Esercizi di Econometria nanziaria c.a. parte I (2012/2013) Work in Progress 1. Si consideri il modello ARCH(1) r t = t " t (1)

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1 Esercizi di Econometria nanziaria c.a. parte I (01/013) Work in Progress 1. Si consideri il modello ARCH(1) r t = t " t (1) t = r t 1: () Assumendo le condizioni di stazionarietà, si derivino E(r t ) e V ar(r t ): (Traccia: Poichè E(r t ) = 0 (perchè?), V ar(r t ) = E(r t ) = E(E(r t j F t 1 )) = :::). Si consideri il modello ARCH(1) dell Esercizio 1 assumendo valide le condizioni di stazionarietà e si aggiunga inoltre la condizione Si calcolino E(r 4 t j F t 1 ) e E(r 4 t ). " t iidn(0,1). (3) Traccia-Soluzione: la condizione di normalità in Eq. (3) implica che r t j F t 1 N(0; t ): Dalle proprietà della normale sappiamo che dalla quale ricaviamo Quindi K(r t j F t 1 ) = 3 = E(r4 t j F t 1 ) [E(r t j F t 1 )] E(r 4 t j F t 1 ) = 3 E(r t j F t 1 ) = 3[ t ] = 3[ r t 1] : E(r 4 t ) = E E(r 4 t j F t 1 ) = 3E ( r t 1) = :::... Sviluppando i conti e usando un po di algebra si arriva al risultato E(rt (1 + 1 ) ) = (1 1 )(1 3 (4) 1 ): 3. Si consideri il modello ARCH(1) stazionario dei due esercizi precedenti e il momento quarto di r t in Eq. (4). Quali condizioni deve soddisfare il parametro 1 a nche il momento quarto sia nito? 4. Si consideri il modello ARCH(1) stazionario dei tre esercizi precedenti e il momento quarto in Eq. (4). Si calcoli la kurtosi non condizionata K(r t ) e si mostri che K(r t ) > 3 (Traccia: K(r t ) = E(r4 t ) [E(r t )] e si noti che E(r 4 t ) è dato in Eq. (4), mentre E(r t ) = V ar(r t ) è stato calcolato nell Esercizio 1...). 1

2 5. Si immagini che il log-retun r t si un asset nanziario sia generato dal modello: r t ARMA(1,1)+ARCH(). Si scrivano le equazioni di tale modello e si discutano le condizioni di stazionarietà. 6. Si immagini che il log-retun r t si un asset nanziario sia generato dal modello: r t ARCH(1) stazionario. Si scrivano le equazioni di tale modello e poi si calcoli Cov(r t ; t ): Traccia-soluzione: Se r t ARCH(1), allora r t = u t u t = t " t " t iidn(0,1) t = u t 1, 0 > 0, 0 1 <1: Per calcolare Cov(r t ; t ), è molto utile sfruttare il legame che intercorre tra r t e t, ovvero (vedi Slides) Usando tale relazione: r t = t + t, t MDS. Cov(r t ; t ) = Cov( t + t ; t ) = ::: 7. Si consideri il modello ARCH(1) con errori (disturbi) standardizzati dati dalla t-student: - r t = u t ; - u t = t " t ; - t = u t 1, 0 > 0, " t iid t(n)-standardizzata (n > ), dove t(n) è la distribuzione t- Student con n gradi di libertà standardizzata. Si scrivi la log-likelihood function di tale modello. PRE-REQUISITI PER LA SOLUZIONE Per risolvere questo esercizio bisogna sapere alcune cose facenti parte del background statistico/probabilistico. Se " t ha distribuzione t-student con n gradi di libertà standardizzata, signi ca che " t =x t =(n=n ) 1=, dove x t ha distribuzione t-student con n gradi di libertà. Una variabile casuale x con distribuzione t-student con n gradi di libertà ha le seguenti caratteristiche: E(x) = 0, V ar(x) = n n (ecco perchè n > ). Inoltre, una variabile " con distribuzione t-student con n gradi di libertà standardizzata ha densità f("; n)= ((n + 1)=) (n=) ((n )) 1= 1 (n+1) + " n

3 1Z in cui (a) è la famosa funzione gamma: (a):= 0 y a 1 e y dy:in ne, si ricodi che se x è una variabile casuale continua con densità f x (x) e y = g(x), dove g() è una funzione invertibile con derivata continua, allora la densità della variabile casuale y è data da (la formula di cui sotto è nota come regola della densità di trasformate di variabili casuali) h y (y) = f x (g 1 1 : Soluzione. I parametri incogniti del modello sono :=( 0 ; 1 ) 0 : La densità congiunta del campione di osservazioni r 1 ; r ; :::; r T (r 0 ssato) è data fa L() = f r (r 1 ; r ; :::; r T ; ) e, come noto, si fattorizza secondo la regola: L() = TY f r (r t j F t 1 ; ) : (5) t=1 Nel nostro caso, abbiamo r t = t " t = g(" t ) e sappiamo che f " (" t j F t 1 ; ) = f " (" t )= ((n + 1)=) (n=) ((n )) 1= (n+1) 1 + " t : n Inoltre, sappiamo che la funzione r t = g(" t ) è invertibile (" t = g 1 (r t ) = r t t ) e 1 (r t t = 1 t > 0: Pertanto, applicando la regola della densità di trasformate di variabili casuali abbiamo che = f r (r t j F t 1 ; ) = f " g 1 (r t ) j F t 1 1 (r t t ((n + 1)=) (n=) ((n )) 1 1= t 1 + Quindi, tornando alla likelihood in eq. (5): TY L() = 4 ((n + 1)=) (n=) ((n )) 1 1= t t=1 r t (n ) t 1 + r t (n+1) (n ) t : 3 (n+1) 5 3

4 8. Si carichi in Gretl il dataset DATI_ESERCIZIO_GARCH.xls, repreribile presso: Questo le contiene T =600 osservazioni (si ingnorino le prime due righe contenenti degli zeri) relative a tre variabili: u t, t e x t, in cui in particolare x t è generato da un particolare modello ARMA+GARCH (la caratterizzazione "_dgp" sta a signi care che si tratta di Data Generating Process) 1. A. Si stimi il modello ARMA-GARCH che si ritiene più appropriato per x t, utilizzando solo il campione relativo alle prime T =598=(T ) osservazioni. B Si conduca una analisi della corretta speci cazione che convinca il lettore che il modello ARMA-GARCH stimato è "il miglior modello". C Dal modello stimato si calcolino le previsioni un passo avanti ^x T +1, ^ T +1 due passi avanti ^x T +; ^ T + del rendimento e della volatilità condizionale, e si confrontino tali valori con i "valori veri" x T +1, T +1 e x T +, T + disponibili nel data set. Si traggano alcune cosiderazioni circa la bontà delle previsioni calcolate. 9. La stima del log-return del titolo Enel su un campione di 608 osservazioni giornaliere da prodotto l output riportato di seguito. A. Si dica quale modello time series è stato stimato. B Si commentino le stime. C Si fornisca un giudizio circa la bontà e le caratteristiche del modello stimato sulla base del correlogramma dei residui standardizzati, il correlogramma dei residui standardizzati al quadrato e il test per la normalità distributiva dei dei residui standardizzati. 1 Il prof. Fanelli ha simulato il modello ARMA-GARCH con un programma, quindi è l unico a conscere il DGP. 4

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6 gretl output for Luca :16, page 1 Model: GARCH(1,1) [Bollerslev] (Normal)* Dependent variable: ld_enel Sample: 1950/01/ /01/05 (T = 608), VCV method: Robust Conditional mean equation coefficient std. error z p-value const AR *** AR Conditional variance equation coefficient std. error z p-value omega e e *** alpha *** beta e-17 *** Llik: AIC: BIC: HQC:

7 gretl output for Luca :1, page 1 Autocorrelation function for e_enel LAG ACF PACF Q-stat. [p-value] [0.807] [0.393] [0.47] [0.64] [0.759] [0.68] [0.756] [0.66] [0.639] [0.709] [0.773] [0.831] [0.871] [0.853] [0.894] [0.911] [0.935] [0.901] [0.94] [0.899] [0.890] [0.85] [0.856] [0.887] [0.885] *** *** [0.591] [0.637] [0.657] [0.706] [0.744] [0.780] [0.76] * * [0.597] [0.645]

8 gretl output for Luca :3, page 1 Autocorrelation function for sq_e_enel LAG ACF PACF Q-stat. [p-value] [0.81] [0.417] [0.65] [0.704] [0.68] [0.748] [0.87] [0.893] [0.935] [0.96] [0.979] [0.98] [0.990] [0.995] [0.99] [0.991] [0.995] [0.997] [0.998] [0.999] [0.999] [0.999] ** ** [0.975] [0.98] [0.985] [0.989] [0.993] [0.993] [0.995] [0.996] [0.998] [0.998] [0.999] [0.998]

9 gretl output for Luca :3, page 1 Test for normality of e_enel: Doornik-Hansen test = , with p-value e-51 Shapiro-Wilk W = , with p-value e-033 Lilliefors test = , with p-value ~= 0 Jarque-Bera test = , with p-value 0