strategia che possiede solo frecce entranti, allora quella rappresenta un equilibrio di Nash stretto. In particolare il numero di frecce entranti è pari al massimo che è 2 nel caso specifico di giochi con 2 partecipanti. Nel caso particolare si ha che la strategia (1, 1) è un equilibrio di Nash stretto. Ecco un altro esempio: 6

7 gioc. 2 strat. 1 strat. 2 strat. 1 (4, 20) (3, 15) gioc. 1 strat. 2 (4, 7) (2, 13) La doppia freccia sta indicare il fatto che il giocatore 1 è indifferente a scegliere la sua strategia se l avversario sceglie la strategia 1 (otterrà in ogni caso lo stesso payoff). Si vede che la coppia di strategie (1, 1) è un equilibrio poichè ha 2 frecce entranti, ma in questo caso non è stretto, infatti ne ha anche una uscente. gioc. 2 strat. 1 strat. 2 strat. 1 ( 3, 5) (3, 1) gioc. 1 strat. 2 (3, 7) (2, 12) In quest ultimo caso, non sono presenti coppie di strategie che hanno 2 frecce entranti; si conclude dicendo che non si hanno equilibri di Nash. 1.4 Strategie pure e strategie miste I giochi finora presentati prevedono una scelta strategica in un insieme finito di scelte. Un classico esempio è rappresentato dal gioco della morra cinese, nel quale i giocatori hanno a disposizione le mosse carta, forbice e sasso. L insieme delle strategie finite a disposizione viene detto spazio delle strategie pure (in generale, si ha uno spazio delle strategie pure per giocatore per tenere conto che spesso essi dispongono di un numero diverso di strategie). Si è visto in precedenza che in giochi a strategie pure possono esistere equilibri di Nash, ma non necessariamente. Cosa accade nei giochi in cui un equilibrio di Nash nello spazio delle strategie pure non esiste? A = B T = Le matrici A e B appena definite rappresentano i payoff del gioco della morra cinese. Da un attenta analisi, è facile accorgersi che non esiste alcun equilibrio di Nash. Mentre nei giochi con equilibri di Nash puri i giocatori potrebbero anche avere interesse nel comunicare la loro strategia all avversario 7

8 prima del tempo, nel gioco della morra cinese è cruciale lasciare l avversario all oscuro dei nostri piani. L obiettivo è sorprendere l avversario; se un giocatore per qualche ragione utilizzasse sempre la mossa sasso, dopo qualche tempo l avversario imparerà ed inizierà ad utilizzare sempre carta per poter vincere. L effetto sorpresa può essere realizzato delegando ad un generatore di numeri casuali la scelta della propria mossa. Ad esempio, si potrebbe impostare il dispositivo in modo tale che scelta carta il 50% delle volte, sasso con una frequenza del 40% e forbice con un 10%. Da notare che il gioco della morra cinese, come tanti altri giochi, è reiterabile; il giocatore può dunque rivedere i punti cruciali del proprio processo decisionale, cercando stavolta di massimizzare non tanto il payoff ottenuto in una partita secca, quanto piuttosto il payoff medio ricavato effettuando un numero elevato di volte il gioco. La razionalità ci dice dunque di cercare quale sia il miglior modo possibile di settare il nostro dispositivo in modo da massimizzare il payoff medio, tenendo conto che esso varia in base alle scelte dell avversario. Il settaggio del dispositivo consiste nel definire una funzione di densità di probabilità (o di massa) f 1 (i) per il giocatore 1 (e rispettivamente f 2 (j) per il giocatore 2), che associa ad ogni strategia pura i (o j per il giocatore 2) la probabilità che il dispositivo generi quel numero associato alla strategia stessa. Le densità f 1 (i) ed f 2 (j) possono essere rappresentate mediante vettori che per semplicità si chiameranno f 1 ed f 2 : f 1 = f 1 (1) f 1 (2). f 1 (n) Rn, f 2 = f 2 (1) f 2 (2). f 2 (m) Rm. Si supponga ora che il giocatore 1 conosca f 2 ; egli può calcolare il valore atteso del payoff P 1 (i) che otterrebbe usando la strategia i: P 1 (i) = m a ij f 2 (j). (2) j=1 Effettuato il calcolo per ogni i, si può definire il payoff medio P 1 del giocatore 1, mediando i termini P 1 (i) rispetto alla densità f 1 : P 1 = n P 1 (i)f 1 (i) = i=1 n i=1 m a ij f 1 (i)f 2 (j) = f1 T Af 2. (3) j=1 Similmente per il giocatore 2 si ha che: 8

9 dove m P 2 = P 2 (j)f 2 (j) = j=1 n m b ij f 1 (i)f 2 (j) = f1 T Bf 2, (4) i=1 j=1 P 2 (j) = n b ij f 1 (i). (5) i=1 Le formule che servono a determinare P 1 e P 2 sono le stesse di quelle introdotte per descrivere le funzioni di payoff π 1 (x, y) e π 2 (x, y). Si possono sostituire f 1 con x ed f 2 con y, a patto che x ed y rispettino i vincoli tipici delle densità di probabilità. Vale a dire: da cui x i [0, 1] i y j [0, 1] j n x i = 1 i=1 m y j = 1, j=1 (6) P 1 = π 1 (x, y) = x T Ay P 2 = π 2 (x, y) = x T By. Le componenti dei vettori x ed y appena definiti rappresentano delle probabilità. Si parla di strategie miste. Gli spazi delle strategie miste (uno per ogni giocatore) definiti dalle equazioni (??), vengono chiamati simplessi S n ed S m, di ordine n ed m rispettivamente. Più formalmente: { } n S n = x R n : x i [0, 1] i x i = 1 S m = { y R m : y j [0, 1] j i=1 } m y j = 1 Inoltre le equazioni (??) costituiscono delle combinazioni convesse negli spazi delle strategie pure di ogni giocatore. Da questa nozione di combinazione deriva il nome di strategie miste. Da notare che anche i vettori x ed y definiti negli spazi delle strategie pure appartengono ai suddetti simplessi; j=1 9

10 ciò significa che in questo contesto le strategie pure diventano un caso particolare di strategie miste. Una strategia pura coincide quindi con la scelta di una densità di probabilità per la quale solo un certa strategia verra adottata il 100% delle volte. J.F.Nash raggiunse notevoli risultati nell ambito della teoria dei giochi, spostando l attenzione sullo spazio delle strategie miste; in particolare dimostrò che ogni gioco a strategie miste ammette sicuramente un equilibrio di Nash misto. Come si è visto, in maniera del tutto naturale, i giochi a strategie pure si trasformano in giochi a strategie miste; dunque anche quei giochi che non ammettono equilibri di Nash puri, sicuramente hanno almeno un equilibrio da ricercarsi nello spazio delle strategie miste. In questo contesto, le best response function hanno una costruzione più complessa. Se in precedenza si è visto che esse sono funzioni i cui argomenti sono i e j, adesso si devono riadattare alla notazione delle strategie miste. In particolare si ha che: BR 1 (y) = {x S n : π 1 (x, y) π 1 (z, y) z S n } BR 2 (x) = {y S m : π 2 (x, y) π 2 (x, w) w S m } Riprendendo quindi la definizione di equilibrio di Nash (??), si ha che: x BR 1 (y ) = {x S n : π 1 (x, y ) π 1 (z, y ) z S n } y BR 2 (x ) = {y S m : π 2 (x, y) π 2 (x, w) w S m }. Equivalentemente, esplicitando le espressioni di π 1 e π 2 si ha che: x BR 1 (y ) = { x S n : x T Ay z T Ay z S n } y BR 2 (x ) = { y S m : x T By x T Bw w S m }. (7) Il risultato ricavato da Nash garantisce che il problema (??) ammette almeno una soluzione; tuttavia sono richieste particolari tecniche di risoluzione (ad esempio il metodo del simplesso) che possono presentare un certo livello di difficoltà qualora n ed m siano molto grandi. Un modo per cercare una coppia di strategie miste candidate ad essere un equilibrio è il seguente: si sostituisca la componente x n del vettore x con il termine 10

11 n 1 1 i=1 considerando che infatti per le proprietà (??) dei vettori del simplesso S n, si ha che x i n 1 x n = 1 x i ; similmente, si sostituisca la componente y m del vettore y con il termine 1 m 1 effettuare i prodotti x T Ay e x T By con i vettori appena trasformati; poichè l obiettivo è massimizzare π 1 (x, y) = x T Ay e π 2 (x, y) = x T By, si calcolano le derivate di π 1 rispetto alle variabili x i e le derivate di π 2 rispetto alle varibili y j ; a questo punto si pongono uguali a 0 tutte le derivate trovate e si risolvono a sistema, ottenendo così le soluzioni x 1, x 2,... x n 1, y 1, y 2,... y m 1 (le componenti x n ed y m sono automaticamente determinate sfruttando le formule riportate in precedenza); le soluzioni trovate rappresentano un candidato ad essere l equilibrio di Nash se succede che x S n e y S m. NOTA IMPORTANTE! Il metodo appena descritto potrebbe però non trovare eventuali equilibri presenti sul bordo del simplesso. La tecnica generale per trovare gli equilibri di Nash nello spazio delle strategie miste è alquanto articolata e di seguito ne viene fornita un idea. 1. Per prima cosa si risolve il problema come descritto in precedenza. Da notare che non è necessario effettuare la sostituzione proprio sulle componenti x n ed y m. Posto n = 4 ed m = 3, si poteva scegliere ad esempio di effettuare la sostituzione sulla seconda componente del vettore x e sulla prima del vettore y. In altri termini: j=1 i=1 y j ; 11

12 e x = x 1 x 2 x 3 x 4 y = = y 1 y 2 y 3 = x 1 1 x 1 x 3 x 4 x 3 x 4 1 y 2 y 3 y 2 y 3 In questo caso specifico, si dovrebbero poi calcolare le derivate rispetto x 1, x 3 ed x 4 per quanto riguarda il primo payoff, e y 2 ed y 3 per quanto riguarda il secondo. Una volta effettuato il calcolo, va verificato che la soluzione ottenuta sia consistente, cioè bisogna verificare che i vettori trovati appartengono ai simplessi S n ed S m usando le equazioni (??). Se questo è il caso, si mettono questi risultati da parte in un insieme C che si costruisce appositamente. 2. Il procedimento descritto al punto [1] si reitera scegliendo tutte le possibili combinazioni di componenti sia di x che di y da porre a 0 (evitando naturalmente di porle tutte a 0!). Per fissare meglio le idee si consideri il caso n = 3 ed m = 3. Si avrà che: Componenti di x da annullare Componenti di y da annullare Nessuna Nessuna x 1 Nessuna x 2 Nessuna x 3 Nessuna x 1, x 2 Nessuna x 2, x 3 Nessuna x 1, x 3 Nessuna Nessuna y 1 Nessuna y 2 Nessuna y 3 Nessuna y 1, y 2 Nessuna y 2, y 3 Nessuna y 1, y 3 x 1 y 1 x 1 y 2 x 1 y 3 x 1 y 1, y 2 x 1 y 2, y 3 x 1 y 1, y 3 x 2 y 1 x 2 y 2 x 2 y 3 x 2 y 1, y 2 x 2 y 2, y 3 x 2 y 1, y 3 x 3 y 1 x 3 y 2 x 3 y 3 x 3 y 1, y 2 x 3 y 2, y 3 x 3 y 1, y 3 x 1, x 2 y

13 La lista riportata continua. In generale si hanno (2 n 1)(2 m 1) casi possibili. Bisogna quindi risolvere il problema per tutti i casi elencati allo stesso modo in cui si è fatto nel punto [1]. Si sceglie dunque una componente di x ed una di y tra quelle non poste pari a 0 e si effettua la sostituzione, tenendo presente che la somma di tutte le componenti deve essere sempre pari ad 1. Ad esempio, nel caso n = m = 3, posti x 1 = 0 ed y 2 = 0, potrei scegliere di sostituire le componenti x 2 ed y 1 come segue: e x = y = 0 x 2 x 3 y 1 0 y 3 = = 0 1 x 3 x 3 1 y 3 0 y 3 Ogni qualvolta si trova un risultato consistente (cioè che sta nei simplessi), si mette da parte nell insieme C. 3. A questo punto si ha la collezione C di possibili candidati ad essere un equilibrio di Nash. Alcune coppie di strategie presenti nella colleziones dovranno eventualmente essere escluse, riprendendo la definizione di equilibri riportata dalle formule (??). Per comprendere meglio questo punto, si supponga di avere in C due coppie di candidati (x (1), y (1) ) e (x (2), y (2) ) tali che y (2) = y (1) = ȳ. Si supponga inoltre che: π 1 (x (1), ȳ) > π 2 (x (2), ȳ). Usando quindi la prima delle formule (??), si vede chiaramente che (x (2), y (2) ) non può essere un equilibrio di Nash. Dunque tale coppia viene esclusa dalla collezione C. Al termine di tale verifica, rimarranno solo le coppie che a pieno titolo sono equilibri di Nash. La complessità del problema è dovuta al fatto che stiamo massimizzando contemporaneamente due funzioni continue su due insiemi chiusi S n ed S m. Ricordando i risultati visti ad Analisi 2 o in corsi di ottimizzazione, i candidati ad essere davvero dei massimi sono: 13

14 tutti i punti in cui si annulla la derivata prima (eventualmente anche sul bordo); i punti sul bordo in cui non necessariamente si ha che la derivata prima sia nulla. 1.5 Un esempio pratico: la morra cinese Di seguito viene riportato a titolo di esempio il calcolo di un eventuale equilibrio di Nash, senza porre alcuna componente pari a 0. Le seguenti sono le matrici di payoff del gioco: A = B T = Si costruiscano i vettori x ed y come spiegato in precedenza: x 1 y 1 x = x 2 1 x 1 x 2, y = y 2 1 y 1 y 2 Si calcolano ora le funzioni di payoff medio: π 1 (x, y) = x T Ay = ( 3y 2 + 1)x 1 + (3y 1 1)x 2 y 1 + y 2 π 2 (x, y) = x T By = ( 3x 2 + 1)y 1 + (3x 1 1)y 2 x 1 + x 2 Si passa quindi al calcolo delle derivate: π 1 x 1 = 3y π 1 x 2 = 3y 1 1 Infine si pongono le derivate pari a 0:, π 2 y 1 = 3x π 2 y 2 = 3x

15 π 1 x 1 = 3y = 0 π 1 x 2 = 3y 1 1 = 0 π 2 y 1 = 3x = 0 π 2 y 2 = 3x 1 1 = 0 = = y1 = 1 3 y2 = 1 3 y3 = 1 y1 y2 = 1 3 x 1 = 1 3 x 2 = 1 3 x 3 = 1 x 1 x 2 = Giochi con 2 strategie I giochi di cui si parlerà hanno le seguenti caratteristiche: vi partecipano 2 giocatori che chiameremo G1 e G2 rispettivamente; ogni giocatore ha a disposizione 2 strategie s1 ed s2 (da notare che le strategie dei due giocatori non devono essere necessariamente coincidenti, ma nel seguito assumeremo che lo siano per semplicità); i payoff dei 2 giocatori sono rappresentati dalle seguenti matrici: [ a1 b A = 1 c 1 d 1 Si costruisce dunque la relativa bimatrice: ] [ a2 c, B = 2 b 2 d 2 ]. G1 G2 s1 s2 s1 (a 1, a 2 ) (b 1, c 2 ) s2 (c 1, b 2 ) (d 1, d 2 ) 15

16 Il metodo esposto nel paragrafo?? si sviluppa enumerando tutti i casi possibili in cui alcune variabili in gioco sono poste a 0. Nel caso in cui n = m = 2 le cose si semplificano molto. Infatti abbiamo 9 casi: Componenti di x da annullare Componenti di y da annullare Considerazioni Nessuna Nessuna x 1 Nessuna x 2 Nessuna Nessuna y 1 Nessuna y 2 x 1 y 1 Strategia pura! x 1 y 2 Strategia pura! x 2 y 1 Strategia pura! x 2 y 2 Strategia pura! Gli ultimi 4 casi si risolvono utilizzando il metodo della bimatrice, infatti si tratta di verificare se le strategie pure possono essere equilibri di Nash nel senso delle strategie pure. Gli altri casi invece vanno risolti con il metodo descritto nel paragrafo??. Caso in cui nessuna componente viene posta a 0 Si considerino le funzioni di payoff ottenute con le matrici A e B, ed usando come vettori x = [x 1 1 x 1 ] T ed y = [y 1 1 y 1 ] T : π 1 (x, y) = x 1 [(a 1 c 1 + d 1 b 1 )y 1 + b 1 d 1 ] + (c 1 d 1 )y 1 + d 1 π 2 (x, y) = y 1 [(a 2 c 2 + d 2 b 2 )x 1 + b 2 d 2 ] + (c 2 d 2 )x 1 + d 2 (8) Calcolando le derivate π 1 seguenti soluzioni: x 1 e π 2 y 1 e ponendole uguali a 0, si ottengono le x 1 = y 1 = (d 2 b 2 ) (d 2 b 2 ) + (a 2 c 2 ), x 2 = (d 1 b 1 ) (d 1 b 1 ) + (a 1 c 1 ), y 2 = (a 2 c 2 ) (d 2 b 2 ) + (a 2 c 2 ) (a 1 c 1 ) (d 1 b 1 ) + (a 1 c 1 ) Al solito, tali soluzioni sono valide se rispettano le condizioni (??), ed in tal caso si inseriscono nella collezione C. Caso x 1 = 0 Si sostituisca x 1 = 0 nelle equazioni (??). Si ottiene che: (9) 16

17 π 1 (x, y) = (c 1 d 1 )y 1 + d 1 π 2 (x, y) = (b 2 d 2 )y 1 + d 2 Il calcolo delle derivate porta ai seguenti risultati: π 2 (x, y) x 1 = 0 π 2 (x, y) y 1 = b 2 d 2 La prima equazione è verificata per ogni y. La seconda invece è 0 se è solo se b 2 = d 2. Quindi abbiamo due casi: 1. b 2 d 2, quindi soluzione; π 2 y 1 non si annulla mai e il sistema rimane senza 2. b 2 = d 2, il sistema ammette soluzione fissando x = [0 1] T. Ma l ultimo caso sarebbe uscito fuori già calcolando le soluzioni al punto precedente (vedi equazioni (??)). Infatti in quel caso si sarebbe già trovato che x 1 = 0 posto che b 2 = d 2. Per questa ragione il calcolo in questo caso può essere omesso. Casi x 2 = 0, y 1 = 0 ed y 2 = 0 In questi casi si ottengono situazioni completamente analoghe al caso x 1 = 0, per cui si omette il calcolo. Da notare che nei casi x 2 = 0 ed y 2 = 0, si deve sostituire rispettivamente x 1 = 1 x 2 = 1 ed y 1 = 1 y 2 = 1 alle equazioni (??). In conclusione, per tali giochi l insieme dei candidati ad essere equilibri di Nash nello spazio delle strategie miste è costituito da: gli eventuali equilibri puri, ottenuti con il metodo della bimatrice; le soluzioni trovate con la formula (??), a patto che siano consistenti con le formule (??). 17

18 1.6.1 Classificazione Esiste una classificazione per i giochi con 2 strategie; tale classificazione non contempla tutti i casi possibili, ma solo alcuni casi che sono di particolare interesse perchè si ritrovano spesso in situazioni reali. Giochi scoordinati Nei giochi scoordinati non esistono equilibri di Nash puri. In particolare ciò avviene nel seguente caso: G2 s1 s2 s1 (a 1, a 2 ) (b 1, c 2 ) G1 s2 (c 1, b 2 ) (d 1, d 2 ) in cui si ha che c 1 > a 1, b 1 > d 1, a 2 > c 2 e d 2 > b 2. Anche nel seguente caso accade la stessa cosa: G2 s1 s2 s1 (a 1, a 2 ) (b 1, c 2 ) G1 s2 (c 1, b 2 ) (d 1, d 2 ) dove si ha che a 1 > c 1, d 1 > b 1, c 2 > a 2 e b 2 > d 2. Poichè il teorema di Nash ci garantisce che esiste almeno un equilibrio nello spazio delle strategie miste, allora dobbiamo concludere che esso corrisponda con quello trovato tramite le equazioni (??), non avendo a disposizione equilibri puri. In particolare, le equazioni (??) producono sempre punti che stanno all interno dei simplessi, come si può facilmente verificare considerando le disequazioni riportate in questo paragrafo. Giochi coordinati Nei giochi coordinati esistono 2 equilibri di Nash puri. Tali equilibri si hanno per le coppie di strategie (1, 1) e (2, 2), ovvero nei casi in cui, sotto l ipotesi che entrambi i giocatori abbiamo le stesse strategie a disposizione, essi si sono coordinati adottando la stessa strategia. 18

19 G2 s1 s2 s1 (a 1, a 2 ) (b 1, c 2 ) G1 s2 (c 1, b 2 ) (d 1, d 2 ) In questo caso si ha che a 1 > c 1, d 1 > b 1, a 2 > c 2 e d 2 > b 2. La consistenza delle soluzioni trovate tramite la (??) invece non è garantita. Giochi contributivi Nei giochi coordinati esistono 2 equilibri di Nash puri. Tali equilibri si hanno per le coppie di strategie (1, 2) e (2, 1). Il termine contributivo deriva dal fatto che in molti giochi di questo tipo, all equilibrio un giocatore contribuisce a massimizzare di molto il payoff dell avversario. G2 s1 s2 s1 (a 1, a 2 ) (b 1, c 2 ) G1 s2 (c 1, b 2 ) (d 1, d 2 ) In questo caso si ha che c 1 > a 1, b 1 > d 1, c 2 > a 2 e b 2 > d 2. Anche in questo caso la consistenza delle soluzioni trovate tramite la (??) invece non è garantita. Un gioco coordinato: la battaglia dei sessi Immaginate una coppia: il marito sarebbe massimamente felice se potesse andare a vedere una partita di calcio allo stadio. La moglie vorrebbe invece andare al cinema. Inoltre entrambi preferirebbero andare nello stesso luogo piuttosto che in posti diversi. Entrambi sono appena usciti da lavoro ed è già ora di uscire. Purtroppo non si sono messi d accordo in precedenza sul da farsi e non possono nemmeno comunicare in quel momento! Ormai è tardi e devono prendere indipendente una decisione. In quale luogo dovrebbero andare? In sintesi: se il marito va a vedere la partita di calcio, il suo payoff aumenta di 1; se la moglie va al cinema, il suo payoff aumenta di 1; 19

20 se entrambi si recano nel medesimo posto, il loro payoff aumenta di 2. con Moglie Stadio Cinema Stadio (3, 2) (1, 1) Marito Cinema (0, 0) (2, 3) A = [ x = ] [ 2 0, B = 1 3 Il gioco appena presentato si classifica come coordinato. Infatti, gli equilibri di Nash nello spazio delle strategie pure sono le coppie (3, 2) e (2, 3). Usando la formula (??), si ottengono i seguenti punti nel simplesso: , y = Tali vettori sono consistenti (verificano le equazioni (??)). La nostra collezione C di candidati ad essere equilibri di Nash nello spazio delle strategie miste è il seguente: 1. x (1) = [ ], y(1) = [ ]; 4 2. x (2) = [1 0], y (2) = [1 0]; 3. x (3) = [0 1], y (3) = [0 1]. Poichè non sono violate le formule (??), possiamo concludere che tutti i punti riportati rappresentano equilibri di Nash del gioco in esame. 1.7 Dai giochi alla replicator dynamics 3 4 ]. Si supponga di disporre di una popolazione di N giocatori (N sufficientemente grande), ognuno dei quali possiede la stessa matrice di payoff A R n n. Ad ogni istante di tempo, coppie di giocatori si sfidano, adottando determinate strategie ed ottenendo un determinato payoff; riprendendo i concetti visti finora, la sfida si ha dunque tra due giocatori, dove il primo 20

21 ha matrice di payoff pari ad A, mentre il secondo ha matrice B = A. Le strategie a disposizione di ogni giocatore sono uguali e sono esattamente n. Un giocatore decide di usare una certa strategia secondo uno schema precostituito non necessariamente valido da un punto di vista razionale. All istante iniziale di tempo, diciamo t = 0, sono note le percentuali di soggetti presenti nella popolazione che adottano, secondo il loro schema precostituito, una certa strategia. In particolare x i (0) indica la percentuale di popolazione che adotterà nel prossimo scontro la strategia i-esima. In particolare si ha che: x i (0) [0, 1] i = 1...n n x i (0) = 1. Negli istanti successivi a t = 0, coppie di giocatori si sfidano istante per istante, ed in tale processo alcuni individui possono essere invogliati a cambiare la strategia che adotteranno nelle prossime occasioni; in qualche maniera la popolazione impara a distinguere quale siano le strategie migliori per massimizzare il proprio payoff. In questo contesto, si può immaginare che le variabili x i cambino nel tempo; si avranno dunque n distinte funzioni x i (t), che associano ad ogni istante di tempo t, la percentuale di popolazione che adotta la strategia i-esima negli scontri che si troverà ad affrontare. Per chiarire meglio la situazione, si supponga all istante t di chiedere a tutti gli N giocatori di scrivere la loro prossima strategia su un foglietto. Si prendono poi tutti i nomi dei giocatori e si inseriscono in un urna; in maniera casuale ne vengono estratti due per volta, ed essi si sfideranno utilizzando la strategia che avevano segnato sul loro foglietto. La probabilità di estrarre un giocatore che adotta la strategia i è pari a x i (t), mentre quella di estrarre un giocatore con strategia j è x j (t). In tal caso, entrambi otterranno un payoff pari a a ij. Se ci si sofferma sulla prima estrazione, dopo aver scoperto che il primo giocatore è di tipo i, si potrebbe voler sapere quale sarà il payoff medio che potrà ottenere contro l avversario che ancora non è stato estratto e di cui quindi ancora non si conosce la strategia. In particolare si ha che: f i (t) = i=1 n a ij x j (t) j=1 dove f i (t) è il payoff medio che si voleva calcolare. Sfruttando il precedente risultato, si può inoltre calcolare il payoff medio della partita a priori, cioè senza conoscere l esito di nessuna delle due estrazioni. Esso in particolare è: 21

22 φ(t) = n f i (t)x i (t) = i=1 n i=1 n a ij x i (t)x j (t) Le equazioni precedenti sono state già introdotte nel paragrafo??, quando si è iniziato a parlare di strategie miste ((??), (??), (??) e (??)); il punto cruciale è che il meccanismo appena descritto costituisce una diversa ma comunque valida interpretazione del concetto di strategie miste. Si noti che in tale contesto, si utilizza solo il vettore delle strategie miste x. Difatti il procedimento di sfide successive descritto finora avviene sempre tra soggetti uguali (= stessa matrice di payoff), che si differenziano solo per la strategia usata ad un certo istante; viene quindi a cadere la netta distinzione tra giocatore 1 e 2 (e quindi x ed y) poichè in questo contesto ognuno è un pò l avversario di se stesso! La dinamica del sistema appena descritto prevede l evoluzione temporale del vettore delle strategie miste, secondo regole che prevedono l apprendimento da parte degli individui di quali siano le strategie migliori da adottare. Le seguenti equazioni differenziali ordinarie sono costruite appositamente per descrivere questo tipo di fenomeno: j=1 x i (t) = x i (t)[f i (t) φ(t)] i = 1...n (10) Tali equazioni prendono il nome di replicator dynamics a tempo continuo. Per il loro importante legame con la teoria dei giochi, tali equazioni sono utilizzate in molteplici contesti ed inoltre, esistono svariate varianti, sviluppate per contesti diversi e più complessi. Di notevole importanza sono le replicator dynamics a tempo discreto: x i (k + 1) = x i (k) f i(k) φ(k) i = 1...n (11) La costruzione di tale equazioni alle differenze è del tutto analoga al caso (??), dove però si suppone che le sfide tra i vari giocatori avvengano in istanti ben precisi e non in continuazione. Le equazioni (??) sono molto importanti perchè, oltre a spiegare taluni fenomeni specifici, esse possono essere anche usate come un ottima discretizzazione delle equazioni a tempo continuo (??) e sono quindi ideali per la simulazione (si tenga presente che con un computer simulare l evoluzione di un sistema di equazioni differenziali a tempo continua significa discretizzarle ed ottenere quindi un equazione alle differenze). Si ha inoltre che le proprietà dinamiche (equilibri, stabilità, ecc...) delle due famiglie di equazioni sono le stesse. 22

23 Le proprietà ed alcuni possibili usi delle replicator dynamics a tempo continuo (??) saranno trattati nella prossima sezione in dettaglio. 2 I giochi evolutivi La teoria dei giochi evolutivi si ispira ai meccanismi di selezione ed evoluzione delle specie in un contesto biologico. Per introdurre tale teoria, supponiamo di avere una popolazione di individui che presentano due diversi fenotipi, A e B. Siano, x(t) e y(t) l abbondanza relativa (frequenza) dei fenotipi A e B al tempo t. Dunque x(t) + y(t) = 1. Le equazioni che regolano la dinamica della frequenza dei due fenotipi sono: ẋ = x(a φ) ẏ = y(b φ), dove φ = ax+by. Sostituendo y = 1 x abbiamo l equazione che descrive l evoluzione del fenotipo A: ẋ = x(1 x)(a b), mentre l evoluzione del fenotipo B è data da y(t) = 1 x(t). Se a b, tale equazione presenta due equilibri, x = 0 e x = 1. Se a > b, allora x(t) 1 e y(t) 0, mentre, se b > a avviene il contrario. Nel primo caso l equilibrio x = 1 è stabile e il fenotipo A è dominante, mentre nel secondo caso è stabile l equilibrio x = 0 e il fenotipo B risulta dominante. L analisi può essere estesa a n fenotipi, dove x i (t), i = 1,..., n è la frequenza del fenotipo i. La struttura della popolazione è dunque x = (x 1, x 2,..., x n ). Se f i rappresenta la fitness di ogni fenotipo, avremo che la fitness media φ = n i=1 x if i, dove inoltre n i=1 x i = 1. La dinamica selettiva è data dall equazione ẋ i = x i (f i φ), i = 1,..., n. (12) In accordo con quanto visto nel caso di due fenotipi, la frequenza del fenotipo i aumenta se la sua fitness è maggiore della fitness media della popolazione. Si vede facilmente che n i=1 ẋi = 0. L insieme dei punti tali che n i=1 x i = 1 viene chiamato simplesso. L interno del simplesso è tale che x i > 0, i, mentre il bordo è l insieme dei punti tali che x i = 0 per almeno un i. Nei vertici tutti i fenotipi hanno frequenza nulla, tranne uno per cui x i = 1. 23

24 L equazione (??) ha un unico punto di equilibrio che si trova su un vertice: partendo da una qualunque posizione (condizione iniziale) si giunge verso il vertice in cui tutti gli individui della poplazione appartengono al fenotipo con fitness maggiore. 2.1 Dinamica di una popolazione con fitness dipendente da densità Supponiamo adesso che la fitness relativa degli individui non sia costante ma dipenda dalla frequenza stessa dei fenotipi. Supponiamo inoltre che coppie casuali di individui della popolazione interagiscano attraverso un gioco in cui ciascun individuo ha una strategia fissa. Il payoff del fenotipo corrisponde alla somma dei payoff ottenuti dai singoli individui del fenotipo e ne rappresenta la fitness. Il successo del gioco diventa un successo riproduttivo. Infatti, le strategie vincenti si riproducono più velocemente e quelle perdenti vengono sopraffatte (selezione naturale). Questa classe di modelli è stata largamente utilizzata per spiegare numerose decisioni strategiche del comportamento umano, in quanto il gioco prevede una interazione strategica tra individui che cercano di massimizzare il proprio payoff. Siano x A la frequenza del fenotipo A e x B la frequenza del fenotipo B, dunque la struttura della popolazione è descritta dal vettore x = (x A, x B ). Se f A ( x) e f B ( x) rappresentano le fitness dei due fenotipi l equazione della dinamica è la seguente: ẋ A = x A (f A ( x) φ) ẋ B = x B (f B ( x φ), dove φ = x A f A ( x) + x B f B ( x) e x A + x B = 1. Se poniamo x a = x e x B = 1 x otteniamo la seguente equazione: ẋ = x(1 x) [f A (x) f B (x)] (13) Gli equilibri di questa equazione sono x = 0, x = 1 e tutti i valori x per cui f A (x ) = f B (x ). Si presentano tre casi. 1. f A (x) > f B (x). La popolazione tende ad una situazione in cui tutti gli individui sono del fenotipo A, infatti la frequenza di A aumenta nel tempo. L equilibrio x = 1 è stabile. 24

25 2. f A (x) < f B (x). La popolazione tende ad una situazione in cui tutti gli individui sono del fenotipo B, infatti la frequenza di B aumenta nel tempo. L equilibrio x = 0 è stabile. 3. f A (x) = f B (x). Si verificano due casi: 3a La tangente alla curva f A = f B nel punto di equilibrio ha coefficiente angolare positivo. In questo caso il punto di equilibrio è instabile e la popolazione evolverà verso uno degli altri due (x = 1, o x = 0). 3b La tangente alla curva f A = f B nel punto di equilibrio ha coefficiente angolare negativo. In questo caso il punto di equilibrio è stabile e la popolazione evolverà verso di esso. La stabilità degli altri due equilibri dovrà variare di conseguenza. 2.2 I giochi evolutivi Nella teoria dei giochi evolutivi si assume che ogni individuo scelga di comportarsi come uno dei fenotipi della popolazione in base ad un principio di massimizzazione del proprio payoff (cioè usa la strategia del fenotipo che ritene vincente). In questo caso, tutti i giocatori hanno la stessa matrice di payoff e la loro scelta consiste nello scegliere di seguire la strategia evolutiva A o B. Il payoff corrisponde, come già detto, alla fitness. Sia [ ] a b c d la matrice dei payoff relativa alle strategie A e B, dove i payoff della strategia A sono riportati nella prima riga e quelli della strategia B nella seconda. Dunque la matrice si legge nel seguente modo: A guadagna a se gioca contro A e guadagna b se gioca contro B. B guadagna c se gioca contro A e guadagna d se gioca contro B. Adesso x A rappresenta la frequenza dei giocatori che scelgono A e x B la frequenza dei giocatori che scelgono B. I payoff (o fitness) di A e B sono: f A = ax A + bx B f B = cx A + dx B. Dunque la probabilità che ha ogni giocatore di interagire con A è x A e con B è x B, in accordo con l ipotesi che due giocatori si incontrino e giochino casualmente. 25

26 Se supponiamo che le fitness siano lineari, sostituendo nell equazione (??) si ottiene l equazione: ẋ = x(1 x) [(a b c + d)x + b d]. (14) Si possono distinguere cinque casi: 1. a > c e b > d. In questo caso A domina B. Qualunque scelta faccia l avversario, al primo giocatore conviene sempre scegliere la strategia A. 2. a < c e b < d. In questo caso B domina A. Qualunque scelta faccia l avversario, al primo giocatore conviene sempre scegliere la strategia B. 3. a > c e b < d. In questo caso A e B sono bistabili. Infatti, A è la miglio risposta ad A e B la miglior risposta a B. L equazione contiene un equilibrio instabile x = d b a b c + d. 4. a < c e b > d. In questo caso A e B coesistono nell equilibrio stabile x, nessuna delle due strategia soccombe. Infatti, la miglior risposta ad A è B e la miglior risposta a B è A. 5. a = c e b = d. In questo caso è indifferente scegliere la strategia A o la strategia B, e gli individui effettuano perennemente la scelta fatta la prima volta. 2.3 Strategie Evolutivamente Stabili Nel gioco evolutivo descritto dalla matrice dei payoff [ ] a b A = c d Definizione La strategia s 1 è un equilibrio di Nash stretto se a > c; La strategia s 1 è un equilibrio di Nash se a c; 26

27 La strategia s 2 è un equilibrio di Nash stretto se d > b; La strategia s 2 è un equilibrio di Nash se d b. Definizione La strategia s 1 si dice evolutivamente stabile se a > c, oppure a = c e b > d. Sotto queste condizioni la selezione si oppone all invasione di s 2 su s 1. Nel caso più generale di n strategie, sia S(s i, s j ) il payoff della strategia s i rispetto a s j. Definizione i Una strategia s k è un equilibrio di Nash stretto se E(s k, s k ) > E(s i, s k ), i k; ii Una strategia s k è un equilibrio di Nash se E(s k, s k ) E(s i, s k ), i k. iii Una strategia s k è evolutivamente stabile se E(s k, s k ) > E(s i, s k ), i k, oppure E(s k, s k ) = E(s i, s k ) e E(s k, s i ) > E(s i, s i ) i k. 2.4 Replicator dynamics Consideriamo adesso l estensione di quanto detto sopra ad n strategie. Indichiamo con a ij il payoff della strategia i rispetto alla strategia j, con A = [a ij ] la matrice dei payoff e con x i la frequenza della strategia i. Allora, il payoff atteso della strategia i è f i = n x j a ij, i=1 e il payoff medio φ è φ = n x i f i = i=1 n n a ij x i x j. i=1 j=1 Se uguagliamo il payoff della strategia i e la rispettiva fitness, otteniamo la replicator equation (RE) ẋ i = x i (f i φ), i = 1,..., n. (15) 27

28 Come si può vedere, l equazione (??) è definita nel simplesso S n : n i=1 x i = 1 ed ha fitness che dipendono linearmente dalle frequenze. Analogamente a quanto visto prima, l interno del simplesso è invariante, così come le facce e i vertici. Inoltre, i vertici sono punti di equilibrio dell equazione, ma possono esistere anche altri punti di equilibrio interni al simplesso. 2.5 Relazione tra Equilibri di Nash, Strategie Evolutivamente Stabili e Stati stazionari della Replicator Equation 1. Gli equilibri di Nash (NE) nei giochi evolutivi sono strategie che rappresentano la miglior risposta a se stessi. Cioè p è NE se p Ap p Ap, p p. 2. Teorema. Una strategia p è evolutivamente stabile (ESS) sse p Ap > p Ap, p p in qualche intorno di p. 3. Dal teorema precedente segue che se p è ESS nell interno di S N, allora non c è nessun altra strategia ESS in S N e dunque nessun altro equilibrio di Nash. Dunque, se vi sono più ESS, devono stare tutte nei bordi di S N. Verificare che nel gioco Falchi e Colombe, descritto dalla matrice di payoff: A = [ G C 2 G 0 G 2 ] (16) l unica strategia ESS è p = G/C. Verificare inoltre che nel gioco descritto dalla matrice di payoff A = (17) la strategia mista p = (1/3, 1/3, 1/3) non è ESS in quanto lo è la strategia pura e 1. Verificare la presenza di strategie pure e degli equilibri di 28

29 Nash (misti e puri) nel gioco descritto dalla matrice di payoff: A = (18) Sol. Nel gioco vi sono 3 ESS (e 1, e 2, e 3 ) e un NE misto. Verificare la presenza di strategie pure e degli equilibri di Nash (misti e puri) nel gioco descritto dalla matrice di payoff: A = (19) Sol. Nel gioco non vi sono ESS e vi è un NE misto (1/3, 1/3, 1/3). 4. Teorema. Se x S N è un NE del gioco descritto dalla matrice di payoff A, allora x è uno stato stazionario della RE (cioè x = 0). Inoltre, se x è Lyapunov stabile, allora è un NE del gioco. 5. Teorema. Se x S N è un ESS del gioco con matrice di payoff A, allora è uno stato stazionario asintoticamente stabile della RE. Un esempio di stato stazionario asintoticamente stabile ma non ESS è rappresentato dall equilibrio interno al simplesso S 3 presente nel gioco descritto dalla matrice??. Infatti nel gioco vi sono anche altre strategie ESS nel bordo. Studiare la dinamica del gioco Falchi e Colombe generalizzato, descritto dalla matrice di payoff (dove C > G): A = G C G 2 G 0 2 G(G C) G(G+C) 2C 2C G(C G) 2C G(C G) 2C G(C G) 2C. (20) Sol. La strategia e 3 non può essere invasa da e 1 o e 2 perché è ESS. Studiare la dinamica del gioco descritto dalla matrice di payoff: A = (21) Sol. La strategia e 3 è stabile contro l invasione di e 1 o e 2 separatamente, ma non da una combinazione delle due. 29

30 Studiare la dinamica del gioco morra cinese generalizzato: A = 0 a 2 b 3 b 1 0 a 3 a 1 b 2 0, (22) sapendo che l equilibrio misto (1/3, 1/3, 1/3) è stabile asintoticamente sse a 1 a 2 a 3 < b 1 b 2 b 3 ed è instabile se a 1 a 2 a 3 > b 1 b 2 b Studiare la dinamica del gioco a due strategie descritto dalla matrice di payoff: [ a b A = c d ]. (23) Verificare che in questo caso gli stati stazionari della RE coincidono con gli equilibri di Nash e sono asintoticamente stabili sse corrispondono a strategie miste ESS. Inoltre, strategie pure dominanti sono NE, mentre strategie pure dominate non lo sono. Nel caso della bistabilità, entrambe le strategie pure sono equilibri di Nash. Infine, nel caso della coesistenza, nessuna strategia pura è un equilibrio di Nash. 30