PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE - MATEMATICA 2006/2007 Modelli Matematici per la Società Incontri del e del

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1 PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE - MATEMATICA 2006/2007 Modelli Matematici per la Società Incontri del e del UN PROBLEMA DI BOMBARDAMENTO (lezione organizzata da Gabriella de Martini) Durante la seconda guerra mondiale la zona sud della città di Londra fu colpita, in un certo periodo, da moltissimi bombardamenti. Un giorno ad esempio caddero 537 bombe. La cittadinanza, terrorizzata, aveva l'impressione che certi quartieri fossero particolarmente esposti e che altri, invece, restassero indenni. C era un piano di puntamento? Gli statistici procedettero in questo modo: divisero l'area interessata in 576 piccole aree di 1/4 di chilometro quadrato ciascuna. Si accorsero che di queste aree 229 non erano state mai colpite, 211 erano state colpite una sola volta, 93 erano state colpite due volte, 35 erano state colpite tre volte, e 8 erano state colpite 4 o più volte. Le autorità si preoccuparono di verificare se i dati così determinati convalidassero o meno i timori della popolazione. Si partì dall'ipotesi di lavoro che non vi fosse alcun piano di puntamento se non all'ingrosso (Londra) e che, perciò, la pioggia di bombe volanti fosse uniforme. Gli statistici si proposero dunque di calcolare la probabilità che, sotto bombardamento uniforme, una certa area non fosse colpita, oppure fosse colpita una volta, o due volte, tre volte, e così via. Siccome, in totale, il numero di bombe era di 537, in media ciascuna delle piccole aree avrebbe dovuto ricevere 537/576= 0,932 bombe. Cioè poco meno di una bomba per area. Calcolare quante piccole aree, verosimilmente, non saranno mai colpite. Ragioniamo così: fissiamo la nostra attenzione su una qualsiasi delle aree, una delle 576. E ora, supponiamo che stia arrivando una bomba, la prima che colpirà la zona: cioè, è sicuro che quella bomba finirà su una delle aree della zona, ma non è detto che finisca su quella che abbiamo preso in considerazione. Ci sono allora 576 possibilità equivalenti di impatto, di cui 1 che interessa la nostra area e 575 le altre aree. La probabilità che la nostra area si salvi è determinata dalla probabilità che sia colpita una delle 575 altre aree: 575 casi contro 1. In totale, i casi possibili sono 576, di cui 575 favorevoli alla nostra area; la probabilità che si salvi è grande: 575/576= 0,99826, o, se preferite, 99,826%.

2 Quando arriva la seconda bomba, si ricomincia come se nulla fosse accaduto fino a quel momento: il fatto che la nostra area sia indenne o sia stata già colpita non influisce minimamente sul nuovo esito. Quindi le due probabilità sono indipendenti! Ma se è così, la probabilità che la nostra area non sia colpita nè dalla prima nè dalla seconda bomba volante è uguale al prodotto delle due probabilità: 0, ,99826= 0, Purtroppo di bombe ne arrivano sulla zona ben 537, e a ogni bomba dobbiamo continuare a moltiplicare per 0,99826, dobbiamo quindi ripetere il prodotto per 537 volte, se vogliamo calcolare la probabilità che la nostra area non venga mai colpita. Moltiplica che ti moltiplico (ma un calcolatore tascabile anche di poco prezzo, purché scientifico, ha un tasto che permette di fare questa operazione in un attimo), otteniamo 0,39251: questa è la probabilità che quella area si salvi. Dunque, in una distribuzione uniforme, delle 576 aree è verosimile che 0, , cioè circa 226, non siano colpite da alcuna delle 537 bombe. Adesso, vediamo qual è la probabilità che la nostra area sia colpita una sola volta. C'è una possibilità su 576 che una delle bombe, arrivando, colpisca quell'area; cioè, la probabilità è, per ciascuna bomba, 1/576= 0, A noi interessa il caso in cui una sola bomba vada a segno: tutte le altre 536, devono andare altrove. La probabilità che la nostra area non sia colpita per 536 volte si calcola come abbiamo già visto, moltiplicando tra loro 536 fattori ciascuno dei quali vale 0,99826: otteniamo quindi come risultato 0, Perciò la probabilità che la nostra area sia colpita da una particolare bomba e da nessuna delle altre è il prodotto 0, ,39319 = 0, Ma quale particolare bomba? Ce ne sono 537 tra cui scegliere! La prima? la seconda? la centotrentaduesima?. Quale sia non ci interessa: una sola, ma una qualsiasi. Perciò ci sono ben 537 modi, tanti quante sono le bombe, di realizzare il caso che stiamo studiando, e ciascuno ha la stessa piccolissima probabilità 0, di realizzarsi. Questa probabilità moltiplicata per 537 dà la probabilità che, non una particolare bomba ma una qualsiasi (purché una sola) colpisca la nostra area. Con una semplice moltiplicazione, otteniamo 0, = 0, La probabilità che una zona non sia mai colpita e quella che sia colpita una sola volta sono confrontabili! Dite la verità, questo risultato non è proprio scontato e banale: l'avreste detto a occhio? Quante aree saranno, verosimilmente, colpite una sola volta? Basta, nuovamente, moltiplicare il numero di aree in cui è divisa la zona (576) per la probabilità (cioè 36,650% di casi) per ottenere circa 211. Dunque, in una distribuzione uniforme, delle 576 aree è verosimile che 0, , cioè circa 211, siano colpite da una sola delle 537 bombe.

3 Adesso, vediamo qual è la probabilità che la nostra area sia colpita solo due volte. La probabilità che una particolare coppia di bombe (diciamo ad esempio, la dodicesima e la trecentoventiduesima) finisca nell'area fissata è (1/576). (1/576) =0, , , A noi interessa il caso in cui due sole bombe vadano a segno: tutte le altre 535, devono invece andare altrove. La probabilità che la nostra area non sia colpita per 535 volte si calcola come abbiamo già visto, moltiplicando tra loro 535 fattori ciascuno dei quali vale 0, Otteniamo quindi 0, Perciò la probabilità che la nostra area sia colpita da quella particolare coppia di bombe e da nessuna delle altre è il prodotto 0, , , Ma quale particolare coppia di bombe? Una qualsiasi di tutte le coppie distinte che si possono formare con le 537 bombe. Il loro numero è /2 = A questo punto, moltiplicando la probabilità (che una particolare coppia sia la sola a colpire la nostra area) per il numero di coppie possibili otteniamo circa 0, Le aree che saranno verosimilmente colpite da due bombe sono ben 0, = 98,2 (circa 98, diciamo). E per tre bombe? Si può ancora una volta ripetere il ragionamento effettuato nei casi precedenti. Effettuando i calcoli si ottiene circa 30. Quale è la conclusione a cui arrivarono? Confrontando i risultati teorici ottenuti supponendo una distribuzione uniforme con i risultati reali si trova: Risultato teorico Valore effettivo Aree colpite da nessuna bomba Aree colpite da una bomba Aree colpite da due bombe Aree colpite da tre bombe Si può quindi concludere che i risultati effettivi non differiscono di molto da un bombardamento effettuato con distribuzione uniforme e cioè casuale, non mirato a colpire alcune zone maggiormente di altre. L ipotesi di bombardamento casuale è quindi accettabile.

4 Decadimento radioattivo I fisici Ernest Rutherford ( ), James Chadwick ( ) e il loro collaboratore Ellis nel 1920 usarono metodi del tipo di quelli descritti nell'esempio precedente per analizzare i dati di cui disponevano sulle sostanze radioattive. Alcune sostanze, come il radio o l'uranio, cambiano lentamente natura nel tempo perché, di tanto in tanto, uno dei loro atomi si disintegra, cioè si rompe, si spezza. Ad esempio l'uranio con un lungo procedimento di decadimento che dura bilioni di anni si trasforma da uranio 238 (radioattivo) in piombo 206 (non radiattivo), con successive emissioni di radiazioni che segnalano l'avvenuta disintegrazione. I tre fisici inglesi si chiedevano: quali sono le modalità generali secondo cui avvengono queste disintegrazioni? Si misero perciò a contare le radiazioni emesse da una sostanza radioattiva usando questo procedimento: divisero il tempo di osservazione in intervalli di 7,5 secondi ciascuno. Poi contarono il numero di intervalli in cui nessun atomo si era disintegrato, quello in cui era avvenuta una sola disintegrazione, quello in cui ne erano avvenute due, poi tre, poi quattro e così via. Ottennero i risultati indicati nella seguente tabella Particles Actual Frequency or 16 more Il decadimento radioattivo è casuale? Il procedimento seguito in questo caso è analogo a quello applicato nel problema delle bombe volanti su Londra: in questo caso gli intervalli di tempo stanno al posto delle aree e le disintegrazioni stanno al posto degli scoppi! Furono osservate in tutto disintegrazioni, cioè 3,87 = 10094/2608 in media per intervallo. A questo punto gli studenti vengono invitati a ripetere il ragionamento usato nella prima parte per il bombardamento su Londra, nel caso del decadimento radioattivo, usando come effettivi i dati inseriti nella precedente tabella. Come nel caso precedente si concludeche l ipotesi di bombardamento uniforme è accettabile.

5 Rutherford, Chadwick ed Ellis confrontarono i risultati dell'esperimento con l'ipotesi che le disintegrazioni avvenissero a caso, cioè secondo una distribuzione uniforme. Per meglio dire, con una probabilità indipendente dal tempo, dal numero di atomi già disintegrati e, possiamo aggiungere oggi, dal fatto che il campione fosse solido o liquido, dal fatto che fosse freddo o caldo, che fosse nel vuoto o sotto pressione, che fosse puro o mescolato con altre sostanze. Insomma, tutto avviene come se ciascun atomo radioattivo fosse il solo oggetto esistente al mondo, incurante di tutto ciò che lo circonda decidesse di disintegrarsi secondo un criterio puramente statistico casuale. È bene precisare che questo ragionamento non dimostra che la teoria del decadimento atomico casuale (cioè secondo la statistica di Poisson) è vera. Il processo logico che abbiamo seguito è il seguente: - assumiamo che il decadimento è un processo casuale, da cui segue la statistica di Poisson, - verifichiamo che gli esperimenti concordano con questo tipo di statistica. Questi risultati non dicono solo che effettivamente gli atomi decadono casualmente, ma solo che questa è una ipotesi possibile, che può essere accettata, almeno fino a quando non venga messa in discussione da altri dati e finora ciò non è accaduto. Si può allora concludere, nell'ambito di questa teoria, che la probabilità che un atomo radioattivo si disintegri in un certo intervallo di tempo è proporzionale alla durata di quell'intervallo e non dipende da alcuna altra circostanza macroscopica. Indichiamo allora con λ la costante che rappresenta la probabilità che avvenga un'unica disintegrazione in un secondo. Detto N(t) il numero dei nuclei presenti ad un certo istante t, si chiama attività al tempo t, e si indica con A(t), il numero medio di disintegrazioni per unità di tempo: L'unità di attività è: A(t) = λn(t). 1 Curie = 1Ci = 3.7 (10) 10 disintegrazioni al secondo, o 1 Becquerel = 1 Bq = 1 disintegrazione al secondo. Allora il rapporto tra ΔN (differenza tra i nuclei non ancora disintegrati e quelli già disintegrati) e Δt (intervallo di tempo in cui si contno le disintegrazioni) è dato da 5 ΔN = - A(t) = - λn(t), Δt dove il segno meno indica che c'è una riduzione. Prendendo intervalli sempre più piccoli, con un procedimento al limite, otteniamo l'equazione dn dt = -λn,

6 che ha come soluzione N(t) = N(0)e λt, dove N(0) rappresenta il numero di nuclei all'istante iniziale che possiamo sempre indicare con t 0 = 0, pur di cambiare opportunamente l'origine sull'asse dei tempi. Si dice tempo di vita media di una sostanza radioattiva il tempo T=T 1/2 necessario affinché metà della sostanza decada. Dalla formula risolutiva si ottiene: da cui N(T) = 1 2 N(0) = N(0)e -λt, λt e = 2, e quindi T = log2 λ 0,6931 λ. Osserviamo esplicitamente che da quanto abbiamo ricavato segue che la seconda metà della sostanza N(0)/2 non decade nello stesso tempo della prima. Infatti se partiamo da t 0 = T, la sostanza presente in quel momento è N(0)/2 e quindi aspettando da questo momento il tempo T (cioè il tempo 2T dal momento di partenza) si arriva alla metà di N(0)/2, cioè a N(0)/4 = N(0)/2 2, partendo da questo momento e aspettando ancora il tempo T (cioè il tempo 3T dal momento di partenza) si arriva alla metà di N(0)/4, cioè a N(0)/8 = N(0)/2 3. Possiamo quindi concludere che mentre T cresce linearmente, la sostanza decresce geometricamente secondo le potenze di 2 (questo conformemente alla presenza di log2 nella formula che esprime T). Otteniamo in definitiva il seguente grafico:

7 Concludiamo con un esempio del calcolo dell'attività in un caso particolare. Il radio (Ra-226), con tempo di vita media di 1600 anni, decade in radon (Rn- 222) emettendo una particella alpha. Qual è l'attività di un grammo di Ra-226? A = λ N λ = log 2 / T = / 1600anni = 4.33(10) -4 (anni) -1 = 4.33(10) -4 (anni) -1 [3.15(10) 7 s/anni] = 1.37(10) -11 s -1 N A A = (numero di Avogadro) / (massa atomica) = [6.02(10) 23 atomi/moli] / (226 g/moli) = 2.66(10) 21 atomi/g = [1.37(10) -11 s -1 ] [2.66(10) 21 atoms/g] = 3.64(10) 10 atoms/s (Bq) Testi consultati Carlo Bernardini, Che cos è una legge fisica, Editori riuniti. Giorgio Israel, Modelli Matematici, Franco Muzio Editore. Siti web consultati: math.ucr.edu/home/baez/physics/ ParticleAndNuclear/HalfLife/halfLife.html adsabs.harvard.edu/abs/ Nuclear/ www-hep.colorado.edu/~stevew/