Università Commerciale Luigi Bocconi IL MINIMO MARGINE DI SOLVIBILITA : UN PROCEDIMENTO DI VALUTAZIONE MEDIANTE LE RETI NEURALI.

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1 Università Commerciale Luigi Bocconi IL MINIMO MARGINE DI SOLVIBILITA : UN PROCEDIMENTO DI VALUTAZIONE MEDIANTE LE RETI NEURALI Riassunto Relatore: Prof. Ermanno Pitacco Correlatore: Prof. Lorenzo Peccati Tesi di laurea: Amedeo Poli

2 L obiettivo di questa tesi è proporre una metodologia di valutazione del minimo margine di solvibilità, nelle imprese di assicurazione del ramo vita, attraverso le reti neurali. Il lavoro è suddiviso in quattro capitoli. CAPITOLO 1: IL MARGINE DI SOLVIBILITA. In questo primo capitolo spiego cosa sia il minimo margine di solvibilità e quali siano le tecniche utilizzate per la sua valutazione. In sostanza il minimo margine di solvibilità consiste nel capitale minimo necessario per far fronte, con un assegnata probabilità (sufficientemente elevata), agli impegni presenti e futuri di un impresa assicuratrice. In particolare, dopo aver elencato i fattori di rischio di cui si deve tenere conto nell analisi di gestione di un impresa vita (mortalità, redditività e valore degli investimenti, inflazione e spese per abbandoni e valori di riscatto, distribuzione dei capitali assicurati.) e delle relazioni esistenti tra questi, illustro brevemente quali siano le due metodologie (analitica e simulativa) principalmente utilizzate al fine della suddetta valutazione. Mi soffermo principalmente sulla simulativa essendo questa, la procedura normalmente utilizzata ed essendo inoltre il punto di partenza dal quale sviluppo il mio metodo. Le fasi per effettuare una valutazione di questo tipo sono principalmente due. Nella prima si esplicitano le relazioni tra le variabili, in particolare gli effetti di ogni singolo fattore di rischio sugli utili di esercizio e di conseguenza sul fondo finale di portafoglio (che è la variabile obiettivo di tutta l analisi). Si osservino ad esempio le relazioni che seguono: { Y t = (P t -E t -S t )(1+i t )-X t +Z t-1 *i t -W t +W t-1 Z t =Z t-1 +Y t +K t +W t -W t-1 -dove P t sono i premi tariffa pagati all epoca t-1, E t spese aleatorie sostenute all epoca t-1 e relative all esercizio (t-1, t), S t totale aleatorio di capitali pagati all epoca t-1 per recesso, X t totale

3 aleatorio di capitali pagati all epoca t per decesso o per scadenza, W t riserva matematica aleatoria completa di portafoglio all epoca t, K t flusso aleatorio di capitale proprio pagato all epoca t. Nella seconda fase valutando gli effetti sul fondo di portafoglio dei fattori di rischio appena simulati, si ottiene un certo numero di possibili percorsi evolutivi di tale fondo. Alla fine di questa fase si calcolano degli opportuni indicatori (media, varianza e numero di percorsi per i quali il fondo finale di portafoglio è positivo sul numero totale dei percorsi) espressivi di tali percorsi. 150, , ,0000 0, , , ,0000 Fondo di portafoglio (singolo sentiero simulato di evoluzione) t figura 1: simulazione di un percorso di evoluzione del fondo di portafoglio 200,0000 Fondo di portafoglio (vari sentieri simulati di evoluzione) 100,0000 0, , , t figura 2: simulazione di n percorsi di evoluzione del fondo di portafoglio

4 CAPITOLO 2: LE RETI NEURALI. Nel capitolo secondo spiego in cosa consistano le reti neurali; la loro struttura e le modalità di utilizzo. Le reti neurali sono una tecnica mediante la quale si possono raggiungere principalmente due tipi di risultati: 1) riconoscimento di forme in base a determinate caratteristiche (pattern recognition) 2) approssimazione di forme funzionali qualsiasi (che è il fine per il quale utilizzo questa tecnica). La modalità di utilizzo di tale strumento è molto empirica. Si divide il set dei dati disponibili in due: un training set (molto più ampio) ed un validation set. Sul primo viene effettuato il cosiddetto addestramento: presentando alla rete in sequenza gli input e il/i relativo/i output, tale struttura impara la relazione esistente tra le variabili. Esistono in letteratura moltissimi algoritmi di apprendimento, ossia modalità attraverso le quali sono stimati i parametri della rete, tra i quali l EBP (il più utilizzato) che spiego in questo capitolo. Sul validation set viene valutata invece l attendibilità della relazione individuata. In un libro di H.White (1992) (Artificial Neural Networks: approximation & learning Theory, Blackwell) si dimostra come le reti possano approssimare con la precisione desiderata l insieme delle funzioni continue. Un altro punto fondamentale che evidenzio in questo capitolo è che le reti neurali sono uno strumento facilmente utilizzabile e per il cui utilizzo non è necessario fare alcuna ipotesi particolare sulle caratteristiche o sulla distribuzione delle variabili coinvolte.

5 Unità nascoste Unità di input Unità di output figura 3: struttura di una rete neurale CAPITOLO 3: LA SIMULAZIONE Questa parte è il fulcro di tutta la tesi; è in questo capitolo che propongo la metodologia di valutazione. Nelle simulazioni normalmente si simula un certo numero di fattori di rischio e da questi si calcolano successivamente i risultati. Il problema è che questi fattori di rischio sono normalmente collegati tra loro anche se in maniera difficilmente esplicitabile e individuabile. Quello che propongo è di suddividere questi fattori di rischio in due categorie: fattori di rischio primari e secondari. I secondari sono in qualche maniera causati (anche se non interamente) dai primi. Attraverso le reti neurali intendo individuare le relazioni esistenti tra fattori di rischio primari e secondari; in questo modo simulando solamente i primi e prevedendo attraverso la rete i secondi, mi propongo di ottenere una stima più precisa del margine di solvibilità. Naturalmente nulla vieta di attribuire una certa variabilità anche ai secondi, ma sicuramente inferiore a quella che si sarebbe introdotta se si fosse utilizzata la consueta metodologia simulativa.

6 Spiegherò ora brevemente come sono riuscito a testare il metodo proposto. Tale verifica si suddivide sostanzialmente in due parti ciascuna delle quali ulteriormente suddivisa in due (le chiamerò 1.a, 1.b, 2.a e 2.b). Nella fase 1.a simulo attraverso delle procedure in VISUAL BASIC un singolo percorso temporale. Tale singolo percorso dovrebbe rappresentare un ipotetica vera realizzazione degli andamenti del fondo di una compagnia vita: dovrebbe in sostanza essere tratto da un vero e proprio bilancio. Nella fase 1.b addestro una rete neurale, sulla base di questo singolo percorso, ad individuare le relazioni intercorrenti tra i fattori di rischio primari e secondari (tale addestramento è stato svolto attraverso un tool di MATLAB dedicato alle reti neurali). Nella fase 2.a utilizzando le stesse relazioni presenti in 1.a simulo un certo numero di percorsi (sempre attraverso delle procedure in VISUAL BASIC registrate nel foglio elettronico mismargc.xls) e calcolo gli opportuni indicatori sopraccitati 1. Gli indicatori che ho ottenuto dovrebbero essere i veri indicatori che si dovrebbero ottenere facendo una valutazione delle possibili evoluzioni del fondo di portafoglio e quindi del minimo margine di solvibilità. Nella fase 2.b simulo solo l andamento dei fattori primari (in realtà prendo tali valori da quelli della fase 2.a) e sulla base di questi calcolo, attraverso le reti neurali stimate nella fase 1.b, i valori dei fattori secondari di rischio (tali procedure sono contenute nel foglio elettronico confrontobis.xls) e quindi dei relativi valori del fondo di portafoglio. Infine valuto quanto quest ultima stima si sia avvicinata a quella della fase 2.a (riporto qui la schermata del foglio elettronico mismargcbis.xls nel quale sono presenti i valori ottenuti mediante le reti); i risultati ottenuti sono piuttosto soddisfacenti, ma sicuramente non si è ottenuta una previsione perfetta. Infine analizzo quali siano i motivi di tale scostamento. 1 Sottolineo che questa non è la metodologia simulativa normalmente utilizzata, infatti di solito i fattori di rischio non sono collegati tra loro. Si può perciò affermare la simulazione della parte 2.a è puramente strumentale alle fase successiva.

7 MEDIA VARIANZA Tabella: momenti finali della distribuzione ottenuta mediante la previsione attraverso le reti neurali RAPPORTO TRA LE DUE MEDIE RAPPORTO TRA LE DUE VARIANZE Tabella: rapporti tra i momenti ottenuti mediante la simulazione e mediante la previsione attraverso le reti neurali distribuzione finale dei fondo di portafoglio

8 SOLVIBILITA' : DISTRIBUZIONE FINALE DEI CAPITALI RISULTATI ANNUALI 89.40% RISULTATI DI SINTESI 95.50% minimo massimo numero osservazioni somma osservazioni 400

9 CAPITOLO 4: APPLICAZIONE SU DATI REALI In quest ultima fase voglio valutare la capacità di previsione delle reti neurali quando applicate a dati reali. La variabile sulla quale mi soffermo (che ho utilizzato anche nella simulazione in laboratorio ) è il rendimento dei titoli di stato americano e delle relative relazioni con l inflazione. Inoltre effettuo anche un confronto con uno dei metodi statistici già collaudati per questo tipo di studi, ossia la transfer function analysis, sul quale mi soffermo brevemente nella prima parte del capitolo. I risultati ottenuti attraverso le reti neurali sono decisamente migliori. I due modelli che confronto sono una rete neurale con tre input (l inflazione ritardata di uno due e sei periodi) 3 unità nascoste e un unità di output. NOBS VNOBS TNOBS NW NHU OUT VSSE VMSE VRMSE VSE VAE VMAX E TSSE TMSE TRMSE TSE TAE TMAX E FPE RFPE GCV RGCV AIC SBC 2.077E E Tale modello va confrontato con il rispettivo modello ottenuto attraverso la transfer function analysis: gli input in questo caso sono le variazioni dell inflazione ritardate di un periodo. TRREND512 LS // Dependent Variable is DREND5 Date: 01/18/99 Time: 11:00 Sample(adjusted): 1963: :12 Included observations: 347 after adjusting endpoints VariableCoefficient Std. Error t-statistic Prob. INFL12(-1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Durbin-Watson stat