Università di Pavia Macroeconometria. Stima dei sistemi di equazioni simultanee. Eduardo Rossi

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1 Università di Pavia Macroeconometria Stima dei sistemi di equazioni simultanee Eduardo Rossi Università di Pavia

2 Stima dei SES Limited Information Full Information OLS FIMLE 2STLS 3STLS K CLASS FIIV H CLASS 1

3 Stima OLS Consideriamo la prima equazione del sistema: y tγu c 1 + x tbu c 1 = ǫ tu c 1 y t γc 1 + x tb c 1 = ǫ 1t t = 1,..., T sappiamo che il primo elemento di γ c 1 = 1: con γ 1 = y 1t = y t γ 1 + x tb 1 + ǫ 1t γ 21 γ γ g1 b 1 = b 11 b b k1 2

4 Stima OLS in forma matriciale: y 1 = Y 1 γ 1 + Xb 1 + ǫ 1 (1) sia Z 1 = [Y1 X] e δ 1 = [γ 1 b 1 ] la (1) può essere scritta come: lo stimatore OLS di δ 1 è: y 1 = Z 1 δ 1 + ǫ 1 ˆδ 1OLS = (Z 1 Z 1) 1 Z 1 y 1 = δ 1 + (Z 1 Z 1) 1 Z 1 ǫ 1 3

5 Stima OLS ˆδ 1OLS = δ+ [ Y 1 Y 1 Y 1 X X Y 1 X X ] 1 [ Y 1 ǫ 1 X ǫ 1 ] 0 ˆδ 1OLS è uno stimatore incon- dove plim X ǫ 1 T sistente di δ. = 0 ma plim Y 1 ǫ 1 T 4

6 Eccezione all inconsistenza della stima OLS: sistemi triangolari Gli stimatori OLS equazione per equazione sono consistenti quando il modello è ricorsivo e la matrice Σ di varianza e covarianza è diagonale: y 1t = β 1 x t +ǫ 1t y 2t = γ 12 y 1t +β 2 x t +ǫ 2t y 3t = γ 13 y 1t +γ 23 y 2t +β 3 x t +ǫ 3t. =. y gt = γ 1g y 1t +γ 2g y 2t... +γ g 1,g y g 1,t +β g x t +ǫ gt 5

7 Stimatore delle variabili strumentali A. Caso generale Consideriamo la prima equazione: sia Z 1 = [Y1 X] e δ 1 = [γ riscritta in forma compatta come: y 1t = y t γ 1 + x tb 1 + ǫ 1t t = 1,..., T 1 b 1 y 1 = Z 1 δ 1 + ǫ 1 ] la prima equazione puó essere Un metodo generale per ottenere delle stime consistenti di δ é tramite il metodo delle variabili strumentali. Sia W 1 (T (g k 1 )) la matrice delle variabili strumentali. Come tale essa soddisfa i requisiti per le variabili strumentali: plim 1 T W 1 Z 1 = Σ WZ 6

8 Stimatore delle variabili strumentali con Σ WZ matrice finita non singolare e plim 1 T W 1 ǫ 1 = 0 plim 1 T W 1 W 1 = Σ WW con Σ WW matrice definita positiva. 7

9 Stimatore delle variabili strumentali Lo stimatore delle variabili strumentali: ˆδ 1IV = (W 1 Z 1) 1 W 1 y 1 ˆδ 1IV é uno stimatore consistente con matrice di varianza-covarianza asintotica pari a: σ 2 1 T plim [ ] W 1 Z 1 [ ] [ 1 W 1 W 1 Z 1 W 1 T T T = σ2 1 T [ Σ 1 WZ Σ WWΣ 1 ] ZW uno stimatore consistente della varianza σ 2 1 ] 1 è dato da: σ 2 1 = (y 1 Z 1ˆδ 1IV ) (y 1 Z 1ˆδ 1IV ) T 8

10 B. Equazione esattamente identificata g 1 1 = k k 1 Intuitivamente abbiamo esattamente uno strumento per ogni variabile endogena inclusa. La matrice delle variabili strumentali sará: W 1 = X e lo stimatore delle variabili strumentali é: ˆδ 1IV = [X Z 1 ] 1 X y 1 stimatore consistente per un equazione esattamente identificata è lo stimatore determinato dalle variabili strumentali formate da tutte le esogene del sistema. 9

11 C. Equazione sovraidentificata k k 1 > g 1 1 In questo caso la matrice X non può essere utilizzata come matrice delle variabili strumentali perchè X Z, (K T) (T k 1 + g 1 1), non è invertibile. L alternativa é il metodo di stima 2SLS. Quali variabili strumentali utilizzare? Utilizzare un sottoinsieme delle variabili esogene a disposizione del sistema é inefficiente perché significa non utilizzare tutta l informazione a disposizione. 10

12 Pensiamo all espressione in forma ridotta per Y 1 : Y 1 = XΠ 1 + V 1 che si ricava opportunamente dalla forma ridotta del sistema: Y = XΠ + V Il metodo 2SLS consiste nell utilizzare come strumenti per Y 1, Ŷ 1 : dove ˆΠ 1 è dato da: Ŷ 1 = XˆΠ 1 ˆΠ 1 = (X X) 1 X Y 1 Si può mostrare che questo è lo stimatore delle variabili strumentali più efficiente tra gli stimatori che utilizzano solo le colonne di X. 11

13 Lo stimatore a due stadi è pari a: ˆδ 2SLS = (W 1 Z 1) 1 W 1 y 1 dove W 1 = [Ŷ 1 X 1 ] (T (g k 1 )) ˆδ 2SLS = {[ Ŷ 1 Y 1 Ŷ 1 X 1 X 1 Y 1 X 1 X 1 ]} 1 [ Ŷ 1 y 1 X 1 y 1 ] 12

14 Full Information Estimation Method: 3SLS Possiamo riscrivere il sistema di equazioni nel modo seguente: y 1 y 2. y g = Z Z Z g δ 1 δ 2. δ g + ǫ 1 ǫ 2. ǫ g e in forma compatta con E[ǫ] = 0 e Y = Zδ + ǫ 13

15 E[ǫǫ ] = E[ǫ 1 ǫ 1 ].. E[ǫ 1ǫ g] E[ǫ 2 ǫ 1 ].. E[ǫ 2ǫ g]. E[ǫ g ǫ 1 ].. E[ǫ gǫ g ] = = σ1 2I T... σ 1g I T.. σ g1 I T.. σgi 2 T = Σ I T 14

16 Lo stimatore OLS é dato da: ˆδ OLS = [Z Z] 1 Z Y Questo stimatore altro non é che lo stimatore OLS equazione per equazione. Lo stimatore é inconsistente. Assumiamo che sia disponibile uno stimatore consistente: ˆδ IV = [W Z] 1 W Y Lo stimatore piú efficiente è quello basato sul principio dello stimatore GLS: ˆδ IV,GLS = [W (Σ 1 I T )Z] 1 W (Σ 1 I T )Y 15

17 3 Stage Least Squares Consideriamo come matrice di strumenti: W = Ẑ = X(X X) 1 X Z X(X X) 1 X Z X(X X) 1 X Z g = dove Ẑ 1 = [Ŷ 1 X 1] e Z 1 = [Y 1 X 1] Ẑ Ẑ Ẑ g 16

18 3 Stage Least Squares Lo stimatore delle variabili strumentali é dato da: ˆδ IV = [Ẑ Z] 1 Ẑ Y che altro non è che lo stimatore 2SLS fatto equazione per equazione: ˆδ 2SLS = [Ẑ Ẑ] 1 Ẑ Y Poichè questo stimatore è meno efficiente di uno stimatore GLS, ad esso sostituiamo lo stimatore di Aitken-Zellner: ˆδ 3SLS = [Ẑ (Σ 1 I T )Ẑ] 1 Ẑ (Σ 1 I T )Y Zellner e Theil suggeriscono, come stimatore consistente di Σ, di partire dai residui stimati con 2SLS: ˆǫ i = y i Z iˆδ i,2sls 17

19 3 Stage Least Squares Quindi per ogni equazione si puó calcolare: ˆσ ij = (y i Z iˆδ i,2sls ) (y j Z jˆδ j,2sls ) T Lo stimatore 3SLS è quindi calcolato secondo i seguenti passi: 1. Stimo Π con OLS e calcolo Ŷ i per ogni equazione 2. Calcolo ˆδ i per ogni equazione: ˆδ i = [Ẑ iẑi] 1 Ẑ i y i dove Ẑ i = [Ŷi X] e calcolo: ˆσ ij = (y i Z iˆδ i,2sls ) (y j Z jˆδ j,2sls ) T 18

20 3 Stage Least Squares 3. Calcolo lo stimatore GLS secondo la: ˆδ 3SLS = [Ẑ (ˆΣ 1 I T )Ẑ] 1 Ẑ (ˆΣ 1 I T )Y 19