ELABORAZIONE DI SEGNALI E IMMAGINI

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1 Fltraggo d un segnale EABORAZIOE DI SEGAI E IAGII. Bertero P. Boccacc [email protected] [email protected] Al ne d glorare la qualtà d un segnale dgtale una tecnca d prara portanza è l ltraggo. Con l quale s possono enatzzare alcune caratterstce o ruoverne altre. Essenzalente l ltraggo è una unzone d ntorno, nel quale l valore ce assue un bn nel segnale n uscta è deternato dall applcazone d un operatore ce agsce su valor de bns ad esso crcostant nel segnale d ngresso. Per questo tale operatore vene detto operatore locale. Il ltro agsce su una nestra, soltaente d apezza olto pù pccola della durata del segnale. S dtnguono due class d ltr: lnear e non lnear. e pr l operatore dento sulla nestra dà n uscta un valore ce è una cobnazone lneare de valor de bn copres nella nestra. S possono denre ltr lnear ce pulscono l segnale dal ruore oppure ce esaltano le dscontnutà. e second non è possble denre un operatore lneare; soltaente sono operator d rango, coè operator ce agscono su valor de bn dopo averl ordnat. Vedreo ce la derenza sostanzale tra due tp d ltr è ce, entre per pr s può applcare la trasorata d Fourer con tutte le sue propretà, ne second questa operazone non è possble. Fltr lnear D 5 Fnora abbao parato a caponare un segnale e abbao sulato l ruore ce, nevtablente lo algge, n sura pù o eno portante a seconda delle caratterstce dello struento. Una sura d quanto è portante l segnale è data dal rapporto segnale ruore. Questa sura, soltaente è valutata n Decbel ed è denta coe: varanza del segnale SR log db varanza del ruore 5 SR Sgnal to ose Rato Studao ora coe pulre un segnale dal ruore attraverso ltr lnear e non lnear. Il pù seplce ltro lneare è quello ce vene caato eda oble. In pratca s a scorrere una nestra d apezza olto pccola (e soltaente dspar) sul segnale e s sosttusce al valore del bn corrspondente al centro della nestra l valore ce derva dalla eda de bn copres nella nestra Foralente se è l segnale e valor de pes sulla nestra, w la largezza della nestra, w (w-)/ (w dspar) ltrato w w w w w

2 Alcune consderazon E caro ce quando la nestra s trova agl estre dell ntervallo d caponaento del segnale, la soa s estende al d uor del segnale stesso. Per ovvare a questo nconvenente s possono operare alcune scelte derent ) on calcolare valor de bord. Il segnale n uscta è dento n un nuero d punt -w ) Aggungere degl zer: zero-paddng 3) Pensare l segnale prolungato per perodctà. Coe vedreo quest ulta soluzone perette d estendere l utlzzo della trasorata d Fourer al ltraggo. Esep ltr D / /5 ltrato w w w w w Un altra consderazone va atta nell osservare ce l ltro agsce, n pratca, rbaltato rspetto al punto centrale della nestra natt, se w3,w : w w 3 ( ) ltrato + w 3 Esep ltr D / - Prodotto d convoluzone Date due successon perodce, d perodo, l loro prodotto d convoluzone ndcato con *, è la successone perodca d perodo denta da: g ( * ) Vedao ora le derenze e le analoge con ll ltraggo dento precedenteente ltrato w w e unce derenze sono l estensone della soatora a tutto l ntervallo e lo scabo tra e. Se ora no pensao al ltro, ce era ltato alla nestra d apezza w, coe parte d un vettore perodco d perodo (dove gl eleent ancant sono stat rept con zer) possao estendere la soatora a tutto,-.

3 Se ora dostrao ce l prodotto d convoluzone è coutatvo, abbao nterpretato la orula del prodotto d convoluzone d due successon perodce coe un ltraggo. (ovvero l ltraggo coe l prodotto d convoluzone) Il prodotto d convoluzone è coutatvo coè: * * Dostrazone: Posto - s a: ( ) * + ( ) * el caso precedente s avrebbe -/3, Rportando tal valor n un vettore perodco d lungezza, s a / , -/3. Altre propretà del prodotto d convoluzone ) Se g* allora g è perodca con perodo : g g ± ± ) Propretà coutatva a*bb*a 3) Propretà assocatva a*(b*c)(a*b)*c 4) Propretà dstrbutva a*(b+c)a*b+b*c Teorea d convoluzone Il teorea d convoluzone perette d utlzzare la trasorata d Fourer. Inatt aera: Posto g* vale la seguente relazone tra le DFT GHF Dostrazone: Dalla denzone d DFT: ( ) F H e e e e e G + π π π π π pongo - scabo le soatore Esep ltr D-Fourer Utlzzao la trasorata d Fourer per rpulre un segnale dal ruore. Pensao l ruore coe guassano banco. Vedao nelle dapostve seguent l sgncato d questo aggettvo.

4 Esep ltr D-Fourer Calcolao la trasorata d Fourer del segnale e ne vsualzzao l odulo n scala lneare e logartca Esep ltr D-Fourer Calcolao la trasorata d Fourer del ruore e ne vsualzzao l odulo n scala lneare e logartca Esep ltr D-Fourer Ora vsualzzao l segnale con l ruore e la sua trasorata n odulo (scala logartca) Esep ltr D-Fourer Provao a ltrare l ruore oltplcando la trasorata d Fourer del segnale ruoroso per una nestra. Dove l segnale è pù basso l ruore è predonante

5 . E accao l anttrasorata. Esep ltr D-Fourer Esep ltr D-Fourer non basta restrngao la nestra portando l cuto a 5 PSF del ltro egl esep ora ostrat abbao progettato l ltro analzzando l segnale ruoroso n Fourer. Se s guarda l anttrasorata del ltro s evdenzano le sue caratterstce nello spazo del segnale. Questa unzone è detta ance PSF (Pont Spread Functon) o ernel del ltro. Altr ltr Quello ce abbao appena vsto è detto ltro passa basso deale, con lo stesso crtero s possono denre altr tp d ltr: Passa alto Passa banda Elna banda (elna coponente)

6 Il ltro passa basso deale non è utlzzato n pratca percè la PSF ostra oscllazon ce possono creare arteatt. Provao ad applcare l ltro passa basso deale ad un segnale con dscontnutà. Altr ltr Esstono altr ltr eno rpd : Hang, Hann, Parzen, Butterwort, tutt dsegnat sulla banda. Hang.5 + πω.5 cos Ω per per ω Ω ω > Ω Hann.5 + πω.46 cos Ω per ω Ω per ω > Ω Altr ltr Altr ltr Parzen ω ω Ω Ω ω - Ω 3 per ω Ω / per Ω / < ω Ω per ω > Ω Butterwort ω ω + ω s n

7 Fltr D Al ne d glorare l ntellgbltà d una agne dgtale una tecnca d prara portanza è l ltraggo. Con l quale s possono enatzzare alcune caratterstce o ruoverne altre. Essenzalente l ltraggo è una unzone d ntorno, nel quale l valore ce assue un pxel nell agne d uscta è deternato dall applcazone d un operatore ce agsce su valor de pxels a lu crcostant nell agne d ngresso. Per questo tale operatore vene detto operatore locale. Interpretando l agne coe una atrce, l operatore agsce su una nestra d punt nell ntorno del pxel a cu è applcato. Questa operazone vene rpetuta per tutt pxel esplorando l agne dall alto verso l basso e da snstra verso destra. Fltr D - II Foralente possao denre un ltro generco D coe un operatore ce perette d assocare l valore nuerco d un pxel dell agne ltrata g,n a quell d IxJ pxels (soltaete s prende I e J dspar) n un ntorno del corrspondente pxel nell agne n ngresso,n. g, n ( ( I ) /, n ( J ) /,...,. + ( J ) /, n + ( I ) -I,n-J / ),n I (I-)/ J (J-)/ +I,n+J FITRO (5x5) Fltr lnear a nestra con suo pes è caata nucleo d convoluzone (convoluton ernel) ed la sua ora deterna l tpo d ltraggo sull agne. Descvendo ltr basat sulla convoluzone s usano le seguent convenzon. Dato un ltro,j d denson I x J, consderao l centro della atrce nelle coordnate,j (questo è senz altro vero se I e J sono dspar) coe ostrato n gura: Il ltraggo lneare rporta coe rsultato un valore dato dalla cobnazone lneare de valor de pxel dell ntorno del pxel d ngresso. I pes della cobnazone lneare sono valor assegnat dal ltro ad ogn pxel della nestra. Consderando l operatore applcato con una nestra d denson I J su una agne, l ltraggo avvene trate la unzone: I J /5 g, n Fltr lnear II I j J, j, n j Esepo nestra 5x5, eda oble, ovvero tutt pes sono ugual e sono noralzzat n odo ce la soa sa. I, J, I, J O,,,, J,,,, J,,, O I, J, I, J Σ,n g,n g, n j, j, n j /5

8 Scrvao la orula della convoluzone tenendo sso l centro del ltro coè l punto,, e consderao l pro pxel dell agne ltrata. I J I g,, j, j I J I j J J a orula così scrtta ette n evdenza ce al valore de pxel vcno al bordo nell agne ltrata contrbuscono pxel dell agne d partenza ce sono uor dal dono dell agne stessa. Qund rsultat ce s ottengono dalla scansone della nestra del ltro su pxel d bordo agne, sono aett da un errore, prodotto dal atto ce parte della nestra del ltro non copre pxel dell agne. Esstono var etod per ovvare questo nconvenente. Un etodo consste nell evtare d calcolare quest valor, partendo dal pro pxel ce perette alla nestra d coprre pxel dell agne, cò, tuttava produce un agne n uscta un pò pù pccola d quella orgnale. Fltragg ulteror dnuscono ulterorente la densone... C sono essenzalente due tecnce ce perettono d avere l agne n uscta delle stesse denson d quella n ngresso: -Zero-paddng -Prolungaento perodco el pro caso valor ancant sono sosttut con valor zero (Zero paddng), e cò può produrre errore su pxel d bordo soprattutto se quest non anno valor nuerc vcn allo zero. a regone d bordo aetta da questo errore sarà tanto pù larga quanto pù è grande la nestra del ltro. Questa tecnca è consglata solo nel caso d agn con ondo nero. el secondo caso, valor ancant sono sosttut da quell dell agne stessa per prolungaento perodco. In pratca s pastrella l pano con l agne e quando l ltro passa su bord s consderano pxel dell agne adacente.,n bordo laterale FITRO (5x5) bordo superore Eett d bordo Convoluzone D In copleta analoga con quello atto n una densone s può arontare la convoluzone con ltr lnear attraverso la trasorata d Fourer. S estende l ltro alle stesse denson dell agne e po s scrve l prodotto d convoluzone nel seguente odo: g, n j, j, n dove la soatora s estende a tutta l agne e l ltro è traslato sopra ad essa j Zero paddng Prolungaento perodco

9 Consderazon sulla convoluzone Quando la convoluzone è scrtta nella ora standard per una agne,n d denson x g, n j, j, n vedao ce l nucleo d convoluzone,j è reso speculare rspetto a j per produrre -,-j pra d essere traslato d,n. onostante olt nucle d convoluzone sano setrc e qund,j-,-j, altr non lo sono e qund occorre porre attenzone all pleentazone degl algort. Il costo coputazonale d una convoluzone per un nucleo d denson JxJ e una agne d denson x è O(J ) per pxel, ovvero O( xj ). Se l agne d partenza a valor nter, l rsultato d un ltraggo n generale avrà valor real, qund occorre porre attenzone al tpo delle varabl n goco. j a coplesstà del prodotto d convoluzone s può rdurre nel caso d nucle separabl. Inatt se s può scrvere:, j j allora l prodotto d convoluzone s scrve g, n I r c J r j, n j c j questo sgnca, ce nvece d applcare un ltro b-densonale s applcano due ltr onodensonal, l pro nella drezone e l altro nella drezone j. a coplesstà passa da O(I*J) a O(I+J) per pxel. Per cert ltr è possble trovare una pleentazone ncreentale della convoluzone: entre la nestra d convoluzone s uove sopra l agne la colonna d snstra dell agne da elaborare è spostata uor dalla nestra, entre una nuova colonna entra a destra. Cò perette d scrvere algort con coplesstà per pxel O(costante). Il teorea d convoluzone e le sue applcazon Fltr D n Fourer Ovvaente l teorea d convoluzone vale ance n due denson: Sano e g due agn e l nucleo d convoluzone ovvero la PSF del ltro se g* vale la seguente relazone tra le DFT G,lH,lF,l applcazone d un ltro può essere qund arontata n due od: ) Il ltro è progettato n Fourer, s scrve qund drettaente H, s calcola la DFT dell agne da ltrare, s oltplcano le due trasorate e s calcola l anttrasorata del rsultato. ) Il ltro è scrtto attraverso l suo nucleo d convoluzone, po s calcola H, F e qund s applca l teorea d convoluzone coe nel caso precedente.

10 Fltr per estrazone d contorn: ltro d Sobel Il ltro d Sobel è un ltro separable e lneare ce vene usato per l estrazone de contorn, s esegue una convoluzone con le seguent ascere: X as Y as Operator d rango Gl operator d rango sono operator non lnear. I valor d grgo contenut nella nestra W del ltro sono dappra dspost n ordne crescente secondo l loro valore (rango), e qund soat con coecent a ce ndvduano la unzone del ltro (ved gura). S deve notare ce con tale operazone s perdono norazon d tpo spazale su pxel dell ntorno, pertanto non s deve cononderla con la soa pesata de ltr lnear ce nvece realzza una convoluzone spazale.,n g,n Esep d operator d rango sono gl operator d no e asso e l cosddetto ltro edano. a) Operatore d no: Ogn valore d grgo è sosttuto dal no valore nella nestra dell operatore. Dettagl n e car vengono cancellat, entre le zone pù scure s espandono. I coecent del ltro sono tal ce l unco coecente dverso da zero, e par ad uno è quello relatvo al no. b) Operatore d asso: Ogn valore d grgo, n questo caso, è nvece sosttuto dal asso valore nella nestra dell operatore. e zone pù care s espandono a danno d quelle scure, dettagl n e scur vengono cancellat. I coecent del ltro sono tal ce l unco coecente dverso da zero, e par ad uno è quello relatvo al asso. c) Fltro edano: Ogn valore d grgo è sosttuto dalla edana (non la eda) de valor nella nestra dell operatore. Se la nestra contene I eleent l valore d grgo n uscta sarà quello ce è nore o uguale a (I )/ e aggore o uguale a (I )/. Questo tpo d ltro s utlzza per sopprere un partcolare tpo d ruore, l ruore pulsvo o sale e pepe dove una certa percentuale d pxel è saturata (valore asso) oppure non rsponde (valore no). Tale ltro è olto ecace per toglere eett coe bad pxel o ragg cosc nelle agn astronoce. Un esepo del ltro edano