Il parametro G che compare nella formula è una costante di proporzionalità che vale

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1 La legge di gaitazione unieale La legge di gaitazione unieale La legge di gaitazione unieale enne foulata nel 78 da Iaac Newton (4-77) Oeando i oti di pianeti e atelliti nel itea olae, Newton aanzò l ipotei ce la foza centipeta ce deteina tali obite ia una foza di attazione ta il Sole e i pianeti, o ta i pianeti e i loo atelliti Egli intuì ce tale foza di attazione non i anifeta olaente ta i copi celeti, a i eecita ta tutti i copi dell unieo e la definì quindi la foza di gaitazione unieale: Due copi qualiai i attaggono con una foza ce a la tea natua del peo e dipende olte ce dalle ae e dei copi dalla loo ditanza elatia econdo la foula: F = G, eendo G una cotante di popozionalità Alcuni coenti ono neceai iguado a queta ipotante legge: e i copi anno foa feica, il paaeto appeenta la ditanza ta i centi dei due copi con la foula ita opa i calcola il odulo della foza; la diezione del ettoe è lungo la etta congiungente i centi dei due copi, ente il eo è tale ce la foza ia epe attattia cabiando il pio con il econdo copo la foula eta aolutaente inaiata; ciò è conitente con il tezo pincipio della dinaica i può diotae ce la foza di attazione ta una fea oogenea e ae puntifoi etene alla fea è pai alla foza ta la aa della fea tutta concentata nel uo cento, e le ae puntifoi etene ad ea Il paaeto G ce copae nella foula è una cotante di popozionalità ce ale N,7 0 ; oeiao ce in coneguenza di queto aloe della cotante G la foza ta due copi di poti alla ditanza di è eteaente baa: olo,7 0 N Queto è il otio pe cui, ebbene la foza di gaità ia peente ta tutti i copi dell Unieo, non iuciao ad oeane gli effetti ta gli oggetti della nota epeienza quotidiana, a olo quando ono in gioco ae eteaente gandi, coe quelle di telle e pianeti Eepio Calcolo della foza di gaitazione unieale ta due ae Vogliao calcolae con quale foza i attiano due autoobili di aa ipettiaente, 0 e,8 0, i cui centi ditano ta loo di,0 Sciiao i dati aa della pia autoobile =, 0 aa della econda autoobile =,8 0 Ditanza ta i centi delle due ae =,0 Incognite Foza F di attazione gaitazionale ta le due autoobili Analii e oluzione Appliciao la foula della legge di gaitazione unieale: N, 0,8 0 F = G =,7 0 = 7, 0 N,0 ( ) L epeienza di Caendi La iuazione della cotante di gaitazione unieale G enne effettuata pe la pia olta nel 799 da Heny Caendi (7-80) Egli, utilizzando una bilancia di toione, (tuento olto enibile in cui il oento della debole foza di attazione ta due coppie di ae,,,,

2 , pote a una ditanza nota, è equilibato dalla toione di un ottile filo) icaò il aloe di G dalla legge di gaitazione unieale L acceleazione di gaità dipende dalla ditanza dal cento della ea Dal econdo pincipio della dinaica appiao ce la foza peo di un copo è legata alla aa dalla elazione: F = g, doe g è il aloe dell acceleazione di gaità D alta pate, pe la legge di gaitazione unieale, ta la aa del copo e la aa della ea i iluppa la foza F = G, doe è la ditanza ta il cento della ea e il cento della aa Queta foza è pai alla foza peo del copo: g = G Seplificando l equazione pe il fattoe, otteniao: g = G L acceleazione di gaità con cui una aa cade eo la ea non è cotante, a è ineaente popozionale al quadato della ditanza dal cento della ea Calcoliao il aloe di g icino alla upeficie teete La ditanza è uguale al aggio della 4 N,98 0 ea, pe cui i a: g =,7 0 = 9,80 (,80 ) Il aloe di g aia con l altitudine Indicata con l altezza dalla upeficie teete e con R il aggio edio della ea, l acceleazione di gaità ale: g = G ( R ) + A liello del ae, doe = 0, l acceleazione di gaità ale 9,8 (queto aloe è leggeente più alto di quello calcolato a caua di effetti oiginati dalla non pefetta feicità e oogeneità della ea, dalla ua otazione, ecc); 4 N,98 0 a 4000 d altezza, g =,7 0 = 9,79, (,80 + 4,000 ) ente ulle alte cie dell Hialaia i a: 4 N,98 0 g =,7 0 = 9,77 (, ,000 ) Sotituendo ai aloi della aa e del aggio della ea quelli di un qualunque pianeta, i può PIANEA calcolae l acceleazione di gaità g peo la upeficie di quel pianeta: g = G ( PIANEA ) Velocità e peiodo di atelliti in obita cicolae Un atellite ce uota intono alla ea con una elocità tangenziale ufficienteente alta, pu enendo continuaente attatto eo il cento di ea, non cade ulla upeficie teete pecé queta non è piatta Calcoliao la elocità ce dee aee un atellite pe pote pecoee un obita cicolae di aggio intono alla ea La foza centipeta ce agice ul atellite è data dalla foza di gaitazione unieale: F centipeta = F gaitazio nale Oia: = G Seplificiao l equazione pe la aa e icaiao la elocità: = G La elocità del atellite non dipende quindi dalla ua aa Calcoliao oa il peiodo di ioluzione del atellite intono alla ea Dalla foula del oto π π cicolae unifoe = icaiao il peiodo: = Sotituendo a l epeione opa

3 deteinata ed eleando al quadato, otteniao la elazione ta il peiodo di ioluzione e il 4 aggio dell obita: = π Oeiao ce il quadato del peiodo dipende dal cubo del G aggio e ce, coe la elocità, ance il peiodo non dipende dalla aa del atellite Otteniao infine: = 4π G La foula può eee genealizzata otituendo a a i coipondenti aloi del aggio dell obita e della aa di qualunque alto itea planetaio Eepio Calcolo della elocità e del peiodo di un atellite ce uota intono alla ea e intono alla Luna k Vogliao calcolae la elocità tangenziale in e il peiodo di un atellite di aa 700, in obita intono alla ea ad un altezza di 00 k, e in obita intono alla Luna alla tea altezza Sciiao i dati aa del atellite = 700 Altezza dell obita dalla upeficie teete = 00 k =,00 0 Altezza dell obita dalla upeficie della Luna = 00 k =,00 0 ea: aa =, ; aggio R =,8 0 Luna: aa L = 7,40 0 ; aggio R L =,7 0 Incognite Velocità tangenziale del atellite e peiodo di ioluzione ipettiaente intono alla ea e intono alla Luna Analii e oluzione Calcoliao la elocità del atellite intono alla ea ediante la foula = G, doe è dato dalla oa del aggio teete e dell altezza : =,7 0 N 4,98 0 = 7, 0,80 +,000 =,70 Oeiao coe il dato della aa è idondante ai fini del calcolo della elocità tangenziale, in quanto queta dipende dal aggio dell obita e non dalla aa del atellite Il peiodo di ioluzione del atellite intono alla ea ale: ( ),8 0 +,000 =,8 0 4π 4π = = G N 4,7 0,98 0 Calcoliao oa la elocità del atellite intono alla Luna aggio della Luna e dell altezza : N 7,400 =,7 0 =,4 0,7 0 +,000 Il peiodo di ioluzione del atellite intono alla Luna ale: ( ),7 0 +,000 = 0, 0 4π 4π = = G L N,7 0 7,400 4 k L = G, doe è dato dalla oa del =, 0 k

4 Veifice di copenione Coe dipende la foza di gaitazione unieale dalle ae dei copi inteagenti? Coe dipende la foza di gaitazione unieale dalla ditanza ta i copi inteagenti? Coa i intende pe ditanza ta i copi inteagenti quando queti anno gandi dienioni a foa feica? 4 Quali ono la diezione e il eo della foza di gaità agente ta due copi? In ce eno la foula pe il calcolo del odulo della foza di gaità ta due copi è conitente con il tezo pincipio della dinaica? A ce coa è equialente la foza di attazione ta una fea oogenea e ae puntifoi etene alla fea? 7 Pe quale otio la foza di gaitazione unieale eba eee peente olo ta copi di gandi dienioni coe telle e pianeti? 8 Quale pocediento biogna eguie pe diotae la foula ce calcola l acceleazione di gaità di una aa pota in poiità della upeficie teete? 9 Pecé un atellite ce uota intono alla ea con una elocità ufficienteente alta, pu eendo attatto eo il cento della ea, non cade ulla ua upeficie? 0 Quale pocediento biogna eguie pe diotae la foula ce calcola la elocità di un atellite in obita cicolae intono alla ea? Quale pocediento biogna eguie pe calcolae il peiodo obitale di un pianeta conocendo la ua aa, quella del Sole e la ditanza ta il pianeta e il Sole? Veifice di conocenza Quanto ale la cotante di gaitazione unieale? N a,7 0 N b,7 0 N c,7 d Non i può die a pioi enza conocee quanto algono le ae ce i attaggono Qual è l odine di gandezza della foza di attazione gaitazionale ta due peone di 8? a decine di N b del N c centeii N d iliadeii di N La foza di gaitazione unieale pooca la caduta con l acceleazione di gaità di un oggetto eo la upeficie teete Pecé non i anifeta ance la caduta della ea ull oggetto? a Pecé la aa della ea è paticaente infinita ipetto a quella dell oggetto, pe cui l acceleazione ce ea ubice è tacuabile ipetto a quella dell oggetto b Pecé la ea è tata pota al cento dell unieo e quindi non può uoei c Il oto è elatio: ipetto alle telle ia la ea ce l oggetto i uoono l uno eo l alto con la tea acceleazione 4 L acceleazione ce agice u un atellite ce uota u un obita cicolae intono alla ea è: a tangente all obita b dietta eo il cento della ea c dietta eo le telle lungo la etta ce congiunge il atellite con il cento della ea d nulla La foza centipeta ce antiene un atellite in obita cicolae intono alla ea è data: a dalla foza di gaitazione unieale ta il atellite e la ea

5 b dai otoi del atellite c dai otoi del azzo ettoe ce a potato il atellite in obita d è nulla dopo ce il atellite è tato poto ull obita Qual è la foa del gafico ce appeenta l andaento dell acceleazione di gaità ipetto alla ditanza dal cento della ea pe aloi di aggioi del aggio teete Rt? 7 Se la elocità della Luna addoppiae, quante olte dieebbe il aggio dell obita ipetto a quello attuale? a il doppio b il quaduplo c la età d un quato 8 Se la aa della ea foe doppia di quella attuale, pe etae ulla tea obita di ioluzione intono al Sole, il peiodo, ipetto a quello attuale, aebbe: e doppio f la età g uguale non i può calcolae 9 La elazione ta le elocità e i ipettii aggi delle obite di due atelliti della ea è data da: a = b = c d = = Poblei Utilizzando la tabella dei dati atonoici calcola e odina in eno cecente l acceleazione di gaità dei eguenti pianeti: Venee, ate, Gioe Satuno Calcola la foza peo cui è oggetto un copo di aa 8,0 u Venee, ate, Gioe e Satuno Ganiede è un atellite di gioe Il uo peiodo di ioluzione è di 7 gioni oe e 4 inuti, il aggio della ua obita ale,07 0 k Calcola la aa di Gioe 4 Calcola il peiodo obitale di un atellite atificiale ce pecoe un obita cicolae pota a 400 k di altezza ulla upeficie di ate Un atellite atificiale i uoe u un obita cicolae intono alla ea con una elocità di 7, 0 Calcola la ditanza dell obita dalla upeficie teete e il peiodo di ioluzione del atellite intono alla ea Una naicella paziale di aa 00 uota u un obita cicolae intono alla Luna con un enegia cinetica di, 0 8 J Calcola l altezza dell obita dalla upeficie lunae e il peiodo di ioluzione della naicella intono alla Luna 7 Calcola a quale ditanza dalla ea i annulla la foza iultante u una aa di, douta all attazione gaitazionale ipettiaente della ea e della Luna ulla tea aa