µ-calculus Model Checking
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- Battistina Simonetti
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1 Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Udine
2 Outline 1 2 Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale 3
3 µ-calculus Il µ-calculus proposizionale è un frammento della logica monadica al second ordine MSO che estende la logica modale (temporale) LM: LM µ-calculus MSO Viene utilizzato nell ambito della verifica di sistemi informatici, in particolare, dei sistemi reattivi, nei quali la concorrenza svolge un ruolo fondamentale.
4 Logica Proposizionale Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale U? T? S v<3 v>w La Logica Proposizionale esprime proprietà dello stato corrente. Ad esempio, possiamo chiederci se nello stato S vale (v=3) ( >w) (v<3)
5 Logica Modale Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale v.>w v<w U v=3 v>w T S La Logica Modale esprime proprietà di stati raggiungibili dallo stato corrente tramite gli operatori [] P (in tutti i successori dello stato corrente vale P) P (esiste un successore dello stato corrente in cui vale P) Possiamo chiederci se in S vale (v=3) ( >w) ma non possiamo chiederci se esiste una computazione che porta in uno stato in cui vale v=4.
6 Logiche Temporali Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale A partire dagli anni 70, vengono sviluppate logiche più espressive, in grado di esprimere in modo naturale proprietà di liveness (vitalità), safety (sicurezza) e fairness (equità): LTL, PDL, CTL, ACTL, CTL,...
7 µ-calculus: sintassi e semantica Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale Sintassi del µ-calculus: logica modale + µx F(X), νx F(X), con F positiva in X Esempio: µx (X νy Y ) µ sta per minimo punto fisso ν sta per massimo punto fisso
8 Semantica di µx X Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale [] : Pow(W) --> Pow(W) X []X X []X
9 Semantica di µx X Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale []
10 Semantica di µx X Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale [][]
11 Semantica di µx X Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale [][][] =[][] se A= [][] []A=A: A è un punto fisso della funzione [] : Pow(W) --> Pow(W)
12 Semantica per i minimi punti fissi Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale Se F(X) è positiva in X (tutte le occorrenze di X in F(X) cadono sotto un numero pari di negazioni), allora F(X) è monotona (come funzione su Pow(W )): A B F(A) F(B) Ne segue che, in ogni modello, ha un minimo punto fisso fix F W : F(fix F ) = fix F e se F(B) = B, allora fix F B. per ogni S W S = µx F(X) S fix F
13 Come trovare i minimi punti fissi Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale Dalla monotonia di F segue che: F( ) F(F( ))... F n ( )... Se F è continua rispetto all unione (tale è nel caso dei modelli finiti): µx F(X) = fix F = n ω F n ( ).
14 Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale
15 Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale []
16 Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale [][]
17 Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale [][][] =µ X [] X
18 Un altro esempio: µx(p X) Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale P P IN QUALI PUNTI VALE µx (P X)?
19 Un altro esempio: µx(p X) Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale P µx (P X): P P =P
20 Un altro esempio: µx(p X) Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale P µx (P X): P P P
21 Un altro esempio: µx(p X) Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale P µx (P X): P P (P P)
22 Un altro esempio: µx(p X) Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale P µx (P X): P P (P (P P))
23 Un altro esempio: µx(p X) Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale P P µx (P X) è vera se p è raggiungibile in un numero finito di passi.
24 Semantica per i massimi punti fissi Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale Se F(X) è positiva in X, allora F (X) ha un massimo punto fisso FIX F : F(FIX F ) = FIX F e se F (B) = B, allora B FIX F. per ogni S W. S = νx F(X) S FIX F
25 Come trovare i massimi punti fissi Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale Se F è positiva, allora W F(W ) F(F(W ))... F n (W )... Se F è continua rispetto all intersezione (tale è nel caso dei modelli finiti): νx F(X) = FIX F = n ω F n (W ).
26 Un esempio: νx(p X) Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale
27 Un esempio: νx(p X) Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale P P P P P IN QUALI PUNTI VALE νx (P X)?
28 Un esempio: νx(p X) Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale P P P P P νx (P X): P T
29 Un esempio: νx(p X) Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale P P P P P νx (P X): P (P T)
30 Un esempio: νx(p X) Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale P P P P P νx (P X): parte un cammino infinito dove vale sempre P
31 Massimi e minimi punti fissi Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale Minimi punti fissi: µx X non parte alcun cammino infinito; µx(p X) si raggiunge in un numero finito di passi un nodo dove vale p; Massimi punti fissi: νx X parte un cammino infinito; νx (X p) in ogni punto raggiungibile vale p;
32 Confronto con la logica classica Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale Sia M un modello e sia w M. Le proprietà degli stati di M esprimibili con formule modali sono esprimibili in logica al prim ordine (FO): w = p M = y(wry p(y)) w = p M = y(wry p(y)) Il µ-calculus, invece, è un frammento della logica monadica al second ordine (MSO): νx (X) = FIX = {X : X (X)} w = νx X X(w X X (X))
33 Completezza Modulo Bisimulazione Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale Logica Modale FO µ-calculus MSO Cosa perdiamo?
34 Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale i nodi con lo stesso colore rappresentano lo stesso processo w e w sono bisimili... w w Le proprietà che ci interessano sono quelle che non distinguono fra w e w
35 Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale F (x) è invariante per bisimulazione se, dati w e w bisimili, vale F(w) F(w ) Le proprietà della logica modale e del µ-calculus sono invarianti per bisimulazione. Teorema [van Benthem 70, Janin e Walukievicz 1999] logica modale = frammento di FO invariante per bisimulazione µ-calculus = frammento di MSO invariante per bisimulazione
36 Logiche proposizionali, modali e temporali µ-calculus proposizionale La formula di FO: y(wry yry) non è invariante per bisimulazione; La formula di MSO (che esprime la proprietà dal nodo parte un cammino dove p vale infinite volte ): νxµy [(P X) Y ] è invariante per bisimulazione. Il significato di una formula del µ-calculus con punti fissi annidati è molto difficile da comprendere...
37 Arena: un modello di Kripke M ed una formula F in un data logica. Due giocatori: I, II I e II giocano seguendo regole che dipendono dalla logica. Una posizione del gioco è data da una coppia [v, G], dove v è un punto in M e G è una sottoformula di F. Dalla posizione iniziale [w, F], I vuole provare che F è falsa in w (falsifier); II vuole provare che F è vera in w (verifier).
38 Gioco Proposizionale G = G 1 G 2 G 1 G 2 p p Nel caso proposizionale, il gioco non si sposta mai da w (le posizioni del gioco sono sempre di tipo [w, G]). se G = G 1 G 2, tocca ad I che sceglie una sottoformula G i ; il gioco riprende da [w, G i ]; se G = G 1 G 2, tocca a II che sceglie una sottoformula G i ; il gioco riprende da [w, G i ]; arrivati ad un letterale l (l = p o l = p), I vince se w = l, II vince se w = l.
39 Esempio di gioco proposizionale M = p q r F = ( p r) ( r q) S
40 Esempio di gioco proposizionale M = p q r S F = ( p r) ( r q); tocca ad I che sceglie ( p r );
41 Esempio di gioco proposizionale M = p q F = ( p r) ( r q); r tocca ad I che sceglie ( p r ); S tocca a II che sceglie r;
42 Esempio di gioco proposizionale M = p q F = ( p r) ( r q); r tocca ad I che sceglie ( p r ); S tocca a II che sceglie r; II vince perché r è vera in S
43 Esempio di gioco proposizionale M = p q F = ( p r) ( r q); r tocca ad I che sceglie ( p r ); S NB se invece II scegliesse p, perderebbe!
44 Strategie Una strategia vincente per II è una scelta delle mosse che permette a II di vincere qualsiasi cosa faccia I. Una strategia vincente per I è una scelta delle mosse che permette ad I di vincere qualsiasi cosa faccia II. II ha una strategia vincente partendo da [w, F] w = F; ( : la strategia di II è: scegli sempre una sottoformula vera in w... ); ( : per induzione sulla complessità di F. )
45 Gioco Modale G = G 1 G 2 G 1 G 2 G G p p Al gioco si aggiungono le regole per gli operatori modali: dalla posizione [w, G ] tocca ad I, che sceglie un successore w di w; il gioco riprende dalla posizione [w, G ]; dalla posizione [w, G ] tocca a II che sceglie un successore w di w; il gioco riprende dalla posizione [w, G ].
46 Esempio Gioco (S,F) T r U con F= (p r) r S p r q
47 Esempio Gioco (S,F) T r U con F= (p r) r S p r q I : [S, (p r)]
48 Esempio Gioco (S,F) T r U con F= (p r) r II:[T, p r] S p r q I : [S, (p r)]
49 Esempio T r U Gioco (S,F) con F= (p r) r II:[T, r] S p r q II vince la partita I : [S, (p r)]
50 Giochi per il µ-calculus I giochi visti finora sono finiti. Se F = µxg(x), quale mossa da una posizione [w, F]? Siccome ha G(F) = F, le posizioni [w, F ] e [w, G(F)] sono "equivalenti". Gioco da posizione [w, F] con F formula del µ-calculus: se F = µxg, F = νxg, si passa alla posizione [w, G(F)]; ora le partite possono essere infinite e servono nuove condizioni di vittoria su queste partite in modo che II ha una strategia vincente a partire da [w, F] w = F
51 Un esempio di partita per F = µx X [w, F] [w, F] I [w, F] [w, F] I [w, F ]... F = µx X = n n Quindi, se M, w = F, esiste n tale che w n e la partita deve terminare EX. se w = 2 : w F = 2, w 1, w. cioè: w non ha successori e I non riesce a fare nessuna mossa, perdendo la partita. Viceversa, se tutte le partite da [w, F] terminano dopo un numero finito di passi, w = µx X.
52 w = µx X tutte le partite da [w, F] sono finite. Regole di vincita delle partite infinite: I vince tutte le partite infinite. II ha una strategia vincente da [w, µx X] w = µx X
53 Un altro esempio: µx(p X) p Gioco (S,F) con F= µ x (p (x)) [S, µ x (p (x))]
54 Un altro esempio: µx(p X) p Gioco (S,F) con F= µ x (p (x)) [S, p (F)]
55 Un altro esempio: µx(p X) p Gioco (S,F) con F= µ x (p (x)) II: [S, (F)]
56 Un altro esempio: µx(p X) p Gioco (S,F) con F= µ x (p (x)) II: [S1, F = µ x (p (x))] II: [S, (F)]
57 Un altro esempio: µx(p X) p Gioco (S,F) con F= µ x (p (x)) II: [S1, p (F)]
58 Un altro esempio: µx(p X) p Gioco (S,F) con F= µ x (p (x)) II: [S1, (F)]
59 Un altro esempio: µx(p X) p Gioco (S,F) con F= µ x (p (x)) II: [S2, µ x (p (x))]
60 Un altro esempio: µx(p X) p Gioco (S,F) con F= µ x (p (x)) II: [S2, p (F)]
61 Un altro esempio: µx(p X) p Gioco (S,F) con F= µ x (p (x)) II: [S2, (F)]
62 Un altro esempio: µx(p X) p II: [S3, µ x (p (x))] Gioco (S,F) con F= µ x (p (x))
63 Un altro esempio: µx(p X) p II: [S3, p (F)] Gioco (S,F) con F= µ x (p (x))
64 Un altro esempio: µx(p X) p II: [S3, p] Gioco (S,F) con F= µ x (p (x)) se µ x (p (x)) è vera in S, II ha una strategia per vincere la partita S
65 Un altro esempio: µx(p X) p II: [S3, p] Gioco (S,F) con F= µ x (p (x)) se µ x (p (x)) è vera in S, II ha una strategia per vincere la partita Vale anche il viceversa: se II ha una strategia vincente, allora µ x (p (x)) è vera in S S
66 Più in generale: se F = µx G, con G modale, la regola di vincita è: I vince tutte le partite infinite, Dualmente, se F = νx G (G modale), allora la regola di vincita è: II vince tutte le partite infinite.
67 Gioco per νx(p X) Gioco [w,f] con F= ν x (p (x)) p p p [w, ν x (p (x))]
68 Gioco per νx(p X) Gioco [w,f] con F= ν x (p (x)) p p p [w, p (F)]
69 Gioco per νx(p X) Gioco [w,f] con F= ν x (p (x)) p p p I:[w, (F)]
70 Gioco per νx(p X) Gioco [w,f] con F= ν x (p (x)) p p II:[w, F= ν x (p (x)) ] p
71 Gioco per νx(p X) Gioco [w,f] con F= ν x (p (x)) p p [w, p (F) ] p
72 Gioco per νx(p X) Gioco [w,f] con F= ν x (p (x)) p p I:[w, F ] p
73 Gioco per νx(p X) Gioco [w,f] con F= ν x (p (x)) p II:[w, F=νx (p (x))] ] p p
74 Gioco per νx(p X) Gioco [w,f] con F= ν x (p (x)) p [w, p (F)] ] p p
75 Gioco per νx(p X) Gioco [w,f] con F= ν x (p (x)) p I: [w, (F)] etc ] p I può decidere di terminare scegliendo p, ma perde oppure di proseguire il gioco infinito ma perde lo stesso p
76 Le regole si complicano se in F appaiono punti fissi annidati, come accade nella formula: νxµy [(P X) Y ] che significa: dal nodo parte un cammino dove P vale infinite volte. Dentro ν c è un µ: a II va bene ripercorrere ( rigenerare ) infinite volte ν, ma all interno di ogni ciclo, deve ripercorrere (rigenerare) µ solo un numero finito di volte. Soluzione: assegnare dei numeri naturali ai punti fissi, a seconda della posizione d innesto (µ dispari, ν pari)
77 In generale, se F = νxµyνzµu G, con G modale, assegnamo gli indici così: F = ν 4 xµ 3 yν 2 zµ 1 u G. Le partite infinite vengono vinte da II fra i punti fissi ripercorsi (rigenerati) infinite volte, l indice maggiore è pari. In una partita infinita, il punto fisso µ 3 y può essere ripercorso (rigenerato) infinite volte, ma solo se viene ripercorso (rigenerato) infinite volte anche ν 4 x.
78 Ad ogni formula F del µ-calculus corrisponde un gioco di parità G(_, F) tale che, per ogni M, S vale: M, S = F II ha una strategia vincente in G(S,F). Viceversa, ad ogni gioco di parità corrisponde una formula del µ-calculus, che caratterizza le posizioni S vincenti per II.
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