Metodi e modelli per le decisioni

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1 Metodi e modelli per le decisioni Roberto Cordone A. A

2 5.4 Esercizi Nota : Gli esercizi seguenti riguardano tutti problemi a due dimensioni. Si possono quindi tutti affrontare (o quasi: non sono ancora stati rivisti) con uno qualsiasi dei quattro metodi visti a lezione (condizioni di KKT, trasformazione inversa, pesi e vincoli). I risultati dovrebbero essere coerenti con le proprietà dei metodi stessi (regione paretiana sovrastimata, esatta o sottostimata, secondo i casi). Nota : Devo molti di questi esercizi a temi d esame del prof. Alberto Colorni. Nota : Gli esercizi e le soluzioni non sono stati ancora rivisti. Eventuali segnalazioni di errore sono benvenute. Esercizio 1 Si consideri il seguente problema di programmazione matematica con due obiettivi: min f 1 = 1 4 (x 1 4) x2 2 min f 2 = 2 x 2 2x 1 + x 2 4 x 1, Si tracci la regione ammissibile nel piano (x 1, x 2 ) e l insieme degli impatti nel piano (f 1, f 2 ). Si determini la regione delle soluzioni paretiane per mezzo del metodo dei vincoli, spiegando via via il procedimento. La regione paretiana X è il segmento della retta 2x 1 + x 2 = 4 compreso fra i punti A = (2, 0) e B = (0, 4). La sua immagine F è l arco della parabola... compreso fra i punti A = (1, 2) e B = (8, 2). Esercizio 2 Si consideri il seguente problema di programmazione matematica con due obiettivi: max f 1 = x 1 x 2 max f 2 = x 2 x 1 + x x 1 2 Si tracci la regione ammissibile nel piano (x 1, x 2 ) e l insieme degli impatti nel piano (f 1, f 2 ). Si determini la regione delle soluzioni paretiane per mezzo del metodo dei vincoli, spiegando via via il procedimento. 1

3 La regione paretiana X è la spezzata poligonale ABC, con A = (2, 0), B = (2, 1) e C = (0, 3). La sua immagine F è la spezzata poligonale A B C con A = (2, 0), B = (1, 1) e C = ( 3, 3). Esercizio 3 Si consideri il seguente problema di programmazione matematica con due obiettivi: min f 1 = x Ax + b x min f 2 = c x x X = { x R 2 : x 1 0, } con A = [ ] b = [ 4 8 ] [ 1 c = 1 ] Si tracci la regione ammissibile nel piano (x 1, x 2 ) e l insieme degli impatti nel piano (f 1, f 2 ). Si determini la regione delle soluzioni paretiane per mezzo del metodo dei vincoli, spiegando via via il procedimento. La regione paretiana X è la spezzata poligonale ABC, con A = (0, 0), B = (0, 1/2) e C = (2, 1). Esercizio 4 Si consideri il problema: max f 1 = x 1 + 3x 2 max f 2 = 3x 1 2x 2 2x 1 + x 2 32 x 1 + x 2 20 x 1 + 5x 2 72 x 1, Si determini (con il metodo dei pesi o con il metodo dei vincoli) la regione paretiana. La si disegni nello spazio delle variabili e in quello degli La regione paretiana X è la spezzata poligonale ABC, con A = (0, 0), B = (0, 72/5) e C = (7, 13). La sua immagine F è la spezzata poligonale A B C con A = (0, 0), B = (216/5, 144/5) e C = (46, 47). 2

4 Esercizio 5 Si determini la regione Pareto-ottima, usando il metodo dei vincoli, per il seguente problema: max f 1 = x 1 x 2 max f 2 = x 1 3x x 2 12 Si disegni la regione Pareiana nello spazio delle variabili e nello spazio degli La regione paretiana X è il segmento AB, con A = ( 2, 0) e B = (0, 2). La sua immagine F è il segmento A B con A = (?,?), B = (?,?). Esercizio 6 Una città deve localizzare un servizio di pronto intervento che, per motivi di sicurezza, vorrebbe il più prossimo possibile ad una zona pericolosa (punto P). A tre miglia a nord della città scorre un fiume (retta F orizzontale) che consentirebbe, tramite la costruzione di un acquedotto, di alimentare il servizio nella localizzazione prescelta. Inoltre, per motivi di traffico, non è possibile localizzare il servizio a sudovest di una strada di grande scorrimento (retta S: 2x 1 + x 2 = 4), né a nord del fiume. In sintesi, un criterio di scelta è la vicinanza a P, un altro criterio è la vicinanza alla retta F, esistono due vincoli alla localizzazione. Si deve determinare la regione di Pareto nello spazio delle variabili e nello spazio degli La regione paretiana X è il segmento AB, con A = (1/2, 3) e B = (8/5, 4/5). Esercizio 7 Si risolva il seguente problema di programmazione a due obiettivi: max f 1 = 9x x x 1 16x 2 max f 2 = x 1 3x 1 + x 2 6 3x 1 + 2x 2 9 Si disegni la regione paretiana nello spazio delle variabili e nello spazio degli La regione paretiana X è la spezzata poligonale ABC, con A = (1, 2), B = (4/3, 2) e B = (2, 0). La sua immagine F è una spezzata curva A B C con A = ( 25, 1), B = ( 24, 4/3) e C = (0, 2). 3

5 Esercizio 8 La tabella seguente rappresenta le prestazioni di cinque alternative rispetto a quattro criteri decisionali (tutti da massimizzare), in una scala di valori tra 0 e 100. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 f f f f Si indichino le alternative dominate (se ve ne sono) e da quali altre alternative sono dominate. Si scriva la definizione formale di dominanza paretiana. L alternativa a 3 è dominata dall alternativa a 2. Esercizio 9 Si consideri il problema: max f 1 (x) = x 1 + 2x 2 max f 2 (x) = 2x 1 x 2 con X = {x R 2 : x 1 4, x 2 4, x 1 + x 2 7, x 1 + x 2 3, x 1 x 2 3, x 1 0; }. Si determini la regione paretiana nello spazio delle variabili e in quello degli La regione paretiana X è la spezzata poligonale F EDC, con C = (1, 4), D = (3, 4), E = (4, 3) ed F = (4, 1). Esercizio 10 È dato il problema: max f 1 (x) = x 1 3x 2 max f 2 (x) = 4x 1 + x 2 2x 1 + 2x 2 7 2x 1 + 2x 2 11 x 1 4 x 1, Si determini la regione paretiana, disegnandola sia nello spazio delle variabili che nello spazio degli La regione paretiana X è la spezzata poligonale AOB, con A = (0, 7/2), O = (0, 0) e B = (4, 0). 4

6 Esercizio 11 È dato il problema: min f 1 (x) = x x 2 2 max f 2 (x) = x 2 x 2 10 Si determini la regione paretiana nello spazio delle variabili e nello spazio degli obiettivi con il metodo dei vincoli e con il metodo dei pesi (risolvendo il problema a singolo obiettivo con le condizioni analitiche di KKT). La regione paretiana X è il segmento OA, con O = (0, 0) e A = (0, 10). Esercizio 12 Un centro sociale cerca una nuova sede: esistono quattro alternative (A, B, C e D) oltre all alternativa 0 (restare nella sede attuale). Si è stabilito che la scelta tra le cinque alternative debba essere definitiva e che sarà fatta in base a tre fattori: costi, accessibilità e prestigio. È fornita una tabella indicante le utilità per ciascuna alternativa e fattore in una scala tra 0 e 100. Indicatori A B C D 0 Costi Accessibilità Prestigio Si dica se esistono alternative dominate e da quali altre alternative sono dominate. L alternativa C è dominata dall alternativa A, mentre l alternativa B è dominata dall alternativa 0. Esercizio 13 È dato il problema: min f 1 (x) = x 2 4x min f 2 (x) = x 2 0 x 3 Si determini la regione paretiana nello spazio delle variabili e in quello degli La regione paretiana X è l intervallo x [2; 3]. La sua immagine F è l arco della parabola... compreso fra i punti A = ( 4, 4) e B = ( 3, 9). 5

7 Esercizio 14 E dato il problema: min f 1 (x) = x x 2 2 2x 1 16x 2 min f 2 (x) = 5x 1 x 2 x x Si descrivano analiticamente il cono ammissibile D A e il cono migliorante D m nel punto P = (2, 2). In base ai due coni, può il punto P essere paretiano? Perché? Il cono ammissibile e quello migliorante sono: D A = { d R 2 : d 1 + d 2 0 } D M = { d R 2 : d 1 0, 5d 1 + d 2 geq0 } I due coni non hanno direzioni comuni. Quindi, P soddisfa le condizioni necessarie di KKT per la paretianità locale: può essere paretiano, anche se non è garantito che lo sia.. Esercizio 16 È dato il seguente problema decisionale con tre alternative e quattro attributi (utilità): Attributi A B C u u u u Si dica se vi sono alternative dominate e da quali altre alternative sono dominate. Non vi sono alternative dominate. Esercizio 17 Si consideri il problema: min f 1 (x) = x x 2 2x 1 min f 2 (x) = x 2 x x 2 8 x 1 2 Si determini la regione paretiana nello spazio delle variabili e in quello degli La regione paretiana X è la spezzata poligonale ABC, con A = (1, 0), B = (1, 1/2) e C = (2, 1). La sua immagine F è la spezzata curva compresa A B C, con A = ( 1, 0), B = ( 3/4, 1/2) e C = (1, 1). 6