regola(1,[e,f],b) regola(2,[m,f],e) regola(3,[m],f) regola(4,[b,f],g) regola(5,[b,g],c) regola(6,[g,f],c)

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1 ESERCIZIO 1 PREMESSA Per risolvere prolemi spesso esistono delle reole che, dai dati del prolema, permettono di calcolare o dedurre la soluzione. Questa situazione si può descrivere col termine reola(<sila>,<lista antecedenti>,<conseuente>) che indica una reola di nome <sila> che consente di dedurre <conseuente> conoscendo tutti li elementi contenuti nella <lista antecedenti>, detta anche premessa. Prolemi acili possono essere risolti con una sola reola; per prolemi diicili una sola reola non asta a risolverli, ma occorre applicarne diverse in successione. Si considerino le seuenti reole: reola(1,[e,],) reola(2,[m,],e) reola(3,[m],) reola(4,[,],) reola(5,[,],c) reola(6,[,],c) Per esempio la reola 1 dice che si può calcolare (o dedurre) conoscendo e ed (cioè li elementi della lista [e,]); conoscendo ed (cioè li elementi della lista [,]) è possiile dedurre con la reola 4. Quindi, a partire da e ed è possiile dedurre prima (con la reola 1) e poi (con la reola 4). Un procedimento di deduzione (o deduttivo, o di calcolo) è rappresentato da un insieme di reole da applicare in sequenza opportuna per dedurre un certo elemento (inconito) a partire da certi dati: quindi può essere descritto dalla lista delle sile di queste reole. Il procedimento [1,4] descrive la soluzione del prolema: dedurre a partire da e ed. Una maniera raica per rappresentare le reole è quella mostrata nella seuente iura 1: consiste nell associare un alero (rovesciato) ad oni reola: la radice (in alto) è il conseuente, le olie (in asso) sono li antecedenti. e c c e m m Fiura 1 Con questa rappresentazione raica, risolvere il prolema dedurre a partire da e ed è particolarmente acile; si cerca un alero (cioè una reola) che ha come radice l inconita (cioè ): in questo caso ne esiste solo uno che è la reola 4: si veda la iura 2 a sinistra.

2 Le olie di questo alero ( ed ) non sono tutte note: quelle note ( in questo caso) sono vere e proprie olie, quelle inconite ( in questo caso) vanno considerati come anelli a cui appendere un altro alero; quindi isona continuare sviluppando la olia inconita, cioè appendendo a l alero rappresentato dalla reola 1, come illustrato nella iura 2 a destra. Adesso tutte le olie dell alero così ottenuto (e ed ) sono note e il prolema è risolto. Si può anche dire che un alero le cui olie sono tutte note rappresenta un procedimento per dedurre la radice a partire dalle olie. Per costruire la lista corrispondente occorre partire dal asso: prima si applica la reola 1, che utilizza solo i dati; poi si può applicare la reola 4. Il procedimento è quindi (individuato dalla lista) [1,4]. N.B. In alcuni casi esistono più procedimenti deduttivi possiili che permettono di ricavare un certo elemento dali stessi dati, in maniere diverse (cioè con aleri diversi e quindi con insiemi diversi di reole). Per esempio il prolema dedurre c a partire da ed (dalle reole viste sopra) ha due di e Fiura 2 N.B. Nelle liste richieste occorre elencare le sile delle reole nell ordine che corrisponde alla sequenza di applicazione: la prima (a sinistra) della lista deve essere la sila che corrisponde alla prima reola da applicare (che ha come antecedenti solo dati); l ultima (a destra) deve essere la sila della reola che ha come conseuente l elemento inconito da dedurre. Nella lista non ci sono reole ripetute (inatti un procedimento di deduzione è un insieme di reole da applicare in opportuna sequenza). L applicazione di una reola rende disponiile il conseuente da utilizzare (come antecedente) nell applicazione di reole successive. La lista associata a un (en preciso) procedimento si costruisce quindi per passi successivi a partire dal primo elemento che è la sila della prima reola da applicare; ad oni passo, se ci ossero più reole applicaili, occorre dare la precedenza (nella lista) a quella con sila ineriore (questo per rendere unica la lista associata al procedimento).

3 stinti procedimenti risolutivi; li aleri relativi ai due procedimenti sono mostrati nella seuente iura 3. c c Fiura 3 Le liste associate sono, rispettivamente, [4,5] e [4,6]. In un procedimento deduttivo, il numero di reole dierenti coinvolte (e, quindi, anche il numero di elementi della lista corrispondente al procedimento) si dice lunhezza del procedimento. Sono date le seuenti reole: reola(1,[m,n,u],v) reola(2,[u,v],z) reola(3,[v,w],z) reola(4,[t],u) reola(5,[p,q],u) reola(6,[m],u) reola(7,[u,w],z) reola(8,[t,u],v) reola(9,[r],v) reola(10,[p,t],r) reola(11,[p,q,u],w) reola(12,[n,o],m) Trovare: 1. la lista L1 che descrive il procedimento per dedurre z conoscendo p e q; 2. la lista L2 che descrive il procedimento per dedurre z conoscendo n e o; 3. il numero N di modi diversi per dedurre z conoscendo t e w. L1 L2 N L1 [5,11,7] L2 [12,6,1,2] N 3

4 La inconita comune alle tre domande, z, è deduciile con tre reole: 2, 3 e 7, che hanno come antecedenti, rispettivamente, [u,v], [v,w], [u,w]. È più acile partire dalla terza domanda, in cui w è noto; w da solo oppure [t,w] non compaiono nella premessa di alcuna reola: t, però, è l unico antecedente della reola 4 che permette di dedurre u. A questo punto è ià individuato un procedimento: [4,7]. D altra parte dopo aver applicato la reola 4, si può applicare la reola 8 per dedurre v da t e u. A questo punto sono noti t, w, u e v: si può dedurre l inconita (z) sia con la reola 2 (da [u,v]), sia con la reola 3 (da [v,w]). Quindi, ricapitolando: dati t e w, ci sono (solo) 3 procedimenti che permettono di ricavare z: [4,7] [4,8,2] [4,8,3] Per la prima domanda, in cui sono dati p e q, si vede immediatamente che la reola 5 permette di ricavare u: per dimostrare z occorre v oppure w. A questo punto è aastanza evidente che isona applicare la reola 11 per ottenere w (v non è comunque deduciile). Il procedimento risolutivo è [5,11,7]. Per la seconda domanda, in cui sono dati n ed o, si vede immediatamente che l unica reola applicaile è la 12 che permette di dedurre m. Adesso è applicaile la reola 6 che da m permette di dedurre u. Occorre ora dedurre v o w per poter ottenere z: solo la prima possiilità è realizzaile con la reola 1 che da m, n e u permette di dedurre v. Il procedimento completo è [12,6,1,2].

5 ESERCIZIO 2 PREMESSA In un deposito di minerali esistono esemplari di vario peso e valore individuati da sile di riconoscimento. Ciascun minerale è descritto da un termine che contiene le seuenti inormazioni: ta(<sila del minerale>, <valore in euro>, <peso in K>). Il deposito contiene i seuenti minerali: ta(m1,55,84) ta(m2,53,86) ta(m3,58,87) ta(m4,56,83) ta(m5,52,82) ta(m6,54,88) ta(m7,57,81) ta(m8,51,88) ta(m9,59,89) Disponendo di un autocarro con portata massima di 165 K, trovare la lista L1 delle sile di 2 minerali diversi trasportaili con questo autocarro che consente di trasportare il massimo valore possiile. Disponendo di un autocarro con portata massima di 170 K, trovare la lista L2 delle sile di 2 minerali diversi trasportaili con questo autocarro che consente di trasportare il massimo valore possiile. Disponendo di un autocarro con portata massima di 255 K, trovare la lista L3 delle sile di 3 minerali diversi trasportaili con questo autocarro che consente di trasportare il massimo valore possiile. N.B. Nelle liste, elencare le sile in ordine crescente; per le sile si ha il seuente ordine: m1<m2< <m9. L1 L2 L3 L1 L2 L3 [m4,m7] [m7,m9] [m4,m7,m9] In enerale, un metodo per risolvere il prolema (detto della orza ruta) è quello di enerare tutte le cominazioni di 2 e di 3 minerali presi tra i nove del deposito, calcolarne peso e valore e sceliere, tra quelle trasportaili, quella che ha valore maiore; poiché tali cominazioni sono rispettivamente (9 8)/(2 1) = 36, (9 8 7)/(3 2 1) = 84, tale metodo è pesante (cioè richiede molti calcoli e molto spazio ). Per sinoli prolemi esistono comunque modi più veloci, detti euristici che consentono di (costruire ed) esaminare un minor numero di cominazioni. In questo particolare prolema conviene mettere i 9 minerali in ordine decrescente rispetto al valore.

6 MINERALE VALORE PESO m m m m m m m m m Scuola Sec. Secondo Grado Gara 5 INDIV. - 14/15 Per la prima domanda (autocarro di portata 165 k), si vede che la coppia di maior valore trasportaile è [m7,m4], quindi risolve il prolema (ordinando li elementi come richiesto). Per la seconda domanda (autocarro di portata 170 k), si vede che la coppia di maior valore trasportaile è [m9,m7], quindi risolve il prolema (ordinando li elementi come richiesto). Per la terza domanda (autocarro di portata 225 k), si vede che la terna di maior valore trasportaile è [m9,m7,m4], quindi risolve il prolema (ordinando li elementi come richiesto).

7 ESERCIZIO 3 John has a lock with three dials; each dials has the symols A, B, C, D, E, F, G and H. John is a very smart oy, ut he is constantly orettin the comination o his lock. I he can try one lock comination every two seconds, how lon will it take to him to try every possile lock comination? Put your answer in the ields elow, keepin in mind that each ield is a two diits ield: or example 2 hours, 0 minutes and 12 seconds should e written as 02:00:12. : : 00 : 17 : 04 Il numero di posizioni per oni ruota è 8; il numero totale di posizioni delle tre ruote è = 512. Occorrono a John quindi 1024 secondi; 17 minuti sono 1020 secondi, quindi 1024 secondi sono 0 ore, 17 minuti, 4 secondi.

8 ESERCIZIO 4 Si consideri la seuente procedura PROVA1. procedure PROVA1; variales A, K inteer; A -1; K 0; while A < 0 do K K + 1; A 2 K K K 40 K K + K + 1; endwhile; output K, A; endprocedure; Determinare il valore di output di K e A. K A K 20 A 21 La seuente taella riporta i valore delle variaili A e K alla ine del corpo del ciclo while. K A

9 N.B. Naturalmente, in un caso così laorioso, si può scrivere ed eseuire un proramma che riproduca il comportamento della procedura appena vista. ESERCIZIO 5 Si consideri la seuente procedura PROVA2. procedure PROVA2; variales A, B, K inteer; A 0; B 100; K 0; while A<B do K K +1; A A + K^2; B B K + 1; endwhile; output A, B, K; endprocedure; Determinare i valori di output. N.B. Il simolo ^ denota l elevamento a potenza. A B K A 91 B 85 K 6 Alla ine del corpo del ciclo while le variaili K, A e B assumono i valori riportati nella taella seuente. K A B

10 ESERCIZIO 6 Si consideri la seuente procedura PROVA3. procedure PROVA3; variales A, P, Q, R, K inteer; input A; P A; Q A; R A; or K rom 1 to 9 step 1 do input A; i A > P then Q P; P A; else i A > Q then Q A; endi; endi; i A<R then R A; endi; endor; output P, Q, R; endprocedure; Se i valori di input per A sono 12, 9, 15, 3, 9, 3, 1, 8, 12, 13 calcolare i valori di output. P Q R P 15 Q 13 R 1 Venono acquisiti 10 valori interi positivi per A; in R rimane il più piccolo di tali valori. In P rimane il massimo dei valori per A e in Q rimane il valore immediatamente ineriore al massimo.