Design e ottimizzazione di un sistema di scambi per il trapianto di rene da vivente

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1 POLITECNICO DI MILANO Corso di Studi di Ingegneria Matematica Design e ottimizzazione di un sistema di scambi per il trapianto di rene da vivente Relatore: Prof. Roberto Lucchetti Tesi di Laurea Magistrale di: Luca Pullia Matr Anno Accademico

2 Indice Abstract (Italiano) 6 Abstract (English) 8 1 Trapianto di reni Compatibilità Gruppi sanguigni Tipologia tessuti La situazione dei trapianti in Italia Come aumentare il numero di trapianti Teoria dei Giochi e Mechanism Design Teoria dei Giochi Concetti e definizioni di base Equilibri Mechanism Design Implementazione Scambio incrociato di reni Assegnamento delle abitazioni Top Trading Cycle

3 INDICE You request my house - I get your turn Scambio di reni tra coppie Definizione del problema Cicli e w-catene Il mecccanismo di scambio: TTCC Gestione delle w-catene ed efficienza Un esempio Scambi con la lista d attesa Scambio incrociato di reni tra due coppie Scambio di reni con preferenze binarie Il modello Meccanismi di priorità Incentivi dei meccanismi di priorità Matching di cardinalità massima Matching perfetto Cammini aumentanti Alberi alternanti e fiori L algoritmo di Edmonds La decomposizione di Gallai-Edmonds Programmazione matematica e matching di peso massimo Interpretazione geometrica Programmazione lineare intera Il problema duale Matching di peso massimo Scambio incrociato di reni tra più di due coppie Numero di scambi sufficiente

4 INDICE Scambio incrociato di reni tra al più k coppie Complessità Formulazione per lati Formulazione per cicli Le due formulazioni a confronto Proprietà degli scambi tra al più k coppie Comportamento protettivo Ulteriori sviluppi Inclusione delle coppie compatibili Espansione territoriale del programma di scambi Ottimizzazione on-line Conclusioni Ringraziamenti 134 Bibliografia 136

5 Elenco delle figure 1.1 Numero effettivo di trapianti in Italia Numero effettivo di trapianti di rene in Italia Numero di donatori PMP in Italia Numero di donatori PMP in Italia per regione Percentuale di trapianti di rene da vivente in Italia Numero di trapianti da vivente PMP di abitanti in Europa Scambio incrociato tra due coppie internamente ma reciprocamente compatibili Un ciclo Una w-catena Due w-catene che si intersecano Situazione iniziale nell esempio Secondo passo nella risoluzione dell esempio Terzo passo nella risoluzione dell esempio Quarto passo nella risoluzione dell esempio Quinto passo nella risoluzione dell esempio Esempio di applicazione del teorema di Tutte Un albero alternante Caso 3 dell algoritmo di Edmonds

6 ELENCO DELLE FIGURE Caso 4 dell algoritmo di Edmonds Un esempio di blossom Un grafo con un unico cammino aumentante Un esempio di compressione cicli di lunghezza dispari Un esempio di compressione cicli di lunghezza dispari Un esempio di compressione cicli di lunghezza dispari Un esempio di compressione cicli di lunghezza dispari Un esempio di compressione cicli di lunghezza dispari Un esempio di compressione cicli di lunghezza dispari Controesempio sui cicli di lunghezza dispari Un matching ottimale Una soluzione razionale migliore Numero di coppie negli scambi incrociati in base ai gruppi sanguigni Esempio di relazioni di compatibilità in uno scambio di reni Riformulazione per lati del grafo in figura Riformulazione per cicli del grafo in figura Percentuali simulate di coppie incompatibili in uno scambio incrociato di reni Percentuali simulate di coppie incompatibili in uno scambio incrociato di reni per gruppo sanguigno Percentuali simulate di coppie incompatibili in uno scambio incrociato di reni per numero di coppie incompatibili partecipanti Interazioni tra differenti centri trapianti Esempio di grafo per uno scambio di reni Prestazioni di due algoritmi on-line

7 Abstract (Italiano) In Italia ci sono circa diecimila persone in lista per un trapianto di un organo, delle quali circa settemila sono in attesa di un trapianto di rene; il tempo di attesa medio è di tre anni e non tutti i pazienti riescono ad arrivare al trapianto. La maggior parte dei trapianti avviene grazie all espianto da persone decedute, mentre solo una piccola parte proviene dalla donazione da vivente; inoltre in molti casi i donatori viventi non riescono a donare il rene a causa di incompatibilità biologiche con il paziente. Si potrebbe tuttavia trovare un altra coppia formata da un paziente e un donatore tra loro incompatibili, ma che sia reciprocamente compatibile con la prima coppia: il donatore della prima coppia dona al paziente della seconda, e il donatore della seconda al paziente della prima; si può estendere questo ciclo di scambi in modo da coinvolgere anche più di due coppie. Nella tesi vengono analizzati diversi metodi di ottimizzazione per poter combinare tra loro le coppie in modo o da massimizzare il numero di trapianti o da massimizzarne la qualità complessiva in modo da rispettare diversi limiti pratici dovuti principalmente alla capacità delle strutture ospedaliere: tutti gli scambi di uno stesso ciclo devono avvenire in contemporanea per evitare che la sequenza di scambi possa rimanere incompleta a causa del ritiro del consenso da parte di uno dei partecipanti a ciclo già iniziato. Purtroppo l introduzione di questi vincoli pratici comporta un numero minore di trapianti, anche se in maniera 6

8 Abstract (Italiano) 7 limitata; inoltre si ha anche la perdita di una proprietà fondamentale come la strategy-proofness: rivelare completamente le proprie preferenze non sempre è una strategia dominante per i pazienti. Si può vedere tuttavia che una versione più debole di questa proprietà, ipotizzando cioè che i pazienti guardino solo a quello che succede nel caso peggiore, è verificata per ogni limite alla lunghezza dei cicli nel caso di informazione incompleta. Negli ultimi anni questi metodi sono già stati sperimentati con successo negli Stati Uniti e si stanno diffondendo anche nel nord Europa.

9 Abstract (English) Currently in Italy there are about ten thousands people in a waiting list for a transplant, of which about seven thousands are waiting for a kidney transplant: the average waiting time for them is three years, and some patients die from kidney failure while waiting. Most kidney transplants are carried out with kidneys from deceased donors, while only a few from living donors; often living donors are turned away because of biological incompatibilities with the intended recipients. Instead, it could be possible to find another couple of incompatible patient and donor which is cross-compatible with the first couple: the donor of the first couple gives his kidney to the patient of the second one, and the donor of the second couple to the patient of the first one; such cycle of transplants could be extened in order to include more couples. This dissertation analyzes several matching methods which maximize either the number of transplants or the overall quality of the transplants given the constrains in the length of cycles: in order to prevent that the withdraw of the consent by a patient or a donor breaks a cycle of transplants already carried out partially, all surgical operations have to be performed at the same time; the amount of simultaneous operations is constrained by the available hospital facilities. Unfortunately, such limit in the maximum length of cycles lowers the number the transplants, even if the impact is not too big; additionally, with this limit the property of strategy-proofness is lost: revealing 8

10 Abstract (English) 9 the true preferencies is not always a dominant strategy for patients. Yet a weaker version, assuming that patients take in consideration only what happen in the worst case, holds true for any maximum length of cycles in case of incomplete information. Recently these methods were implemented in the United States and then have been spreading in the northern Europe.

11 Capitolo 1 Trapianto di reni I reni svolgono diverse attività indispensabili per il buon funzionamento dell organismo: ripulire il sangue dai prodotti tossici naturalmente prodotti dal corpo nella sua attività, regolarne il quantitativo di liquido extracellulare e il livello di acidità, e secernere ormoni. Tuttavia possono insorgere patologie che non consentono ai reni di svolgere in maniera adeguata i loro compiti. Attualmente la soluzione maggiormente tempestiva consiste nel sottoporre periodicamente il paziente a sedute di dialisi, durante le quali tramite macchine esterne viene ripulito il sangue. Si tratta però di una soluzione solo temporanea, molto dispendiosa e invasiva per il paziente che si vede costretto a sottoporsi a tale procedura frequentemente. La soluzione nettamente migliore consiste nel sottoporsi ad un intervento chirurgico di trapianto di rene: è sufficiente anche il trapianto di un solo rene affinché il paziente possa tornare a condurre una vita praticamente normale, in quanto un rene è in grado di svolgere perfettamente il suo ruolo anche da solo, evitando ovviamente stili di vita che portino ad un suo sfruttamento eccessivo. Affinché un paziente possa ricevere in trapianto un rene nuovo, è necessario tuttavia trovare un donatore compatibile sia per 10

12 1.1. COMPATIBILITÀ 11 gruppo sanguigno che per caratteristiche dei tessuti cellulari: pochi sono i casi in cui si riesce a ricorrere ad un donatore vivente compatibile tra i parenti o i conoscenti del paziente, quindi di solito il paziente entra in una lista d attesa per ricevere un rene da una persona appena deceduta. Uno dei problemi principali nel trapianto di reni è però la lunghezza delle liste d attesa: ad esempio in Italia dal momento dell iscrizione in lista bisogna aspettare in media quasi 3 anni per poter ricevere un rene, e durante l attesa circa l 1.5% dei pazienti in lista muore. 1.1 Compatibilità Affinché un rene di un certo donatore possa essere trapiantato in un paziente occorre che siano verificate certe condizioni di compatibilità mediche tra paziente e donatore; esse sono: gruppo sanguigno (O, A, B, AB); tipi di tessuti (istocompatibilità) o cross-match. Esaminiamole meglio Gruppi sanguigni La prima caratteristica fisica che definisce le relazioni di compatibilità e di incompatibilità tra pazienti e donatori è il gruppo sanguigno, che negli esseri umani si presenta in quattro possibili forme: sangue di tipo A se è presente la proteina di tipo A; sangue di tipo B se è presente la proteina di tipo B;

13 1.1. COMPATIBILITÀ 12 sangue di tipo AB se sono presenti le proteine sia di tipo A sia di tipo B; sangue di tipo O se non è presente nessuna proteina, né di tipo A né di tipo B. La compatibilità derivante dai diversi gruppi sanguigni ha una struttura molto ben definita ed anche la più facilmente individuabile: un paziente è incompatibile con un donatore se il donatore ha nel sangue una proteina o di tipo A o di tipo B non posseduta dal sangue del paziente stesso; quindi nel dettaglio si hanno le seguenti compatibilità: un paziente di tipo A può ricevere un rene da un donatore di tipo O o di tipo A; un paziente di tipo B può ricevere un rene da un donatore di tipo O o di tipo B; un paziente di tipo AB può ricevere un rene da un donatore di tipo O o di tipo A o di tipo B o di tipo AB (quindi da qualsiasi donatore); un paziente di tipo O può ricevere un rene soltanto da un donatore di tipo O. Notiamo subito che i pazienti di tipo AB e 0 si trovano in condizioni opposte: senza considerare altre fonti di incompatibilità, i primi sono avvantaggiati perché possono ricevere trasfusioni di sangue e trapianti da tutti i donatori, mentre gli ultimi sono svantaggiati perché possono ricevere trasfusioni di sangue e trapianti solo da donatori dello stesso gruppo sanguigno. Situazione opposta anche per i donatori dei rispettivi gruppi sanguigni: in quanto possono donare a pazienti di qualsiasi gruppo sanguigno, i donatori

14 1.1. COMPATIBILITÀ 13 di tipo O saranno sovrarichiesti ed è quindi prevedibile una loro generale scarsità che va ovviamente a discapito dei pazienti di tipo O; invece i donatori di tipo AB, dato che possono donare soltanto a pazienti dello stesso gruppo sanguigno, saranno relativamente in sovrabbondanza. Ci sarà quindi una domanda per donatori di tipo O maggiore di quella per donatori di tipo A e di quella per donatori di tipo B, le quali singolarmente saranno ancora maggiori della domanda per donatori di tipo AB. Da questa breve discussione si intravede una problematica che non appare subito evidente. Non solo ci sono pazienti in generale che non hanno donatori viventi compatibili e che quindi devono entrare in lista d attesa e aspettare un trapianto probabilmente per diversi anni, ma in generale esistono delle asimmetrie tra pazienti dovute ai loro gruppi sanguigni: ci sono quindi in particolare pazienti che per via del loro gruppo sanguigno hanno meno possibilità di avere donatori viventi compatibili e quindi hanno maggiori probabilità di finire in lista, dove dovranno competere maggiormente in quanto saranno in molti a contendersi gli stessi rari reni compatibili. Quale sia invece l effetto complessivo di queste asimmetrie dipende dalla distribuzione dei gruppi sanguigni nella popolazione, che però non è costante nello spazio: popolazioni di diversa provenienza possono avere distribuzioni marcatamente differenti Tipologia tessuti Un altra fonte di incompatibilità è dovuta alle caratteristiche diverse che lo stesso tipo di cellule hanno nelle diverse persone. Ogni cellula del corpo umano ha sulla sua superficie una combinazione di molecole che costituiscono una specie di documento di identità che permette alle altre cellule, e in particolar modo a quelle del sistema immunitario, di riconoscerla come appartenente allo stesso organismo. Questa combinazione di molecole

15 1.2. LA SITUAZIONE DEI TRAPIANTI IN ITALIA 14 viene chiamata HLA (Human Leukocyte Antigen) o complesso maggiore di istocompatibilità. LecellulechehannounHLAdiversodaquellodell organismoincuisitrovano vengono attaccate dal sistema immunitario dell organismo stesso. Per questo motivo è molto importante che il rene che viene trapiantato provenga da una persona il cui codice HLA è il più possibile simile a quello del paziente, per limitare il fenomeno del rigetto dell organo trapiantato da parte del corpo ospite. La struttura dell HLA è suddivisibile in due livelli: classe I, che a sua volta può essere di tipo A, B o C, esposta da tutte le cellule; classe II, che a sua volta può essere di tipo DP, DQ, DR, esposta solo dalle cellule del sistema immunitario. A loro volta ogni tipo di ogni classe può presentarsi in una moltitudine di forme diverse (ne esistono più di un migliaio in totale), detti antigeni. Prima di un trapianto occorre quindi valutare la compatibilità dei codici HLA del paziente e del donatore attraverso un esame di istocompatibilità che individua il maggiore o minore grado di compatibilità: naturalmente si cerca di combinare pazienti e donatori il più possibile simili a livello di HLA. Inoltre viene individuata anche l eventuale presenza nel corpo del paziente di anticorpi attivi contro le caratteristiche HLA del donatore: in caso ci siano si parla di cross-match positivo e il trapianto non può essere effettuato. 1.2 La situazione dei trapianti in Italia Sebbene il numero di donatori e di trapianti di organo siano aumentati notevolmente in Italia nel corso del tempo, le liste d attesa sono ancora molto

16 1.2. LA SITUAZIONE DEI TRAPIANTI IN ITALIA 15 lunghe: a fine 2009 in Italia c erano quasi diecimila pazienti in lista, dei quali quasi settemila aspettavano proprio un trapianto di rene. Nella figura 1.1 si può vedere come è effettivamente aumentato il numero di trapianti in generale e nella figura 1.2 come è aumentato quello dei trapianti direnedall iniziodeglianninovantaafine2009initalia, maanchecomenegli ultimi anni il numero in entrambi i casi si è stabilizzato senza aumentare ulteriormente; si noti anche la rilevanza del trapianto di rene: in tutta la serie storica circa la metà dei trapianti riguarda i reni (la restante parte comprende cuore, fegato, polmoni e pancreas). L aumento del numero di trapianti prima e la successiva stabilizzazione si sono accompagnati ovviamente ad un andamento simile del numero di donatori, come si può vedere in figura 1.3, dove sono riportati il numero di donatori per milione di abitanti effettivamente utilizzati per i trapianti. Al di là di questo quadro generale ci sono però delle differenze tra le varie regioni italiane in termini di donatori effettivamente utilizzati, con in generale un numero per milione di abitanti maggiore nel centro-nord rispetto al centro sud, come si può vedere in figura 1.4. Per quanto riguarda i soli trapianti di rene, un incidenza relativamente modesta hanno avuto finora i trapianti da vivente, come mostrato in figura 1.5 dove è riportata la percentuale di trapianti di rene avvenuti da donatori viventi dal 2001 al Il ridotto numero di trapianti da vivente rapportato alla popolazione colloca l Italia tra gli ultimi posti in Europra nel 2008, come mostrato in figura 1.6, in linea con alcuni paesi dell Est Europa, in una situazione peggiore rispetto al resto dell Europa continentale occidentale anche se non molto distante da essa; ancora più evidente è invece la differenza con i paesi del Nord Europa, con i Peasi Bassi e la Svizzera.

17 1.2. LA SITUAZIONE DEI TRAPIANTI IN ITALIA 16 Figura 1.1: Numero effettivo di trapianti in Italia dal 1992 al Dati e grafico: Sistema Informativo Trapianti, Ministero della Sanità. Figura 1.2: Numero effettivo di trapianti di rene in Italia dal 1992 al Dati e grafico: Sistema Informativo Trapianti, Ministero della Sanità.

18 1.2. LA SITUAZIONE DEI TRAPIANTI IN ITALIA 17 Figura 1.3: Numero di donatori per milione di abitanti effettivamente utilizzato in Italia dal 1992 al Dati e grafico: Sistema Informativo Trapianti, Ministero della Sanità. Figura 1.4: Numero di donatori per milione di abitanti effettivamente utilizzato nel 2008 (a sinistra) e nel 2009 (a destra) per regione. Dati e grafico: Sistema Informativo Trapianti, Ministero della Sanità.

19 1.2. LA SITUAZIONE DEI TRAPIANTI IN ITALIA 18 Figura 1.5: Percentuale di trapianti di rene da vivente in Italia dal 2001 al 2009 sul numero di trapianti di rene totale. Elaborazione dai dati del Sistema Informativo Trapianti, Ministero della Sanità. Figura 1.6: Numero di trapianti da vivente per milione di abitanti in Europa nel 2008 per paese. Dati e grafico: Sistema Informativo Trapianti, Ministero della Sanità.

20 1.3. COME AUMENTARE IL NUMERO DI TRAPIANTI Come aumentare il numero di trapianti Nella sezione precedente abbiamo visto come il numero di trapianti in generale è cresciuto nel tempo ma che ormai si è stabilizzato attorno ad un livello che non permette di soddisfare adeguatamente la domanda di reni da parte dei pazienti: le liste d attesa sono molto lunghe, occorrono in media 3 anni per ricevere un rene (durante i quali i pazienti devono sottoporsi regolarmente a trattamento di dialisi) e nell attesa l 1.5% dei pazienti muore. Esistono diverse proposte per permettere un aumento del trapianto di reni. Alcune riguardano la gestione delle liste d attesa, come quella di Zenios e Su presentata in [34]; altre cercano di aumentare il numero di trapianti da vivente. In questo elaborato ci concentreremo su una proposta (e le sue successive raffinazioni e varianti) per l aumento dei trapianti da vivente formulata inizialmente da Roth, Unver e Sonmez in [24] e [25]. Affrontiamo un metodo per l aumento dei trapianti da vivente perché il trapianto da vivente porta ad una prospettiva di sopravvivenza migliore per il paziente senza influire negativamente in maniera significativa sulla salute del donatore, e inoltre perché, come visto nella sezione precedente, rispetto al resto d Europa in Italia il trapianto di rene da donatore vivente rappresenta soltanto una piccolissima parte dei trapianti effettuati. La proposta elaborata da Roth, Unver e Sonmez si basa su un idea molto semplice che punta a sfruttare al massimo l eventuale volontà dei parenti e dei conoscenti di un paziente di donare un rene al paziente stesso. Affinché avvenga una donazione da vivente, è necessario che due condizioni siano soddisfatte: l esistenza di un parente o conoscene in buona salute che sia disposto spontaneamente a donare il proprio rene; la compatibilità fisica tra il donatore volontario e il paziente. Quindi anche se un paziente ha uno o più persone

21 1.3. COME AUMENTARE IL NUMERO DI TRAPIANTI 20 disposte a donare il proprio il rene, potrebbe non risultare compatibile con propri i donatori per via del gruppo sanguigno o per le caratteristiche dei tessuti, come visto in precedenza: allo stato attuale delle procedure, i donatori verrebbero scartati e il paziente entrerebbe in lista. La proposta di Roth, Unver e Sonmez è quella di trovare un altro gruppo paziente/donatori che si trovi nella stessa condizione di incompatibilità interna, ma con la quale sia possibile uno scambio incrociato: quindi, se un donatore di un gruppo è compatibile con il paziente dell altro gruppo e viceversa, allora i pazienti si scambiano i donatori in modo da effettuare due trapianti. Facciamo l esem- Figura 1.7: Scambio incrociato tra due coppie internamente ma reciprocamente compatibili. pio più semplice (mostrato nella figura 1.7): ci sono due coppie di pazienti donatori; il paziente della prima coppia è incompatibile con il suo donatore, e allo stesso modo il paziente della seconda coppia è incompatibile con il proprio donatore. Tuttavia il paziente della prima coppia è compatibile con il donatore della seconda coppia e viceversa il paziente della seconda coppia è compatibile con il donatore della prima: attualmente entrambi i donatori verrebbero rimandati a casa ed entrambi i pazienti entrerebbero in lista d attesa, mentre con la loro proposta sarebbe possibile eseguire immediatamente

22 1.3. COME AUMENTARE IL NUMERO DI TRAPIANTI 21 due trapianti (il donatore della seconda coppia dona un rene al paziente della prima, e contemporaneamente il donatore della prima dona un rene al paziente della seconda) risolvendo immediatamente il problema dei due pazienti, evitando allo stesso tempo di andare ad allungare la lista d attesa; i benefici di tale scambio si estenderebbero quindi al di là delle coppie coinvolte: non inserendo altri pazienti in lista d attesa, si dà la possibilità ai pazienti in lista di essere serviti prima. Il procedimento può essere naturalmente estesso includendo in uno stesso ciclo una terza coppia internamente incompatibile ma tale che: il paziente della prima coppia è compatibile con il donatore della seconda, il paziente della seconda con il donatore della terza e il paziente della terza con il donatore della prima. Alla stessa maniera si può pensare di estendere i cicli anche a quattro coppie, e così via. Nel seguito dell elaborato esamineremo nel dettaglio le proposte di partenza, le loro caratteristiche e le loro estensioni. Per prima cosa nel secondo capitolo vedremo alcuni concetti di base della Teoria dei Giochi e del Mechanism Design utili per inquadrate alcuni aspetti delle procedure proposte; nel terzo e nel quarto capitolo esporremo le proposte di partenza elaborate da Roth, Unver e Sonmez; nel quinto valuteremo le prestazioni delle proposte di partenza in base ai vincoli sul numero di coppie che possono essere coinvolte in uno stesso ciclo di trapianti; infine nel sesto capitolo presenteremo brevemente alcune variazioni alle procedure di base.

23 Capitolo 2 Teoria dei Giochi e Mechanism Design In questo capitolo presentiamo alcuni elementi di base relativi alla teoria dei giochi e al mechanism design. I vari aspetti di tali discipline potranno svolgere nei capitoli seguenti un duplice ruolo: alcuni saranno esplicitamente utilizzati e richiamati, altri non meno importanti rimarranno sullo sfondo ma sono comunque fondamentali nel definire l ambito in cui ci muoveremo. 2.1 Teoria dei Giochi Nella classica teoria dell ottimizzazione vengono studiati i problemi in cui la situazione può essere rappresentata da un unico agente che deve massimizzare o minimizzare la sua funzione di utilità in base a certi vincoli dati; tale agente o è unico, o non ha relazioni con altri agenti che possano avere una qualche influenza sul problema che sta ottimizzando. Nella teoria dei giochi invece si considera la situazione in cui più agenti (chiamati anche giocatori) devono ottimizzare la propria funzione di utilità 22

24 2.1. TEORIA DEI GIOCHI 23 nel caso in cui gli effetti delle loro scelte interagiscono tra loro: ogni agente quindi nel prendere le proprie decisioni deve tenere in qualche modo conto di quelle che potrebbero essere prese dagli altri agenti e adattarsi così al comportamento presunto degli altri agenti Concetti e definizioni di base La teoria dei giochi, modellizzando le situazioni di decisione di agenti in interazione tra loro, deve naturalmente fare delle assunzioni di base sulla situazione in cui si trovano gli agenti e sulle loro caratteristiche. Diversi sono gli insiemi di ipotesi di partenza che si possono utilizzare; nella nostra semplice esposizione introduttiva faremo affidamento alle seguenti ipotesi classiche: Razionalità: ogni agente ha delle preferenze su tutte le conseguenze delle proprie e altrui decisioni e per ogni agente tali preferenze sono coerenti tra loro (se un agente preferisce la conseguenza a alla conseguenza b, e la b alla c, allora preferirà anche la a alla c); ogni agente inoltre sceglierà l azione, tra quelle che ha a disposizione, la cui conseguenza è a lui preferita. Intelligenza: ogni agente ha capacità di analisi, di ragionamento e di calcolo illimitate. Consequenzialismo: per ogni agente contano le conseguenze delle proprie azioni e non le azioni in sé; quindi per un agente due diverse azioni che portano allo stesso risultato sono assolutamente equivalenti. Conoscenza comune: ogni agente conosce esattamente la situazione, e sa che anche gli altri la conoscono come lui e che pure gli altri sanno che lui la conosce come loro, e così via.

25 2.1. TEORIA DEI GIOCHI 24 Ora che abbiamo introdotto le ipotesi di base nei limiti della nostra trattazione (esistono in letteratura vari tentativi per alleggerire le assunzioni appena esposte, ma non verranno presi in considerazione in questa sede), possiamo introdurre in contesto entro il quale i giocatori interagiscono, il che ci aiuterà a formalizzare e spiegare meglio le assunzioni fatte poco fa. In particolare il modello di interazione che andiamo a definire è il cosiddetto gioco in forma strategica. Indichiamo con N l insieme degli agenti (chiamati anche giocatori), e con A i l insieme delle azioni a disposizione dell agente i-esimo. Ciascuna combinazione delle azioni dei vari agenti viene chiamata un profilo di azione e viene indicato con a = (a j ) j N, mentre l insieme dei profili d azione viene indicato con A = j N A j, cioè come il prodotto cartesiano degli insiemi di profili di azione di ogni giocatore. Sia inolte C l insieme dei risultati (o delle conseguenze) ammissibili, determinati dai profili di azione attraverso la funzione g : A C, detta la funzione dei risultati o delle conseguenze. Queste prime formalizzazioni ci permettono di definire cosa sia una strategic game-form o un meccanismo in forma strategica: essa è una tupla N,(A i ),C,g, cioè definita dall insieme dei giocatori, dagli insiemi delle loro azioni, dall insieme delle conseguenze, e dalla funzione che mappa i profili di azione alle conseguenze. Per semplicità nel seguito parleremo indifferentemente di meccanismo riferendoci sempre al concetto di meccanismo in forma strategica: meccanismo è un altro termine per indicare la game-form generica, mentre la strategic game-form è soltanto un caso particolare di tale concetto (un esempio di un meccanismo di tipo diverso è l extensive gameform); ma dato che la strategic game-form è la sola game-form che sarà qui trattata, non ci sarà possibilità di confusione.

26 2.1. TEORIA DEI GIOCHI 25 Definito il contesto in cui si muovono gli agenti, per poter capire cosa effettivamente essi potrebbero fare bisogna determinare le loro preferenze sugli esiti delle loro azioni. Le preferenze costituiscono un elemento in più rispetto a quelli presentati finora; esse non discendono dalle regole del gioco, ma sono un contributo proveniente solo dagli agenti stessi, anzi è un aspetto del loro essere razionali: come assunto in precedenza, se un decisore è razionale allora ha delle preferenze su tutti gli esiti. Se indichiamo il sistema di preferenze del giocatore i con una relazione i, allora tale relazione per il giocatore razionale sarà totale: dati qualunque c 1 e c 2 appartenenti a C allora sarà vera almeno una delle due affermazioni c 1 i c 2 o c 2 i c 1. Inoltre, nell ipotesi di razionalità avevamo indicato anche la richiesta di coerenza per questa relazione di preferenza i : tale richiesta si traduce nella proprietà transitiva della relazione i, quindi presi qualunque c 1 c 2 c 3 appartenenti a C se c 1 i c 2 e c 2 i c 3 allora si avrà c 1 i c 3. Indichiamo un profilo di preferenze come = ( i ) i N, l insieme dei profili di preferenze su C con P. Infine se l insieme delle conseguenze C è finito, allora una relazione totale e transitiva può sempre essere rappresentata con una funzione di utilità u i : C R, cioè tale che per ogni c 1 e c 2 appartenenti a C si ha u i (c 1 ) u i (c 2 ) se e soltanto se c 1 i c 2. Indichiamo un profilo di utilità come u = (u i ) i N. Unendo una game-form all insieme delle preferenze degli agenti, otteniamo un gioco: definiamo quindi un gioco in forma strategica come una tupla N,(A i ),C,g,( i ) ; ribadiamo che le preferenze di un qualsiasi agente i pur se riguardanti C sono riconducibili attraverso la funzione g 1 all insieme dei profili di azione A, e non al solo insieme A i : questa è la principale differenza tra il problema di decisione classico e quello della teoria dei giochi, cioè il reciproco effetto delle azioni tra i vari agenti. In effetti la definizione del gioco in forma strategica non è strettamente unica: se ne possono dare di-

27 2.1. TEORIA DEI GIOCHI 26 verse versioni sostanzialmente equivalenti, ad esempio usando direttamente l insieme A omettendo l insieme C, oppure usando le funzioni di utilità u al posto delle preferenze. Un altro aspetto importante dei giochi in forma strategica da evidenziare è che a livello informativo gli agenti decidono in maniera simultanea e indipendente. Usiamo l espressione a livello informativo perché ciò che conta non è che gli agenti effettuino davvero le loro decisioni contemporaneamente, ma che quando decidano non sappiano cosa hanno deciso gli altri agenti: le uniche informazioni a disposizione degli agenti prima e durante una decisione sono quelle che definiscono il gioco in forma strategica Equilibri Dato un gioco in forma strategica come descritto nella sezione precedente, sarebbe interessante capire quali ne potrebbero essere i risultati. Tuttavia non sempre il risultato finale è facilmente determinabile, e a volte più risultati diversi sembrerebbero possibili. In effetti esistono più concetti di soluzione o di equilibrio; in particolare qui ne vedremo due: l equilibrio in strategie dominanti e l equilibrio di Nash. Per comodità nel seguito per ogni agente i indicheremo con la funzione h i : A R la composizione delle funzioni g i : A C e u i : C R viste in precedenza: h i = u i (g i ) sarà quindi la funzione che associa ad ogni profilo di azioni un valore di utilità (o payoff) per il giocatore i. Per semplicità, partiamo dall analizzare separatamente per ogni agente l insieme di azioni A i a lui disponibili. Dato dunque un gioco N,(A i ),(h i ), per un agente i diciamo che l azione a i A i domina un azione a i A i se h i (a i,a i) h i (a i,a i ) per ogni a i, dove a i è un profilo di azione di tutti gli agenti eccetto l agente i. Un azione a i è dominante per l agente i se è maggiormente o al limite egualmente preferita rispetto a tutte le altre azioni a

28 2.1. TEORIA DEI GIOCHI 27 sua disposizione: se una tale strategia esiste l agente i la sceglie sicuramente, e ciò avviene indipendentemente da qualsiasi azione degli altri agenti. In questo caso per l agente i quindi l interazione con gli altri giocatori ha una rilevanza minore, dato che qualunque sarà la loro scelta questa non influirà su quella dell agente i. Tuttavia le azioni degli altri agenti avranno ancora un effetto sul suo risultato, ma in ogni caso esso sarà il migliore ottenibile da i con le scelte a sua disposizione. Possiamo ora definire l equilibrio in strategia dominanti. Definizione Un equilibrio in strategie dominanti per un gioco in forma strategica N,(A i ),(h i ) è un profilo a A di azioni con la proprietà che per ogni agente i N abbiamo h i (a i,a i) h i (a i,a i ) per ogni a A. L azione di ogni agente è in questo caso la migliore risposta qualunque siano le azioni degli altri giocatori. Tuttavia lo svantaggio di questo concetto di soluzione è che raramente può essere utilizzato in quanto le condizioni che stiamo richiedendo sono molto forti. Un concetto di soluzione più generalmente applicabile è l equilibrio di Nash che andiamo a definire ora. Definizione Un equilibrio di Nash per un gioco in forma strategica N,(A i ),(h i ) è un profilo a A di azioni con la proprietà che per ogni agente i N abbiamo h i (a i,a i) h i (a i,a i ) per ogni a i A. Quindi in un equilibrio di Nash a nessun agente i ha un azione che porta ad un risultato che preferisce rispetto a quello dovuto a a i se ogni altro agente j sceglie la sua azione di equilibrio a j. La differenza con la definizione precedente potrebbe sembrare lieve, ma in realtà è molto importante. In un equilibrio in strategie dominanti la strategia di un giocatore viene determinata come la migliore contro tutte le strategie

29 2.1. TEORIA DEI GIOCHI 28 degli altri giocatori, e in questa maniera può essere determinata indipendentemente da quelle che potrebbero essere le scelte degli altri giocatori: la strategia dominante, sempre che esista, deve essere la migliore in ogni caso. Invece in un equilibrio di Nash la strategia scelta deve essere la migliore rispetto alle strategie di equilibrio degli altri giocatori, che a loro volta dipendono dalla scelta di equilibrio del giocatore in esame. Nel primo caso quindi si può determinare separatamente per ogni giocatore l azione da intraprendere, mentre nel secondo caso non si può neanche parlare singolarmente di strategia di equilibrio ma di profilo di strategie di equilibrio appunto perché le strategie che compongono il profilo di equilibrio hanno un senso solo in relazione con le altre strategie del profilo. Notiamo che un equilibrio in strategie dominanti è anche un equilibrio di Nash, ma non vale ovviamente il contrario. Si può fornire anche una versione alternativa ma equivalente di equilibrio di Nash nella seguente maniera: per ogni azione o strategia a i A i definiamo B i (a i ) l insieme delle migliori azioni del giocatore i in risposta al profilo d azione a i degli altri giocatori: B i (a i ) = {a i A i : h i (a i,a i ) h i (a i,a i), a i A i }. La funzione B i appena definita viene solitamente chiamata la funzione di migliore risposta del giocatore i; in questo modo un equilibrio di Nash può anche essere definito come il profilo di azioni a tale che: a i B i (a i), i N. L equilibrio di Nash mette in luce le proprietà fondamentali che un concetto di soluzione deve avere per poter essere credibile; infatti se un concetto di soluzione proponesse un equilibrio che non fosse di Nash, tale concetto

30 2.2. MECHANISM DESIGN 29 non potrebbe essere prescrittivo per i partecipanti al gioco, in quanto almeno uno di loro avrebbe l incentivo a deviare avendo almeno un azione migliore a disposizione. Un altro aspetto a favore dell equilibrio di Nash è il fatto che, sotto ipotesi non troppo restrittive, in un gioco in forma strategica c è sempre almeno un equilibrio di Nash, a patto però che si estenda il concetto di azioni da quello di strategie pure a quello di strategie miste (concetto che qui però non esponiamo). Un aspetto invece negativo è il fatto che in un gioco possono esserci più equilibri di Nash che prescrivono azioni diverse per i giocatori e che portano a risultati preferiti in maniera differente dai giocatori; oltretutto, in generale, senza coordinamento tra i giocatori può accadere che sebbene gli agenti scelgano strategie appartenenti ai profili di equilibrio tali scelte combinate tra loro portino a risultati di non equilibrio. 2.2 Mechanism Design Nella sezione precedente siamo partiti da un gioco in forma strategica esistente e abbiamo cercato di trovare possibili soluzioni per tale gioco. Nell ambito del Mechanism Design, invece, si cerca di analizzare il problema opposto: si parte da un risultato che si ritiene desiderabile per trovare una game form, o meccanismo, che porti a tale risultato. Si suppone quindi l esistenza di un agente distinto dai giocatori che abbia il potere di determinare il meccanismo del gioco e di farvi partecipare i giocatori, facendo loro rispettare le regole. Il potere del pianificatore è nella possibilità di determinare il solo meccanismo del gioco e non il gioco stesso direttamente: non può obbligare i giocatori a intraprendere le azioni che lui desidera e non può modificare direttamente le loro preferenze. Tutto quello

31 2.2. MECHANISM DESIGN 30 che può fare per raggiungere il suo obiettivo è quello di creare e modificare in maniera opportuna la sola game form in modo da ottenere per quanto possibile il comportamento dei giocatori desiderato. Ovviamente caso per caso il pianificatore può avere poteri diversi sulla definizione della game form: ad esempio in alcuni casi può offrire solo incentivi ai giocatori, in altri può imporre anche sanzioni. Per semplicità ci concentriamo solo su problemi di progettazione del meccanismo dove tutti gli agenti che prendono parte alla situazione sono completamente informati sulla situazione stessa. Indichiamo con C l insieme dei risultati ammissibili, e con P = ( i ) i N un insieme di profili di preferenze su C da parte dei giocatori i N. Una regola di scelta è un applicazione che assegna un sottoinsieme di C per ogni profilo di preferenze in P; una regola di scelta tale che per ogni profilo di preferenze esiste un solo risultato ammissibile per tale profilo è una funzione di scelta f : P C. Il pianificatore deve quindi progettare un meccanismo i cui risultati, per ogni profilo di preferenze P, sia uguale a f( ); se f fosse solo una regola di scelta e non una funzione, il pianificatore dovrebbe affrontare il problema che tutti i risultati f( ) sarebbero possibili. Anche se il pianificatore deve definire un meccanismo, esso si trova comunque ad operare in un contesto ben definito, che chiamiamo ambiente ed è formato da: un insieme finito N di giocatori, con N 2; un insieme C di risultati; un insieme P di profili di preferenze su C; un insieme G di meccanismi con conseguenze in C.

32 2.2. MECHANISM DESIGN 31 In particolare noi tratteremo solo il caso in cui il meccanismo da individuare è una game form strategica. Un concetto di soluzione per un ambiente N,C,P,G è una funzione S con dominio G P e con immagine l insieme dei profili di azioni. Ora presentiamo una definizione del problema che deve affrontare un pianificatore. Definizione Sia N,C,P,G un ambiente e sia S un concetto di soluzione. Il gioco G G con funzione dei risultati (o delle conseguenze) g : A C S-implementa la regola di scelta f : P C se per ogni profilo di preferenze P si ha g(s(g, )) = f( ). In questo caso diciamo che la regola di scelta f è S-implementabile in N,C,P,G. Esistono altre nozioni di implementazione dove l insieme delle azioni di ogni giocatore deve essere l insieme dei possibili profili di preferenze: ogni giocatore deve esprimere una relazione di preferenza e viene richiesto che ogni giocatore dica la verità. Un esempio è il seguente concetto di soluzione. Definizione Sia N, C, P, G un ambiente, dove l insieme delle azioni di ogni giocatore i è un insieme P di profili di preferenza, e sia S un concetto di soluzione. Il gioco G G con funzione dei risultati (o delle conseguenze) g : A C sinceramente S-implementa la regola di scelta f : P C se per ogni profilo di preferenze P si ha: a S(G, ) dove a = per ogni i N, cioè il fatto che ogni giocatore riveli il vero profilo di preferenze è soluzione del gioco; g(a ) f( ), cioè se ogni giocatore rivela il vero profilo di preferenze il risultato è in f( ). In questo caso diciamo che la regola di scelta f è sinceramente S- implementabile in N, C, P, G.

33 2.2. MECHANISM DESIGN 32 Questo concetto di soluzione richiede quindi che l insieme di azioni di ogni giocatore sia l insieme di profili di preferenze e che il dire la verità da parte dei giocatori sia una soluzione di ogni gioco Implementazione Per prima cosa consideriamo l implementazione in strategie dominanti, un concetto di soluzione affrontato nella sezione Questo tipo di implementazione è molto forte perché richiede appunto che le soluzioni del gioco da implementare siano dominanti, e che quindi la strategia di equilibrio di ogni giocatore sia la migliore risposta a tutte le strategie degli avversari. Lemma (Principio di rivelazione I) Sia N, C, P, G un ambiente dove G è l insieme delle game forms strategiche. Se una regola di scelta f : P C è implementabile in strategie dominanti allora: (a) f è sinceramente implementabile in strategie dominanti; (b) esiste una game form strategica G = N,(A i ),g G in cui A i è l insieme di tutte le relazioni di preferenza tale che per ogni P il profilo di azioni è un equilibrio in strategie dominanti del gioco strategico G, e g ( ) f( ). Questo lemma implica che una regola di scelta che non sia sinceramente implementabile in strategie dominanti non può essere implementabile in strategie dominanti. Per fare un esempio, se P contiene soltanto relazioni di preferenza strette, allora le funzione di scelta che sceglie il secondo risultato preferito per il primo giocatore non è implementabile in strategie dominanti: se lo fosse, in base al lemma per il primo giocatore una strategia dominante dovrebbe essere quella di rivelare le sue effettive preferenze, tuttavia si vede come per lui mettere al secondo posto tra le sue

34 2.2. MECHANISM DESIGN 33 preferenze il risultato a lui preferito è una strategia migliore. Tuttavia non bisogna trarre la conclusione che l implementazione in strategie dominanti e la sincera implementazione in strategie dominanti siano equivalenti: non viene infatti esclusa la possibilità che ci siano strategie dominanti non sincere il cui risultato sia diverso da quello dato dalla regola di scelta. Infine facciamo un breve cenno all implementazione con equilibri di Nash, un tipo di soluzione affrontato nella sezione Assumeremo quindi che per ogni profilo di preferenze e per ogni meccanismo il risultato del gioco è un equilibrio di Nash. Anche in questo caso enunciamo un lemma noto come principio di rivelazione. Lemma (Principio di rivelazione II) Sia N, C, P, G un ambiente dove G è l insieme delle game forms strategiche. Se una regola di scelta f : P C è implementabile con equilibri di Nash allora è sinceramente implementabile con equilibri di Nash. Dunque se una regola di scelta è implementabile con equilibri di Nash è anche implementabile sinceramente con equilibri di Nash, cioè di conseguenza esiste un meccanismo nel quale ogni giocatore deve rivelare il proprio profilo di preferenze e per ogni profilo di preferenze dire la verità è un equilibrio di Nash: quindi è sufficiente un gioco anche semplice per raggiungere l obiettivo di un pianificatore per il quale gli equilibri di Nash sinceri sono una richiesta naturale e non ha preferenze particolari tra i diversi equilibri di Nash che si possono presentare nel gioco. Tuttavia non si può concludere dal lemma che possiamo considerare solo i giochi in cui ogni giocatore rivela un profilo di preferenze: un gioco che implementa equilibri di Nash sinceri in accordo con la regola di scelta potrebbe avere equilibri di Nash non sinceri che generano

35 2.2. MECHANISM DESIGN 34 risultati diversi da quelli indicati dalla regola di scelta. Segnaliamo infine come il fatto di richiedere che l insieme di azioni di ogni giocatore sia un insieme di profili di preferenze e non semplicemente l insieme (ovviamente più piccolo) delle relazioni di preferenze è fondamentale; invece nel punto (b) del lemma era bastato richiedere che l insieme di azioni di ogni giocatore fosse l insieme delle relazioni di preferenza.

36 Capitolo 3 Scambio incrociato di reni In questo capitolo e in quelli seguenti affrontiamo alcune possibili soluzioni proposte per affrontare lo scambio incrociato di reni. Innanzitutto vedremo il caso in cui il numero di coppie ricevente-donatore coinvolte nello stesso scambio incrociato è non limitato (essendo naturalmente l unico limite il numero totale di coppie); vedremo anche che questa soluzione, benché sia la più semplice e la più efficace in teoria, non sia attuabile nella pratica a causa di vincoli logistici. Passeremo quindi nel capitolo successivo ad analizzare il caso in cui nello stesso scambio sono coinvolte soltanto due coppie ricevente-donatore: questo da un lato limita ovviamente il numero di trapianti effettuabili, ma dall altro lato è il sistema di scambi più facile da realizzare. Quindi analizzeremo la possibilità di aumentare il numero di coppie coinvolte affrontando il caso generale con k coppie coinvolte, analizzando gli effetti che hanno questo tipo di limitazioni sul numero di trapianti. 35

37 3.1. ASSEGNAMENTO DELLE ABITAZIONI Assegnamento delle abitazioni Prima di vedere il modello usato per questo tipo di scambi, presentiamo brevemente i modelli già esistenti usati per l assegnazione delle abitazioni agli studenti nei college americani: sebbene sembri un problema molto lontano da quello dello scambio incrociato di reni, in realtà il modello matematico è molto simile nei due casi Top Trading Cycle Si pensi ad un mercato costituito da n agenti, ognuno dei quali dotato di un bene indivisibile, come ad esempio una casa; in tale mercato non c è denaro, quindi l unica possibilità consiste nello scambio delle case tra gli agenti, ognuno dei quali ha un insieme di preferenze su tutte le case. La situazione è modellizzabile mediante un grafo: un insieme di nodi rappresenta gli agenti, mentre l altro insieme rappresenta le case; per ogni agente c è un arco diretto che punta alla sua casa preferita, e per ogni casa c è un arco diretto puntato verso il suo attuale proprietario. Si ottiene così un grafo orientato in cui è presente almeno un ciclo, cioè un percorso che partendo da un nodo e seguendo gli archi secondo il loro orientamento permette di tornare al nodo di partenza. La situazione così modellizzata permette di trovare una soluzione con il seguente algoritmo, noto come TTC - Top Trading Cycle: per tutti i cicli presenti si effettuano gli scambi di case tra agenti come indicato dagli archi stessi. Una volta portati a termine questi scambi i nodi coinvolti (agenti e case) vengono tolti dal mercato, e con i nodi rimanenti si costruisce un altro grafo come fatto in precedenza: per ogni agente rimasto c è un arco diretto che punta alla sua casa preferita tra quelle restanti, e per ogni casa rimasta

38 3.1. ASSEGNAMENTO DELLE ABITAZIONI 37 c è un arco diretto che si dirige verso il suo attuale proprietario. Anche in questo caso sarà presente almeno un ciclo: si effettuano gli scambi indicati dai cicli e si ripete tutta la procedura finché non sono rimasti agenti e case sul mercato. Se tutte le preferenze sono strette, il risultato di questa procedura è unico e per gli agenti rivelare la proprie reali preferenze rappresenta una strategia dominante You request my house - I get your turn Il modello e il metodo risolutivo appena presentati possono essere applicati anche nel caso dello scambio incrociato di reni, se si considerano però soltanto gli scambi tra coppie ricevente-donatore. Se vogliamo invece tenere anche in conto che ci sono pazienti senza un donatore e reni da cadavere, dobbiamo guardare ad una modellizzazione differente e quindi un metodo risolutivo diverso. Una generalizzazione del modello visto prima è quello che, per tornare all esempio delle case, prevede la presenza non solo di agenti in possesso di una casa ma anche di case libere e nuovi agenti senza una casa già assegnata. In questo caso bisogna far interagire le due parti di mercato: quella degli agenti con una casa assegnata, e quella degli agenti e delle case libere. Si può pensare di lasciare gli agenti già allocati fuori dal mercato, e assegnare soltanto le case vacanti ai nuovi arrivati; questo tuttavia potrebbe portare ad un risultato globale non ottimale, in quanto magari un agente dotato già di una casa potrebbe preferire una casa libera alla sua, e un agente appena arrivato potrebbe preferire la casa dell agente considerato prima. Per potersi assicurare che gli agenti già allocati entrino nel mercato bisogna fornire loro un incentivo a partecipare: questo potrebbe essere l assicurazione che per