L energia potenziale gravitazionale

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1 L enegia potenziale gaitazionale L enegia potenziale gaitazionale Una aa che i toa all altezza h dalla upeicie teete poiede un enegia potenziale U gh Queta epeione peò è alida olaente icino alla upeicie teete doe g i può conideae cotante Allontanandoi dalla upeicie, g diinuice con l altezza, pe cui l epeione U gh non è più alida Si può diotae che una aa pota alla ditanza dal cento della ea poiede un enegia potenziale gaitazionale ipetto alla ea data da: Oeazioni A una ditanza olto gande dal cento della ea l enegia potenziale gaitazionale della aa è paticaente nulla (inatti è data da una azione con il denoinatoe olto gande) Se la aa i toa inece inizialente più icina alla ea, il laoo che la oza gaitazionale copie pe potala ulla ea è inoe di quello che copiebbe patendo da una ditanza ininita, peché è inoe lo potaento copiuto dalla aa pe aggiungee la ea Oa, noi appiao che il laoo di una oza coneatia è dato dalla dieenza ta l enegia potenziale nel punto iniziale e quella nel punto inale; quindi pe ogni aloe di U dee eee inoe di zeo, che è l enegia potenziale all ininito Ciò giutiica il egno nella oula dell enegia potenziale N L unità di iua dell enegia potenziale gaitazionale è: [ U ] N J, che è l unità di iua nel SI del laoo e dell enegia Eepio Calcolo dell enegia potenziale di un atellite alla patenza e a una altezza di 380 k dalla upeicie teete Vogliao calcolae l enegia potenziale di un atellite di, alla patenza dalla upeicie teete e quando i toa a una altezza di, k Sciiao i dati aa del atellite, Ditanza dal cento della ea alla patenza: R, k,38 0 Altezza dalla upeicie teete h, k,38 0 R Incognite Enegia potenziale del atellite ulla upeicie teete e alla quota h Analii e oluzione Calcoliao l enegia potenziale del atellite alla patenza: 3 4 N,50 5,98,7,5 J R,38 Deteiniao oa la ditanza dal cento della ea all altezza di, k: ',38 +,38,8 L enegia potenziale del atellite è quindi: 3 4 N,50 5,98 0,7 7,79 J R,8 Oeiao che, ito che alla quota h la ditanza dal cento della ea è addoppiata, l enegia potenziale i è diezzata Il laoo copiuto dalla oza gaitazionale pe potae una aa da un punto a ditanza a un alto punto a ditanza dal cento della ea, è dato da:

2 L U U ; L G G G + G In paticolae e cade al uolo da un altezza h, i ha: R + h ; e R Petanto il laoo copiuto dalla oza gaitazionale è dato da: L G + G R + h R Raccogliao G : R + R + h L G + G R + h R ( R + h) h G Sepliicando e iodinando i attoi: L h ( R + h) R Se l altezza h è olto inoe di R, cioè la aa è icina alla upeicie teete, i ha: G L G h Il teine, coe appiao, è uguale all acceleazione di gaità g R R Otteniao quindi L g h che è pai all enegia potenziale gaitazionale U nel cao di g cotante Enegia potenziale di un itea di copi La oula dell enegia potenziale gaitazionale è alida pe qualunque itea cotituito da due ae puntioi e pote a una ditanza ta di loo: Queta oula calcola l enegia potenziale di ciacuna aa ipetto all alta Un itea oato da te ae puntioi,,, 3, poiede un enegia potenziale totale data dalla oa delle enegie potenziali calcolate pe ogni coppia di ae: G G, doe -, -3 e -3 ono le ditanze ta le ipettie ae Se il itea è oato da più ae, la ua enegia potenziale gaitazionale è data dalla oa delle enegie potenziali gaitazionali calcolate pe ogni coppia di ae Eepio Calcolo dell enegia potenziale di te ae e ae occupano le eguenti poizioni: la aa di 5,0 i toa nel punto di coodinate A( 4,5 ; 0); la aa di 5,0 i toa nel punto di coodinate B(4,5 ; 0) e la aa 3 di 0 i toa nel punto di coodinate C(0; 5,0 ) Vogliao calcolae l enegia potenziale del itea cotituito dalle te ae Sciiao i dati Valoi e poizioni delle te ae: 5,0 pota in A( 4,5 ; 0) 5,0 pota in B(4,5 ; 0) 3 0 pota in C(0; 5,0 ) Incognite Enegia potenziale del itea cotituito dalle te ae Analii e oluzione Calcoliao la ditanza ta le ae e : x x 4,5 - (-4,5 ) 9,0 Calcoliao la ditanza ta la aa e la aa 3 che, pe la ietia delle loo poizioni, è uguale alla ditanza ta la aa e la aa 3 : ( x A ) + ( y ) ( 4,5) + ( 5,0),7 3 3 C Calcoliao l enegia potenziale del itea oato dalle ae e :

3 N 5,0 5,0 U G,7,9 J 9,0 L enegia potenziale del itea delle ae e 3 ale: 3 N 5,0 0 U G,7 J,7 Vita la ietia dei dati, l enegia potenziale del itea delle ae e 3 è uguale a quella delle ae e 3 : U U J L enegia potenziale del itea oato dalle te ae è data dalla oe delle enegie potenziali -0-0 paziali: U + U + U,9 J + (-0 J) + (-0 J) J U tot Enegia eccanica totale Conideiao una aa che i toi a una ceta ditanza dal cento della ea, e che i uoa con elocità ipetto alla ea tea La elocità può eee tangente all obita nel cao in cui la aa uoti intono alla ea, oppue può eee dietta eo il cento del pianeta o in eno oppoto, a econda che la aa tia pecipitando o tia uggendo all attazione teete L enegia eccanica della aa è data dalla oa della ua enegia cinetica E c e dell enegia potenziale U: E Ec + U Cioè: E G Pe il pincipio di coneazione dell enegia eccanica tale pe cui in un itea iolato l enegia totale i conea, i ha: Ec + U cotante, oia G cotante La elocità della aa e la ua ditanza dal cento della ea ono quindi egolate da queto pincipio: e la aa a un ceto oento i pota a una ditanza aggioe dalla ea, la ua enegia potenziale auenta; coneguenteente dee diinuie l enegia cinetica e quindi la elocità, ainché la oa delle due enegie ianga cotante Viceea, e la aa i pota a una ditanza inoe, l enegia potenziale diinuice e auentano l enegia cinetica e la elocità Ciò è quanto uccede ull obita ellittica pecoa dalla ea nel uo oto di ioluzione intono al Sole Quando la ea i toa al peielio, la ua ditanza dal Sole è inia, coe lo è la ua enegia potenziale; di coneguenza iultano aie l enegia cinetica e la elocità All aelio, punto a ditanza aia dal Sole, l enegia potenziale è aia, l enegia cinetica inia e, di coneguenza, è inia la elocità Velocità di uga Deteiniao oa la oula che peette di calcolae il aloe inio della elocità che dee aee una aa pe pote uggie deinitiaente all attazione teete (elocità di uga ) Una aa è deinitiaente uggita all attazione teete a una ditanza olto gande dalla ea, doe la oza di attazione gaitazionale ta la aa e la ea è tacuabile, coe pue l enegia potenziale gaitazionale: U 0 Quindi, a una ditanza olto gande dalla ea l enegia eccanica totale del copo coincide con la ua enegia cinetica Oa, l enegia cinetica non può auee aloi inoi di zeo; petanto, pe il pincipio di coneazione dell enegia eccanica, anche all itante iniziale la oa dell enegia cinetica e dell enegia potenziale della aa ipetto alla ea non può eee negatia: G 0 Queta equazione deinice la elocità di uga: G, da cui G un copo pe allontanai indeinitaente dalla ea, coe la inia elocità che dee aee R

4 Queta oula può eee utilizzata pe calcolae la elocità di uga da qualunque alto pianeta: bata otituie a e a R i aloi della aa e del aggio del pianeta conideato Eepio 3 Calcolo dei aloi della elocità di uga dalla ea e dalla Luna Vogliao calcolae la elocità di uga dalla upeicie teete e quella dalla upeicie della Luna Sciiao i dati aa della ea 5, ; aa della Luna L 7,35 0 Raggio edio della ea R,38 0 aggio edio della Luna R L,74 0 Incognite I aloi della elocità di uga ipettiaente dalla ea e dalla Luna Analii e oluzione La elocità di uga dalla tea è data da: N 4,7 5,98 G, R,38 Calcoliao oa la elocità di uga dalla upeicie della Luna: 3 N,7,74 7,35 G L 3,37 RL Enegia di un atellite in obita cicolae intono alla ea La oula pe calcolae la elocità tangenziale di un atellite in obita cicolae a ditanza dal cento della ea è: G Il aloe di queta elocità è detto pia elocità coica; nel cao di obita baa poiao otituie a il aggio teete ottenendo: N 4,7 5,98 G 3 7,9 R,38 Sotituendo l epeione della pia elocità coica nella oula dell enegia otteniao l enegia totale del atellite in oto cicolae: E G G G G da cui: E G Oeazioni L enegia totale è negatia: ciò è coeente con il atto che il atellite, pe pote etae in obita, dee poedee un enegia totale inoe di quella di uga, che è nulla L enegia cinetica Ec G è uguale all oppoto dell enegia totale L enegia cinetica è anche uguale alla età del aloe aoluto dell enegia potenziale gaitazionale enendo conto del pincipio di coneazione dell enegia poiao capie coe i opea pe potae una naicella paziale da un obita cicolae ad un alta più baa Pe idue il aggio dell obita i azionano pe un ceto tepo i azzi enanti, la elocità diinuice e quindi la naicella i aicina alla ea Duante queto paaggio peò l enegia potenziale gaitazionale

5 diinuice, auenta l enegia cinetica e quindi la elocità Raggiunta l obita più baa, quindi, la naicella non iece a ianei peché ha una elocità aggioe di quella che copete al aggio di quell obita Si deono alloa azionae di nuoo i azzi enanti pe idue la elocità e, di coneguenza, l enegia cinetica e totale della naicella Senza queta econda anoa la naicella eguiebbe un obita ellittica Viceea, pe potae la naicella u un obita più alta, occoe azionae i azzi populoi due olte: la pia olta pe aggiungee l obita più eleata, e la econda olta pe ianei In concluione, pe un copo (atellite) lanciato a una ceta quota dalla upeicie della ea con una elocità iniziale tangenziale 0, i peentano quatto cai: 0 0, il atellite cade in eticale eo il cento della ea k 0 < < 7,9, il atellite cade ulla upeicie teete h k 3 7,9, il atellite pecoe un obita cicolae intono alla ea h k k 4 7,9 < <,, il atellite pecoe un obita ellittica intono alla ea h h k 5,, il atellite ugge all attazione teete; in queto cao iene chiaato onda h paziale L enegia gaitazionale nel quotidiano Peché ulla Luna non c è atoea La elocità di uga dalla Luna è inoe di quella elatia alla ea, pe cui è più acile lanciae un atellite nello pazio dalla Luna che dalla ea La tea baa elocità di uga è anche caua dell aenza di atoea ulla Luna Un eentuale atoea u di ea eebbe peto dipea nello pazio peché le olecole dei ga che copongono l atoea, a caua degli uti ta di loo, aggiungono acilente elocità aggioi di quella di uga Queto atto non accade ulla ea doe la elocità di uga è uicienteente alta da non eee upeata da quella delle olecole dell aia I buchi nei La elocità di uga da un copo di oa eica dipende diettaente dalla adice quadata della aa e ineaente dalla adice quadata del uo aggio Quando una tella collaa (cioè antenendo cotante la aa iduce il popio aggio) la elocità di uga cece indeinitaente ipedendo a qualunque coa, peino alla luce, di uggie alla ua attazione gaitazionale Pe queto otio tali oggetti non poono eee iti diettaente e ono detti buchi nei

6 Veiiche di copenione Coe i calcola l enegia potenziale di una aa pota ad un altezza h dalla upeicie teete, oe g è cotante? Peché la oula U gh non è alida a gandi ditanze dal cento della ea? 3 Coe i calcola l enegia potenziale gaitazionale di una aa a gande ditanza dal cento della ea? 4 Quanto ale l enegia potenziale gaitazionale di una aa ipetto alla ea pota a una ditanza olto gande da ea? 5 Coe i calcola il laoo copiuto dalla oza gaitazionale nello potae una aa da una ditanza dal cento della ea a una ditanza? In quali condizioni è alida l epeione U gh pe l enegia potenziale gaitazionale di una aa e coe i diota? 7 Coe i calcola l enegia potenziale gaitazionale di un itea oato da più copi? 8 Coe i calcola l enegia eccanica totale di una aa che i toa alla ditanza dal cento della ea, e che i uoe con elocità ipetto ad ea? 9 Peché al peielio la elocità della ea nel uo oto di ioluzione intono al Sole è aggioe che all aelio? 0 Coe i pocedee pe deteinae la oula che calcola la elocità di uga da una aa centale? Che co è la pia elocità coica? Coe i calcola l enegia totale eccanica di un atellite in obita cicolae intono alla ea? 3 Peché l enegia totale di un atellite in obita è negatia? 4 Coe iulta il aloe dell enegia cinetica di un atellite in obita ipetto alla ua enegia totale? 5 Coe iulta il aloe dell enegia cinetica di un atellite in obita cicolae ipetto alla ua enegia potenziale gaitazionale? Coe i uoe una aa laciata libea a una ceta altezza dalla upeicie teete con elocità iniziale nulla? 7 Coe i uoe una aa laciata libea a una ceta altezza dalla upeicie teete con elocità iniziale tangenziale non nulla e inoe della pia elocità coica (pe R )? 8 Coe i uoe una aa laciata libea a una ceta altezza dalla upeicie teete con elocità iniziale tangenziale non nulla e aggioe della pia elocità coica (pe R ), a inoe della elocità di uga? 9 Coe i uoe una aa laciata libea a una ceta altezza dalla upeicie teete con elocità iniziale tangenziale aggioe o uguale alla elocità di uga? 0 Quando i oa un buco neo? Peché il buco neo i chiaa in queto odo? Veiiche di conocenza La elocità di uga di un azzo di aa 00 ipetto a quella di un azzo di aa è: a inoe b la tea c aggioe Se un pianeta enie copeo ino a idue a 4 il popio aggio, la ua elocità di uga: a quaduplicheebbe b dieebbe 4 d i iduebbe della età e eteebbe uguale c addoppieebbe 3 Se iene auentata la ditanza ta i centi di due ae, la loo enegia potenziale gaitazionale: a auenta b diinuice c eta cotante 4 L enegia potenziale gaitazionale di un itea di più copi è data: a dalla edia delle enegie potenziali di ogni coppia di ae b dal podotto delle enegie potenziali di ogni coppia di ae c dalla oa delle enegie potenziali di ogni coppia di ae

7 d dall enegia potenziale ta la aa aia e quella inia 5 Quale delle eguenti aeazioni è ea? L'enegia cinetica di un atellite in obita cicolae intono alla ea è uguale: a all enegia eccanica totale del atellite b all oppoto dell enegia potenziale gaitazionale c alla età del aloe aoluto dell enegia potenziale gaitazionale Poblei Calcola la elocità che dee aee un atellite della Luna pe pote obitae a una altezza di 00 k dalla ua upeicie Calcola la elocità di uga da ecuio: R,57 0 ; 3,8 0 3 k 3 Sapendo che la elocità di uga da ate ale 4,98 e che il uo diaeto è,8 0, deteina la aa di ate 4 Un itea è oato dalla aa 0,0 e dalla aa 0,0 i cui centi ditano,5 a) Calcola l enegia potenziale del itea b) Se le due ae engono allontanate ino a tiplicae la loo ditanza, quanto ale la nuoa enegia potenziale del itea? c) Qual è il laoo copiuto dalla oza gaitazionale duante la ae di allontanaento delle due ae? d) Qual è il laoo copiuto dalla oza etena al itea che le ha allontanate? 5 Quatto copi di aa ipettiaente:,0, 5,0, 3,0, 4 5,0, occupano nell odine i etici di un quadato di lato 0,50 Calcola l enegia potenziale del itea cotituito dalle quatto ae Un atellite di aa 50,0 uota intono al pianeta Venee u un obita cicolae ditante 00 k dalla upeicie del pianeta Calcola la elocità del atellite, la ua enegia totale, l enegia cinetica e l enegia potenziale gaitazionale ( V 4, ; R V,3 0 )