PROBLEMI DI PARAGRAFO

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1 PROBLEMI DI PARAGRAFO 1 La scatola si ferma a causa della forza di attrito tra la scatola e il pavimento, che è diretta in verso opposto al moto della scatola. Il fenomeno descritto non contraddice il principio di inerzia poiché sulla scatola è applicata una forza nella direzione del moto: la forza d attrito. 2 Solo la 1 è corretta. Nella 2 agisce anche la forza di attrito dell aria. Nella 3 agisce anche la reazione vincolare e la somma delle forze è zero. 3 No, non si può dimostrare. Come tutti i principi (o assiomi), viene assunto come vero per costruire una teoria, fino a quando non viene falsificato da un esperimento, come è successo per esempio con la teoria della relatività. Inoltre non si può nemmeno verificare con certezza assoluta. In qualsiasi punto dello spazio non si può essere sicuri di trovarsi in un sistema di riferimento completamente senza accelerazioni. L importante è che il primo principio sia consistente entro gli errori di misura con tutti gli esperimenti eseguiti finora, come effettivamente accade. 4 Quando la velocità della palla è costante, la forza di attrito viscoso ha la stessa intensità della forzapeso, quindi, da cui 5 Uguagliando la forza-peso e la forza di resistenza aerodinamica otteniamo Raggiunta questa velocità, la forza di resistenza aerodinamica ha intensità, mentre quella di attrito viscoso ha intensità ed è quindi trascurabile rispetto a quella di resistenza aerodinamica. 6 Se l'auto viaggia a velocità costante, la somma delle forze applicate a essa è nulla. Ciò significa che la somma delle forze d'attrito (pneumatici e resistenza dell'aria) uguaglia la forza con cui il motore spinge l'auto, cioè 1000 N. 7 La forza totale forma un angolo di: Quindi 1 Zanichelli 2015

2 8 Se l osservazione avviene in un sistema di riferimento inerziale la risposta è sì; altrimenti è no. 9 No, il sistema di riferimento potrebbe anche essere inerziale; ciò avviene, per esempio, se ha accelerazione rispetto a un sistema di riferimento inerziale e il sistema ha accelerazione rispetto a. 10 Il treno costituisce un sistema di riferimento inerziale e dunque, per il principio di relatività galileiana, Francesca non noterà alcuna differenza rispetto al caso in cui compie questo esperimento stando ferma a terra. Pertanto la mela ricadrà nella sua mano. 11 Mentre l auto percorre la curva i passeggeri tendono, per il principio d inerzia, a procedere in linea retta, per cui rispetto all auto tendono a muoversi verso l esterno della curva. In questo caso l auto non è un sistema di riferimento inerziale. 12 Chiamiamo il punto da cui parte l uomo nel momento in cui anche il treno si mette in moto. Rispetto alla banchina della stazione (sistema di riferimento ), si muove di moto accelerato con velocità. L uomo ha velocità rispetto a se misurata sul treno (sistema di riferimento ). Pertanto la velocità dell uomo rispetto al capostazione, che si trova nel sistema di riferimento, è. 13 Secondo il guidatore dell auto, il caravan ha un vettore velocità con due componenti, uno verso ovest,, e uno verso sud,. Quindi:, verso sud-ovest. 14 Dario ha una velocità, rispetto alla scala mobile, di: 15 e deve essere orientato in modo che, il componente parallelo alla riva, sia opposto alla velocità del fiume e uguale in intensità. Quindi:, cioè La velocità rispetto al terreno è quella con cui si muove perpendicolarmente alle rive,. 2 Zanichelli 2015

3 16 Nel sistema di riferimento del mare la velocità delle due imbarcazioni è: Il ragazzo si muove rispetto alla nave alla velocità: La velocità del ragazzo rispetto al mare è: Nel sistema di riferimento del mare il peschereccio segue la legge del moto: Per passare nel sistema di riferimento del ragazzo si applica la trasformazione di Galileo: cioè: Indicando al posto di e di : 17 Usiamo le trasformazioni di Galileo per trovare la velocità dell'acqua (A) rispetto al molo (M). (B) indica la barca. Con la direzione positiva verso valle, allora la velocità della barca rispetto all acqua è: Quindi:, perciò. 3 Zanichelli 2015

4 18 Il sistema ascensore è inerziale, poiché si muove a velocità costante rispetto alla Terra, considerata inerziale; per cui è equivalente risolvere il problema rispetto al suolo o rispetto a Chiara. Nel sistema dell ascensore: 19 Dobbiamo trovare, la velocità di A rispetto a C. Per le trasformazioni di Galileo, abbiamo che: I nostri dati sono verso Nord e verso Est. Quindi, ovvero 40 km/h verso Ovest. Si applica la regola del parallelogramma per sommare i vettori e si ottiene che il modulo della velocità di C rispetto ad A sarà: L angolo α che il vettore forma rispetto al Nord vale: 20 (velocità del treno). La velocità delle gocce di pioggia viste da terra ha componenti e, per cui il modulo della velocità delle gocce di pioggia misurata da terra è:. 21 Indichiamo con la velocità di Federica rispetto a bordo vasca, con la velocità di Luca rispetto a bordo vasca e con quella di Federica rispetto a Luca. Prendendo come verso positivo quello in cui nuota Luca, dalla relazione otteniamo nel primo caso: 4 Zanichelli 2015

5 e nel secondo caso: Da queste due equazioni otteniamo: e 22 Forza e massa, come pure forza e accelerazione, sono direttamente proporzionali; invece massa e accelerazione sono inversamente proporzionali. 23 La funzione del principio di inerzia consiste nel definire quali sistemi di riferimento sono inerziali e, per negazione, quali non lo sono; pertanto è indipendente dal secondo principio della dinamica. Il secondo principio della dinamica, valido solo in sistemi di riferimento inerziali, naturalmente non deve contraddire il principio di inerzia quando si esamina la dinamica dei corpi in sistemi di riferimento inerziali. 24 L auto, tamponata da dietro, subisce una brusca accelerazione in avanti. Anche il sedile accelera, insieme al corpo che ospita, ma è il collo che deve trasmettere l accelerazione alla testa, sottoponendo i muscoli del collo al rischio di lesioni. Il poggiatesta spinge la testa in avanti, accelerandola nella stessa direzione dell auto tamponata. 25 Per accelerare il corpo di massa maggiore è necessaria una forza maggiore. 26 La massa del tavolo è. Quando vengono posti i libri sul tavolo, la massa totale è. Quindi la massa dei libri è: 27 Chiamiamo M la massa di Giada e m quella del busto. La forza per accelerare con un accelerazione vale: Nel secondo caso la forza vale invece: che implica una differenza di 20 N. 28 Si calcolano le accelerazioni: 5 Zanichelli 2015

6 Ora si calcolano le forze applicate dagli atleti: Spinge di più Bob. 29 g m s 2 N g m s 2 N Dopo il salto, Superman è soggetto alla forza di gravità. Calcoliamo la velocità iniziale del moto uniformemente accelerato con accelerazione negativa (o dalle leggi del moto uniformemente accelerato con a = g oppure dalla legge di conservazione dell energia meccanica): Consideriamo che Superman inizia a spingersi da fermo, cioè applica da fermo una forza F per 1/10 s, quindi: g N Confronto con la pulce: 30 Sì, potrebbe. Al momento del lancio, le forze in gioco sono la forza-peso e la forza di propulsione dei motori. Fissando il verso positivo come uscente dalla Terra, si usa il secondo principio di Newton con massa iniziale m i : Usando il secondo principio di Newton: 6 Zanichelli 2015

7 31 La distanza percorsa in 30 s vale: Il tempo necessario perché il carrello raggiunga la velocità di 5,0 m/s è: Dalla precedente formula per il tempo t, ponendo, si ottiene: 32 è la velocità iniziale dell auto, d è la distanza di arresto, a è il modulo dell accelerazione durante la frenata orizzontale. Dalle leggi della posizione e della velocità del moto uniformemente accelerato si ottiene:, da cui ; quindi 33 La forza di attrito dinamico tra le gomme e la strada vale, dove µ è il coefficiente di attrito dinamico. Il modulo dell accelerazione vale quindi: Chiamando la velocità iniziale, quella finale e il tempo di reazione, durante il tempo di reazione la distanza percorsa è: Durante la decelerazione, lo spazio di frenata si ricava da dove è negativa se scegliamo il verso positivo nella direzione di moto dell auto, da cui si ricava La somma tra questi due valori (55 m) è minore della distanza tra la posizione iniziale dell auto e quella del cervo, quindi l auto riesce a fermarsi prima di colpire il cervo. 7 Zanichelli 2015

8 Nel caso di asfalto bagnato invece lo spazio di frenata dovuto al rallentamento vale: 34 In questo caso la somma tra i due valori, e è 84 m, quindi è maggiore della distanza tra la posizione iniziale dell auto e quella del cervo. L auto colpisce il cervo. Consideriamo il problema rispetto a un sistema di riferimento inerziale esterno all ascensore, per esempio un osservatore al piano terra con verso positivo verso l'alto. Fissiamo inoltre l'origine nel punto in cui si trova la base dell ascensore nel momento in cui comincia a decelerare. All inizio, le forze che agiscono sulla penna sono la sola forza-peso, quindi l'accelerazione sarà ; la velocità iniziale è. La posizione al tempo zero sarà. L equazione del moto della penna è quindi: L ascensore decelera con un accelerazione che vale velocità iniziale e posizione iniziale nulla. Perciò: verso il basso, ha Uguagliando le due posizioni (la penna tocca il pavimento dell ascensore) si trova: da cui Il tempo di caduta non dipende dalla velocità iniziale. Se l'ascensore accelera l'unica cosa che cambia è il segno dell accelerazione, cioè sarà rivolta verso l alto nel verso positivo del sistema di riferimento prescelto: 35 Scomponiamo le forze lungo x e y e applichiamo il secondo principio della dinamica. 8 Zanichelli 2015

9 Calcoliamo la forza di attrito libro-tavolo. La forza premente, cioè la forza perpendicolare al piano del tavolo verso il basso, è data: quindi la forza di attrito sarà: Calcoliamo quindi il coefficiente di attrito libro-tavolo considerando la somma delle forze che agiscono lungo la direzione orizzontale: Sostituendo, si ottiene: 36 Il diagramma delle forze è il seguente: Calcoliamo le componenti delle forze lungo l asse x e l asse y: Quindi la risultante delle forze che agiscono rispettivamente lungo l asse x e l asse y vale: La componente lungo l asse y è orientata verso sud. Quindi le accelerazioni valgono: verso sud. 9 Zanichelli 2015

10 37, velocità iniziale della moto, velocità iniziale dell auto Nel momento in cui auto e moto accelerano, l auto è avanti rispetto alla moto di: Le accelerazioni della moto e dell auto sono, rispettivamente: La distanza tra auto e moto è: Ponendo si ottiene Consideriamo il montacarichi, la bilancia e il pacco di zucchero come un unico oggetto di massa 20 kg, sottoposto alla forza-peso, diretta verso il basso, e alla forza che lo tira verso l alto. La forza totale ha intensità e Il pacco di zucchero subisce la forza-peso diretta verso il basso e la forza dovuta alla bilancia, diretta verso l alto. Dal secondo principio della dinamica applicato al pacco di zucchero otteniamo, da cui. In virtù del terzo principio della dinamica, questa è anche l intensità della forza che il pacco esercita sulla bilancia, che segnerà dunque una massa: 10 Zanichelli 2015

11 40 Fissiamo la direzione verticale positiva verso l alto. Nel sistema di riferimento inerziale dell ascensore fermo, la tua forza-peso è 800 N, indicata dalla bilancia ferma. Nel caso dell ascensore che sale con accelerazione costante positiva, su di te agiscono due forze: la forza-peso, diretta verso il basso, e la forza perpendicolare applicata sui tuoi piedi dalla bilancia, diretta verso l alto. Quindi applichiamo la seconda legge di Newton alla direzione verticale: da cui Nel caso dell ascensore che rallenta con accelerazione costante negativa, su di te agiscono due forze: la forza-peso, diretta verso il basso, e la forza perpendicolare applicata sui nostri piedi dalla bilancia, diretta verso l alto. Quindi applichiamo la seconda legge di Newton alla direzione verticale: da cui da cui 43 Le due forze sono applicate a corpi diversi (la prima al rimorchio, la seconda al camion), per cui non è corretto sommarle. 44 Non è possibile (e nemmeno utile) distinguere quale tra le due forze è quella di azione e quale quella di reazione, in quanto l una non esiste senza l altra. 11 Zanichelli 2015

12 45 Le forze sono riportate nella figura: ogni coppia di forze ha lo stesso colore. Se il sistema è in equilibrio, per ogni oggetto (mela, tavolo, Terra) la somma delle forze applicate è zero. Le forze viola inferiori sono applicate dalle gambe del tavolo alla Terra. La forza-peso della mela viene bilanciata dalla reazione vincolare del tavolo (in verde). Se il tavolo viene tolto all improvviso, la mela e la Terra cadono entrambe una verso l altra. L accelerazione di ognuna vale, per cui a parità di forza (le due forze rosse sono uguali in modulo e opposte in verso per il terzo principio della dinamica), l accelerazione della Terra sarà praticamente trascurabile rispetto a quella della mela, a causa della sua massa che è svariati ordini di grandezza più grande. 46 Con una forza uguale e contraria a quella applicata dall'atleta alla sbarra, ovvero 500 N. La forza è applicata dalla sbarra all'atleta, come reazione a quella applicata dall'atleta alla sbarra. 47 Per il terzo principio di Newton: 48 La forza di attrito dinamico tra lo scatolone e il pavimento è. La forza elastica della molla è, dove è la compressione della molla. Entrambe le forze sono dirette contro la direzione del moto, per cui lo scatolone subisce una forza totale, che in virtù del secondo principio dinamica causa un accelerazione: 12 Zanichelli 2015

13 La forza che lo scatolone esercita sulla molla, in base al terzo principio della dinamica, è uguale e opposta alla forza elastica: 49 Consideriamo l ascensore e l uomo come un unico oggetto di massa. Le forze che agiscono sono: la forza-peso verso il basso e la forza verso l alto. La forza risultante è diretta verso l alto e produce un accelerazione pari a: Le forze che agiscono sull uomo sono la forza-peso, diretta verso il basso, e la forza dovuta al contatto con l ascensore, diretta verso l alto. Queste due forze producono l accelerazione dell uomo, per cui dalla relazione otteniamo: In virtù del terzo principio della dinamica, la forza che l uomo esercita sull ascensore ha la stessa intensità di ed è diretta verso il basso. 50 Per il terzo principio della dinamica, l elica spinge l aria verso il basso, e l aria a sua volta spinge l elicottero verso l alto con una forza di uguale intensità e verso opposto. Quindi: Fissiamo il verso positivo verticale in alto, quindi è verso il basso e verso l alto, come pure. Allora risulta: 51 Le forze che agiscono sulla sfera e sul cubo sono: 13 Zanichelli 2015

14 Sistema sfera, verso positivo in alto, dinamometro D 2 : Sistema cubetto, verso positivo in alto, dinamometro D 1 : La forza che il dinamometro 2 esercita sul cubo è uguale alla forza-peso della sfera appesa al dinamometro 2, quindi sopra abbiamo usato, calcolato precedentemente. 14 Zanichelli 2015

15 PROBLEMI GENERALI 1 La velocità del treno è, quella della palla misurata sul treno è e il vagone è lungo. La palla impiega un tempo a percorrere il vagone. In questo intervallo di tempo il treno avanza di, quindi la palla ha percorso rispetto a terra: 2 è la velocità del fiume, è la velocità di Martina rispetto alla riva, è quella rispetto al fiume. La velocità rispetto alla riva nel primo tratto è: per cui la velocità rispetto al fiume è. Nel risalire la corrente la velocità rispetto a riva è, per cui Martina impiega: a risalire la corrente da un ponte all altro. 3 Indichiamo con il sistema di riferimento di Giovanni e con quello di Andrea e Beatrice; è la distanza tra Andrea e Beatrice, quindi la velocità della palla, misurata in, è. Giovanni, nel sistema di riferimento, vede la palla andare a velocità. Quindi la velocità della nave di Andrea e Beatrice rispetto a quella di Giovanni è: La velocità della nave di Giovanni è dunque di. Dall equazione otteniamo. 4 La legge del moto dell auto A nel sistema di riferimento della strada è: 15 Zanichelli 2015

16 Applichiamo la trasformazione di Galileo: Risolvendo rispetto a otteniamo: 5 A velocità costante, la somma delle forze applicate alla slitta deve essere nulla. La forza di attrito dinamico è. Quindi la forza necessaria per trainare la slitta a velocità costante ha verso opposto alla forza di attrito e ha la stessa intensità. Quando cade il pacco, la massa complessiva si riduce a, quindi la forza di attrito dinamico diventa. La forza complessiva sulla slitta stavolta vale e determina un accelerazione: 6 La forza di attrito dinamico è. L accelerazione della slitta è positiva finché la forza che la traina è maggiore della forza di attrito, quindi nei primi 5 s, mentre è negativa tra 5 s e 10 s. La forza trainante è costante tra 0 s e 4 s e tra 8 s e 10 s. Nel primo intervallo l accelerazione vale: Nel secondo ha la stessa intensità, ma verso opposto. 7 L allungamento delle molle vale:. L asta è soggetta a tre forze: le due forze elastiche, ciascuna di intensità, dirette verso l alto, e la forza-peso, di intensità, diretta verso il basso. La forza totale applicata all asta è, diretta verso l alto, e produce un accelerazione: 8 La sonda si avvicina a Titano con velocità costante. L accelerazione è dunque nulla e il peso del modulo equilibra la spinta verso l alto. Quindi: (peso del modulo di atterraggio in prossimità della superficie di Titano). 16 Zanichelli 2015

17 Sonda che accelera verso il basso. Dal secondo principio della dinamica sappiamo che. Si ha dunque:, fissando il verso positivo verso il basso, cioè verso il satellite. Da qui ricaviamo la massa del modulo di atterraggio: Inoltre: 9 Calcoliamo la massa dell astronauta: Fissiamo il verso positivo in alto. Le forze che agiscono sull astronauta al momento del decollo sono: da cui ricaviamo che:. La forza che agisce sull astronauta al momento della partenza da Marte sarà dunque: 10 Applichiamo il principio di conservazione dell energia meccanica per trovare la velocità con la quale il tuffatore colpisce l acqua, ricordando che la velocità iniziale è zero e fissando il livello di zero dell energia potenziale della forza-peso al pelo libero dell acqua: Il moto del tuffatore sott acqua è uniformemente accelerato con accelerazione negativa, con velocità finale uguale a zero e velocità iniziale pari a calcolata sopra. Quindi: 17 Zanichelli 2015

18 Quindi la forza media a cui è sottoposto il tuffatore in acqua è di: g m s 2 N Oppure possiamo risolverlo osservando che il tuffatore si arresta per azione della forza di attrito esercitata dall acqua. Ciò significa che il lavoro delle forze di attrito (non conservative) è uguale alla variazione della sua energia meccanica,. L energia meccanica finale è zero, quella iniziale è: Quindi da cui: N 11 poiché. Quindi: g m N 12 L uomo è soggetto alla forza-peso, diretta verso il basso, e alla forza della bilancia, diretta verso l alto. La somma vettoriale di queste due forze determina l accelerazione dell uomo, che è uguale a quella dell ascensore:. Quindi. In virtù del terzo principio della dinamica, questa è anche l intensità della forza che l uomo applica alla bilancia, dunque il suo peso apparente. La bilancia segnerà quindi una massa pari a: 13 Rispetto a un osservatore esterno, le forze che agiscono su Chiara sono la forza-peso (verso il basso) e la reazione vincolare della bilancia (verso l'alto), che non si eguagliano se il sistema è accelerato. Il peso letto sulla bilancia cioè il peso apparente ha lo stesso valore della reazione vincolare della bilancia. 18 Zanichelli 2015

19 Per il secondo principio della dinamica possiamo scrivere che. In un sistema di riferimento con verso positivo in alto avremo quindi:, con. Quindi:, diretta verso l'alto. 14 La massa complessiva del carrello e della palla è: La forza che traina il carrello produce quindi un accelerazione: Questa è l accelerazione anche della palla, dovuta alla forza elastica della molla, che vale: La molla è quindi dilatata di una quantità pari a. 15 Lo spostamento della molla si ottiene dal grafico spazio-tempo sottraendo da questo i della lunghezza a riposo della molla. La forza elastica è e il suo grafico è: 16 Poiché la palla è al centro della distanza fra i sostegni, la prima molla è inizialmente allungata di, la seconda di. La prima molla esercita una forza pari a, diretta verso sinistra, la seconda esercita una forza pari a, diretta verso destra. La palla si muoverà quindi verso sinistra, con accelerazione: 17, allungamento della prima molla di costante elastica, allungamento della seconda molla di costante elastica 19 Zanichelli 2015

20 Per il terzo principio della dinamica, le forze che le due molle esercitano l una sull altra hanno la stessa intensità: L allungamento totale è, da cui ricaviamo e. La forza elastica esercitata dalla seconda molla alle estremità è quindi, e questa, in virtù del terzo principio della dinamica, è anche l intensità della forza che tira la seconda molla. 18 La molla si accorcia di. Il cubetto subisce la forza-peso, diretta verso il basso, e la forza elastica della molla,, diretta verso l alto. Quindi l accelerazione del cubetto vale: In base al terzo principio della dinamica, la forza che il tavolo esercita sulla molla ha la stessa intensità di quella esercitata dalla molla sul tavolo, cioè la forza elastica. 19 Per produrre un accelerazione è necessaria una forza di intensità diretta lungo il piano, verso l alto. Questa forza è la somma di due contributi: la forza elastica, che è diretta lungo il piano verso l alto, e la componente della forza-peso lungo il piano, diretta verso il basso. Quindi: e Perciò la lunghezza della molla deve essere 20 La terza scatola è soggetta nella direzione orizzontale solo alla forza applica dalla seconda scatola e quindi. La seconda scatola è soggetta nella direzione orizzontale alla forza (esercitata dalla terza scatola) e alla forza (esercitata dalla prima scatola). Per il terzo principio della dinamica,. Queste forze hanno versi opposti, quindi la forza totale esercitata sulla seconda scatola è. Infine, la forza che la seconda scatola esercita sulla prima ha la stessa intensità di in virtù del terzo principio della dinamica, cioè. 20 Zanichelli 2015

21 21 Usando la notazione della teoria, in questo caso: è la velocità di rispetto a ; è la velocità con cui vede muoversi (cioè la velocità di rispetto a ); è la velocità di rispetto a. La velocità di rispetto a è data dalla velocità di rispetto a sommata alla velocità si rispetto a : Fissiamo il sistema di riferimento con l asse x orizzontale (e verso positivo a destra) e l asse y verticale. Sappiamo inoltre dal testo che: 1) (poiché le due scale hanno la stessa velocità in modulo rispetto a T); 2). Scriviamo la relazione vettoriale rispetto a (incognita), scomponendo nelle due direzioni e scegliendo il verso positivo di x verso destra: Ma e per la 1). Perciò: Quindi ha componente solo lungo x. Per la 2) abbiamo allora che: Da qui possiamo ricavare : 22 Calcoliamo la massa dell asteroide: La decelerazione è: 21 Zanichelli 2015

22 Nell istante in cui l asteroide dovesse raggiungere la Terra, avrebbe velocità nulla. Dalla legge del moto uniformemente accelerato, possiamo trovare la distanza percorsa. Poiché l asteroide dista fermare l asteroide., la forza impressa dai motori della sonda non è sufficiente a Nel caso in cui la forza sia perpendicolare, calcoliamo prima il tempo necessario all asteroide a percorrere la distanza che lo separa dalla Terra: In questo lasso di tempo, la forza applicata dai motori sposterebbe l asteroide in direzione perpendicolare alla congiungente Terra-asteroide di una distanza pari a: Poiché il raggio della Terra vale, in questo caso la collisione sarebbe evitata. 22 Zanichelli 2015

23 TEST 1 D 2 B 3 D 4 B 5 A 6 B 7 C 8 B 9 C 10 B 11 C 12 B 13 C 14 C 15 C 16 B 17 B 18 C 19 C 20 C 21 C 22 A 23 C 24 A 25 B 23 Zanichelli 2015