UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA FACOLTA DI SCIENZE STATISTICHE CORSO DI LAUREA IN SCIENZE STATISTICHE ED ECONOMICHE

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA FACOLTA DI SCIENZE STATISTICHE CORSO DI LAUREA IN SCIENZE STATISTICHE ED ECONOMICHE TESI DI LAUREA VALUTAZIONI DI OPZIONI PER MODELLI CON RITARDI O CON VOLATILITA VARIABILE Relaore: Ch.mo Prof. Giovanni Baisa Di Masi Laureanda: Michela Schiavon Maricola: ANNO ACCADEMICO 3-4

2 . INDICE. Indice. Inroduzione.... Modello con volailià cosane. 6. Teoria di Black & Scholes Teorema di Cameron-Marin-Girsanov Teorema di rappresenazione delle maringale Formalizzazione della eoria Opzione call europea Modelli con volailià non cosane Volailià livello-dipendene Modello di Cox & Ross Modello di Geske Volailià socasica araverso SDE Modello di Sco Modelli GARCH. 4. Modello compleo con volailià socasica Inroduzione noazione 7 4. Prezzaura opzione call europea Esemplificazione del nuovo modello Conclusioni Bibliografia.. 46

3 . INTRODUZIONE Il mondo della finanza si presena spesso come un mondo difficile da comprendere ai non addei al lavoro per l incomprensibilià dei ermini, le regole asruse ed in paricolar modo le formule maemaiche indecifrabili. Tuavia ra le equazioni uilizzae in ques ambio ne esise una più alla poraa di ui : la eoria delle opzioni o eoria di Black & Scholes (973), che ha porao noevoli vanaggi, ma non solo. Innanziuo un opzione è una garanzia che dà il dirio, e non l obbligo, di comprare o vendere un asse, soggeo a cere condizioni, in uno specifico periodo di empo. In paricolar modo la eoria di Black & Scholes si focalizzò su opzioni Europee cioè opzioni che possono essere eserciae solo ad uno specifico ermine fuuro. Il prezzo che è pagao per l asse quando l opzione viene eserciaa è chiamao prezzo d esercizio o srike price; l ulimo giorno nel quale l opzione può darsi che venga eserciaa è deo daa di scadenza o daa di maurià. Il più semplice ipo d opzione è quello che dà il dirio di comprare una singola azione dello sock comune. Quando lo sock price è molo più grande del prezzo d esercizio, l opzione sarà quasi sicuramene eserciaa, il valore correne dell opzione sarà approssimaivamene uguale al prezzo dello sock meno il prezzo del bond con cedola ( pure discoun bond ) che maura alla sessa daa dell opzione, con valore pari allo srike price dell opzione. D alro cano se il prezzo dello sock è molo più piccolo del prezzo d esercizio, alla scadenza l opzione sicuramene non verrà eserciaa. Inolre se la daa di scadenza dell opzione è molo lonana nel fuuro allora il prezzo del bond che paga il prezzo d esercizio alla daa di scadenza sarà molo basso e il valore dell opzione sarà approssimaivamene

4 uguale al prezzo dello sock. Viceversa se la daa di scadenza è molo vicina il valore dell opzione sarà approssimaivamene uguale allo sock price meno il prezzo d esercizio. In paricolar modo la volailià fu un puno cruciale da cui si svilupparono ua una serie di sudi ad opera di diversi auori fino a empi più receni. Secondo la eoria di Black & Scholes la volailià era consideraa un paramero cosane, ma successive analisi empiriche di volailià di ioli hanno messo in luce la possibilià che quesa poesse essere non-cosane; quesa esi veniva anche avvaloraa dal fao che in presenza di volailià cosane i prezzi derivai fossero inconsiseni. Le eorie propose possono essere vise disribuirsi secondo due filoni principali; il primo filone rappresenao da Cox e Ross (976), Geske (979), Rubisain (983) e più recenemene Bensoussan e alri (994) in cui si descrive il prezzo del iolo come una diffusione con volailià che dipende dai livelli. Il secondo filone, esemplificao da Johnson e Shanno (987), Sco (987), Hull e Whie (987,988) e Wiggins (987) definisce la volailià come una diffusione auonoma guidaa da un secondo moo Browniano. Più recenemene è sao formulao un nuovo approccio ad opera di Hobson e Rogers (998), in cui è incluso il modello del primo filone ma ci sono anche alcune caraerisiche del secondo; la volailià è non-cosane, ma è un faore endogeno, cioè definio in ermini del comporameno passao del prezzo del iolo. Rispeo a modelli con volailià socasica però il mercao rimane compleo, e in conraso con modelli dipendeni dai livelli è possibile specificare un singolo e semplice modello all inerno del nuovo approccio che olre il empo mosra la presenza di smiles e skew con differeni direzioni. Per mercao compleo si inende un mercao in cui ogni claim è in grado di coprirsi da rischi eccessivi. 3

5 L effeo smile può essere definio araverso l esisenza di due caraerisiche nella disribuzione a scadenza che i prezzi dell aivià soosane possono assumere, quesi sono la presenza di code pesani (fa ails) e l esisenza di asimmerie (skew). La presenza di skew sa ad indicare che le probabilià associae ad un rialzo o ad un ribasso nelle quoazioni dell aivià soosane non sono uguali; ad esempio uno skew posiivo si produce se la probabilià associaa ad un rialzo delle quoazioni è maggiore rispeo a quella di un ribasso, menre si verifica l opposo nel caso di skew negaivo. Lo skew spiega il diverso valore che assume la volailià implicia a seconda del livello degli srike. Un effeo naurale del modello è quello di far si che la volailià sia auo-rinforzane; finano che la volailià è definia in ermini del passao dell asse price avrà un ala precisione anche in presenza di ampi movimeni nel passao recene. Queso è designao a rifleere le percezioni del mondo reale della volailià del mercao, in paricolar modo se i professionisi confronano la volailià sorica con la volailià implicia. Sono sae rilevae poi anche delle similarià ra la classe di modelli con volailià socasica e i modelli ARCH e GARCH, favorii dagli economerici per lo sudio delle serie emporali finanziarie. Quesi modelli sono formulai a empo discreo e posulano un processo del logarimo dei prezzi per lo sock che ha varianza condizionale dipendene in un se di esogene e variabili endogene riardae e residui del passao. Si andrà quindi a dare uno sguardo a quesi modelli cercando di meere in rilievo come e perché a parire dalla formula di Black & Scholes per la prezzaura dell opzione call i diversi sudiosi hanno inrodoo quese innovazioni. Inolre si andrà a vedere un esempio praico araverso una soluzione numerica dell equazione differenziale parziale dell opion pricing per il modello di Hobson e Rogers, che ha evidenziao la presenza di smiles e skew, e per fare 4

6 un confrono in modo più semplice, rispeo al caso analiico, con il modello di Black & Scholes. 5

7 . MODELLO CON VOLATILITA COSTANTE.TEORIA DI BLACK-SCHOLES Il conribuo di Black-Scholes allo sviluppo della eoria e della praica finanziaria è sao un puno di svola in quano il loro modello di formulazione del prezzo per le opzioni su azioni di ipo europeo ha influenzao le meodologie di definizione del prezzo di qualsiasi srumeno finanziario. L obieivo del modello è quello di valuare al empo il prezzo di un opzione call di ipo europeo avene scadenza in T, con prezzo d esercizio pari a K, su di un azione di valore S, nell ambio di un mercao in cui sono preseni olre ad aivià rischiose, quali le azioni, aivià prive di rischio quali i bond, il cui asso di rendimeno risk-free è pari ad r. Alla base della eoria di Black & Scholes per derivare la formula del valore di un opzione in ermini del prezzo dello sock sono sae assune condizioni ideali nel mercao per lo sock e per l opzione; quese condizioni sono: Il asso d ineresse nel breve periodo è noo ed è cosane nel empo; Lo sock price segue un moo browniano araverso il empo, produce una disribuzione log-normale per lo sock price; Un processo W si dice moo browniano, o processo di Wiener, se soddisfa alle segueni proprieà:. V = q.c.,. W W s s con s, cioè l incremeno che subisce il processo è indipendene dalla soria passaa, 3. ( W W ) N(, s) ; s 6

8 Lo sock non paga dividendi o alre disribuzioni; L opzione è europea, cioè che può essere eserciaa solo alla scadenza; Non ci sono cosi di ransazione nel comprare o vendere lo sock o l opzione; E possibile prendere a presio anche piccole frazioni di opzioni; È possibile vendere allo scopero. Soo quese condizioni il valore dell opzione dipenderà solo dal prezzo dello sock, dal empo e dalle variabili che sono prese cosani. Black-Scholes sono parii da un mercao che comprende: - un iolo rischioso che si evolve come un moo browniano geomerico, Dove: che soddisfa cioè la seguene relazione: S = S exp( + µ w ) con S = valore iniziale; - un iolo non rischioso che evolve con asso d ineresse cosane: B = B exp( r) con B. r è il asso d ineresse non rischioso, = è la volailià dello sock che è noa e cosane, µ è il drif dello sock. Per un claim X arbirario, noa la scadenza T, sono andai a vedere la sraegia di replicazione, ) 3. Quesa sraegia è saa sviluppaa in 3 passi: (. rovare una misura Q soo la quale S è una maringala, araverso il eorema di Cameron-Marin-Girsanov;. formulare il processo E = E X ) ; Q ( 3 = unià di iolo rischioso al empo e = unià di iolo non rischioso al empo. 7

9 3. rovare un processo prevedibile ale che de = ds, araverso il eorema di rappresenazione delle maringale... Teorema di Cameron-Marin-Girsanov Sia W un P-moo browniano e sia s un processo ale che: T E p exp s ds < + Sia Q la misura di probabilià definia da: dq dp T T = exp s dws s ds Allora ~ W = W + T ds è un Q-moo Browniano. s.. Teorema di rappresenazione delle Maringale Si suppone che E sia un processo Q-maringala, dove la volailià soddisfa la condizione addizionale che è sempre diversa da zero con probabilià. Poi se Z è un alra Q-maringala, allora esise un processo, previsibile ale che: e Z può essere scrio come: T d < + con probabilià, 8

10 Z = Z + sdes. Inolre è essenzialmene unico.. FORMALIZZAZIONE DELLA TEORIA Lo sock sconao con asso d ineresse diverso da zero è Z = B S, il claim sconao è B T X e l equazione differenziale socasica per Z è: dz = Z dw + µ r + d Passo : Per rendere Z una maringala si richiama il eorema di Cameron-Marin-Girsanov, bisogna quindi eliminare la presenza del drif soo una cera misura Q; si pone un processo con valore cosane ~ = µ r + ale che W = W + è un Q-moo browniano. Sosiuendo l equazione differenziale socasica diviene: ~ dz = Z dw. Quindi, soo la misura Q, maringala. Z è senza drif ed è una Passo : Occorre un processo che raggiunga il claim sconao e sia anche una Q-maringala. Provvede a ciò il valore aeso condizionale, cioè formando il processo E = E ( B X ) Q T. 9

11 Passo 3: Il prezzo dello sock sconao è una Q-maringala, e così è il processo di valore aeso condizionale del claim sconao E. Il eorema di rappresenazione delle maringale dà un previsibile ale che de = dz. La sraegia di replicazione è: Tenere unià di sock al empo, Tenere = E Z unià di obbligazioni al empo. Il valore V = S V del porafoglio è dao da: + B = B E = B E Q r( T ) ( B X ) = e E ( X ) T Q.3 OPZIONI CALL EUROPEE Per prezzare un opzione call, il dirio ma non l obbligo a comprare un unià di sock per una predeerminaa quanià ad una paricolare daa, dea T con K lo srike price dell opzione e claim X= ( S K ) + si deve in primo luogo rovare V, il valore della sraegia di replicazione al empo zero, e quindi: V + ( S ) ) = exp( r) E K Q T dove Q è la misura di maringala per B S. Per rovare queso si guarda al processo di S scrio in ermini del Q-moo browniano W ~ ~, si ha che S = S W + r exp, così la disribuzione marginale per S T è daa da un esponenziale che si disribuisce come una normale con media r T e

12 varianza T. Se si prende Z come una normale T, T si può scrivere T N + ( ) claim come e rt E ( S exp( Z + rt ) K ) che: S come S exp( Z + rt ) e il che equivale a scrivere V ( S, T ) = S S log k + r + T Ke T rt S log k + r T T che è la log-normal call formula, con funzione di riparizione di una normale sandard. La formula di Black & Scholes non solo fornisce il prezzo del conrao, ma anche la sraegia, infai si può facilmene vedere che confronando il prezzo, che è funzione dell orizzone emporale e del empo iniziale: V ( S T ) rischiosi e ioli non rischiosi: log =,, e il porafoglio con S k S + B, si oiene: + + r T ( T ) ioli e = ke r ( T ) S log k + r T ( T ). I faori che influenzano il prezzo dell opzione sono: r,, T, S ; in paricolar modo la molla che probabilmene ha fao scaare gli approfondimeni di alri sudiosi sa nel fao che a seconda che sia prossimo a zero, o prossimo all infinio implica o un

13 comporameno assoluamene non rischioso o un comporameno alamene rischioso spingendo l acquirene ad avere aeggiameni compleamene differeni a seconda della siuazione; da qui l esigenza di considerare la volailià come un paramero variabile e non cosane.

14 3. MODELLI CON VOLATILITA NON COSTANTE La varianza dei profii dello sock ha giocao e gioca un ruolo molo imporane negli sudi finanziari. Moli sudiosi hanno sviluppao meodi per migliorare l accuraezza delle sime della varianza, da valori passai del profio dello sock, a opion prices per recuperare sime correni. Queso lavoro è sao moivao dal fao che la volailià dello sock price sembrava cambiare olre il empo e che quesi cambiameni non fossero compleamene predicibili. Il modello di Black-Scholes considera i profii dello sock disribuii log-normalmene con varianza cosane; quesi alri modelli invece ammeono che la varianza possa variare in dipendenza da alre variabili, come lo sock price o il valore dell impresa. Si andranno quindi a vedere alcuni modelli che mosrano la varianza con specificazioni differeni; in paricolar modo si andranno a vedere modelli sviluppai con sime della varianza che dipendono da valori sorici dello sock reurn daa, ed alri che hanno uilizzao l opion price per deerminare sime correni. 3. VOLATILITA LIVELLO-DIPENDENTE Black-Scholes nel loro modello derivarono la seguene formula per l opion pricing, soo la condizione che i profii dello sock price fossero disribuii log-normalmene: ds = S( µ d + dz) () con noa e cosane e z moo browniano. 3

15 3.. Modello di Cox e Ross Cox e Ross (976) nella loro Elasicià cosane della varianza (CEV) a differenza di Black-Scholes non considerarono una disribuzione log-normale con varianza cosane, ma una volailià ( ) della seguene forma: ( x) = x l equazione differenziale risulane è : S e conseguenemene ds = µ Sd + S / dz () con faore d elasicià ( ). Se si considera = si riorna al caso limie di log-normalià e la varianza non è funzione dello sock price. Per la prezzaura di un opzione call con scadenza T e srike price K, considerando un porafoglio senza rischio che consise dell opzione call dello sock e parimonio conane, rovarono che il =, dell opzione call è oenua dalla soluzione valore V V ( S T ) della seguene equazione: V V V = rs rv + ( S S ) (3) S S con condizione di bond: ( S ) = ( S K ) + V,. (4) Beckers (98) osservando la classe dei modelli CEV di Cox e Ross e comparando la soluzione oenua con quella del modello log-normale di Black-Scholes rilevò che i prezzi d opzione per il CEV erano più ali per opzioni in-he-money e a-he-money e più bassi per opzioni ou-of-he-money rispeo alle rispeive opzioni oenue con la formula di Black-Scholes. Inolre rilevò una relazione inversa ra il livello dello sock price e la sua volailià. 4

16 3.. Modello di Geske Nel loro aricolo Black-Scholes avevano rilevao che la maggior pare delle socieà (corporae liabiliies) possono essere vise come opions. Geske (979) a sua vola suggerì quindi che la formula per valuare il valore di un opzione call, V, può essere derivaa come una funzione del valore di un impresa, A, se lo sock dell impresa, S, può essere viso come un opzione nel valore dell impresa che presena debii. Rispeo alla formula di Black- Scholes, che assume che la varianza sia cosane, il modello d opzione composa proposo da Geske non considera la varianza cosane ma dipendene nei livelli dello sock price o più precisamene dipendene dal valore dell impresa. Se il valore dell impresa è dao da un moo browniano esponenziale allora lo sock price è dao dalla formula di Black-Scholes con il se dello srike uguale al valore del debio, D, e la scadenza uguale alla daa di scadenza del debio, T D. TEOREMA: Si assume che gli invesiori siano insaziabili, che il mercao sia perfeo e compeiivo, che il asso d ineresse sia noo e cosane nel empo, che l operazione di commercio avvenga coninuaivamene nel empo, che l impresa non abbia da sborsare denaro, che cambiameni nel valore dell impresa seguano l andameno di un random walk a empo coninuo con varianza proporzionale al quadrao del valore dell impresa e gli invesiori concordino quesa varianza espressa come segue: A, quindi l opzione call europea è V = AN h +!, K +!! De! N h, K! Ke! r! r! A A ; ; N ( h) (5) 5

17 dove: ln h = ( A / A) + r A!! A K ln = ( A / D) + r A!! A dove A è il valore di A ale che: S r! ( K + ) De N ( K ) K dove! K = AN A! = *! = T, e la noazione non specificaa precedenemene sa ad indicare: V= valore correne dell opzione call N (") = funzione di disribuzione normale bivariaa cumulaiva con h e K come limii dell inegrale e!! come coefficiene di correlazione, dove! = * e! = T. (Per la dimosrazione rif. Appendice dell aricolo The valuaion of coupond opions di Geske da Journal of Financial Economics ). La formula inrodoa nel eorema precedene ha le caraerisiche desiderabili della formula di Black-Scholes, ed in paricolar modo la non dipendenza dagli asse dell impresa. La volailià dello sock price è quindi: A log + r + ( T ) D A D A S A S A $ = A > S A A A TD A (6) Il valore dell opzione nel modello di Geske è daa dalla soluzione (5) con la nuova specificazione di S, (6). Si assume sempre la condizione di essere in presenza di un mercao perfeo e compeiivo come per il precedene modello di Black-Scholes e 6

18 come per ques ulimo anche per Geske una coperura senza rischi può essere creaa e manenua con due garanzie, che nel suo caso specifico sono l impresa e l opzione call. La condizione per cui l opzione call alla daa di scadenza viene eserciaa o meno dipende non dallo sock dell impresa, S, al empo T, la scadenza, ma da A, il valore dell impresa e quindi V max ( S K ), con S = max (, A D ) =, T T T. Quindi menre il modello di Black-Scholes assume che la varianza del profio dello sock non è funzione dello sock price, nel modello di Geske la varianza del profio nello sock è inversamene correlaa con lo sock price; quando lo sock price diminuisce (cresce) la proporzione di debio dell impresa cresce (diminuisce) e queso aumeno (diminuzione) del rischio è riflessa da una crescia (diminuzione) nella varianza dei profii dello sock. Nel modello di opzione composa la varianza dello sock è funzione dello sock price e queso pora ad una influenza ra ue le variabili preseni nel modello che deerminano il prezzo dello sock, incluso T D, la daa di scadenza del debio; è sao rilevao che quando la daa di scadenza dell opzione nello sock diminuisce, la via dello sock, come un opzione nel valore dell impresa, è anch esso in diminuzione, quesa diminuzione di S causa una crescia nella proporzione di debio dell impresa, accrescendo la rischiosià del profio nello sock dell azienda. Se D= o T = la formula collassa nell usuale formula di Black- D Scholes. Rubinsein (985) analizzò il prezzo d opzione per vedere se c era una sisemaica variazione della volailià implicia con lo srike. Per uno dei periodi presi in considerazione rovò che la volailià implicia veramene diminuiva se l opzione si sposava ou-of-hemoney, e in un periodo più ardi la volailià implicia aumenava quando lo srike aumenava. 7

19 Quindi si può rilevare che i modelli con volailià livello-dipendee di Cox e Ross e Geske sono incapaci di spiegare cambiameni della volailià olre il empo, per un effeo asimmerico della volailià implicia (skew), in quano vincolaa dall andameno di alre variabili preseni nei modelli. 3. VOLATILITA STOCASTICA ATTRAVERSO EQUAZIONE DIFFERNZIALE STOCASTICA (SDE) Nella classe di modelli con volailià socasica, la volailià non è adaaa alla filrazione generaa dal moo Browniano che guida il processo di asse price. Il modello seguene è dovuo a Hull & Whie (987) Hoffmann e al (993) e considera un modello Markoviano più generale che coniene il modello di Hull & Whie come caso speciale. LEMMA: Si suppone che, in un mondo neurale al rischio, lo sock price S e la sua varianza isananea seguene: seguono il processo socasico ds = rsd + Sdz (a) d + % = d dz (b) dove r, il asso d ineresse, è assuno cosane, e % sono indipendeni da S, e z e z sono processi di Weiner indipendeni. La varianza media, olre l inervallo di empo [,T], è definia da: T = ()d. (c) T Dai (a), (b) e (c) la disribuzione di log{ ( T )/ S ( ) } S condizionaa soo è normale con media rt T / e varianza T. 8

20 Se è socasico ci sono un infinià di pah che danno la sessa varianza media, ma ui quesi pah producono alla fine la sessa disribuzione dello sock price, che è log-normale. Ciò che è sao rilevao araverso queso modello è che in confrono con il modello di Black-Scholes la volailià è incorrelaa con lo sock price, l opion price si abbassa in relazione al prezzo di Black-Scholes per opzioni near-he-money; un risulao ineressane è che opzioni a più lungo ermine hanno una più bassa volailià implicia rispeo ad opzioni a più breve ermine quando il prezzo oenuo da Black-Scholes sovrapprezza l opzione. Quando la volailià è posiivamene correlaa con lo sock price, l opion price presena un errore in relazione al prezzo di Black- Scholes che ende al declino al decrescere dello sock price. Crescie di prezzi riducono la volailià al puno che è improbabile che possano risulare sock price molo ali. 3.. Modello di Sco Sco ha elaborao un modello economerico per la sima dei parameri del processo diffusivo di ipo mean-revering che descrive la legge emporale della volailià. Lo scopo è sempre quello di prezzare un opzione call europea con daa di scadenza T e srike price K e ci si pone nel caso in cui non si devono pagare dividendi. Sco prese in considerazione un porafoglio che comprendeva un bond non rischioso, l asse e opzioni call con differeni scadenze. Il processo socasico per lo sock price è il seguene: ds = µ Sd + Sdz (7) ( ) d dz d = ( + (8) dove z e z sono due moi browniani disini. 9

21 Si sa assumendo che i parameri di volailià isananea per lo sock price sono processi random mean-revering. Se ( = allora è un random walk e la varianza non condizionaa per lo sock reurn è infinia. Il paramero è disribuio normalmene. Un opzione call è quindi funzione di re parameri V ( S,, T ) con l assunzione che il asso d ineresse non rischioso è cosane. L inroduzione di una varianza random inroduce alcune complicazioni. Queso il moivo per cui Sco ha considerao un porafoglio con opzioni call e lo sock con differeni scadenze, perché un porafoglio dinamico con una sola opzione e uno sock non sono sufficieni a creare sraegie d invesimeno non rischiose, in quano l equazione differenziale socasica per l opzione coniene foni di incerezza z e z. Quindi si assume l esisenza della funzione di opion pricing V ( S, T ), e si uilizza il lemma di Iô 4 per derivare l equazione differenziale socasica: dv = V S + V( + ( ) V3 + V S + V )S + V d + VSdz Vdz con ) la correlazione isananea ra z e z, e i pedici di V sanno ad indicare le derivae parziali. (9) 4 Si suppone di avere un processo che ammee differenziali di Iô: = µ + ;sia f(x) una funzione reale di var. reali che ammee dx d dw f x * C ) f x ) derivaa prima e seconda coninua ( ( ) df X f + X dx + f ++ X ( socasico: ( ) ( ) ( )( ) differenziale socasico significa che: f ( x ) f ( x dx ammee differenziale = dire che f ammee ' '' ) = f ( xs ) s f ( xs ) s ds + + ' µ f ( x ) dw s s s

22 La funzione di opion pricing V $ V ( S V, T ) alla seguene relazione:, deve soddisfare 3 4 V + S VSS + ), SV +, V V + rsv S S = bv soggeo a condizione di bond V ( S,, ) = ( S K ) + b $ b( S, )., con Poiché la funzione b non può essere dedoa solo dalle considerazioni di arbiraggio, conseguenemene non c è un unica funzione di opion pricing. Da ciò alcuni auori poiché non c è un prezzo unico per le opzioni, hanno suggerio scele paricolari. Quando ) = la scela b = V corrisponde a fissare il prezzo di mercao del rischio pari a zero. Sein & Sein (99) come ineresse primario ebbero quello di generare una formula per l opion pricing che fosse appropriaa al caso in cui la volailià segua un processo socasico auoregressivo. Non c è correlazione ra i moi browniani e vi è presenza di smiles nella volailià. Wiggins (997) a differenza dei modelli proposi da Cox, Geske e Rubinsein suggerì che la volailià non necessariamene dovesse essere perfeamene correlaa con lo sock price. L esisenza di una correlazione negaiva ra l asse e la volailià porò a rilevare che la volailià implicia poeva essere più ala per opzioni in-he-money che per opzioni ou-of-he-money. Poiché le opzioni possono essere usae per coprirsi da rischi conro gli shocks della varianza, i loro valori dipenderanno da movimeni ineremporali di coperura. Se i movimeni della volailià sono correlai negaivamene con gli sock reurns, per valori della call opion ou-of-he-money, decrescono in relazione a valori in-hemoney, e aumenano se i movimeni della volailià sono correlai posiivamene con gli sock reurns. Sia Wiggins che Sco rovarono che, considerando un ampia gamma di srike, prezzi d opzione oenui da modelli con volailià V

23 socasica provvedono ad un adaameno superiore ai prezzi di mercao se comparai con prezzi d opzione oenui da modelli con volailià cosane. I modelli con volailià socasica sono incomplei in quano non si può a lungo replicare perfeamene il pay off di una ipica derivazione araverso una sraegia dinamica di rading nello sock e alcuni asse non rischiosi. 3.3 MODELLI GARCH Il modello GARCH (eeroschedasicià condizionale auoregressiva generalizzaa) è un modello uilizzao per serie emporali con volailià non-cosane a empo discreo. Il modello di opion pricing che ermina con l eeroschedasicià include il modello di elasicià cosane della varianza di Cox, il modello di diffusione a sali di Meron (modello a empo discreo), il modello d opzione composo di Geske e il modello displace-diffusion di Rubinsein. Hull & Whie (987) proposero un modello diffuso bivariao per l opion pricing nell asse con volailià socasica; nel loro modello, un processo esogeno è assuno governare l evoluzione della volailià dell asse. Alri modelli d opzione con volailià socasica similari a quello di Hull & Whie sono quelli di Johnson e Shanno (987), Sco (987), Wiggins (987) e Sein e Sein (99). I modelli di diffusione bivariaa richiedono fori condizioni più di quelle di non arbiraggio. Il modello di opion pricing Garch ha 3 caraerisiche disinive:. il Garch opion price è una funzione del premio al rischio dell asse price;. il modello è non-markoviano; 3. il modello può spiegare alcuni sisemaici errori associai al modello di Black-Scholes.

24 Per un GARCH(,), dao il processo di logarimo dei prezzi Z e varianza condizionale si ha genericamene una formulazione del ipo: Z = + µ + - () Z = + +. ( - () dove - sono variabili random i.i.d. con media zero e varianza. Più genericamene i modelli GARCH permeono a di essere una funzione arbiraria della varianza condizionale passaa e dei residui passai. Menre i modelli GARCH possono caurare proprieà qualiaive essenziali di un processo di asse price, sono invece disadai per un evenuale opion replicaor salvo nel caso più semplice binomiale, quindi un esaa replicazione non è faibile a empo discreo. Però in generale non c è un corrispeivo modello GARCH a empo coninuo. Recenemene una nuova classe di modelli Weak Arch sono sai proposi da Dros e Nijman (993). Per modelli Weak Arch si inende che: { * /} -, è definia essere generaa da un processo Weak Garch(p,q) se, A(L) e B(L) possono essere sceli ali che: P = - [,,...] - P [ -, -,...] = h -, dove P[,-...] - denoa la miglior predizione lineare di X X in ermini di, -,-,...,-,,... i.e. [ X P[,,... ] X - r E per i e r =,,, = Quesi modelli hanno la proprieà che se un processo Weak Arch, che è a empo discreo, è saggiao ad inervalli regolari allora il processo che ne risula è ancora un Weak Arch, a empo coninuo. Duan (995) soo l assunzione di uilià dell invesiore è sao 3

25 capace di derivare un unico prezzo per l opzione. Duan considera un economia a empo discreo, X è l asse price al empo. DEFINIZIONE: Una misura dei prezzi Q è dea soddisfare la relazione locale di valuazione di rischio neurale (LRNVR) se la misura Q è reciprocamene e assoluamene coninua con rispeo alla misura P, X / X disribuia normalmene, soo la E X / X = e e misura Q, ( ) r Var Q Q ( ln( X / X ) ) Var ( ln( X / X ) ) = P quasi ceramene con rispeo della misura P. TEOREMA: Il LRNVR implica che la prezzaura soo la misura Q è: X ln X = r h + % dove % N(, h ) q p + 3 % ( i= i= =. e h i ( i h i ) ih i (Per la dimosrazione si veda l appendice dell aricolo di Duan The Garch opion pricing model nel Mahemaical Finance.) Queso eorema implica che per un Garch(p,q) il processo rimane inao con rispeo alla locale neuralià al rischio, menre il processo di varianza sempre soo l assunzione di misura neurale al rischio non segue un modello Garch. Quindi la varianza condizionale è una funzione lineare della disribuzione quadraa del passao e la varianza condizionale passaa. Chiaramene con h e predicibile. Per la condizione di sazionarieà della covarianza per un Garch(p,q) si assume che q 3 i= p i + 3 ( i < e il processo di asse price sconao e r X è una i= Q maringala. COROLLARIO: Un opzione call europea con prezzo d esercizio K 4

26 e scadenza T ad un generico periodo è specificaa nel seguene modo: V = e ( T ) r E [ max( X K,) ] Q T. () In paricolar modo un Garch(,) è una sosanziale semplificazione dell informazione in quano il modello riflee lo sao dell asse price in due dimensioni: il livello del prezzo e la volailià condizionale. Confronando ques ulimo modello specificao con il noo modello di Black-Scholes si noa che il processo omoschedasico usao da Black-Scholes è un caso speciale del processo Garch, ma l inerpreazione è molo più complessa. Per inrodurre le problemaiche del modello di Black-Scholes si inroduce il seguene eorema che mosra come un correo uso della locale neuralià al rischio possa alerare alcune caraerisiche del processo Garch: ( ) TEOREMA: Soo la misura di pricing Q, se 4 < ( allora:. la varianza sazionaria di % uguaglia [ ( + 4 ) ( ] ;. % è lepocurica; 3. = 4 [ + 4 ( ] Cov Q (% / h, h + ) ( ) (per la dimosrazione si veda l appendice dell aricolo ciao in precedenza). Dal eorema si evince che la varianza condizionale è correlaa negaivamene (posiivamene) con i riardi dell asse reurn se il premio al rischio 4 è posiivo (negaivo). L opion price di Black- Scholes nella sruura Garch è inerpreao usando una incorrea assunzione di omoschedasicià e di conseguenza una deviazione 5

27 sandard non condizionale per il processo di asse reurn neurale al rischio. Le differenze ra il Garch opion price ed il corrispeivo modello di Black-Scholes può essere visa usando differeni livelli della volailià dell asse. L iniziale varianza condizionale per il processo Garch non può essere uguale alla varianza non condizionale. Anche se la varianza condizionale iniziale è collocaa nella varianza non condizionale del processo originale di asse reurn, la locale neuralià al rischio implica che la varianza condizionale soo la misura di prezzo Q ornerà ad una varianza non condizionale più ala di. Poiché la varianza condizionale è correlaa negaivamene ( posiivamene ) con i riardi dell asse reurn il comporameno riornao è differene da quello usualmene associao al modello Garch sandard. L opion price del modello Garch sarà più ala della corrispondene per il modello di Black- Scholes. Quindi il modello di opion price Garch ha moli aspei desiderabili e presena una reale possibilià di correzione dell errore di pricing associao al modello di Black-Scholes. 6

28 4. MODELLO COMPLETO CON VOLATILITA STOCASTICA Hobson e Rogers (998) hanno definio una nuova classe di modelli di prezzi a parire da quano avevano cercao di proporre precedenemene alri sudiosi. Ciò che caraerizza quesi nuovi modelli è la specificazione della volailià isananea in ermini di momeni del logarimo del prezzo sorico pesai esponenzialmene. Quesa caraerisica inroduce un effeo di feedback nel processo di volailià: shock preseni nei prezzi passai provocano una maggiore incerezza fuura. 4. INTRODUZIONE DELLA NOTAZIONE Si definisce il processo del logarimo del prezzo sconao Z Z : r = log( S e ). (3) Si definisce inolre la funzione offse di ordine m: G ( m) ) 4u m = 4 e ( Z Z u du (4) che si può inerpreare come una misura di quano il prezzo al empo si discosi da uo il suo passao. La cosane 4 è un paramero che descrive il asso a cui l informazione passaa è saa sconaa. Assunzione : Z risolve l equazione differenziale socasica dz () ( n) () ( n) ( G,..., G ) db µ ( G,..., G )d = + (5) 7

29 dove (") e µ (") sono funzioni lipschiziane 5 e (") sreamene posiiva. è Osservazione : Più generalmene è possibile ammeere che (") è una funzione anche del livello di prezzo S. Così il modello può essere eseso ad includere la classe dei processi di volailià dipendene nei livelli come un caso speciale. Osservazione : La chiave caraerisica da soolineare a queso primo sadio è che non viene inrodoo un nuovo moo Browniano nello specificare il processo del prezzo. Queso implica che il modello produce un unico opion price senza la necessià di specificare il mercao dei prezzi per il rischio. () ( m) Lemma: (, G,... G ) Z forma un processo di Markov. I processi offse differenziale socasica: dg ( m) = mg ( m) (m) G soddisfano all equazione dz m( m ) + G ( m) d Z 4G ( m) d. (6) Finché le funzioni e µ sono assune essere lipschiziane è garania l esisenza e l unicià di una soluzione non esplosiva. Infai la definizione di equazioni differenziali socasiche localmene lipschiziane è daa in queso eorema dove viene usaa * la noazione: sup f ( s) f { s } $ :, 5 Una funzione f : 5 X si dice lipschiziana in X se 8 una cosane L ale che : f ( X ) f ( Y ) L X Y 9X, Y * 5. 8

30 TEOREMA: Si suppone che il coefficiene e b nell equazione differenziale socasica è ale che per ciascun N c è un b ( s x. ) ( s, y. ) K ( x y) *, N s ( s x. ) b( s, y. ) K ( x y) *, N s K N ale che: dove x * : y * N e s N. Si suppone inolre che per ciascuna s s cosane T> ci sono alcune V T ali che, per * ( s x. ) + b( s, x. ) V T ( + x ),, s con equazione differenziale socasica: s T : X ( s, x. ) db b( s, x. )ds = % + +. s 4. PREZZATURA OPZIONE CALL EUROPEA Lo scopo è prezzare un claim coningene europeo con esercizio dao T e pay off f ( ) X =. S T Per semplicià Hobson e Rogers hanno assuno che m fosse pari a nell equazione (6) così che la volailià dipendesse solo nel primo ordine a () G. Si può noare che (5) collassa a: dg = dz G d (7) 4 e che si può combinare (5) e (6) per concludere che G è una diffusione auonoma che soddisfa l equazione differenziale socasica: dg = ( G ) db + ( µ ( G ) G )d. (8) Si può noare che 4 G è adaao alla filrazione di B. 9

31 =, si consideri il processo Definio ; ( s) ( s) + { µ ( s) / ( s) } ~ B $ B + ; ( Su du, che risula essere un moo Browniano soo ) la nuova misura < ~ specificaa in da: ~ d< B? = expa > < ; ( Su ) dbu ; ( Su ) du. (9) = (Per dimosrazione si veda l appendice dell aricolo Complee models wih Sochasic volailiy di Hobson e Rogers) Se si assume che quese condizioni sono soddisfae allora si può scrivere: dg ~ = ( G ) db ( G ) + 4G d () dove B ~ è un < ~ moo browniano. Quindi soo < ~ il processo sconao del prezzo e r S è una maringala, e si può applicare la eoria di Harrison e Kreps (979) e Harrison e Pliska (98) per concludere che il prezzo dell opzione può essere scrio : r ( T ) ~ V S, G, T = e E f ( S ) () ( ) [ ] soggeo alle condizioni di inegrabilià in f ("). Il eorema di rappresenazione delle maringale implica che il claim coningene può essere replicao usando una sraegia previsiva. V soddisfa l equazione alle derivae parziali: = S S 4G G G SS GG GS G () soggeo alla condizione finale: ( r V rv V V ) + V + S V + V + SV ( ) ( S, G,) f ( S ) V =. (3) Si noa che se la volailià dello sock è cosane così che d Z / d $ ( S ) = e f dipende solamene da P e si ricava: 3

32 = rp f P rf f + P f PP che è l equazione differenziale socasica sandard per l opion price di Black-Scholes. 3

33 5. ESEMPLIFICAZIONE DEL NUOVO MODELLO In queso capiolo si vuol calcolare l opion price risolvendo numericamene l equazione differenziale parziale () soggea alla condizione di bond (3). Queso per faciliare una comparazione con il modello di Black-Scholes ed inolre perché una soluzione numerica è necessaria per ricavare alcune proprieà che araverso una soluzione analiica sarebbe roppo complesso oenere. L esempio si basa sul prezzare un opzione call europea con asso d ineresse r che verrà poso pari a zero e ( G) = C + -G ^ N con valori di N ampi e cosani. L inuizione che si spera di caurare con queso modello è che se il prezzo correne differisce molo dalla media passaa, allora conseguenemene la volailià sarà ala. Basando ( G) sul quadrao di G, con coefficiene lineare diverso da zero, poi è possibile modellare il mercao in cui le variazioni della volailià sono correlae con i cambiameni del prezzo. Per esempio è possibile cosruire un modello in cui la volailià è più ala quando il logarimo del prezzo correne si rova soo la media passaa rispeo a quando è sopra la media passaa, per uno sesso ammonare. Se la specificazione della volailià è rimpiazzaa da ( G) + -G = C allora la diffusione G porebbe esplodere con probabilià posiiva soo la misura di prezzo candidaa P ~. La formula di valuazione dell opzione divena una funzione del prezzo correne S, dell offse correne dei parameri K, lo srike price, C, - e 4. G, del empo ( T ) Z Inizialmene si pone K=, e usando le rasformazioni S $ e, U $ Z G si semplifica il problema di prezzaura dell opzione per, e 3

34 risolvere V V ( Z, U, T ) $ V ( Z, U, T ;,-, 4) $, dove V soddisfa l equazione differenziale parziale: V = 4 soggeo alla condizione di bond: ( z u) [ V zz V z ] + ( z u) V u Z ( Z, U,) = ( e ) + (4) V. (5) Finché la soluzione numerica di (4) soggeo a (5) è calcolao olre le regioni finie delle variabili z e u, la scela di N non influisce sulla soluzione di V. Inolre, per garanire l esisenza e l unicià della soluzione è meglio risolvere (4) soggeo alla Z condizione di bond V ( Z U, ) = ( e ) +,. Il prezzo della call può poi essere dedoo usando la pu-call pariy. Adesso V dà il prezzo della call, con srike fissao pari a, come una funzione dell asse price al empo, ma ciò è un semplice esercizio usando una riduzione per poi calcolare il prezzo ~ ~ V = V ( K, G, T ) di una call con srike arbirario assumendo che il prezzo iniziale soddisfi la relazione S =. Si denoa araverso V ( ) il prezzo dell opzione oenua BS araverso la formula di Black-Scholes definio come segue: [( ln K + T / ) /( T )] K[ ( ln K T / ) ( T )] V BS ( ) = / (6) Poi si definisce un modello di volailià implicia: ~ K, G, T = V V K, G T. ( ) BS ( ) BS (, ) La definizione di ( K, G T ) BS,, funzione in he moneyness dell opzione, sosiuia nella formula di Black-Scholes (6) insieme allo srike K e la daa di scadenza dà il prezzo d esercizio calcolao. La volailià implicia provvede ad una conveniene misura per esprimere il prezzo derivao di sicurezza in un linguaggio che può essere applicao araverso differeni pay off di sicurezza. 33

35 Per cominciare è sao fissao T=.5, la figura mosra la volailià implicia calcolaa come una funzione del primo ordine dell offse G e lo srike K, e in cui i parameri hanno valore: C =., - = 5 e 4 = 5. Fig. : Funzione di prezzo di una call europea per un opzione con T=.5 e K= ; la curva più ala è oenua araverso la formula di Black-Scholes con volailià pari a., menre la curva più bassa è sempre oenua con la formula di Black-Scholes con volailià pari a., quella cenrale invece rappresena la funzione di prezzo oenua con il modello proposo con C =., - = 5, 4 = 5 e G =.. L immediaa conclusione è che la presenza di una volailià noncosane ha l effeo di un aumeno della volailià implicia, e che queso effeo è più fore quando l iniziale offse è diverso da zero, e l opzione non è a-he-money. 34

36 Fig.: La superficie della volailià: è una funzione del valore Iniziale dell offse, qui compreso ra. e., viso da sinisra a desra, e il logarimo dello srike, che varia ra. ( in he money) e. (ou of he money) dal primo piano in fondo. La scala vericale indica il range della volailià implicia che varia ra. e.8. Si può anche raare una famiglia di opzioni con differene grado di in-he-moneyness o in corrispondenza con differeni srike, queso è ineressane per valuare le inersezioni della superficie della volailià implicia. Ciascuna inersezione corrisponde ad un valore differene di G. In principio, con il beneficio dei dai sorici, il valore di G era osservabile così che l opion rader conosceva quale dei possibili regimi per G descriveva la siuazione correne. In praica può essere che l opion rader userà i prezzi delle opzioni correni per dedurre il valore di G. 35

37 Per ui i valori di G la volailià implicaa è una funzione convessa dello srike. Inolre gli effei di skew sono chiaramene visibili : lo smile ha uno skew posiivo per valori posiivi di G e uno skew negaivo quando il correne log-price si rova soo la media passaa. Queso è in accordo con un inuiiva comprensione del comporameno del processo di asse. Si considera la siuazione in cui si ha un opzione ou-of-he-money con valore iniziale di offse G >. Dao che lo srike price è raggiuno dopo l esercizio, l offse a queso empo sarà sempre posiivo, e avrà ampiezza pari a G.La volailià sarà poi abbasanza ala, gonfiando l opion price. Se adesso si considera la possibilià che G possa essere più piccolo, e divenare addiriura negaivo, si vede che divena più difficile per il prezzo dell asse raggiungere lo srike prima dell esercizio, finano che la volailià divena più piccola. Poi se S non è abbasanza ampio, una vola che il prezzo raggiunge lo srike, S sarà prossimo allo zero; la volailià isananea sarà poi bassa e così il prezzo dell opzione sarà ridoo. Sicuramene se S enderà ad allargarsi S sarà ancora ampio quando il prezzo d esercizio è raggiuno, e così il prezzo d opzione sarà di nuovo più ampio. Queso dà una spiegazione qualiaiva delle curve vise in figura 3. 36

38 Fig. 3: Le re curve sono sae ricavae imponendo ad S di assumere i valori -., e. rispeivamene; in ui i casi si può noare la presenza di smiles e skew che varia al variare del valore iniziale dell offse. L analisi è saa concenraa in opzioni con T=.5. Adesso quesa condizione viene rilasciaa. Le figure 4 e 5 mosrano il plo della volailià implicia come una funzione sia di T che dello srike. I grafici corrispondono a due differeni valori iniziali dell offse. Un osservazione immediaa è che la grandezza dello skew e smiles decresce col empo. In enrambi i plo si possono noare inersezioni ra lo srike cosane e la volailià implicia che aumena col empo, e inersezioni in cui decresce col empo. Enrambe quese osservazioni sono corollario del fao che la volailià implicia è una misura della media della volailià isananea olre la duraa dell opzione, e queso mediamene pora ad effei levigani (smoohing). 37

39 Fig. 4: Sruura della volailià: volailià implicia come funzione del logarimo dello srike e del empo T dell opzione, con valore iniziale dell offse G =.. 38

40 Fig. 5: Sruura della volailià: volailià implicia come funzione del logarimo dello srike e del empo T dell opzione, con valore iniziale dell offse G =.. Per compleare la discussione di queso esempio numerico si considera la sensibilià della volailià implicia per cambiameni dei parameri del modello. C è una fore similarià qualiaiva ra la famiglia degli smiles per ogni paio di parameri (-, 4) come illusrao in figura 6 e 7. La scela dei parameri è visa colpire la grandezza degli smiles; la aglia dello smile è direamene correlaa a - ed è inversamene correlaa con 4. La prima di quese relazioni è immediaa per come è formalizzaa la volailià; la spiegazione della seconda osservazione è che ampi valori di 4 sono associai a volailià più basse. Tipicamene queso farà si che il valore della funzione di offse G decresca, conseguenemene riducendo la volailià per 39

41 come è saa definia all inizio del capiolo. Quindi la naura della dipendenza in enrambi i parameri - e 4 deriva dalla paricolare specificazione dinamica per il processo dei prezzi. Fig. 6: Sezione di smiles : in ogni plo compaiono 3 funzioni di volailià con smiles poiché si considerano re differeni valori iniziali dell offse: G =.,,., il paramero - assume valore 5 in enrambi i casi menre 4 assume valore 5 per il grafico a sinisra e per quello a desra. 4

42 Fig. 7: Sezione di smiles : in ogni plo compaiono 3 funzioni di volailià con smiles poiché si considerano re differeni valori iniziali dell offse: G =.,,., il paramero - assume valore in enrambi i casi menre 4 assume - valore 5 per il grafico a sinisra e per quello a desra. Infine si fanno alcune osservazioni riguardani la forma dell opion price V $ V ( Z, U, T ). Se ( G) è una funzione regolare poi è facile verificare araverso l equazione differenziale parziale (4) e la condizione di bond (5) che: z z ( z, u, ) = e V ( z, u, ) + ( e ) V. Quesa proprieà è condivisa con la formula di Black-Scholes ( z ) V BS, : dove V BS z z ( z, ) = e V ( z, ) + ( e ) V BS è consideraa come una funzione del correne logarimo dei prezzi z, e del empo, assumendo lo srike pari a. BS 4

43 6. CONCLUSIONI L analisi svola su una serie di formule, modelli e ideologie che si sono sviluppae a parire dal 973 è saa faa al fine di far un excursus su quello che è sao analizzao negli anni per rovare una buona soluzione, in ambio finanziario, per la prezzaura di opzioni call europee. Imporane è la daa 973 perché è l anno in cui si sviluppò ad opera di Black-Scholes una formulazione che è saa definia innovaiva e di facile uilizzo, ma come in ue le cose c è sao uno sudio approfondio su codesa formula che ha porao a svariae criiche, modifiche e nuovi assuni. Ciò che si è voluo soolineare è sao il rifiuo dell assunzione di una volailià cosane. A parire da queso, inizialmene si sono vise due differeni ipologie di modelli che sono sai inrodoi assumendo che, diversamene da Black-Scholes, la volailià fosse non-cosane. Il primo filone di modelli vede una volailià dipendere da livelli passai, menre il secondo vede la volailià seguire un secondo moo browniano indipendene dal primo. I due nuovi modelli sono molo differeni ra loro, ma ugualmene enrambi sono ancora incomplei per una spiegazione accuraa di ciò che compora una sima ed una spiegazione del mercao dei prezzi delle opzioni. Il modello di Cox e Ross, modello di elasicià cosane della varianza, presena la varianza come funzione dello sock price, e rienra nel caso di modelli livello dipendene; Beckers (98) osservando la classe dei modelli CEV e comparando la loro soluzione con la soluzione oenua con quella del modello lognormale di Black-Scholes noò come i prezzi d opzione per il CEV erano sicuramene più efficieni rispeo a quelli oenui con la formula di Black-Scholes ed inolre rilevò una relazione inversa ra il livello dello sock price e la sua volailià. 4

44 Il modello d opzione composa proposo da Geske invece considera sempre una varianza non-cosane e livello-dipendene, ma differenemene dal modello CEV in queso si ha una dipendenza nel valore dell impresa; ed anche in queso caso è saa evidenziaa una relazione inversa ra la varianza e lo sock price. Comunque si può concludere che i modelli con volailià livellodipendee di Cox e Ross e Geske sono incapaci di spiegare cambiameni della volailià olre il empo in quano vincolaa dall andameno di alre variabili preseni nei modelli, dello sock price per uno e del valore d impresa e conseguenemene anche il debio per l alro. Per i modelli con volailià spiegaa da un secondo moo browniano si è viso che Sco ha elaborao un modello economerico per la sima dei parameri del processo diffusivo di ipo mean-revering che descrive la legge emporale della volailià. L inroduzione di una varianza random inroduce alcune complicazioni e queso ha porao a considerare un porafoglio con opzioni call e lo sock con differeni scadenze per conrasare le foni d incerezza preseni nel modello che fanno si che non sia possibile cosruire sraegie d invesimeno non rischiose. Wiggins (997) a differenza dei modelli proposi da Cox, Geske e Rubinsein suggerì che la volailià non necessariamene dovesse essere perfeamene correlaa con lo sock price. L esisenza di una correlazione negaiva ra l asse e la volailià porò a rilevare che la volailià implicia poeva essere più ala per opzioni in-he-money che per opzioni ou-of-he-money. Poiché le opzioni possono essere usae per coprirsi da rischi conro gli shocks della varianza, i loro valori dipenderanno da movimeni ineremporali di coperura. Se i movimeni della volailià sono correlai negaivamene con gli sock reurns per valori dell opzione call ou-of-he-money decrescono in relazione a valori in-he- 43

45 money e aumenano se i movimeni della volailià sono correlai posiivamene con gli sock reurns. Sia Wiggins che Sco rovarono, come viso precedenemene nei modelli livello dipendeni, che prezzi d opzione oenui da modelli con volailià socasica provvedono ad un adaameno superiore ai prezzi di mercao se comparai con prezzi d opzione oenui da modelli con volailià cosane, ma uo ciò non era ancora sufficiene. A al proposio lo sudio più recene che è sao sviluppao è quello ad opera di Hobson e Rogers che hanno apporao delle migliorie pur manenendo alcune caraerisiche di enrambi i modelli precedeni. Le migliorie che sono sae cercae sono moivae da un desiderio di avere un modello che soddisfa a crieri: in primo luogo la volailià isananea dev essere correlaa con la recene soria del processo dei prezzi e in secondo luogo araverso il meccanismo di replicazione delle opzioni ci saranno prezzi del claim preferii-indipendeni. Rispeo a modelli visi in passao il nuovo modello non è governao da un secondo moo browniano, ed è saa inrodoa una nuova funzione dea di offse che esprime la dipendenza del prezzo dell opzione dal passao più recene. La nuova classe di modelli complei con volailià socasica propone una connessione casuale ra i movimeni dell asse price correne e la volailià fuura. In conraso con i modelli di volailià livello-dipendeni, la volailià dipende unicamene dal processo di asse price. La classe dei modelli di volailià livello-dipendene può essere viso come un caso speciale della nuova classe di modelli complei con volailià socasica. Smiles e skews nella volailià implicia delle opzioni sono fenomeni comuni, come è sao rilevao nell esempio. In paricolare si è pouo vedere che c è uno skew negaivo se e solo se l asse price è soo il suo recene valor medio. 44