Macchine di Turing e Calcolabilità

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1 e Calcolabilità Ivan Lanese Dipartimento di Informatica Scienza e Ingegneria Università di Bologna Ivan.lanese@gmail.com

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3 Ringraziamenti Parte del materiale presente in queste slide è tratto dalla presentazione Calcolo e Simboli: la scienza digitale del prof. Simone Martini, Università di Bologna 3

4 Alan Mathison Turing ( ) Nato il 23 giugno 1912 OBE (Order of the British Empire) FRS (Fellow of the Royal Society) Morto il 7 giugno 1954 per avvelenamento da cianuro, probabilmente suicidio dovuto alle persecuzioni per la sua omosessualità 4

5 Alan Mathison Turing ( ) Criptanalisi Macchine per il calcolo Gioco dell'imitazione Morfogenesi 5

6 Criptanalisi 6

7 Morfogenesi Turing, A. M. (1952). The Chemical Basis of Morphogenesis. Philosophical Transactions of the Royal Society B: Biological Sciences 237 (641):

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9 Il gioco dell'imitazione Cos'è l'intelligenza? Un interrogante è collegato mediante un terminale con due stanze: in una di esse si trova una persona, nell'altra un computer Ponendo domande tramite il terminale, l'interrogante deve decidere chi è l'essere umano e chi la macchina 9

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11 Le macchine di Turing 11

12 Cosa significa calcolare? Turing ha iniziato a porsi domande sulla natura e i limiti dei computer molto prima che questi esistessero! Primo calcolatore universale elettromeccanico: Z3, 1941; Konrad Zuse, Germania. Primo calcolatore universale elettronico: ENIAC, 1946; University of Pennsylvania s Moore School of Electrical Engineering Alan M. Turing, On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem, Proc. Lond. Math. Soc. (2) 42 pp (1936) Entscheidungsproblem (secondo Problema di Hilbert): Esiste un metodo definito di calcolo che, data una proposizione matematica permette di decidere se è o non è 12 dimostrabile?

13 Cosa significa calcolare? =

14 Macchina di Turing Dispositivo astratto che contiene tutti gli elementi essenziali per calcolare una qualsiasi funzione Un supporto su cui scrivere: un nastro infinito, diviso in caselle Un insieme finito di simboli che possono comparire sul nastro Un dispositivo di lettura/scrittura Un insieme finito di stati in cui la macchina si può trovare in ogni istante Una tavola di istruzioni finita, che dice alla macchina cosa fare in base al simbolo che si trova in quel momento sotto la testina di lettura/scrittura 14

15 Macchina di Turing Un insieme finito di stati in cui la macchina può trovarsi Un nastro infinito diviso in celle Un alfabeto finito (insieme di simboli che possono comparire sulle celle del nastro) q0 è lo stato iniziale, in cui la macchina si trova quando viene fatta partire halt è lo stato finale: se la macchina raggiunge tale stato, si ferma. Nota: gli stati possono avere nomi arbitrari; q0 e halt sono solo una nostra convenzione che useremo qui L'alfabeto include un simbolo spazio (blank) che compare su tutte le (infinite) celle non inizializzate del nastro. Un insieme finito di celle puo' contenere inizialmente simboli diversi da blank, e rappresentano l'input della macchina di Turing Una funzione di transizione che determina il comportamento della macchina 15

16 Funzione di transizione Una lista di regole che indicano, per ogni possibile simbolo X che si trovi al momento sotto la testina e per ogni possibile stato P della macchina: quale simbolo Y scrivere al posto di X (è possibile riscrivere nuovamente X); quale è il nuovo stato Q della macchina (è possibile che lo stato rimanga sempre P); se la testina deve essere spostata a destra oppure a sinistra di una casella; Inizialmente la macchina si trova nello stato iniziale, e la testina è posizionata su una data cella del nastro (che di solito dipende dal problema da risolvere) 16

17 Esempio Testina di lettura/scrittura con indicato lo stato corrente q Contenuto iniziale del nastro Alfabeto: {1, b} Stati: {q0, halt} Stato corrente Simbolo corrente Nuovo Simbolo Nuovo Stato q0 1 1 q0 right q0 blank 1 halt right Spostamento 17

18 Esempio q Calcolare il complemento a uno di un numero espresso in base 2 In pratica, cambiare gli '1' con '0' e viceversa Inizialmente sul nastro viene scritta la cifra binaria Al termine il nastro deve contenere il risultato al posto degli input Esercizio: come definiamo la funzione di transizione? 18

19 Esempio q Calcolare la somma di due numeri in base = Inizialmente sul nastro vengono scritti i due numeri da sommare, separati da un blank Al termine il nastro deve contenere il risultato al posto degli input Esercizio: come definiamo la funzione di transizione? 19

20 Entscheidungsproblem Esiste un metodo definito di calcolo che, data una proposizione matematica permette di decidere se è o non è dimostrabile? Turing definisce metodo definito di calcolo come procedura di calcolo realizzabile mediante una macchina di Turing Tesi di Church-Turing: le macchine di Turing definiscono con precisione la nozione intuitiva di procedimento definito di calcolo Turing dimostra che non esiste alcun metodo definito di calcolo che permette di decidere se una proposizione matematica è o non è dimostrabile. 20

21 Funzioni calcolabili e Turing-Completezza Tesi di Church-Turing: le funzioni calcolabili sono tutte e sole le funzioni calcolabili da una qualche macchina di Turing Qualsiasi formalismo mediante il quale sia possibile simulare una macchina di Turing si dice TuringCompleto Esempio di formalismo Turing-Completo? Esempio di formalismo NON Turing-Completo? 21

22 LEGO Turing Machine 22

23 Formalismo Turing-Completo: Automi Cellulari Griglia infinita di celle che possono essere accese o spente Lo stato successivo di ogni cella dipende dal suo stato corrente, e da quello dei suoi 8 vicini Esempio: Game of Life Una cella accesa che ha meno di due vicini accesi, si spegne Una cella accesa che ha due o tre vicini accesi, resta accesa Una cella accesa che ha più di 3 vicini accesi, si spegne Una cella spenta che ha esattamente 3 vicini accesi, si accende 23

24 Il Game of Life è Turing-Completo 24

25 Funzioni non calcolabili: Halting Problem Esistono funzioni che NON sono calcolabili Esempio (Halting Problem) Scrivere una funzione che accetta in input (1) la descrizione di un programma P scritto in una opportuna notazione, e (2) l'input I da passare a P. La funzione deve restituire TRUE se e solo se il programma P applicato all'input I termina 25

26 Halting problem Dimostrazione semi-formale Supponiamo per assurdo che sia possibile scrivere un metodo Java che accetta in input due stringhe P rappresenta il sorgente di un programma Java I rappresenta l'input su cui il programma P deve operare bool Termina(String P, String I) { if (P applicato a I termina) { return true; } else { return false; Qui dovrebbe essere del } codice Java opportuno } che decide se P(I) termina o no 26

27 Halting problem Dimostrazione semi-formale Poiché l'input I puo' essere una qualsiasi stringa di caratteri, nulla ci impedisce di passare al programma P il suo stesso codice sorgente come input! Quindi se è possibile scrivere un metodo Termina(), è possibile scrivere anche il metodo Termina_su_P() seguente bool Termina_su_P(String P) { if (Termina(P, P)) { return true; } else { return false; } } 27

28 Halting problem Dimostrazione semi-formale Se è possibile scrivere un metodo Termina() e Termina_su_P(), allora è possibile anche scrivere un metodo Bomba() seguente Se P(P) termina, Bomba(P) NON termina Se P(P) non termina, Bomba(P) ritorna true bool Bomba(String P) { if (Termina_su_P(P)) { while (1) ; // ciclo infinito return false; } else { return true; } } 28

29 Halting problem Dimostrazione semi-formale Che cosa possiamo dire dell'invocazione Bomba(Bomba)? Cioé passiamo al metodo Bomba() il suo stesso codice Bomba(Bomba) puo' terminare, o andare in loop Se Bomba(Bomba) termina, significa che Termina_su_P(Bomba) restituisce false Cioé Termina(Bomba, Bomba) restituisce false Cioé Bomba(Bomba) NON termina Assurdo! bool Bomba(String P) { if (Termina_su_P(P)) { while (1) ; // ciclo infinito return false; } else { return true; } } bool Termina_su_P(String P) { if (Termina(P, P)) { return true; } else { return false; } } 29

30 Halting problem Dimostrazione semi-formale Che cosa possiamo dire dell'invocazione Bomba(Bomba)? Cioé passiamo al metodo Bomba() il suo stesso codice Bomba(Bomba) puo' terminare, o andare in loop Se Bomba(Bomba) NON termina, significa che Termina_su_P(Bomba) restituisce true Cioé Termina(Bomba, Bomba) restituisce true Cioé Bomba(Bomba) termina Assurdo! bool Bomba(String P) { if (Termina_su_P(P)) { while (1) ; // ciclo infinito return false; } else { return true; } } bool Termina_su_P(String P) { if (Termina(P, P)) { return true; } else { return false; } } 30

31 Halting problem Dimostrazione semi-formale Quindi supponendo che fosse possibile scrivere un metodo Termina(), abbiamo ottenuto un assurdo Di conseguenza NON possiamo definire un metodo Termina() che operi come indicato Nemmeno se usiamo un linguaggio di programmazione diverso: tutti i linguaggi di programmazione sono equivalenti ad una macchina di Turing, quindi possono calcolare solo le funzioni che una macchina di Turing puo' calcolare 31

32 Funzioni non calcolabili: Tassellatura di Wang Dato un insieme di tipi di piastrelle di Wang, decidere se esse possono ricoprire il piano E' possibile usare un numero illimitato di piastrelle di ciascun tipo Esempio: le piastrelle seguenti possono ricoprire il piano (in modo non periodico) By Anomie - Own work, Public Domain, E' stato dimostrato che è impossibile definire un algoritmo per decidere se un insieme dato di tipi di piastrelle può ricoprire il piano 32

33 By Claudio Rocchini - Own work, CC BY-SA 3.0, 33

34 ...e poi dicono che l'informatica teorica non serve! Michael F. Cohen, Jonathan Shade, Stefan Hiller, and Oliver Deussen Wang Tiles for image and texture generation. In ACM SIGGRAPH 2003 Papers (SIGGRAPH '03). ACM, New York, NY, USA, DOI 34