1 a Esercitazione: soluzioni

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1 1 a Esercitazione: soluzioni A cura di Monica Bonacina Corso di Microeconomia A-K, a.a La maggior parte dei quesiti riportati di seguito è tratta da temi d esame. 1 De nizioni. Si de niscano sinteticamente i termini anche con l ausilio, qualora necessario, di formule e gra ci. Def. 1. Costo opportunità di un bene. Soluzioni. Il costo opportunità di un bene, ad esempio del bene X, è il valore del più prezioso tra tutti i beni alternativi ad X ai quali si rinuncia per avere il bene X. As esempio se il costo opportunità di X in termioni di bene Y fosse pari a 2 vorrebbe dir che il consumatore sarebbe disposto a cedere due unità di bene Y pur di consumare un unità aggiuntiva di bene X. Def. 2. Curva di indi erenza. Soluzioni. La curva di indi erenza è l insieme di tutti i panieri tra i quali il consumatore è indi erente (ovvero che lo lasciano ugualmente soddisfatto). Def. 3. Saggio marginale di sostituzione. Soluzioni. In qualunque punto di una curva di indi erenza il saggio marginale di sostituzione è de nito come il valore assoluto della pendenza della curva in quel punto ed indica la quantità aggiuntiva del bene misurato in ordinata (bene Y) necessaria a compensare il consumatore della rinuncia ad una unità del bene in ascissa (bene X). Def. 4. Beni perfetti sostituti. Soluzioni. Due beni sono perfetti sostituti se il consumatore è disposto a scambiare l uno per l altro in un rapporto sso. 2 Vero/Falso. Si stabilisca se gli enunciati sono veri, falsi, o incerti. Si fornisca una spiegazione (anche gra ca se opportuno) e si argomenti compiutamente la risposta. Ragazzi, se avete bisogno di contattarmi, la mia mail è monica.bonacina@unibocconi.it! 1

2 Vero/Falso 5. Per Bruno i beni X e Y sono perfetti sostituti. In corrispondenza degli attuali prezzi dei due beni il consumatore decide di acquistare solo bene Y. Una riduzione del prezzo del bene Y indurrà Bruno a destinare parte del suo reddito nell acquisto di bene X. Soluzioni. FALSO. Dal momento che i beni sono perfetti sostituti e che già in corrispondenza dei prezzi iniziali il consumatore preferiva destinare tutto il proprio reddito all acquisto di bene Y, se Y diventa meno caro il consumatore (divenuto ora relativamente più ricco) deciderà semplicemente di acquistarne di più. Vero/Falso 6. Dati due beni X (in ascissa) e Y (in ordinata), se le curve di indi erenza del consumatore tipo sono orizzontali, allora è possibile aumentare la sua soddisfazione aumentando il consumo di bene X. Soluzioni. FALSO. Una curva di indi erenza è orizzontale (ossia parallela all asse delle ascisse) indica che il consumatore è sazio di bene X e che solo un aumento nel consumo di bene Y può portarlo a livelli di soddisfazione più elevati. Vero/Falso 7. Per Gilda i beni X e Y sono perfetti complementi. Dato che Gilda consuma sempre X e Y in un rapporto sso, possiamo dire che lungo le curve di indi erenza il saggio marginale di sostituzione è costante. Soluzioni. FALSO. Dato che la pendenza della curva di indi erenza con beni perfetti complementi non è costante e visto che il saggio marginale di sostituzione è pari al valore assoluto della pendenza della curva di indi erenza in ogni punto, esso non può essere costante. In particolare si avrà 8 MRS = Y < 1 lungo il tratto verticale X = non de nito nel punto angolso : 0 lungo il tratto orizzontale Vero/Falso 8. Un consumatore ha la seguente funzione di utilità per Mozzarelle (M) e Pomodori (P), i cui prezzi sono entrambi positivi: U(M; P ) = min(m; P ). Le dotazioni iniziali del consumatore sono la combinazione (M = 10; P = 20). Allora gli conviene cedere un po di Mozzarelle e acquistare un po di Pomodori. Soluzioni. FALSO. Dato che M e P sono perfetti complementi ed il consumatore desidera consumare 1 bene M con 1 bene P, gli converrà cedere un po di bene P in cambio di un maggior quantitativo di bene M, infatti così facendo potrà aumentare la sua utilità. Vero/Falso 9. Una consumatrice ha una funzione di utilità di tipo Cobb-Douglas relativamente a pere (in ascissa) e mele (in ordinata), i cui prezzi sono, rispettivamente, 3 e 2. In corrispondenza delle sue dotazioni iniziali di pere e mele l utilità marginale delle pere è 6 e quella delle mele è 3. Allora le conviene cedere un po di mele ed acquistare un po di pere. Soluzioni. Vero. Dal momento che il saggio marginale di sostituzione in corrispondenza delle dotazioni iniziali ( MRS = MU p =MU m = 6=3 = 2) è superiore al rapporto tra i prezzi ( p p =p m = 3=2), la consumatrice può aumentare la propria utilità cedendo un po di mele i cambio di un po di pere. Vero/Falso 10. Le preferenze di Carlo sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità U(X; Y ) = XY. Allora il suo paniere di consumo ottimo conterrà un ugual quantitativo di ambedue i beni (ad esempio 5 unità di bene X e 5 unità di bene Y). Soluzioni. FALSO/Incerto. Dipende dai prezzi di mercato. Solo se il prezzo dei due beni è lo stesso, allora il paniere di consumo ottimo conterrà un ugual quantitativo dei due beni. 2

3 Vero/Falso 11. Katia consuma solo due beni, X ed Y, ed è indi erente tra i panieri A, B e C le cui dotazioni sono rappresentate nel gra co sottostante. Ne consegue che X e Y sono per la consumatrice perfetti sostituti. Soluzioni. FALSO. Se i due beni fossero perfetti sostituti per la consumatrice il saggio marginale di sostituzione (pendenza della curva di indi erenza in valore assoluto) sarebbe costante. Nel nostro caso spostandoci dal paniere A al paniere B abbiamo che l MRS=j(10-20)/(8-4)j=10/4=5/2. Spostandoci dal paniere B al paniere C, l MRS=j(8-10)/(10-8)j=2 6= 5=2. Dal momento che l MRS non è costante ma decresce spostandomi dall alto verso il basso lungo la curva di indi erenza, i beni non sono perfetti sostituti. Vero/Falso 12. Un consumatore ha la seguente funzione di utilità per ca è (C) e biscotti (B), i cui prezzi sono entrambi positivi: U(C; B) = min(c; 2B). Le dotazioni iniziali del consumatore sono la combinazione (C = 20; B = 10). Allora gli conviene cedere un po di biscotti e acquistare un po di ca è. Soluzioni. FALSO. Il paniere delle dotazioni si trova nel vertice di una curva di indi erenza, infatti sostituendo abbiamo U(20,10)=min(20;2 10)=min(20;20)=20; dunque il conumatore si trova già in corrispondenza di un allocazione ottima delle risorse. Vero/Falso 13. Le preferenze di Anita sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità U(X; Y ) = 2X + Y. Se p x > p y il paniere ottimo di Anita conterrà solo bene Y in quanto meno caro del bene X. Soluzioni. FALSO/Incerto. Stante la forma della funzione di utilità della consumatrice, possiamo dedurre che X e Y siano per lei beni perfetti sostituti con MRS=MU x /MU y =2/1=2. Se l MRS è minore del rapporto prezzi (MRS<p x =p y e quindi se 2<p x =p y ossia 2 p y <p x ) allora l a ermazione vera in quanto il paniere ottimo del consumatore conterrà solo bene Y. Ma se l MRS è maggiore del rapporto prezzi (MRS>p x =p y e quindi se 2>p x =p y ossia 2 p y <p x ) allora l a ermazione risulterà falsa in quanto il paniere ottimo del consumatore conterrà solo bene X. Ricordate poi che se l MRS fosse esattamente pari al rapporto tra i prezzi tutti i panieri lungo il vincolo di bilancio sarebbero possibili panieri ottimi per il consumatore (e anche in questo caso l a ermazione sarebbe falsa). Vero/Falso 14. Per Giada i beni X e Y sono perfetti sostituti; quindi il tasso a cui la consumatrice è disposta a scambiare un bene con l altro sarà costante. Soluzioni. VERO. Il tasso a cui un consumatore è disposto a cedere un bene per l altro è pari al saggio marginale di sostituzione. Dato che in caso di beni perfetti 3

4 sostituti il saggio marginale di sostituzione è costante, l a ermazione è vera. 3 Esercizi. Si risolvano i seguenti esercizi. Esercizio 1. Maya ha a disposizione un certo reddito monetario, che indichiamo con M, da destinare all acquisto dei due soli beni presenti all interno dell economia: ananas (A, in ascissa) e cavoli (C, in ordinata). Indicate con p A e p C il prezzo (e/kg) di ananas e cavoli, rispettivamente. (1) Fornite de nizione, espressione analitica e rappresentazione gra ca (con i dati a disposizione) del vincolo di bilancio di Maya. Supponendo che le preferenze della consumatrice per ananas e cavoli siano regolari (ovvero che rispettino le proprietà di non sazietà, completezza, transitività e convessità), fornite una rappresentazione gra ca del paniere ottimo della consumatrice. (2) Supponete che a causa dell in azione il prezzo dei beni di consumo aumenti del 10%. Discutete, attraverso un opportuno gra co, le conseguenze di tale aumento sui panieri accessibili a Maya. (3) Ritenete che l e etto dell in azione sulle possibilità di spesa di Maya sarebbe stato diverso se il reddito monetario della consumatrice fosse stato indicizzato all in azione? Argomentate. Soluzione. (1) Il vincolo di bilancio è l insieme di tutti i panieri per acquistare i quali il consumatore, nel nostro caso Maya, spende il suo intero reddito. Formalmente M = p A A + p C C da cui C = p A pc A + M p C C Vincolo di bilancio C Rappresentazione della scelta ottima di Maya M/p C M/p C C* Paniere ottimo p A /p C p A /p C M/p A A A* M/p A A (2) Se p A e p C erano i prezzi iniziali dei due beni, i nuovi prezzi (post-in azione) saranno Il nuovo vincolo di bilancio è p 0 A = p A + 10%p A = (1 + 10%)p A = 1; 1p A (1) p 0 C = p C + 10%p C = (1 + 10%)p C = 1; 1p C (2) M = p 0 AA + p 0 CC da cui, sostituendo i valori nella (1) e nella (2), si ottiene M = 1; 1p A A + 1; 1p C C 4

5 e quindi C = p A pc A + M 1;1p C Il nuovo vincolo di bilancio si caratterizza per la medesima pendenza di quello vecchio ma ha intercette (verticale ed orizzontale) più vicine all origine. Essendo aumentato il prezzo dei beni i panieri accessibili a Maya si riducono C Vecchio (tratteggiato) e nuovo vincolo di bilancio M/p C M/(1,1p C ) p A /p C M/(1,1p A ) M/p A A (3) Se il reddito della consumatrice fosse stato indicizzato all in azione, sarebbe cresciuto seguendo la dinamica dei prezzi; dunque Maya avrebbe avuto a disposizione un reddito M 0 = M + 10%M = (1 + 10%)M = 1; 1M (3) Il vincolo di bilancio post-in azione sarebbe quindi stato pari a M 0 = p 0 AA + p 0 CC da cui, sostituendo i valori di M, p A e p C che abbiamo calcolato, rispettivamente nella (1), nella (2) e nella (3), 1; 1M = 1; 1p A A + 1; 1p C C! M = p A A + p C C Non ci sarebbero quindi state contrazioni nei panieri accessibili alla consumatrice che quindi avrebbe continuato a consumare il paniere A*, C* individuato al punto (1). Esercizio 2. A Fruitvillage vengono vendute esclusivamente pere (P, in ascissa) e mele (M, in ordinata). Eva adora le mele ma è del tutto indi erente rispetto al consumo di pere. (1) Fornite una rappresentazione gra ca delle curve di indi erenza della consumatrice. (2) Eva dispone di 100e. Il prezzo di un chilo di mele è p M = 10e/kg e quello di un chilo di pere è p P = 10e/kg. Fornite una rappresentazione gra ca ed analitica del paniere ottimo della consumatrice. (3) Un raccolto particolarmente abbondante di pere fa dimezzare il loro prezzo al chilo. Discutete le conseguenze di tale cambiamento sul vincolo di bilancio e sul paniere ottimo scelto dalla cnsumatrice. Soluzione. (1) La funzione di utilità di Eva è del tipo U(P,Y)=bY (con b parametro positivo) in quanto la sua soddisfazione dipende solo ed esclusivamente dal 5

6 quantitativo di mele che può consumare. Gra camente Y U 3 U 2 Curve di indifferenza U 1 P (2) Il vincolo di bilancio di Eva è M = p p P + p y Y da cui Y = pp p y P + M p y! Y = P ! Y = P + 10 Dato che il consumo di pere non aumenta la soddisfazione della consumatrice, Eva destinerà tutto il suo reddito all acquisto di bene Y (gra co sottostante). Il paniere ottimo è P = 0 Y = M p y = 10; Y 10 Paniere ottimo Curva di indifferenza in corrispondenza dell ottimo Vincolo di bilancio 10 P (3) La contrazione nel prezzo delle pere comporta una rotazione verso l esterno del vincolo di bilancio (con perno in corrispondenza dell intercetta verticale). Aumentano i panieri accessibili, a parità di reddito destinato all acquisto di mele, la consumatrice può permettersi ora l acquisto di un maggior quantitativo di pere. Y 10 Vecchio (tratteggiato) e nuovo vincolo di bilancio P 6

7 Ma il paniere ottimo scelto da Eva non cambia in quanto a sua utilità dipende esclusivamente dal consumo di bene Y. Y 10 Paniere ottimo P Esercizio 3. Nota: il seguente esercizio va svolto solo in termini gra ci. Un individuo dispone di un reddito M da destinare all acquisto degli unici due beni disponibili nell economia considerata: X 1 (in ascissa) ed X 2 (in ordinata). I prezzi dei due beni sono rispettivamente p 1 e p 2 con p 1 > p 2. Il nostro individuo è sempre disposto a scambiare un unità di bene X 1 con un unità di bene X 2. (1) Fornite una rappresentazione gra ca delle curve di indi erenza dell individuo (3 curve) e discutete della relazione che sussiste tra i beni considerati. (2) Rappresentate il vincolo di bilancio dell individuo (esplicitandone inclinazione ed intercette) ed individuate la sua scelta ottima. (3) Supponete che il prezzo del bene X 1 si riduca passando da p 1 a p 0 1 < p 2. Discutete le conseguenze di tale riduzione sulla scelta ottima dell individuo. Soluzione. (1) Dato che il consumatore è sempre disposto a scambiare un bene per l altro, X 1 ed X 2 sono per lui perfetti sostituti. Il rapporto di sostituzione (1 a 1) ci dice che MRS=1/1=1; quindi le curve di indi erenza sono rette (beni perfetti sostituti) con pendenza -1 X 2 Mappa di curve indifferenza U 3 U 1 U 2 X 1 da cui (2) Il vincolo di bilancio del nostro consumatore è M = p 1 X 1 + p 2 X 2 X 2 = p1 p 2 X 1 + M p 2 Nota bene!!dato che il testo ci dice che p 1 > p 2 sappiamo che p 1 =p 2 > 1 ovvero la pendenza del vincolo di bilancio è maggiore della pendenza della curva di indi erenza. Questo implica che il tasso al quale il mercato è disposto a cedere una unità di bene 7

8 X 1 per una maggior quantità di bene X 2 è superiore del tasso al quale il nostro consumatore è disposto a cedere una unità di bene X 1 per una maggior quantità di X 2. Dato che il bene X 1 è per il mercato più prezioso di quanto non lo sia per il consumatore, il consumatore "ci guadagna" se rinuncia a consumare X 1 e spende tutto il suo reddito nell acquisto di bene X 2. X 2 Vincolo di bilancio M/p 2 p 1 /p 2 M/p 1 X 1 La scelta ottima è quindi X 1 = 0; X 2 = M=p 2 X 2 Paniere ottimo M/p 2 p 1 /p 2 M/p 1 X 1 (3) La contrazione nel prezzo del bene X 1 si traduce in una rotazione verso l esterno del vincolo di bilancio (con perno in corrispondenza dell intercetta verticale). Il nuovo vincolo è M = p 0 1X 1 + p 2 X 2 da cui X 2 = p0 1 p 2 X 1 + M p 2 I panieri accessibili al nostro consumatore aumentano. Si noti che la nuova pendenza del vincolo di bilancio, p 0 1=p 2 è minore dell MRS (dato che p 0 1 < p 2 ); ne consegue che il consumatore in corrispondenza del nuovo prezzo per il bene X 1 modi cherà la sua scelta ottima e deciderà di acquistare solo bene X 1. Il nuovo paniere ottimo è 8

9 X 1 = M=p 0 1; X 2 = 0. X 2 M/p 2 Vecchio (tratteggiato) e nuovo vincolo di bilancio X 2 M/p 2 Nuovo paniere ottimo p 1 /p 2 p 1 /p 2 p 1 /p 2 p 1 /p 2 M/p 1 M/p 1 X 1 M/p 1 M/p 1 X 1 Esercizio 4. Kristian ha a disposizione un reddito, M = 10e, da destinare all acquisto di attrezzature sportive: palloni da rugby (R, in ascissa) e biciclette (B, in ordinata). Siano p R e p B il prezzo dei palloni da calcio e delle biciclette, rispettivamente. Le preferenze del consumatore possono essere sintetizzate dalla funzione di utilità minfar; bbg dove a e b sono parametri positivi (a > 0 e b > 0). (1) Fornite l espressione analitica e la rappresentazione gra ca (con i dati a disposizione) del paniere ottimo di Kristian. (2) Per incentivare l interesse dei giovani nel gioco del Rugby, il Governo di Dynamic decide di introdurre un sussidio di ammontare s = 1e su ogni pallone acquistato. Mostrate attraverso un opportuno gra co l e etto di tale politica sulla scelta ottima di Kristian. (3) I partiti all opposizione suggeriscono, in alternativa all introduzione del sussidio su ogni pallone acquistato, una sovvenzione di 10e indipendente dalle scelte di consumo. Discutete attraverso un opportuno gra co l e etto di questa seconda politica sul vincolo di bilancio di Kristian. Soluzione. (1) Il vincolo di bilancio di Kristian è M = p R R + p B B da cui B = p R pb R + M p B Stante la forma della funzione di utilità possiamo dire che i palloni da rugby e le biciclette sono per Kristian dei beni complementari (li vuole consumare sempre congiuntamente). Le curve di indi erenza hanno la tipica forma a "L" ed i vertici della L si trovano lungo la retta ar = bb! B = a b R Il paniere ottimo si trova all intersezione tra retta dei vertici e curva di indi erenza RB Retta dei vertici R* B* Paniere ottimo Vincolo di bilancio a/b B* R* BR 9

10 Analiticamente condizione di appartenenza alla retta dei vertici condiz. di appartenenza al vincolo di bilancio! R = B = a b R p B pr B + M p R da cui ( B = am R = bp R bm +ap B bp R +ap B (2) Dato che i consumatori ricevono un euro di rimborso per ogni pallone da rugby che acquistano, il sussidio riduce il prezzo al consumo dei palloni da rugby ( p R #) p 0 R = p R s = p R 1 < p R Il vincolo di bilancio quindi ruota verso l esterno facendo perno in corrispondenza dell intercetta verticale. Il vincolo post-sussidio è da cui B = M = p 0 RR + p B B p0 R pb R + M p B! B = p R 1 p B R + M p B Aumentano i panieri accessibili a Kristian. Data la forma delle preferenze, il consumatore deciderà di destinare parte del maggior reddito reale all acquisto di ulteriori palloni da rugby e parte all acquisto di ulteriori di biciclette. RB B** R* B* Retta dei vertici Nuovo Paniere paniere ottimo ottimo Nuovo Vincolo di bilancio a/b R* B* R** RB (3) La sovvenzione non modi ca i prezzi relativi dei due beni ma fornisce un extra-reddito che il consumatore può destinare all acquisto di beni. La sovvenzione sposta il vincolo di bilancio verso l esterno parallamente al vincolo di bilancio iniziale. Il vincolo di bilancio in presenza della sovvenzione è M + S = p R R + p B B da cui B = p R pb R + S+M p B! B = p R pb R + 10+M p B 10

11 RB B*** R* B* Retta dei vertici Nuovo (con S) paniere Paniere ottimo ottimo Nuovo (con S) Vincolo di bilancio a/b R* B* R*** RB N.B. Volendo potevate anche sostituire M=10 euro nel calcolo dei risultati. Esercizio 5. Gli abitanti di Golosandia spendono tutto il loro reddito nell acquisto di meringhe (M, misurate in ordinata) e di caramelle alla frutta (C, misurate in ascissa). La funzione di utilità del consumatore tipo a Golosandia è U(C; M) = C + M. (1) Supponendo che il reddito del consumatore tipo sia di 12e, che il prezzo delle meringhe sia p M = 0.4e ed il prezzo delle caramelle sia p C = 0.1e, calcolate e fornite una rappresentazione gra ca della sua scelta ottima. Discutete il risultato ottenuto speci cando il tipo di relazione che sussiste tra i due beni considerati. (2) Un incidente negli stabilimenti aumenta il prezzo delle meringhe del 25%. Analizzate attraverso un opportuno gra co le conseguenze di tale aumento sulla scelta ottima del consumatore tipo. (3) Insoddisfatti del livello delle vendite i produttori di meringhe decidono di promuovere il loro prodotto introducendo uno sconto su ciascuna unità venduta. Il prezzo di riferimento per le meringhe è quello individuato al punto 2. Calcolate lo sconto minimo necessario per indurre il consumatore tipo ad acquistare meringhe. Soluzione. (1) Il vincolo di bilancio del consumatore tipo è da cui si ottiene Y = M = p y Y + p c C pc p y C + M p y! Y = 1 4 C + 30 Le preferenze del consumatore tipo sono additive, cioè i due beni sono perfetti sostituti. Il saggio marginale di sostituzione è costante ed è pari a MRS = MUc MU y = 1 1 Dal momento che MRS = 1 > p C =p y = 1=4, il consumatore deciderà di destinare integralmente il suo reddito all acquisto di bene C ed il suo paniere ottimo coinciderà dunque con l intercetta orizzontale del vincolo di bilancio: Y =0; C =120. Gra ca- 11

12 mente Y Vincolo di bilancio Curva di indifferenza Scelta ottima 30 1/ C (2) L aumento del prezzo delle meringhe incide sul vincolo di bilancio. Non si modi ca l intercetta orizzontale ma cambiano pendenza ed intercetta verticale. Il vincolo di bilancio ruota vers l interno facendo perno in corrispondenza dell intercetta orizzontale. La zona dei panieri ammissibili si contrae. Il nuovo vincolo di bilancio del consumatore tipo è M = p 0 yy + p c C da cui si ottiene Y = pc p C + M 0 y p! Y = 1 0 y 5 C + 24 con pendenza è -1/5 cioè il vincolo di bilancio diventa più piatto. Dal momento che meringhe e caramelle alla frutta sono perfetti sostituti, che l aumento non altera l intercetta orizzontale (il paniere ottimo individuato al punto 1 resta comunque ammissibile) e che già in corrispondenza del vecchio prezzo delle meringhe il consumatore tipo preferiva acquistare solo bene C, l aumento non modi cherà la sua scelta ottima: Y =0, C =120. (3) Per convincere i consumatori ad acquistare meringhe, è necessario che la pendenza del vincolo di bilancio (in valore assoluto) sia pari o inferiore della pendenza (in valore assoluto) delle curve di indi erenza ovvero è necessario che MRS pc p 00 y (4) dove p 00 y indica il prezzo scontato delle meringhe ed è pari a p 00 y = p 0 y sconto sostituendo nella (4) otteniamo MRS p c p 0 y sconto! 1 0;1 0;4(1+25%) sconto! 0; 5 sconto 0; 1! sconto 0; 4e Il minimo sconto su ogni meringa acquistata dev esser pari a 0,4e. Esercizio 6. Daniela consuma libri (X) e schede telefoniche (Y). Il prezzo unitario dei libri è pari a 4 euro (p x = 4), mentre quello delle schede telefoniche è pari a 2 euro (p y = 2). Le preferenze di Daniela per questi due beni possono essere rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U(X; Y ) = XY 2. (1) Discutete brevemente il problema di scelta ottima di Daniela. (2) Fornite l espressione analitica e la rappresentazione gra ca del vincolo di bilancio di Daniela, sapendo che il reddito di cui dispone è di 400 euro mensili (M = 400). (3) Stanti le preferenze ed il vincolo 12

13 di bilancio di cui sopra, calcolate il paniere ottimo scelto da Daniela e rappresentatelo nel gra co al punto 2. (4) Supponete che dopo un anno l in azione porti il prezzo unitario dei libri da 4 a 6 (p 0 x = 6) ed il prezzo delle schede telefoniche da 2 a 3 (p 0 y = 3). Di quanto deve aumentare il reddito mensile di Daniela perché la consumatrice si possa permettere lo stesso paniere di consumo trovato al punto 3? Non sono necessari calcoli. Soluzione. (1) Secondo la teoria della scelta razionale (che è alla base di tutte le decisioni individuali d acquisto), un consumatore razionale sceglie tra tutti i panieri a lui accessibili, quello caratterizzato dalla combinazione di beni di consumo che rende massima la sua soddisfazione. Per individuare il paniere ottimo è quindi necessario (1) identi care i panieri accessibili, e (2) ordinare tali panieri in base al grado di soddisfazione dato al consumatore. Sono accessibili tutti i panieri la cui spesa non eccede il reddito a disposizione del consumatore: p x X + p y Y {z } {z} M spesa in beni di consumo reddito dove p x e p y indicano i prezzi di mercato dei due beni ed M il reddito del consumatore. Sono preferiti (in quanto garantiscono livelli di soddisfazione più elevati) i panieri che giacciono sulle curve di indi erenza più lontane dall origine degli assi cartesiani. Dal momento che il grado di soddisfazione è crescente nei livelli di consumo (principio della non sazietà), il paniere ottimo apparterrà al vincolo di bilancio del consumatore ovvero esaurirà integralmente il reddito dello stesso. Gra camente il paniere ottimo di un generico consumatore razionale sarà: Y Paniere ottimo Y* Curva di indifferenza X* X Vincolo di bilancio (2) Il vincolo di bilancio di Daniela è p x X + p y Y = M ) Y = M p y p x p y X ) Y = 200 2X p e si caratterizza per una pendenza pari a x p y = 2, intercetta verticale X = 0; Y = 200 ed intercetta orizzontale X = 100; Y = 0. Gra camente 13

14 Y 200 Vincolo di bilancio 100 X (3) Dal momento che Daniela si caratterizza per preferenze di tipo Cobb-Douglas, il suo paniere ottimo si trova lungo il vincolo di bilancio (VdB) ed appartiene alla curva di indi erenza (CdI) "più alta" accessibile a Daniela. Formalmente vincolo di bilancio condizione di tangenza tra CdI e VdB E quindi necessario il calcolo del saggio marginale di sostituzione di Daniela. Ricordando che MRS = MUx MU y e che otteniamo MU x = Y e MU y = X MRS = MUx MU y = Y X Quindi sostituendo nel sistema vincolo di bilancio Y = 200 2X condizione di tangenza ) MRS = px p y ) Y = 200 2X Y X = 2 2X = 200 2X ) Y = 2X ) X = 50 Y = 100 Y 200 Paniere ottimo X (4) Dal momento che entrambi i prezzi sono aumentati del 50%, a nchè Daniela possa continuare a consumare il paniere X = 50; Y = 100, il suo reddito dovrà aumentare del 50%. 14

15 Esercizio 7. Squirrel ha ricevuto in eredità un cesto contenente 10 Kg di nocciole (bene X) e 20 Kg di ghiande (bene Y). Attualmente entrambi i beni vengono venduti a 4e/Kg (p x =p y =4). Le preferenze di Squirrel per i due beni sono rappresentate dalle funzione di utilità U(X,Y)=X 5 Y. (1) Rappresentate il vincolo di bilancio di Squirrel, indicando la sua inclinazione, le sue intercette, ed il paniere delle dotazioni iniziali. (2) Calcolate, e rappresentate gra camente, la scelta ottima di Squirrel. (3) Un incendio nei magazzini di nocciole riduce l o erta aggregata di nocciole facendone quadruplicare il prezzo (p x =16e/Kg). Il prezzo delle ghiande resta pari a 4e/Kg. Si discuta delle conseguenze di tale aumento sul vincolo di bilancio e sulla scelta ottima di Squirrel. Si fornisca una rappresentazione gra ca del nuovo paniere ottimo. [non è necessario calcolare il nuovo paniere ottimo] Soluzione. (1) A di erenza degli altri esercizi presi in considerazione, in questo caso il consuatore non dispone di un reddito montario ma intermini di beni (è dotato di 10 nocciole e 20 ghiande) ed il valore di queste dotazioni è pari a quanto il consumatore ricaverebbe se decidesse di venderle. Siano X e Y le dotazioni iniziali del consumatore, l equivalente monetario di tali dotazioni iniziali è M=X p x + Y p y = = 120. Dunque il vincolo di bilancio del consumatore è: Y = M p y p x p y X! Y = 30 X (2) Stanti le preferenze dl consumatore abbiamo che MRS=MU x /MU y =5X 4 Y/X 5 = 5Y =X. Il paniere ottimo si ottiene risolvendo il seguente sistema vincolo di bilancio Y = 30 X Y = 30 X condizione di tangenza ) MRS = ) px 5Y p y X = 1 da cui X*=25 e Y*=5. (3) L aumento nel prezzo delle nocciole ha due e etti in questo caso. Da un lato le nocciole diventano relativamente più care; dall altro visto che il consumatore non dispone di un reddito monetario ma in termini di beni, l aumento nel prezzo delle nocciole modi ca anche il potere d acquisto del consumatore. Il nuovo valore monetario delle dotazioni iniziali di Squirrel è M =X p 0 x + Y p y = =

16 Qualora foste interessati al calcolo del nuovo paniere ottimo, tale paniere ottimo potrebbe essere calcolato risolvendo il seguente sistema ( vincolo di bilancio Y = 60 16X Y = 60 16X condizione di tangenza ) MRS = p0 x p y ) 5Y X = 16 da cui si ottiene X**=25/2 e Y**=10. NB. Ricordatevi che il vincolo di bilancio non è più quello trovato al punto 1 in quanto sia il reddito che il prezzo del bene X è cambiato! Esercizio 8. Nota: il seguente esercizio va svolto solo in termini gra ci. Un individuo dispone di un reddito M da destinare all acquisto degli unici due beni disponibili nell economia considerata: X 1 (in ascissa) ed X 2 (in ordinata). I prezzi dei due beni sono rispettivamente p 1 e p 2 con p 1 = p 2. Il nostro individuo consuma sempre i due beni congiuntamente; in particolare desidera sempre consumare un unità di bene X 1 con un unità di bene X 2. (1) Fornite una rappresentazione gra ca delle curve di indi erenza dell individuo (3 curve) e discutete della relazione che sussiste tra i beni considerati. (2) Rappresentate il vincolo di bilancio dell individuo (esplicitandone inclinazione ed intercette) ed individuate la sua scelta ottima. (3) Supponete che il prezzo del bene X 1 si riduca passando da p 1 a p 0 1 < p 1. Discutete, attraverso un apposito gra co, le conseguenze di tale riduzione sulla scelta ottima dell individuo. Soluzione. (1) Dato che i due beni sono consumati sempre congiuntamente, X 1 e X 2 sono per il consumatre beni perfetti complementi. Ci aspettiamo quindi che le preferenze del consumatore siano rappresentate da una funzione di utilità del tipo U(X 1,X 2 )=min(ax 1 ;bx 2 ) dove a e b sono parametri positivi. Inoltre il testo ci dice che il consumatore consuma una unità di bene X 1 con una unità di bene X 2 ; quindi la retta dei vertici - la cui generica equazione è ax 1 =bx 2 - dovrà passare dal paniere (1;1) - ovvero dal paniere contenente una unità del bene X 1 e una unità del bene X 2. Sostituendo i valori del paniere nella retta dei vertici otteniamo a 1 = b 1 ovvero a=b; quindi le preferenze del consumatore sono rappresentate da una funzione di utilità U(X 1,X 2 )=min(ax 1 ;ax 2 ) che si caratterizza per una retta dei vertici X 1 =X 2 coincidente con la bisettrice del I quadrante. (2) Il vincolo di bilancio del consumatore è X 2 = M p 2 p 1 p 2 X 1! X 2 = M X 1 essendo p 1 = p 2 :La scelta ottima del consumatore, che si ottiene risolvendo il seguente 16

17 sistema è X 2 = M=2 = X 1. vincolo di bilancio retta dei vertici X2 = M X ) 1 X 2 = X 1 (3) La contrazione nel prezzo di uno dei due beni aumenterebbe il potere d acquisto del consumatore inducendolo. Dato che i due beni sono perfetti complementi ed il consumatore li consuma sempre in rapporto sso, il consumatore destinerà parte del "maggior reddito" nell acquisto di un po dipiù di entrambi i beni. Ci aspettiamo quindi che il nuovo paniere ottimo sia X2 = X1 > X2 = X1. 17