Appunti di radiometria ultravioletta in banda larga

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1 Appunti di radiometria ultravioletta in banda larga Henri Diémoz (ARPA Valle d'aosta) 25 giugno La radiometria ultravioletta 1.1 Richiami delle nozioni di base La misura della radiazione ultravioletta solare a terra è principalmente condotta in termini di due grandezze siche derivate: la radianza (detta anche intensità) e l'irradianza (detta anche usso). L'irradianza, che nel seguito indicheremo con F, è la potenza di un fasio di radiazione elettromagnetica in arrivo su una supercie, nell'unità di area (gura 1). Si misura, perciò, in W m. Più il piano di riferimento per la misura è 2 inclinato rispetto al fascio di radiazione, minore è la potenza intercettata dalla supercie, in proporzione al coseno dell'angolo formato tra la normale al piano e la direzione del fascio (angolo zenitale, ϑ). Tale caratteristica dell'irradianza viene denominata legge del coseno. La radianza è la potenza per unità di supercie proveniente da una specica direzione (cioè da un determinato angolo zenitale, ϑ, e azimutale, ϕ), gura 2. In questo caso, contrariamente al primo, il piano di riferimento è assunto sempre perpendicolare alla direzione in esame (e dunque non si applica la legge del coseno). La radianza, che indicheremo con I, si esprime in W m2 sr (con sr si indica lo steradiante, unità di misura dell'angolo solido) θ Σ Σ Figura 1: Più il piano di riferimento per la misura è inclinato rispetto al fascio di radiazione, minore è la potenza intercettata dalla supercie. Confronta la supercie blu, proiezione lungo la direzione del fascio della supercie nera inclinata di un angolo ϑ, con l'area nera non inclinata. 1

2 dσ θ φ Ω Figura 2: La radianza è la potenza per unità di supercie proveniente da una specica direzione. Se la radiazione elettromagnetica proviene da tutte le direzioni, l'irradianza misurata su un piano è esprimibile in termini di radianza secondo la relazione: F = I(Ω) cos(ϑ)dω (1) Ω dove con Ω si indica l'angolo solido, specicato dagli angoli (ϑ, ϕ). In generale, l'angolo solido totale di integrazione, Ω, coincide con un intero emisfero (ad esempio, la radiazione solare misurata da un sensore proviene da tutto il cielo) e Ω, perciò, vale 2π. Da notare la comparsa nell'integrale del fattore cos(ϑ) per la legge del coseno. L'integrale nell'equazione 1 è, in realtà, un integrale doppio, perché la direzione della radiazione è individuata da due angoli. L'equazione si può allora anche scrivere, in coordinate sferiche: F = dϕ dϑ cos(ϑ) sin(ϑ)i(ϑ, ϕ) (2) W W m 2 sr nm. Il fattore sin(ϑ) è il determinante jacobiano coinvolto nella trasformazione da coordinate cartesiane a coordinate sferiche (da non confondere con il cos(ϑ) della legge del coseno), gura 3. Radianza e irradianza possono essere anche riferite ad una singola lunghezza d'onda. Si parla, allora di radianza e di irradianza spettrali. L'irradianza spettrale, F λ, si misura in m 2 nm e la radianza spettrale, I λ, in Ovviamente, le relazioni che legano le grandezze spettrali a quelle integrali sono: F = I = F λ (λ)dλ (3) λ I λ (λ)dλ (4) λ 2

3 Figura 3: Calcolo dell'irradianza in coordinate sferiche. Figura 4: Spettro solare e bande UV. 3

4 Figura 5: Esempio di radiometro Yankee a banda larga. Figura 6: Esempio di fotometro a banda stretta. 1.2 Strumenti per la misura della radiazione solare ultravioletta Gli strumenti per la misura dell'uv al suolo si possono classi care a seconda del tipo di ottica: radiometri: misurano un'irradianza ( gura 5); fotometri: misurano una radianza ( gura 6); attinometri: misurano il usso attinico, cioè l'irradianza che giunge non su un piano, ma su una sfera. I radiometri utilizzati per lo studio della radiazione solare a terra sono generalmente posti in posizione orizzontale. Essi sono in grado di misurare l'irradianza globale, la somma, cioè, del contributo di radiazione diretta 4 dal sole e

5 Figura 7: Radiometro con rotating shadow band. Figura 8: Descrizione schematica delle componenti di uno spettroradiometro. del contributo di radiazione diusa, in arrivo da tutto il resto del cielo. Si può scrivere, perciò, che: F glo = F dir + F dif (5) Alcuni radiometri, per mezzo di una barra rotante, sono in grado di fare ombra sul sensore, in modo da poter misurare solo la componente diusa (e, per dierenza dalla globale, la componente diretta), gura 7. Un'altra classicazione è per risoluzione: spettroradiometri o spettrofotometri: misurano un'irradianza spettrale o una radianza spettrale, con una larghezza di banda di solito inferiore a 1 nm, gura 8; radiometri o fotometri a banda stretta: misurano con una risoluzione generalmente compresa tra i 2 nm e i 10 nm; radiometri a banda larga: misurano su una banda intera (come l'uv-a, l'uv-b o il visibile), in un intervallo di lunghezze d'onda maggiore di 10 nm. 5

6 Figura 9: Rappresentazione delle componenti interne di un radiometro a banda larga. 2 I radiometri UV in banda larga 2.1 Grandezze misurate I radiometri a banda larga misurano l'irradianza su un determinato intervallo di lunghezze d'onda (gura 4), secondo la 3, dove si è indicata con F λ (λ) l'irradianza spettrale ad una precisa lunghezza d'onda, così come la misurerebbe uno spettroradiometro. Questa equazione è semplicemente una rappresentazione matematica, da non confondere con l'eettivo funzionamento dello strumento: i radiometri a banda larga non misurano l'irradianza spettrale ad ogni lunghezza d'onda (come invece fanno gli spettroradiometri) per poi integrarla! La misura in banda, invece, è il risultato del passaggio della radiazione solare attraverso alcuni ltri ottici interni allo strumento (gura 9), che isolano solo certe componenti dello spettro. Talvolta, i ltri sono studiati in modo che la funzione passa banda abbia una forma (chiamata spettro d'azione, risposta spettrale o curva di ponderazione) particolare. Per esempio, molti strumenti cercano di riprodurre la curva di sensibilità dell'uomo all'eritema, che è una funziona nota e denita dalla Commission Internationale pour l'éclairage (CIE). Considerando lo spettro d'azione, allora, la 3 diventa: F CIE = F λ (λ) CIE(λ) dλ (6) dove CIE(λ) è una qualiasi curva di ponderazione. Ad esempio, lo spettro d'azione può essere quello eritemale. Tuttavia, si può trattare anche di una funzione a scalino 0 1 che lascia passare le lunghezze d'onda comprese in un determinato intervallo spettrale e blocca tutte le altre. Ad esempio { 1 se λ è compreso tra 320 e 400 nm UV A(λ) = 0 altrove (7) 6

7 Figura 10: Esempio di acquisitore in tensione. 2.2 Funzionamento dei radiometri a banda larga I radiometri a banda larga sono strumenti relativamente semplici da utilizzare. Sono dotati di uscite in tensione, la cui dierenza di potenziale è proporzionale all'irradianza misurata dallo strumento. Il radiometro a doppia banda larga Kipp&Zonen, ad esempio, ha tre uscite in tensione (4 li in tutto, di cui una massa in comune alle 3 tensioni): 1. V arancione : misura della banda UV-A; 2. V verde : misura in ponderazione eritemale; 3. V giallo : misura della temperatura interna dello strumento (per controllo) Per acquisire una serie temporale di misure, è possibile utilizzare dei moduli di collegamento con un computer, i quali, ad intervalli regolari, registrano la tensione in Volt ai capi dello strumento (gura 10). Per convertire il dato di tensione in irradianza ( W m 2 ) si può poi pensare di moltiplicare la tensione per una costante: F = K V (8) Questa è la formula approssimata che si utilizzava qualche anno fa. Ma ora è possibile raggiungere una precisione migliore Limiti strumentali e correzioni L'attuale tecnologia non consente di costruire radiometri perfetti. I ltri e l'ottica, ad esempio, semplicemente tentano di approssimare la risposta desiderata, senza però riuscirci completamente. Ignorare le deviazioni strumentali può portare anche a commettere errori di diverse decine di punti percentuali. Sarà allora necessario correggere la misura grezza, anche attraverso l'utilizzo di modelli. 7

8 2.3.1 Calcolo dell'oset Un primo limite strumentale è rappresentato dal fatto che l'intera catena di misura (radiometro e modulo di acquisizione) può introdurre dei piccoli oset di tensione. In altre parole, può capitare che quando ci si attende un segnale nullo, la tensione misurata risulta molto bassa, ma non pari a zero. La soluzione, in questo caso, è abbastanza semplice: si misura la tensione durante la notte, quando l'irradianza solare misurabile è nulla (ipotizzando l'assenza, in prossimità dello strumento, di fonti UV articiali), e si sottrae questo contributo ( V offset ) da tutte le misure durante il giorno successivo. L'equazione 8 diventa, così F = K ( V V offset ) (9) Risposta spettrale Un limite dei radiometri a banda larga, decisamente peggiore del precedente, è costituito dal fatto che la risposta strumentale, ottenuta con un sistema di ltri ottici, non coincide mai perfettamente con la curva di ponderazione desiderata (ad esempio, lo spettro d'azione eritemale o una funzione simile alla 7), ma ne è solo una approssimazione (gura 11). Dunque, l'irradianza calcolata con la 9, che possiamo indicare con F SRF (cioè ponderata secondo la Spectral Response Function del rivelatore dello strumento), non è ancora F CIE, perché: F CIE = F SRF = F λ (λ) CIE(λ) dλ (10) F λ (λ) SRF (λ) dλ (11) Ammesso che riusciamo a conoscere SF R(λ) (la misura di questa funzione può essere eettuata in laboratori specializzati), come facciamo a valutarne l'eetto sull'irradianza? Tanto per complicare le cose, le due risposte, SRF e CIE, entrano nell'integrale e vengono moltiplicate per l'irradianza spettrale vera, F λ. La deviazione tra F CIE e F SRF, allora, non dipenderà solo da SRF e CIE, ma anche dall'irradianza spettrale in arrivo! Ecco un trucco per risolvere il problema: F CIE = F SRF F CIE F SRF (12) Non sembrerebbe un grande progresso. Tuttavia, il rapporto ζ = F CIE F SRF (13) Fλ (λ) CIE(λ) dλ = (14) Fλ (λ) SRF (λ) dλ può facilmente essere calcolato tramite un modello di trasporto radiativo. Il fattore ζ è il fattore di correzione della risposta spettrale, perché permette di passare dalla F SRF alla F CIE. 8

9 Figura 11: Dierenza tra la risposta spettrale strumentale (blu) e la curva desiderata (rosso, spettro d'azione eritemale CIE), in un radiometro di ARPA Valle d'aosta. Dalla 14 si vede che ζ generalmente varia al variare di F λ (λ). Tuttavia, in un caso particolare il rapporto non cambia: se la variazione di F λ (λ) è la stessa per tutte le lunghezze d'onda (ad esempio, F λ (λ) = k F λ(λ)), allora il fattore costante esce dall'integrale e si semplica nel rapporto, con il risultato che ζ non cambia. In altre parole, ciò che fa variare ζ sono i fattori ambientali che cambiano forma allo spettro. Tra i molti fattori di questo tipo, ci limiteremo a considerare ora solo i due più importanti: l'ozono totale in atmosfera (O 3 ), che interviene principalmente sulle lunghezze d'onda basse, e l'angolo solare zenitale (ϑ ). Tali fattori variano con una certa rapidità (l'ozono su tempi scala delle ore e dei giorni, l'angolo solare zenitale su tempi dei secondi e minuti). Sarà necessario, allora, considerare per ogni singolo campionamento la correzione ζ riferita al preciso istante. Dalle equazioni 9, 12 e 14 e dalle considerazioni precedenti si ottiene che F CIE (O 3, ϑ ) = ζ(o 3, ϑ ) F SRF (O 3, ϑ ) (15) = ζ(o 3, ϑ ) K ( V V offset ) (16) Poiché nella formula sopra ζ e K non compaiono singolarmente, ma moltiplicate, allora possiamo normalizzare a piacimento una delle due variabili, a patto di non cambiare il prodotto. Si sceglie, per convenzione, di normalizzare ζ nel seguente modo ζ(o 3, ϑ ) = ζ(o 3, ϑ ) ζ(300 DU, 40 ) (17) prendendo, cioè, come riferimento una quantità di ozono totale in atmosfera di 300 unità Dobson (DU) e un angolo zenitale solare di 40. Anche K dovrà essere ridenito come 9

10 Figura 12: Dierenza tra la risposta angolare strumentale (in blu) e la risposta coseno ideale, in un radiometro di ARPA Valle d'aosta. in modo che Giungiamo, dunque, all'equazione K = K ζ(300 DU, 40 ) (18) K ζ(o 3, ϑ ) = K ζ(o 3, ϑ ) (19) F CIE (O 3, ϑ ) = ζ(o 3, ϑ ) K ( V V offset ) (20) che tiene conto della reale risposta spettrale dello strumento. Ma non nisce qui Risposta angolare Per la legge del coseno, l'intensità in arrivo su una supercie piana dovrebbe essere pesata, ai ni del calcolo dell'irradianza, secondo il coseno dell'angolo zenitale. Tuttavia, le attuali ottiche dei radiometri a banda larga non rispondono esattamente come il coseno (gura 12), ma secondo una funzione C(ϑ), dipendente dall'angolo zenitale (e, in caso di ottiche mal progettate o malfunzionanti, anche dall'angolo azimutale). L'equazione 2 diventa, così: F C = dϕ dϑ C(ϑ) sin(ϑ)i(ϑ, ϕ) (21) Anche in questo caso è necessario ricorrere ad alcune correzioni, facendo uso di modelli. Introduciamo il fattore di correzione della risposta coseno, α(...), tale per cui riusciamo ad ottenere l'irradianza giusta, F cos, misurata con una risposta coseno, a partire da quella sbagliata, F C, misurata con una risposa C(ϑ): F cos = α(...) F C (22) 10

11 e proviamo a ricavare α e a conoscere i parametri da cui essa dipende. Nella letteratura scientica, si preferisce lavorare non con la correzione coseno, ma con il suo inverso, l'errore coseno globale: f glo = α 1 = F C F cos (23) Sfruttando la 5, possiamo scrivere l'errore coseno come f glo = F C dir + F dif C F cos (24) Deniamo separatamente gli errori coseno sulle componenti diretta e diusa come Così la 24 diventa f dir = F C dir Fcos dir f dif = F dif C Fcos dif (25) (26) f glo = f dir F cos dir + f dif F cos dif (27) F cos F cos = f dir F cos dir + f dif (1 F cos dir ) (28) F cos F cos Notiamo che F dir cos F cos e F dif cos F cos sono le frazioni rispettivamente della componente diretta e diusa rispetto alla radiazione totale misurabile a terra. I due rapporti cambiano a seconda delle condizioni ambientali e dell'istante. Iniziamo a considerare, come già fatto per la correzione spettrale, unicamente l'ozono e l'angolo solare zenitale. Tuttavia, esiste un altro fattore che inuenza enormemente le percentuali di radiazione diusa e diretta: le nubi (si pensi, ad esempio, a una giornata molto nuvolosa: la componente diretta è nulla, gli oggetti non proiettano ombre!). Una miglioria degli attuali algoritmi di correzione, perciò, potrebbe essere eettuata tenendo conto della distribuzione di nubi nel cielo, gura 13. Prendiamo in esame dalla 25 l'errore coseno sulla componente diretta. Dalla denizione stessa di risposta coseno, l'errore sarà Dalle equazioni 2, 21 e 26 otteniamo l'e- Più dicile è determinare f dif. spressione esplicita per f dif : f dir = C(ϑ ) cos(ϑ ) (29) f dif = dϕ dϑ C(ϑ) sin(ϑ)i dif (ϑ, ϕ) dϕ dϑ cos(ϑ) sin(ϑ)i dif (ϑ, ϕ) (30) Non possiamo evitare l'integrale, perché la radiazione diusa proviene da tutte le direzioni, non solo dal sole (come, invece, succedeva per F dir. Possiamo, tuttavia, operare una grande semplicazione, assumendo che la radiazione diusa sia isotropa, cioè che la sua intensità non dipenda dalla direzione considerata: 11

12 Figura 13: Le nubi possono far variare il rapporto tra radiazione diretta e radiazione diusa. I dif (ϑ, ϕ) I dif (31) La stima dell'errore commesso con questa semplicazione è trattata in letteratura scientica. Senza questa semplicazione avremmo dovuto calcolare i due integrali per ogni valore dei fattori ambientali (come nei passaggi precedenti, per ogni coppia di valori (O 3, ϑ ) o, semplicando ulteriormente, solo di ϑ ) in grado di modicare la distribuzione spettrale di I dif (ϑ, ϕ). Ora, invece, la 26 non è più una funzione, ma una semplice costante! dϕ dϑ C(ϑ) sin(ϑ) f dif = (32) dϕ dϑ cos(ϑ) sin(ϑ) Nel caso semplice di orizzonte piano, ϕ varia tra 0 e 2π e ϑ tra 0 e π/2. Se le montagne coprono una parte dell'orizzonte, il calcolo si complica, perché il limite superiore di integrazione di ϑ non è π/2, ma dipende da ϕ. Se ci riconduciamo al primo caso, però, la formula si semplica ulteriormente in f dif = π/2 0 dϑ C(ϑ) sin(ϑ) π/2 0 dϑ cos(ϑ) sin(ϑ) (33) Il numeratore si risolve attraverso integrazione numerica (trasformando l'integrale in sommatoria) e conoscendo C(ϑ), misurabile in laboratorio. Il denominatore è un semplice integrale analitico (che vale 1/2). Si arriva, allora, alla formulazione nale: f dif = 2 π/2 0 dϑ C(ϑ) sin(ϑ) (34) Tornando alla 28, ci accorgiamo ora che l'errore sul coseno f e, di conseguenza, la sua correzione α variano al variare dell'angolo solare zenitale ϑ e, meno sensibilmente, in funzione dell'ozono (tanto che questo viene solitamente trascurato). La formula nale per l'uso dei radiometri a banda larga diventa, così: F CIE (O 3, ϑ ) = α(ϑ ) ζ(o 3, ϑ ) K ( V V offset ) (35) 12

13 Figura 14: Esempio di matrice di calibrazione per radiometri in banda larga. Se non si ha esigenza di tenere separati tutti i fattori, spesso la 35 si scrive con F CIE (O 3, ϑ ) = M(O 3, ϑ ) ( V V offset ) (36) M(O 3, ϑ ) = α(ϑ ) ζ(o 3, ϑ ) K (37) dove M(O 3, ϑ ) è una tabella (matrice) fornita dal costruttore o da chi calibra lo strumento, simile a quella in gura 14. Per ogni misurazione di UV è dunque necessario conoscere il contenuto di ozono e l'angolo solare zenitale, al ne di prendere il giusto fattore di calibrazione nella tabella M. L'ozono è solitamente ricavato da satellite o da previsione o, se disponibile, da spettrofotometro Brewer. L'angolo solare zenitale si calcola tramite algoritmi astronomici ben conosciuti, dati l'istante di misura e le coordinate geograche del sito di misura Correzione per la temperatura Nel caso in cui il radiometro non sia internamente termostatato, è necessario eettuare una correzione anche per la temperatura, ɛ(t ). Questo richiede non solo la misura della temperatura interna allo strumento (anche perché è dicile stabilire in quale punto preciso dello strumento occorre misurarla...), ma pure una calibrazione completa della dipendenza della risposta strumentale dalla temperatura. Tutti i radiometri moderni hanno un sistema di termostatazione e, dunque, la correzione per la temperatura non verrà qui trattata. 13