Metodi e modelli per le decisioni

Transcript

1 Metodi e modelli per le decisioni Roberto Cordone A. A

2 7.4 Esercizi Nota : Devo molti di questi esercizi a temi d esame del prof. Alberto Colorni. Nota : Benvenuti negli anni 80 e 90. Pur avendoli vissuti, sono io stesso incredulo al pensiero che un esercizio d esame potesse richiedere tanti calcoli aritmetici. Nota : Gli esercizi e le soluzioni non sono stati ancora rivisti. Eventuali segnalazioni di errore sono benvenute. Esercizio 1 Si consideri il problema decisionale con 5 alternative e 3 criteri, caratterizzato dai seguenti impatti (utilità) e pesi: Attributi a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 pesi f w f w f w Si normalizzi la matrice per ciascun criterio fra il valore minimo e il massimo, e si calcolino le matrici di concordanza e di discordanza pesata (vedi sotto per le formule). Si costruisca il grafo dei surclassamenti e se ne determini il nucleo in base alle tre condizioni: 1. prevalenza relativa con α w = 0, cioè w + ff w ff ; 2. concordanza con α c = 0.75, cioè w + ff + w ff 0.75; 3. discordanza non pesata con α = 0.25, cioè max l P :f l <f l f l f l max l P f l f l 0.75 con soglie di comparabilità arbitrariamente ampie (ɛ l = + per ogni l P ). Si ordinino le alternative in base all indice di concordanza e in base all indice di discordanza. La matrice di valutazione normalizzata è Attributi a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 f f f La matrice di concordanza è: C =

3 La matrice di discordanza pesata è: D = Il grafo dei surclassamenti comprende 5 nodi corrispondenti alle alternative, e i seguenti archi: (a 1, a 3 ), (a 2, a 1 ), (a 2, a 3 ). Il nucleo è il sottoinsieme N = {a 2, a 4, a 5 ). Gli indici di concordanza delle alternative sono: C f = c ff c f f = [ ] da cui l ordinamento a 2 a 5 a 1 a 4 a 3. Gli indici di discordanza delle alternative sono: D f = d ff d f f = [ ] da cui l ordinamento a 2 a 5 a 1 a 3 a 4. Esercizio 2 Un centro sociale cerca una nuova sede: esistono quattro alternative (A, B, C e D) oltre all alternativa 0 (restare nella sede attuale). Si è stabilito che la scelta tra le cinque alternative debba essere definitiva e che sarà fatta in base a tre fattori: costi, accessibilità e prestigio. È fornita una tabella indicante le utilità per ciascuna alternativa e fattore in una scala tra 0 e 100. È fornito anche un vettore di pesi dei tre fattori. Indicatori A B C D 0 pesi Costi w 1 1/3 Accessibilità w 2 1/3 Prestigio w 3 1/3 Si rappresenti il problema per mezzo dell analisi gerarchica, esprimendo le matrici dei confronti a coppie tra le alternative (rispetto a ciascun attributo) nella scala di Saaty. Nel calcolo dei valori, si scelga ogni volta il valore più vicino disponibile nella scala di Saaty. Si dica se qualcuna delle matrici è coerente, indicando il vettore di ordinamento ad essa associato. Si calcoli il valore del coefficiente di concordanza c fa f D definito dai metodi Electre. Di questo esercizio non sono al momento disponibili le soluzioni. 2

4 Esercizio 3 Si consideri la seguente gerarchia in un problema di analisi a molti criteri: il decisore intende ottimizzare due criteri principali c 1 e c 2, per i quali è nota una matrice di confronti a coppia costruita con la scala di Saaty: c 1 c 2 c c 2 1/4 1 il criterio c 1 raccoglie due sottocriteri s 11 e s 12 ; s 11 s 12 s /9 s il criterio c 2 raccoglie due sottocriteri s 21 e s 22 ; vi sono tre alternative a 1, a 2 e a 3 ; s 21 s 22 s s 22 1/3 1 sono noti i confronti a coppie fra le tre alternative secondo il sottocriterio s 11 : a a 2 1/3 1 2 a 3 1/6 1/2 1 sono noti i confronti a coppie fra le tre alternative secondo il sottocriterio s 12 : a 1 1 1/4 1/4 a a sono noti i confronti a coppie fra le tre alternative secondo il sottocriterio s 21 : a 1 1 1/4 2 a a 3 1/2 1/8 1 sono noti i confronti a coppie fra le tre alternative secondo il sottocriterio s 22 : a a 2 1/7 1 1/3 a 3 1/2 3 1 Si dica se le matrici sono tutte coerenti, motivando la risposta. Se vi sono matrici incoerenti, le si renda coerenti modificando solo le coppie di valori λ 13 e λ 31. Una volta rese le matrici coerenti, si calcolino i corrispondenti vettori di pesi. Si ricomponga la gerarchia fino ad ottenere l ordinamento finale delle alternative, indicando i vari passaggi. Si inserisca una nuova alternativa a 4 in maniera da provocare un rank-reversal. 3

5 Le matrici sono tutte coerenti, tranne quella relativa ai confronti a coppie fra le alternative rispetto al sottocriterio s 22. Si può rendere coerente tale matrice sostituendola con I vettori di pesi sono: per i criteri c 1 e c 2 : [ ]; per i criteri s 11 e s 12 : [ ]; per i criteri s 21 e s 22 : [ ]; a /3 a 2 1/7 1 1/3 a 3 3/7 3 1 per le alternative rispetto al criterio s 11 : [ ]; per le alternative rispetto al criterio s 12 : [ ]; per le alternative rispetto al criterio s 21 : [ ]; per le alternative rispetto al criterio s 22 : [ ]. Se ne ricavano le seguenti pseudoutilità. u a1 = = 0.190; u a2 = = 0.448; u a3 = = ce portano all ordinamento: a 2 a 3 a 1. Per produrre un rank-reversal, è necessario inserire un alternativa che si comporti circa come l alternativa vincente a 2 nelle quattro matrici dei confronti a coppie fra alternative. 1 Esercizio 4 È dato il seguente problema decisionale con tre alternative e quattro attributi (utilità): cui sono associati i pesi w i (i = 1,..., 4): Attributi A B C pesi u w u w u w u w Si dica se esistono relazioni di surclassamento, quali e perché, con soglie di concordanza α c = 0.70 e di discordanza α = Credo che il motivo sia che in questo modo le pseudoutilità di a 2 approssimativamente si dimezzano, favorendo a 3, ma non ho verificato. 4

6 La matrice di concordanza del problema è: C = La matrice di discordanza pesata è: D = Non c è alcun surclassamento, perché i valori di discordanza sono tutti > 1 α d. La matrice di concordanza da sola permetterebbe il surclassamento A Sc B. Esercizio 5 Si determini il nucleo in base alle definizioni dei metodi Electre per un problema con sette alternative a i (i = 1,..., 7) e il grafo dei surclassamenti dato dagli archi: (a 1, a 2 ), (a 1, a 4 ), (a 2, a 4 ), (a 2, a 7 ), (a 4, a 3 ), (a 4, a 6 ), (a 3, a 7 ). Il nucleo è un insieme di alternative tali che non esistono surclassamenti tra le alternative in esso contenute e ogni alternativa scartata è surclassata da almeno un alternativa del nucleo. In base a questa definizione, si può: 1. includere nel nucleo a 1 e a 5 ; 2. escludere dal nucleo a 2 e a 4 ; 3. includere nel nucleo a 3 e a 6 ; 4. escludere dal nucleo a 7 ottenendo N = {a 1, a 3, a 5, a 6 }. 5