Lingo caratteristiche generali

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1 Introduzione a Lingo TM Lingo caratteristiche generali E un software per la PL e PLI, ma anche per problemi non lineari Permette di scrivere il problemi direttamente in termini di funzione obiettivo, vincoli e variabili Permette di scrivere i programmi usando una sintassi simbolica (linguaggio di modellazione matematico) Rappresenta sommatorie, cicli ecc. Separa il modello dai dati Lingo Definizione e soluzione di problemi Esempio di input di un problema di PL Sulla Carta max 3x 1 +2x 2-4x 1 +5x 2 3 3x 1-16x x 1 1 x 2 0 Con Lingo max = 3*x1 + 2*x2; -4*x1+5*x2<=3; 3*x1-16*x2<=12; x1 <= 1; definito il modello il bottone attiva il processo di soluzione (dopo la verifica sintattica) non ci sono i vincoli di positività ci sono ; alla fine delle righe la finestra di soluzione fornisce svariate informazioni il report mostra il risultato ottenuto Primale informazioni sul duale 1

2 Esercizio Risolvere con il branch and bound il seguente problema di PLI. Per la soluzione del rilassamento lineare usare LINGO. min 12x x 2-3x 3 +9x 4 +4x 5 4x 1 + 7x 2 +6x 3 +3x 4-12x x 1 + 7x 2-3x 3-3x 4-2x 5 20 x 1 5 x 2 2 x 3 8 x i 0 per ogni i=1,2,3,4,5 Struttura di un modello Lingo MODEL: END [ TITLE <nome modello>; ] <definizione degli insiemi di indici, delle variabili e delle costanti> <assegnazioni valori alle costanti> <definizione della funzione obiettivo e dei vincoli> Ogni riga (ad eccezione di quelle che identificano le parti del modello) deve terminare per ; Commenti: testo tra! e ; Insiemi e variabili Le variabili non sono tipizzate I Set sono classi di elementi che possiedono attributi che possono essere quantificati Si possono dichiarare Array o creare oggetti che assumono tanti valori quanti gli elementi di uno o più insieme Sintassi: setname [/ member_list /] [: attribute_list]; setname: nome usato per identificare l insieme member_list: elenco degli elementi dell insieme (esplicito o implicito) attribute_list: Esempio Vettori: variabili o costanti definite su un insieme SET PRIMOINSIEME /ELE1,ELE2/:PROPRIETÀ; CASE /CASA2,CASA1/:COLORE; ENDSET In questo modo sono stati creati i seguenti vettori: [PROPRIETÀ(ELE1),PROPRIETÀ(ELE2)] [COLORE(CASA1),COLORE(CASA2)] Definizione implicita: CAMION / 1..6/: CAPACITA; Matrici (variabili o costanti definite su più insiemi) Sono insiemi derivati: setname( parent_set_list) [ / member_list /] [: attribute_list]; parent_set_list: è un elenco di insiemi precedentemente definiti. member_list : Se omesso, si considerano tutte le combinazioni dei membri dagli insiemi genitori. Altrimenti si usa per specificare esplicitamente gli elementi di interesse o per filtrarne solo alcuni. Esempio SET PRIMOINSIEME /ELE1,ELE2/:PROPRIETÀ; CASE /CASA2,CASA1/:COLORE; LINKS(PRIMOINSIEME,CASE):PREZZO,VOLUME; ENDSET Si è creato un template di una struttura: Links=(Ele1 Casa1, Ele2 Casa1, Ele1 Casa2, Ele2 Casa2) = ( Ele1 Casa1, Ele1 Casa2 Ele2 Casa1, Ele2 Casa2 ) Prezzo(i, j) e Volume(i, j) sono due matrici i cui elementi sono definiti dalle combinazioni dei due insiemi, e.g., Prezzo(Ele2, Casa1) 2

3 Sottoinsiemi di elementi Per default un insieme derivato (o matrice) ha tanti elementi quanti il prodotto cartesiano degli insiemi da cui deriva PRODUCT / A B/; MACHINE / M N/; WEEK / 1..2/; ALLOWED( PRODUCT, MACHINE, WEEK); Si possono costruire sottinsiemi del prodotto cartesiano esplicitamente o attraverso condizioni ALLOWED( PRODUCT, MACHINE, WEEK) / A M 1, A N 2, B N 1/; In questo caso solo (A,M,1), (A N 2), (B N 1) sono definiti. Oppure si possono inserire dei filtri: HEAVY_DUTY( TRUCKS) CAPACITY( &1) #GT# 50000:; In questo modo gli elementi dell insieme sono {(A,M,1), (A,M,2) (A,N,1), (A,N,2), (B,M,1), (B,M,2), (B,N,1), (B,N,2)} inizio condizione indice riferito al primo insieme derivato (TRUCKS) assegnazione valori alle costanti La sintassi: object_list = value_list; Esempi DATA PROPRIETÀ=3,4; COLORE=ROSSO,VERDE; In questo modo sono stati assegnati i valori agli attributi degli insiemi : PROPRIETÀ (ELE1)=3, PROPRIETÀ (ELE2)=4 [COLORE(CASA1),COLORE(CASA2)]=[ROSSO,VERDE] assegnazione valori alle costanti Altri esempi significativi... SET1 /A, B, C/: X, Y; X, Y = 1, 4, 2, 5, 3, 6;... inizializzazione delle dimensioni nella sezione DATA SET1: X, Y; SET1, X, Y = A 1 4 B 2 5 C 3 6; assegnazione valori alle costanti Inizializzazione con un unico valore costante DAYS / MO, TU, WE, TH, FR, SA, SU/:NEEDS; NEEDS = 20; Attributi in parte costanti ed in parte variabili YEARS /1..5/: CAPACITY; CAPACITY = 34, 34,,, ; Input dati runtime (what if analysis) Le costanti possono essere specificate runtime lasciandole indicate con? INFLATION_RATE =?; Si possono importare dati da fogli Excel, Database oppure file worksheet filename, data range object_list [ data_source [, table_name [, column_name_1 [, ]]]]); Esiste anche una section INIT per inizializzare le variabili INIT: X =.999; ENDINIT 3

4 (set_name [ conditions ] : (set_name [ conditions ] : (set_name [ conditions ] : (set_name [ conditions ] : expression) Funzioni per la specifica delle caratteristiche delle variabili Funzioni (lower bound, x, upper bound) L x x x variabile x Z Esempio Funzioni (InsiemeA( ) (0, x, 1) ) Impone per tutte le variabili x definite sui valori dell Insieme A di restare tra 0 ed Valore assoluto di x Coseno di x, dove x è l angolo in radianti e x log(x) L x i U i Insieme -1 se x < 0, e +1 se x => 0 Le relazioni (vincoli, obiettivo) possono essere etichettate [etichetta] <relazione> (InsiemeA( ) (0, x, ) (set_name) Seno di x, dove x è l angolo in radianti E il più grande valore tra una lista di scalari E il più piccolo valore tra una lista di scalari Tangente di x, dove x è l angolo in radianti Fornisce il numero di elementi nel set Si consideri un problema di knapsack in cui un campeggiatore ha uno zaino di capacità 15 e deve scegliere far i seguenti oggetti: Operatori logici #EQ# = #NE# #GT# > #GE# #LT# < #LE# #AND# #OR# #NOT# Repellente per insetti di peso 1 e profitto 2 Birra di peso 3 e profitto 9 Coperta di peso 4 e profitto 3 Salsicce di peso 3 e profitto 8 Ciambellone di peso 3 e profitto 10 Frisbee di peso 1 e profitto 6 Insalata di peso 5 e profitto 4 Cocomero di peso 10 e profitto 10; 4

5 MODEL: OGGETTI / REPELLENTE, BIRRA, COPERTA, SALSICCE, CIAMBELLONE, FRISBEE, INSALATA, COCOMERO/: SCELTA, PESO, PROFITTO; PESO PROFITTO = ; CAPACITA = 15; MAX OGGETTI: PROFITTO * OGGETTI: PESO * SCELTA) <= SCELTA)); END ESERCIZIO: Un problema di trasporto - i dati Il direttore logistico di una compagnia organizza le consegne ai clienti. La compagnia produce una sola merce e ha tre stabilimenti (S1,S2,S3) e quattro clienti (C1,C2,C3,C4). I clienti richiedono quantità note di merce C1 C2 C3 C S1 100 E nota la capacità produttiva degli stabilimenti. Sono noti i costi unitari di trasporto della merce. S2 S C1 C2 C3 C4 S S S