FINANCIAL ECONOMETRICS AND EMPIRICAL FINANCE -MODULE2 Prova Parziale - Marzo 2015

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1 FINANCIAL ECONOMETRICS AND EMPIRICAL FINANCE -MODULE2 Prova Parziale - Marzo 2015 Tempo a disposizione: 60 Minuti Cognome Nome Matricola Rispondete a tutte le domande. Nel caso delle domanda a risposta multipla, ci potrebbeesserepiù di una risposta corretta per ogni domanda. Sarà attribuito un punto per ogni risposta corretta, le risposte sbagliate verranno penalizzate con meno mezzo punto. Saranno considerate SOLO le risposte esplicitamente indicate nell apposita casella. Nel caso delle domande aperte, si forniscano adeguate spiegazioni e si riporti ogni passaggio algebrico necessario. Sololospazioassegnato(cheésufficiente) deve essere utilizzato. Sezione 1 (peso: 52%) Domanda 1.1 Si consideri un generico modello VAR( ) per variabili: X y = μ+ A y + u u IID (0 Σ) =1 dove le matrici dei coefficienti autoregressivi (A 1 A 2..., A ) sono matrici piene (ovvero nessun termine è stato posto uguale a zero). Quale/i delle seguenti affermazioni è/sono corretta/e? (A) Questo modello VAR( ) è scritto in forma strutturale. (B) Se tutte le matrici dei coefficienti autoregressivi (A 1 A 2..., A ) sono matrici diagonali e Σ è una matrice diagonale, il modello VAR( ) saràformatoda modelli AR( ) indipendenti. (C) Data la sua natura non ristretta, questo VAR( ) può essere stimato attraverso OLS, equazione per equazione. (D) Se tutte le matrici dei coefficienti autoregregressivi (A 1 A 2..., A ) sono matrici triangolari superiori e Σ è una matrice triangolare superiore, il modello VAR( ) saràfromatoda modelli AR( ) indipendenti. (E) La sua media non condizionale è [y ]=(I A 2 1 ) 1 μ (F) Nessuna delle precedenti. 1

2 Domanda 1.2 Si consideri il seguente processo autoregressivo del primo ordine (AR(1)): = IID 0 2 Quale/i delle seguenti affermazioni sono/è corrette/a: (A) [ 1 ]= (B) [ ]=5 2 (C) [ 1 ]= 2 (D) [ ]=1 (E) [ 2 ]= (F) Nessuna delle precedenti. Domanda 1.3 La scomposizione di Wold afferma che: (A) Qualsiasi processo stocastico può essere espresso come la somma di una componente deterministica e di una componente stocastica rappresentata da un MA di ordine infinito. (B) Qualsiasi processo stocastico stazionario può essere espresso come il prodotto di una componente deterministica e una componente stocastica rappresentata da un MA di ordine infinito. (C) Qualsiasi MA invertibile può essere espresso come la somma di una componente deterministica e di un processo stocastico stazionario. (D) Qualsiasi processo stocastico stazionario può essere espresso come la somma di un processo mean-reverting e di una componente stocastica autoregressiva. (E) Nessuna delle precedenti. Domanda 1.4 Si consideri un processo non stazionario che contiene un trend deterministico: = + + IID 0 2 Quali/e delle seguenti affermazioni sono/è corretta/e: (A) Il processo è reso stazionario regredendo su e poi sostituendo con ˆ ˆ =ˆ che rappresenta un processo white noise sotto l ipotesi che il modello originale fosse correttamente specificato. (B) Il processo è reso stazionario prendendo la sua differenza prima. (C) Dato che non èstazionario, segue una random walk. (D) Se si prende la differenza prima di, si ottiene un MA(1) non invertibile che quindi non può essere rappresentato come un processo autoregressivo stazionario. (E) Nessuna delle precedenti. 2

3 Domanda 1.5 Si consideri il seguente processo ARMA(2,1), con shocks distribuiti normalmente, per i rendimenti del mercato statunitense: +1 = IID (0 2 ). Quali/e delle seguenti affermazioni sono/è corrette/a: (A) Il modello può esserestimatotramiteolsseesolosesiconosceex-anteche =0; questo caso il metodo OLS èequivalenteamleequindilestimedi 0, 1, 2 e 2 saranno le più efficienti tra tutti gli stimatori non distorti; quando 6= 0 il modello deve essere stimato tramite MLE. (B) Il modello può essere stimato tramite OLS se e solo se si conosce ex-ante che 1 = 2 =0; in questo caso OLS èequivalenteamle equindilestimedi 0, e 2 saranno le più efficienti tra tutti gli stimatori non distorti; quando 1 6=0e/o 2 6=0 il modello deve essere stimato tramite MLE. (C) Il modello può essere stimato tramite MLE se e solo se si conosce ex-ante che =0; questo caso MLE èequivalenteaolsequindilestimedi 0, 1, 2 e 2 saranno le più efficienti tra tutti gli stimatori non distorti; quando 6= 0 il modello deve essere stimato tramite OLS. (D) Il modello può essere stimato tramite OLS se e solo se si conosce ex-ante che la componente MA è invertibile; in questo caso OLS è equivalente a GLS e quindi le stime di 0, 1, 2 e 2 soddisferannno le condizioni del lemma di Neyman-Pearson; quando 1 il modello deve essere stimato tramite GLS. (E) Nessuna delle precendenti. in in Domanda 1.6 Gli stimatori delle variabili strumentali: (A) Sostituiscono le variabili endogene sul lato destro di un sistema di equazioni stocastiche in forma strutturale con valori OLS fittati provenienti dalla stima della forma ridotta del sistema. (B) Sostituiscono le variabili endogene sul lato destro di un sistema di equazioni stocastiche in forma strutturale con altre variabili che non sono correlate con le variabili esogene ma sono altamente correlate con gli errori. (C) Sostituiscono le variabili endogene sul lato destro di un sistema di equazioni stocastiche in forma strutturale con altre variabili che sono altamente correlate con le variabili esogene ma non sono correlate con gli errori. (D) Risolvono i problemi di endogeneità nei sistemi di equazioni stocastiche simultanee fornendo stimatori consistenti. (E) Risolvono i problemi di integrabilità neivar( ) fornendo stimatori che sono convergenti in termini di errore quadratico medio. (F) Nessuna delle precedenti. 3

4 Domanda 1.7 Si è applicato un test di Dickey-Fuller aumentato (ADF) X = esiètrovatoche (ˆ 1) (ˆ ) =2 1 Di conseguenza (A) Dal momento che supera la classica, approssimativa soglia di 2, si rigetterà l ipotesi nulla di stazionarietà in favore dell ipotesi che segua un processo I(1). (B) Dal momento che supera la classica, approssimativa soglia di 2, si rigetterà l ipotesi nulla di non stazionarietà in favore dell ipotesi che segua un processo I(0). (C) Dal momento che supera la classica, approssimativa soglia di 2, non si potrà rigettare l ipotesi nulla di stazionarietà in favore dell ipotesi che segua un processo I(1). (D) Dal momento che supera la classica, approssimativa soglia di 2, non si potrà rigettare l ipotesi nulla di non stazionarietà in favore dell ipotesi che segua un processo I(0). (E) Nessuna delle precedenti. =0 Sezione 2 (peso: 26%) Domanda 2.1 Si consideri il seguente processo AR(1) con errori distribuiti normalmente per i rendimenti del mercato statunitense: +1 = IID (0 2 ). Sapete che 0 =1, [ +1 ]=2eche [ +1 ]=1 3 Si indichi quali/e delle seguenti affermazioni sono/è corrette/. (A) 1 =0 5 e 2 =2 3 (B) 1 =0 5 e 2 =1 4 (C) 1 =2e 2 =1 4 (D) 1 = 0 5 e 2 =5 12 (E) Nessuna delle precedenti. 4

5 Question 2.2 (7 punti) Si consideri il seguente modello VAR(1) : " #" 1 2 # = " #" # " # " # Ã" # " #! IID a (0.5 punti) Questo modello è in forma strutturale o ridotta? Si giustifichi attentamente la risposta. 2.2b (1.5 punti) Questo modello è sotto-, esattamente, or sovra-identificato? Che tipo di schema di identificazione si è applicato? Che tipo di gerarchia tra le due variabili endogene implica questo schema? Si giustifichino attentamente le risposte. 5

6 2.2c (2 punti) Si risolva il modello e, se possibile, lo si scriva i forma ridotta. Si calcolino medie, varianze e la covarianza degli shocks della forma ridotta, chiamati [ 1 2 ] 0. Si giustifichi attentamente la risposta e si mostrino i passaggi. 2.2d (2 punti) In riferimento a questo modello, si spieghi cosa sia una impulse response function. Quante funzioni di risposta d impulso si potranno calcolare in questo caso e perchè? Qual è il numero totale di impulse response function che si potrebbero calcolare se si dovesse cambiare lo schema di identificazione? A quale valore di lungo periodo convergeranno le funzioni di risposta d impulso in questo caso specifico e perchè? Sotto quali condizioni sul VAR(1), le impulse response function di tipo standard descriveranno la reazione delle variabili endogene a shocks puri che colpiscono il sistema? 6

7 2.2e (1 punto) Questo modello VAR(1) implica due autovalori, entrambi con modulo di circa 0.831; che cosa implica questo fatto per la stazionarietà del processo? Si spieghi come siano stati calcolati questi autovalori. Si giustifichi attentamente la risposta. Sezione 3 (peso: 22%) Domanda 3.1 (5 punti) Nella seguente tabella avete i risultati di due esercizi di stima di un modello ARMA(1,1) implementati in EViews R.Ilprimoèottenuto eseguendo i comandi: smpl 1980:1 2012:12 equation ar1.ls ger stock ret 2ycar(1) ma(1) mentre il secondo è ottenuto con i comandi: smpl 1980:1 2012:12 equation ar1.ls ger stock ret 2ycgerstock ret 2y(-1) ma(1) 7

8 3.1a (1 punto) Si spieghino le differenze negli output delle due differenti regressioni a da dove esse derivino, nonstante i due modelli possano sembrare identici. Si giusitifichino attentamente le risposte fornite. 3.1b (2 punti) Dopo aver posto = 2, sicalcolino 1 ( ) ( 1 ) 1 ( ) ( 1 ) 2 ( ) ( 2 ) 2 ( ) ( 2 ) ( ) ( ) Si giusitifichino attentamente le risposte e si mostrino i passaggi di calcolo. 8

9 3.1c (2 punti) Si derivi un test per l ipotesi che la costante nella prima regressione è uguale a ( ) e si discuta l evidenza statistica ottenuta dal test. Domanda 3.2 In riferimento all esempio di un VAR(1) in forma strutturale con = 2 mostrato in classe, si consideri la relazione funzionale tra i residui della forma ridotta [ ] 0 e i residui strutturali [ ] 0 Si indichi quali/e delle seguenti affermazioni sono/è corrette/a: (A) Mentre la condizione che i coefficienti della matrice contemporanea siano entrambi uguali a zero, 12 = 21 =0,è necessaria affinchè i residui della forma ridotta siano non correlati, essa non è sufficiente. (B)Mentrelacondizionecheicoefficienti della matrice contemporanea siano entrambi uguali a zero, 12 = 21 =0,èsufficiente affinchè i residui della forma ridotta siano gli stessi dei residui strutturali, essa non è necessaria. (C) Mentre la condizione che i coefficienti della matrice contemporanea siano entrambi uguali a zero, 12 = 21 =0,è necessaria affinchè i residui della forma ridotta siano gli stessi dei residui strutturali, essa non èsufficiente. (D) Mentre la condizione che i coefficienti della matrice contemporanea siano entrambi uguali a zero, 12 = 21 =0,èsufficiente affinchè i residui della forma ridotta siano non correlati, essa non è necessaria. (E) Nessuna delle precedenti. 9

10 Financial Econometrics Regole di condotta durante gli esami o altri test. Durante l esame gli studenti devono rimanere in silenzio e non posso utilizzare alcun aiuto o supporto esterno, sia cartaceo che digitale (es. manuali, appunti, libri, pubblicazioni, cellulari, computer o altri apparecchi elettronici) se non espressamente autorizzati dal docente. Inoltre, gli studenti non possono copiare o guardare gli esami di altri studenti o comunicare o cercare di comunicare con nessun altro in alcun modo. Gli studenti devono rimanere in classe per tutto e solo il tempo necessario a finire il proprio esame a meno che il docente in classe dia disponga altrimenti. Gli studenti che avessero domande da fare al docente devono alzare la mano e aspettare che l esaminatore venga da loro. Alla fine dell esame, gli studenti devono restituire il foglio dell esame ai membri della facoltà e abbandonare l aula. Qualsiasi infrangimento delle regole date dai membri della facoltà durante l esame comporterà la cancellazione dell esame e un report ufficiale sarà inviato alla Commissione Disciplinare in ogni caso. Tutte le sanzioni disciplinari saranno registrate sul percorso di carriera dello studente. Le sanzioni più gravi di avvisi comporteranno il forfeit al diritto allo studio (borse di studio, alloggi ecc). Il Codice d Onore e le regole dettagliate su come affrontare gli esami e altri test sono pubblicate sul sito dell Università Nome e Cognome (IN MAIUSCOLO) Matricola Firma: sottoscrivo il rispetto delle regole sopra descritte e confermo la mia presenza all esame. 10