Analisi statistica multivariata

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1 Università di Bologna Sede di Rimini Anno Accademico 9-1 Analisi statistica multivariata (Alessandro Lubisco) Materiale relativo al primo periodo: - Analisi fattoriale

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3 INDICE Indice... i Parte I Analisi Fattoriale... 1 Aspetti introduttivi... 1 Introduzione ai modelli a variabili latenti... 3 Esempi di problemi con variabili latenti e manifeste... 4 Modelli a variabili latenti... 5 Il modello lineare a un fattore... 7 Il modello fattoriale lineare Specificazione del modello fattoriale Comunalità e specificità Proprietà del modello fattoriale Equivarianza rispetto a cambiamenti di scala Identificazione del modello... 1 Invarianza del modello rispetto a rotazioni ortogonali della matrice Λ... 1 Stima dei parametri del modello... 4 Metodi di stima... 5 Metodo delle componenti principali... 6 Metodo dei fattori principali... 8 Ripercorriamo il metodo dei fattori principali Il metodo della massima verosimiglianza... 3 Rotazione degli assi fattoriali Rotazione VARIMAX (aiser, 1958) Rotazione QUARTIMAX Rotazione EQUAMAX Rotazioni oblique Prima di interpretare i fattori Esempio di valutazione dei pesi fattoriali Determinazione dei punteggi fattoriali Una prima interpretazione... 4 I pesi fattoriali... 4 Le comunalità Adeguatezza del modello e scelta del numero di fattori Percentuale di varianza spiegata da fattori Matrice di correlazione riprodotta Test sulla bontà di adattamento Riassumendo: Scopi e procedure dell analisi fattoriale Passo 1: Selezione delle variabili Passo : Calcolo ed esame della matrice di correlazione tra le variabili Passo 3: Estrazione dei fattori non ruotati Passo 4: Rotazione dei fattori... 5 Passo 5: Interpretazione della matrice dei fattori ruotati... 5 Analisi fattoriale e analisi delle componenti principali Errori comuni nell uso dell analisi fattoriale... 58

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5 PARTE I ANALISI FATTORIALE ASPETTI INTRODUTTIVI Gli aspetti caratteristici dell analisi fattoriale si fondano sulle origini del metodo, che si è sviluppato all inizio del secolo scorso ad opera, come già accennato, di Spearman, nell ambito della ricerca psicometrica sulle misure delle capacità psicoattitudinali. In un lavoro del 194, Spearman riporta le correlazioni osservate tra i risultati (voti) conseguiti da un gruppo di studenti in tre diverse materie: lettere (X 1 ), francese (X ), inglese (X 3 ). R = 1,83 1,78,67 1 Egli si chiede se le correlazioni osservate non possano essere spiegate dalla relazione delle tre variabili con un unica variabile latente f che può essere pensata come, per esempio, l intelligenza o la predisposizione allo studio in determinate materie. Se esiste una variabile f in grado di render conto delle correlazioni tra ciascuna coppia di variabili, allora significa che la correlazione residua tra le variabili osservate, una volta che si è eliminato l effetto di f su ciascuna di esse, deve essere non significativamente diversa da zero, ovvero le variabili osservate devono essere linearmente indipendenti condizionatamente ai valori di f. L analisi dei fattori è un metodo di analisi multivariata volto a spiegare le correlazioni fra un insieme di p variabili osservate attraverso un insieme di m variabili non osservate. Si ricorda che la correlazione r ii tra due variabili X i e X i può risultare dalla loro associazione con una terza variabile esterna f k ed è misurabile attraverso la correlazione parziale r ii ;k. Essa misura, infatti, l associazione tra X i e X i quando f k è resa costante ed è quindi la correlazione residua tra X i e X i dopo che si è eliminato l effetto lineare di f k su ciascuna di esse.

6 Analisi statistica multivariata r ii';k = r ii' 1 r r ik ik r i'k 1 r i' k Tale coefficiente misura la correlazione rimanente tra X i e X i dopo aver corretto entrambe le variabili dell effetto lineare di f k su di esse. Qualora X i e X i non fossero influenzate da f k allora r ii';k r ii' in quanto r ik = e r i'k =. Poste certe condizioni sulla variabile f non osservata è facile verificare che un modello, il quale ipotizzi una relazione lineare di ciascuna delle variabili osservate con f, sia in grado di spiegare la correlazione tra le X. Se f spiega le correlazioni, allora le variabili osservate possono essere espresse in funzione di f nel modo seguente: dove: X 1 = λ 1 f + u 1 X = λ f + u X 3 = λ 3 f + u 3 - f è un fattore latente comune a tutte le variabili, che rappresenta l abilità generale di uno studente; - i λ i sono detti pesi fattoriali; - gli u i sono i fattori specifici di ogni singola variabile. Il fattore specifico può avere in questo contesto una duplice interpretazione: o l abilità individuale in ogni singola disciplina dipende anche in una certa misura dall abilità specifica in tale disciplina; o inoltre, la presenza del fattore specifico è legata anche al fatto che la prova o l esame è solo una misura approssimata dell abilità generale dello studente e perciò affetta da errore.

7 A. Lubisco 3 INTRODUZIONE AI MODELLI A VARIABILI LATENTI L analisi fattoriale appartiene a una famiglia di metodi che utilizza le cosiddette variabili latenti. Spesso, in particolar modo nelle scienze sociali, non si è in grado di misurare le grandezze di interesse. E- sempi di tali concetti sono l intelligenza, l orientamento politico, lo stato socio-economico. Sebbene nelle scienze sociali si trattino tali grandezze al pari di qualunque altra variabile, queste si differenziano in quanto non possono essere osservate ed è per questo motivo che vengono dette latenti. In alcuni casi, un concetto può essere rappresentato da un unica variabile latente, ma spesso essi sono di natura multidimensionale e per questo motivo possono coinvolgere più di una variabile latente. Queste variabili latenti sono talvolta chiamate fattori. Tra i metodi a variabili latenti, l analisi fattoriale è il più antico e il più usato. C è uno stretto legame tra l analisi fattoriale (Factor Analysis FA) e l analisi delle componenti principali (Principal Components Analysis PCA). Infatti è usuale vedere la PCA come un metodo della FA (il software statistico SPSS tratta entrambi i metodi nella stessa procedura). E necessario, però, sottolineare la profonda diversità tra i due metodi. Questo per diverse ragioni: - la PCA è un metodo descrittivo che ha l obiettivo di riassumere una matrice di dati in maniera tale da esprimere la sua struttura in un numero ridotto di dimensioni. La FA è una tecnica basata su un modello che richiede vengano fatte assunzioni riguardo le distribuzioni congiunte in popolazione delle variabili coinvolte. Ciò consente di fare inferenza riguardo la popolazione e di fare riferimento a concetti quali bontà di adattamento, significatività e precisione delle stime. - la seconda ragione per enfatizzare la distinzione tra PCA e FA sta nel fatto che, mentre l analisi in componenti principali è un metodo per individuare una particolare trasformazione delle variabili osservate, la FA si inserisce nell ambito dei modelli a variabili latenti, dei quali verranno esaminati più avanti altri esempi. Tradizionalmente l unità di questa famiglia di metodi a variabili latenti è sempre stata oscurata dall uso di notazioni differenti e dalle dif-

8 4 Analisi statistica multivariata ferenti culture scientifiche da cui hanno avuto origine oltre che dai diversi campi di utilizzo. Esempi di problemi con variabili latenti e manifeste i) Esiste un grande interesse nella misurazione dell intelligenza. Essa è concepita come un importante caratteristica dell'individuo posseduta in una certa misura, grande o piccola che sia. Tuttavia non si tratta di qualche cosa simile al peso o all età per i quali ci sono già degli strumenti di misura. L intelligenza è un costrutto, cioè è un concetto che troviamo u- tile e ricco di significato ma che non esiste, almeno non nel senso delle caratteristiche tangibili che ha, per esempio, il peso. È possibile tuttavia includerlo in un modello matematico e trattarlo come qualunque altra variabile. L intelligenza è un buon esempio di variabile latente. Le variabili indicatore sono quantità che si presume siano influenzate dalla variabile latente. Nel caso dello studio sull intelligenza sono, usualmente, i punteggi ottenuti nei test scelti perché si ritiene che persone più intelligenti abbiano risultati migliori. Alcuni quesiti (item) potrebbero riguardare il linguaggio o la matematica, altri invece potrebbero sondare l abilità nel riconoscere particolari strutture. Se gli item richiedono tutti la medesima abilità mentale, ci si aspetta che i punteggi negli item siano correlati positivamente. Il problema è vedere se questa correlazione può essere rappresentata da un unica variabile latente e, se è così, determinare dove posizionare gli individui nella scala di questa variabile. ii) La misura dell orientamento politico è simile a quello dell intelligenza. Descriviamo gli individui come tendenzialmente di destra o di sinistra, oppure più a destra/sinistra di altri. Implicitamente, in questo linguaggio c è l idea che esista una scala lungo la quale gli individui possano essere posizionati andando dall estrema sinistra all estrema destra. Questa è una scala latente e se si desidera costruire una simile scala saranno necessari opportuni indicatori. Questi possono essere determinati, per esempio, da un indagine in cui viene chiesto quali sono gli atteggiamenti riguardo ad alcune questioni politiche quali la sanità privata, l educazione privata e i sindacati. iii) Per misurare una variabile latente come lo stato socio-economi-

9 A. Lubisco 5 co di una famiglia, è possibile, analogamente, raccogliere informazioni riguardo a reddito, occupazione e livello di istruzione dei membri della famiglia. In ciascuno di questi esempi si è utilizzato un criterio personale di comprensione della variabile latente di interesse per identificare alcune variabili manifeste che, si crede, rivelino qualche cosa riguardo la sottostante variabile latente. In effetti, si è partiti da una variabile latente per poi cercare le variabili manifeste che potessero fungere da indicatori perché già in possesso di un idea su quale potesse essere la variabile latente. Talvolta si procede nella direzione opposta. Per esempio, se si dispone di un indagine multiscopo si può supporre che il grande numero di dimensioni manifeste, rappresentato dalle diverse decine di domande del questionario, possa essere ridotto a un numero più piccolo di dimensioni, senza che ciò comporti la perdita di informazioni essenziali. Questo secondo approccio è quello seguito usando la PCA. Modelli a variabili latenti I modelli a variabili latenti sono strettamente collegati al modello di regressione. Può essere perciò utile descrivere l idea base dell analisi fattoriale in termini di analisi di regressione. Un modello di regressione esprime la relazione tra una variabile dipendente e una o più variabili indipendenti o regressori. Nell analisi fattoriale, la relazione di regressione è tra una variabile manifesta e le variabili latenti. In entrambi i casi vengono fatte assunzioni riguardo la distribuzione dei residui o termini di errore in maniera da poter fare inferenza. Il problema essenziale che deve risolvere l analisi fattoriale è quello di ottenere informazioni sulle variabili latenti, note le manifeste. Dal momento che non è possibile osservare le variabili latenti, è possibile conoscere qualche cosa di questa relazione solo indirettamente. Molte variabili manifeste dipendono spesso dalle medesime variabili latenti e questa dipendenza genera delle correlazioni tra di loro. In effetti, l esistenza di una correlazione tra due indicatori può essere considerata come l evidenza di una sorgente di influenza comune. L obiettivo dell analisi a variabili latenti è di determinare se la dipendenza tra le variabili osservate possa essere spiegata da un pic-

10 6 Analisi statistica multivariata colo numero di variabili latenti. Come già osservato, i modelli a variabili latenti possono essere impiegati sia in un momento esplorativo per identificare le variabili latenti sottostanti un gruppo di item, sia in un approccio confermativo per verificare se un gruppo di item, costruito per misurare particolari concetti, sia effettivamente in grado di spiegare tale struttura. Ci sono vari tipi di modelli a variabili latenti. Questi modelli si distinguono per il livello di misura delle variabili osservate e per le assunzioni fatte a proposito del livello di misura delle variabili latenti. La seguente tabella mostra una classificazione dei modelli a variabili latenti Variabili osservate Variabili latenti Metriche Categoriche Metriche Analisi fattoriale Latent trait analysis Categoriche Latent profile analysis Latent class analysis Questa tabella non esaurisce le possibilità perché, per esempio, le variabili manifeste possono essere un mix tra variabili metriche e categoriche. L analisi fattoriale, il primo dei metodi a variabili latenti di cui ci si occupa, è una tecnica appropriata quando tutte le variabili osservate sono su una scala metrica. Il modello fattoriale che è alla base del metodo assume che anche le variabili latenti siano metriche.

11 A. Lubisco 7 IL MODELLO LINEARE A UN FATTORE Il più semplice modello fattoriale è quello che comprende un solo fattore. Charles Spearman, che inventò l analisi fattoriale, introdusse questo modello nello studio dell intelligenza umana. Si introdurrà il modello tramite un esempio che consentirà di mostrare che quello fattoriale può essere pensato come un sistema di equazioni di regressione nel quale alcune variabili (le variabili latenti) non sono osservate. L analisi fattoriale si pone l obiettivo di spiegare le correlazioni tra un gruppo di variabili manifeste. Queste correlazioni sono spesso spurie, nel senso che non sono dovute all esistenza di un legame causale diretto tra le variabili considerate. Esse talvolta esistono in quanto le variabili in questione hanno una dipendenza comune con una o più altre variabili. Per esempio, il fatto che la lunghezza dei piedi dei bambini sia correlata positivamente con l abilità nello scrivere non significa che dei piedi grandi aiutino i bambini a scrivere meglio. La correlazione è, piuttosto, una conseguenza accidentale del fatto che entrambe le caratteristiche sono correlate con l età: maggiore è l età, più grandi sono i piedi e migliore è l abilità nello scrivere. Quando ci si trova in situazioni analoghe è importante investigare per vedere se è possibile ottenere una spiegazione della correlazione attraverso la comune dipendenza con una o più altre variabili. In alcuni casi ci può essere un candidato ovvio al ruolo di altra variabile. Si supponga, per esempio, che si stia conducendo uno studio sulle spese settimanali fatte da un campione di famiglie su una grande varietà di prodotti: cibo, viaggi, divertimento, vestiti, Si supponga, inoltre, di trovare una correlazione positiva tra un paio di acquisti. Non sarebbe credibile affermare che un alta spesa in vestiti sia causa di alte spese in viaggi. È più plausibile supporre che spese alte di questi prodotti siano una conseguenza del disporre di un alto reddito. Per investigare questa ipotesi si dovrebbero ottenere ulteriori informazioni circa il reddito delle famiglie. Ciò permetterebbe di vede-

12 8 Analisi statistica multivariata re se l ammontare di spesa per ciascun prodotto sia correlato al reddito complessivo, e, se così, se la relazione sia in grado di spiegare la correlazione tra le varie spese. Come si può effettuare questa verifica empiricamente? Una maniera potrebbe essere quella di specificare come ciascuna spesa possa essere legata al reddito. Per avere un idea preliminare su come fare ciò, si può, per esempio, specificare la relazione tra la spesa per il cibo e il reddito. Si supponga che si trovi una relazione pressoché lineare e che si ottenga un risultato analogo per ogni altro item. Si possono perciò scrivere semplici regressioni della forma: C i = α i + β i I + e i (i = 1,, ) dove C i rappresenta la spesa per l i-esimo item, I è il reddito della famiglia, α i e β i rispettivamente l intercetta e la pendenza della retta di regressione ed e i il residuo, specifico per C i con media zero, indipendente da I, che spieghi la variazione residua lungo la retta. Se si trova che questo modello ha un buon adattamento per tutti gli item di spesa, e che i residui e i sono incorrelati tra loro, allora si sarà dimostrato che il reddito è l unico elemento distinguibile determinante per la spesa. Per una quantità specifica di reddito, la spesa per l item i si comporterà come una variabile casuale con media α i + β i I e deviazione standard data dalla deviazione standard di e i. Dal momento che i residui sono indipendenti tutte le correlazioni tra le variabili osservate vengono rimosse. Infatti considerando gli item i-esimo e j-esimo la correlazione tra C i e C j per un dato reddito I è data da E[(C i E(C i ))(C j E(C j )) I] = = E[(α i + β i I + e i (α i + β i I))(α j + β j I + e j (α j + β j I)) I] = = E[(e i e j ) I] = Se tutto ciò accadesse, si verificherebbe che le reciproche correlazioni tra le spese per i vari articoli sarebbero spiegate dalla comune dipendenza dal reddito. Inoltre, i coefficienti di regressione β i spiegherebbero quanto intensamente ciascun item dipenda dal reddito. In forma generale, nell ambito del modello a un fattore, se si sup-

13 A. Lubisco 9 pone che p variabili manifeste x 1, x,, x p dipendano per ipotesi da un unico fattore o variabile latente f, la maniera più semplice di esprimere la relazione di ciascuna x su f è tramite il modello lineare x i = λ i f + u i (i = 1,,, p) f è il fattore comune dal momento che è comune a tutte le x i. I residui u i sono i fattori specifici in quanto riferiti ciascuno alla corrispondente x i. Nel modello a un fattore si fanno le stesse ipotesi del modello di regressione: - indipendenza dei fattori specifici u i da f - distribuzione normale, media nulla e deviazione standard σ i degli u i. - si suppone inoltre gli u i siano indipendenti tra di loro per cui le x i sono condizionatamente indipendenti, dato f. Si possono perciò fare delle considerazioni per ciò che riguarda la distribuzione delle x i e in particolare sulle covarianze e correlazioni. Dal momento che f è una variabile non osservata, possiamo sceglierla con le caratteristiche che fanno più comodo, senza che questo influisca sulla forma dell equazione di regressione: f avrà media e deviazione standard unitaria. Ne consegue, disponendo di questo modello, che le covarianze avranno la seguente semplice forma: Cov(x i, x j ) = λ i λ j (i, j = 1,, p; i j) È importante osservare che la covarianza è il prodotto di due numeri, uno dipendente da i e l altro da j. Da ciò è possibile determinare qualche cosa a proposito dei coefficienti di regressione del modello. Per esempio Cov(x 1, x ) Cov(x, x 3 ) / Cov(x 1, x 3 ) = λ è una relazione che serve a determinare λ dalle covarianze. In realtà, è possibile costruire altre espressioni simili a questa per determinare λ. Per esempio, se si sostituiscono gli indici 1 e con qualunque altra coppia di numeri nell intervallo da 1 a p, il risultato sarà il medesimo. Se il modello fosse corretto e conoscessimo le reali covarianze, Cov(x i, x j ), allora le diverse equazioni restituireb-

14 1 Analisi statistica multivariata bero il medesimo valore del coefficiente di regressione, λ. Dal momento che analizzando dati reali si dispone solamente di stime delle covarianze (indicate con cov(x i, x j ) con la c minuscola), non si avranno identiche stime λˆ i di λ i, anche se il modello è corretto. Tuttavia, se tutte le stime di λ i fossero simili, questo potrebbe suggerire che il modello abbia un buon adattamento. Agli inizi, i modelli fattoriali venivano stimati con metodi molto simili a questo, noiosi da applicare e non facilmente estendibili al caso di più fattori. È però grazie a questo metodo che è possibile determinare i parametri del modello partendo dalle covarianze tra le variabili osservate senza conoscere i valori relativi ai fattori. Nella maggior parte dei casi pratici non ci sono variabili pronte all uso, come il reddito dell esempio precedente (anche se ci fosse, potrebbe essere impraticabile raccogliere l informazione in quanto la domanda potrebbe essere troppo intrusiva). In assenza di simili variabili, ci si deve chiedere se esista qualche variabile latente che possa avere il medesimo ruolo. Che la variabile latente sia o meno una variabile reale, ma comunque non osservabile, o un costrutto, ci si trova davanti alla stessa domanda fondamentale: c è un modo per stimare il modello di regressione appena visto senza conoscere i valori di I? Questo è il problema che l analisi fattoriale si propone di risolvere. Si vedrà che l insieme delle correlazioni non contiene sufficiente informazione per permettere la stima delle relazioni di regressione e quindi di determinare l esistenza di fattori comuni.

15 A. Lubisco 11 IL MODELLO FATTORIALE LINEARE Il modello a un fattore può facilmente essere esteso al caso di un numero arbitrario di fattori. Semplicemente si sostituisce l equazione di regressione con un equazione di regressione multipla. Come già anticipato, l analisi dei fattori, nell aspetto metodologico più generale, si propone di spiegare le correlazioni fra un insieme di p variabili osservate attraverso un numero più esiguo di variabili non osservate (fattori o variabili latenti) tra loro linearmente indipendenti. L idea che sta alla base del metodo è che la correlazione tra due variabili X i e X j può essere spiegata dalla relazione lineare di entrambe con un insieme di m variabili f 1, f f m. Poiché la correlazione parziale tra X i e X j dati f 1, f,, f m, che indichiamo con r ij;1 m rappresenta la correlazione residua tra X i e X j non spiegata dalla loro relazione lineare con tali variabili, si dice che l insieme f 1, f,, f m consente di spiegare in modo adeguato la correlazione osservata tra X i e X j se la correlazione parziale r ij;1 m è prossima a zero, o più precisamente se l ipotesi nulla di una correlazione parziale in popolazione uguale a zero (Ho: ρ ij;1 m ) non può essere rifiutata. Date p variabili, se un insieme di m variabili f 1, f,, f m spiega completamente i valori al di fuori della diagonale principale della matrice di correlazione R tra le p variabili osservate, la correlazione parziale degli elementi della matrice dei dati, per assegnati valori di f 1, f,, f m deve essere non significativamente diversa da zero. Le variabili X i e X j devono, quindi, essere condizionatamente INCOR- RELATE dati i valori di f 1, f,, f m (dove m<p). Questa proprietà di indipendenza locale è condizione necessaria perché l insieme di variabili f 1, f,, f m offra una spiegazione adeguata dei valori di R. Il problema così posto è indeterminato perché le variabili f 1, f,, f m non sono osservabili. Una possibile via per risolverlo è quella di imporre alcune condizioni che limitano il campo a relazioni di tipo lineare tra le variabili osser-

16 1 Analisi statistica multivariata vate e le variabili latenti e imporre inoltre alcune condizioni sulle variabili latenti stesse. Quindi, il primo passo dell analisi consiste nella formulazione di un modello appropriato. Nella formulazione più immediata, l analisi fattoriale ipotizza che ciascuna variabile osservata X i dipenda in parte da m fattori comuni a tutte le variabili, f k k = 1,, m, in parte da un fattore specifico u i. Ipotizzando una relazione lineare tra le variabili osservate e i fattori, si definisce un sistema di equazioni del tipo: X 1 = μ 1 + λ 11 f λ 1k f k + + λ 1m f m + u 1 X i = μ i + λ i1 f λ ik f k + + λ im f m + u i X p = μ p + λ p1 f λ pk f k + + λ pm f m + u p dove μ i è la media della variabile X i. La determinazione dei coefficienti λ ik, detti pesi fattoriali, consente di valutare l influenza di ciascun fattore espressa in termini di apporto relativo alla variabilità complessiva del sistema, così da individuare quali tra essi possano ritenersi statisticamente rilevanti. Questo modello somiglia solo in apparenza a quello di regressione multipla. Nel contesto della regressione, infatti, gli f k sono noti, mentre nel caso ora in esame tutti gli elementi a destra dell uguale sono quantità incognite, non direttamente misurabili o osservabili. Sotto certe condizioni è facile verificare che un modello di questo tipo è in grado di spiegare le correlazioni osservate. Si tratta comunque di un modello ed è sempre necessario verificare se tale modello sia in grado di dare una spiegazione adeguata di quanto osservato. La semplicità e l agilità degli sviluppi formali che conseguono l introduzione di alcune ipotesi, cioè a) indipendenza lineare dei fattori b) linearità delle relazioni pur non trovando frequenti riscontri nel contesto fenomenico, ne giustificano la scelta, almeno nella prima fase della ricerca.

17 A. Lubisco 13 Specificazione del modello fattoriale Sia X un vettore aleatorio (px1) con media μ e varianze-covarianze Σ; si definisce modello fattoriale la relazione lineare X = μ + Λf + u dove Λ (pxm) è una matrice di costanti (SONO I PESI FATTORIALI) e f (mx1) e u (px1) sono vettori aleatori. + λ λ λ λ λ λ λ λ λ + μ μ μ = p h 1 m k 1 pm pk p1 hm hk h1 1m 1k 11 p h 1 p h 1 u u u f f f X X X M M M M L L M O M M L L M M O M L L M M M M I vincoli che più frequentemente si impongono sulle componenti del modello sono i seguenti: 1) Le variabili f, i fattori comuni, hanno media zero, varianza unitaria e sono tra loro linearmente indipendenti (equivale a incorrelati) cioè: a) E(f)= nullità delle medie aritmetiche dei fattori comuni b) E(ff )=I unitarietà delle varianze dei fattori comuni e incorrelazione a coppie ) Le variabili u, i fattori specifici o specificità, hanno media zero, varianza ψ ii e sono tra loro incorrelate (significa che la correlazione tra le variabili originarie è spiegata completamente dai fattori comuni) cioè a) E(u)= nullità delle medie aritmetiche dei fattori specifici b) E(uu )=Ψ (dove Ψ=diag(ψ 11,, ψ pp )) incorrelazione a coppie relativamente ai fattori specifici ψ ψ ψ Ψ = pp hh 11 L L M O M M L L M M O M L L N.B. Non ci sono ipotesi sulle varianze, per cui si ha una matri-

18 14 Analisi statistica multivariata ce diagonale in cui tutti gli elementi al di fuori della diagonale principale sono nulli e quelli su di essa non necessariamente uguali. Inoltre, i fattori specifici sono linearmente non correlati anche con i fattori comuni, cioè c) E(fu )= incorrelazione a coppie fra i fattori specifici e i fattori comuni 3) Talvolta vengono introdotte anche le seguenti ipotesi: a) I fattori comuni f hanno distribuzione normale multivariata b) I fattori specifici u hanno distribuzione normale multivariata Le ipotesi 3a e 3b implicano che anche le X i abbiano distribuzione normale multivariata e portano al modello fattoriale lineare normale. Le ipotesi b e c implicano che le correlazioni tra le X i siano completamente spiegate dai fattori. E bene sottolineare il diverso significato dell ipotesi di incorrelazione dei fattori comuni e dei fattori specifici. Per assicurare che i fattori comuni siano in grado di spiegare completamente le correlazioni tra le variabili osservate sono determinanti due ipotesi: i) che i fattori specifici siano incorrelati tra loro E(uu )=Ψ (dove Ψ=diag(ψ 11,, ψ pp )) [ipotesi b] ii) che i fattori specifici siano incorrelati con i fattori comuni E(fu )= [ipotesi c] Diversamente l ipotesi E(ff )=I [ipotesi 1b], non è fondamentale. Infatti la matrice di varianze-covarianze tra i fattori potrebbe essere una qualunque matrice Σ f simmetrica e definita positiva e, in quanto simmetrica, per la scomposizione di Cholesky esisterà sempre una matrice triangolare inferiore L tale che Σ f = LL. Si dimostra che il vettore f * = L -1 f ha ancora media nulla e matrice di varianze-covarianze uguale alla matrice identità; infatti: E(f * f * ) = E(L -1 ff (L ) -1 ) = L -1 E(ff )(L ) -1 = L -1 Σ f (L ) -1 = L -1 LL (L ) -1 = I

19 A. Lubisco 15 Se ora si pone Λ * = ΛL si ha che Λ * f * = ΛLL -1 f = Λf Il modello X = μ + Λ * f * + u è quindi indistinguibile dal modello X = μ + Λf + u, ma il vettore f * ha elementi standardizzati e incorrelati. Senza perdere in generalità, tali vincoli possono essere imposti direttamente sugli elementi di f. Come già accennato, può essere talvolta opportuno supporre che le variabili f k e u i, e quindi le X i, siano distribuite normalmente. Per semplicità si può inoltre porre μ = ; ciò equivale a immaginare le variabili X i come variabili scarto dalla media. Il modello si riduce così all espressione: X = Λf + u In forma esplicita è m X 1 = λ 11 f λ 1k f k + + λ 1m f m + u 1 = λ1kf k + u1 X i = λ i1 f λ ik f k + + λ im f m + u i = X p = λ p1 f λ pk f k + + λ pm f m + u p = m k = 1 k = 1 λ m ik λ k = 1 f + u k pk k i f + u Se il modello fattoriale descrive adeguatamente i dati, vale una particolare relazione per la matrice Σ di varianze-covarianze delle variabili osservate, che può essere scomposta nella somma di due matrici: Σ = ΛΛ + Ψ Infatti Σ = E(XX ) = E[(Λf + u)(λf + u) ] = = E[Λff Λ + Λfu + uf Λ + uu ] = p

20 16 Analisi statistica multivariata dove = ΛE[ff ]Λ + ΛE[fu ] + E[uf ]Λ + E[uu ] = Σ = ΛΛ + Ψ ΛΛ = k = 1 m k = 1 m m k = 1 λ λ λ k... pk 1k λ λ 1k 1k m k = 1 λ λ λ 1k k k = 1 m λ k k = 1 m... pk λ k m k = 1 m k = 1 λ λ m k = 1 1k k... λ λ λ pk pk pk e Ψ = diag(ψ 11,, ψ pp ) Poiché la matrice Ψ è diagonale, le quantità al di fuori della diagonale di Σ coincidono con i corrispondenti elementi di ΛΛ. Ciò significa quindi che, valido il modello fattoriale, i fattori comuni sono in grado di spiegare le covarianze tra le variabili osservate, che risultano dipendere unicamente dai pesi fattoriali. Si noti che affinché ciò accada sono fondamentali le due ipotesi del modello che fanno riferimento all incorrelazione tra fattori specifici [b] (matrice Ψ diagonale) e all incorrelazione tra fattori comuni e fattori specifici [c] (E[fu ] = E[uf ] = ) Comunalità e specificità Indicando con λ i =(λ i1, λ ik,... λ im ) il vettore riga dei pesi fattoriali relativi alla variabile X i, la covarianza tra due variabili X i e X j con i j risulterà quindi data da: COVAR(X i,x j ) = λ i λ j = λ i1 λ j1 + + λ im λ jm La varianza della generica variabile X i risulta essere V(X i ) = σ i = σ ii = k λ ik + ψii Ci si poteva comunque arrivare tenendo conto che, essendo nulle le covarianze vale l uguaglianza

21 A. Lubisco 17 Var(X i ) = Var(λ i1 f 1 )+ Var(λ ik f k )... + Var(λ im f m ) + + Var(u i ) ed essendo i fattori a varianza unitaria vale l uguaglianza Var(X i )= λ i1 + λ ik λ im + ψ ii Il primo addendo della varianza definisce la cosiddetta comunalità : h = λ ik = σ ii - ψ ii i k e rappresenta la parte di varianza di X i spiegata dai fattori comuni. In altre parole, le comunalità delle variabili osservate, definite come la somma dei quadrati dei corrispondenti pesi fattoriali, danno una indicazione del grado in cui ciascuna variabile si sovrappone ai fattori, o più tecnicamente, esse rappresentano la proporzione di varianza delle variabili X i che può essere spiegata dai punteggi nei fattori comuni. Più la comunalità h 1 si avvicina a 1, tanto più il set di fattori scelto sarà in grado di spiegare la varianza della variabile X 1. Supponiamo di considerare un modello fattoriale a 3 fattori. Se la comunalità per una variabile X è pari a,79, questo valore va inteso come un R di un modello di regressione multipla e perciò il 79% della variabilità di X è spiegata dal modello fattoriale. Guardando i livelli delle comunalità si è in grado di capire su quali tra le variabili osservate il modello fattoriale svolge il suo compito in maniera migliore. È possibile anche calcolare la proporzione della variazione complessiva spiegata dal modello fattoriale, dividendo la somma delle comunalità per il numero di variabili osservate. Se la somma delle comunalità di un modello a tre fattori determinato su 9 variabili osservate è pari a 6,3, allora la percentuale di variazione spiegata dal modello è 6,3/9x1=7%. Questo valore può essere inteso come un livello complessivo di valutazione della performance del modello. Riassumendo, le singole comunalità mi dicono quanto bene lavora il modello nei confronti di ciascuna variabile osservata, mentre la comunalità media fornisce una valutazione di insieme.

22 18 Analisi statistica multivariata In tutti i metodi di stima dell analisi fattoriale vengono determinati dei valori di partenza delle comunalità. Nel metodo delle componenti principali le comunalità sono pari a 1. Negli altri metodi di stima, le comunalità sono stime di quella che viene chiamata attendibilità delle variabili osservate sul fattore, cioè la capacità della variabile osservata di misurare il fattore latente. Le comunalità di partenza sono calcolate stimando il coefficiente di correlazione multipla R attraverso l equazione di regressione dei minimi quadrati impostando la variabile X di interesse come variabile dipendente e le rimanenti variabili X come indipendenti. ψ ii è detta invece varianza specifica (o specificità ) ed è dovuta al fattore specifico u i ; è la parte di variabilità di X i non spiegata dai fattori comuni. Si osservi inoltre quanto segue: E(Xf ) = E[(Λf + u)f ] = ΛE(ff ) + E(uf ) = Λ Questo significa che i pesi fattoriali rappresentano le covarianze tra fattori e variabili manifeste.

23 A. Lubisco 19 PROPRIETÀ DEL MODELLO FATTORIALE Equivarianza rispetto a cambiamenti di scala Se il modello fattoriale descrive in modo adeguato le correlazioni osservate, si dimostra che la variabile Y = CX, ottenuta moltiplicando le variabili osservate per C = Diag(c i ), genera una matrice dei pesi fattoriali Λ Y = CΛ x, tale che, nota Λ x, si ottiene Λ Y semplicemente moltiplicando la i-esima riga per c i. Si consideri la variabile Y = CX ottenuta moltiplicando le variabili in X per una matrice C diagonale. C c = 11 c cpp Se il modello fattoriale X = Λ x f + u descrive in modo adeguato le correlazioni osservate, si avrà: Y = CX = C[Λ x f+u] = CΛ x f + Cu Indicando con Λ Y = CΛ x, si può scrivere: Y = Λ Y f + Cu Cioè, per Y vale un modello fattoriale nel quale la matrice dei pesi fattoriali è CΛ x, ossia Λ Y. Inoltre: Σ Y = E(YY ) = E(CXX C ) = CΣC = C[Λ x Λ x +Ψ x ]C = CΛ x Λ x C + CΨ x C Quindi, nota la matrice dei pesi fattoriali Λ x, la matrice Λ Y si ottiene semplicemente moltiplicando ciascuna riga per l elemento corri-

24 Analisi statistica multivariata spondente sulla diagonale di C. Poiché il modello fattoriale risulta invariante (equivarianza) rispetto a cambiamenti di scala delle variabili in X, è possibile standardizzare le variabili osservate, così da operare non sulla matrice di varianze e covarianze, bensì sulla matrice R delle correlazioni. Infatti, se indichiamo con D la matrice diagonale che contiene le varianze delle variabili in X D = σ1 σ σp e con D 1/ la matrice diagonale che contiene le radici delle varianze, D 1 = σ 1 σ σ p le variabili standardizzate, se consideriamo X composta da variabili scarto dalla media, si ottengono: Y = D -1/ X e la matrice di varianze-covarianze Σ Y sarà: Σ Y = Ρ = D -1/ Σ x D -1/ = D -1/ Λ x Λ x D -1/ + D -1/ Ψ x D -1/ Quindi la relazione tra i pesi fattoriali nel modello con le variabili o- riginarie e quelli relativi alle variabili standardizzate sono uguali a meno di una costante: Λ Y = D -1/ Λ x Perciò, almeno a livello di modello fattoriale in popolazione, è possibile ricavare i parametri dell uno riscalando i parametri dell altro. Vedremo però, in fase di stima, poiché i metodi a cui si fa riferimento non godono al pari del modello della proprietà di equivarian-

25 A. Lubisco 1 za rispetto a trasformazioni di scala, le stime dei parametri che si ottengono a partire dalla matrice di correlazione campionaria non consentono di risalire alle stime dei parametri che si ottengono dalle matrici di varianze-covarianze. Come si è detto, poiché il modello fattoriale risulta invariante (equivarianza) rispetto a cambiamenti di scala delle variabili in X, operando sulla matrice di correlazione R, si ha che: R = ΛΛ + Ψ Per differenza si ottiene: Ψ = R - ΛΛ che per la variabile X i da luogo alla: ψ ii = r ii λ k ik Ma r ii = 1 poiché misura la correlazione di X i con se stessa; è, quindi ψ ii = k ik 1 λ = 1 h i Ψ è pertanto funzione di Λ, ed è nota quando siano note le comunalità. IDENTIFICAZIONE DEL MODELLO Invarianza del modello rispetto a rotazioni ortogonali della matrice Λ In generale, un qualunque modello si dice identificato se la soluzione al problema di stima esiste ed è unica. Per il modello fattoriale non esiste una soluzione unica al problema di stima dei pesi fattoriali. Il modello risulta infatti INVARIANTE rispetto a rotazioni ortogonali. Infatti, si consideri una generica matrice ortogonale G (tale cioè che GG = G G = I). Allora X = Λf+u X = Λ I f + u X = Λ GG f + u

26 Analisi statistica multivariata X = Λ G f G +u I due modelli sono del tutto equivalenti e godono delle stesse proprietà (si ricordi il modello X = Λ * f * + u indistinguibile dal modello X = Λf + u): Inoltre: E(f G ) = E(G f) = G E(f) = E(f G f G ) = E(G ff G) = G E(ff )G = G IG = I E(f G u ) = E(G fu ) = G E(fu ) = G = Σ G = Λ G Λ G + Ψ = ΛGG Λ + Ψ = ΛΛ + Ψ L indeterminatezza della soluzione può essere risolta imponendo dei vincoli alla rotazione; generalmente si impone che la matrice Λ Ψ -1 Λ sia diagonale con elementi sulla diagonale ordinati in senso decrescente. Prescindendo da possibili inversioni dei segni, Λ risulta così univocamente determinata. Nulla vieta poi al ricercatore di ruotare successivamente i fattori postmoltiplicando la matrice Λ per una nuova matrice G ortogonale qualora ciò sia utile in fase di interpretazione dei risultati, ma l argomento verrà trattato successivamente. Abbiamo detto che un modello è identificato se la soluzione al problema di stima esiste ed è unica. Abbiamo posto le condizioni per l unicità della soluzione, ma siamo sicuri che esista sempre una soluzione? Il numero delle incognite è pari a pxm (pesi fattoriali) + p (varianze dei fattori comuni) Il numero dei parametri incogniti può essere maggiore delle informazioni disponibili, date dal numero di valori distinti contenute nelle matrici S o R (stime delle matrici Σ e Ρ, rispettivamente), che sono: p(p+1)/ (informazioni disponibili)

27 A. Lubisco 3 Il vincolo per l unicità della soluzione, cioè Λ Ψ -1 Λ introduce m(m-1)/ vincoli, riducendo il numero di parametri liberi a: pxm + p - m(m-1)/ Perché la soluzione esista è dunque necessario imporre un limite al numero di fattori che possono essere inclusi nel modello fattoriale, poiché deve risultare: p(p+1)/ > pxm + p - m(m-1)/ C è quindi un limite al numero di fattori che possono essere inclusi in un modello fattoriale. Infatti: 1) se vale il segno < si hanno infinite soluzioni ) se vale il segno = si ha un unica soluzione esatta, ma il modello fattoriale ha tanti parametri quante sono le informazioni disponibili, quindi non porta ad alcuna riduzione di dimensioni. 3) se vale il segno > allora la soluzione esiste, anche se si tratta di una soluzione approssimata che porta a una riduzione delle dimensioni; è possibile determinare in modo empirico, facendo riferimento alla disuguaglianza, il numero massimo di fattori comuni da includere nel modello per un certo numero p di variabili osservate.

28 4 Analisi statistica multivariata STIMA DEI PARAMETRI DEL MODELLO Usualmente il punto di partenza per un analisi fattoriale è la matrice di correlazione delle X. Le correlazioni dovrebbero essere esaminate per prime. Se le correlazioni tra le X sono basse allora l analisi fattoriale rischia di non essere utile dal momento che correlazioni basse sono un sintomo della mancanza di fattori comuni. L esame può anche svelare aspetti particolari o anomalie indesiderate di vario tipo. Per esempio, se tra le X ve ne sono due molto correlate tra loro, a significare che una aggiunge poca informazione all altra, diventerà immediatamente visibile una correlazione prossima a uno. Il problema è che i fattori comuni alle altre X non sarebbero in grado di spiegare questa particolare correlazione e non è desiderabile aggiungere un altro fattore solo per spiegarne una. Stimare il modello significa trovare i valori dei parametri che rendono la matrice di correlazione osservata quanto più vicina possibile a quella ottenuta col modello. Nel caso del modello a un fattore si è visto che esiste una procedura ad hoc. Ciò di cui si ha bisogno è una procedura matematica in grado di stimare qualunque modello. Attualmente sono disponibili diversi metodi implementati con software di ogni genere: minimi quadrati ordinari, minimi quadrati generalizzati, massima verosimiglianza, Tutti questi metodi partono dalla costruzione di una distanza tra le matrici di correlazione osservata e del modello; essi differiscono nella misura che viene scelta. Questi metodi forniscono generalmente risultati pressoché simili, ma può essere istruttivo provarli tutti dal momento che con i software a disposizione è molto semplice e veloce farlo. Ci sono comunque anche dei vantaggi teorici u- sando sia il metodo della massima verosimiglianza che quello dei minimi quadrati pesati. Stimare il modello non significa, ovviamente, avere la garanzia che la stima sia accettabile. Bisognerà individuare dei metodi di valutazione per giudicare la bontà del modello.

29 A. Lubisco 5 Metodi di stima E nota la relazione Σ = ΛΛ + Ψ S rappresenta la stima della matrice Σ. Cerchiamo uno stimatore di Λ, Λˆ e uno di Ψ, Ψˆ che approssimino al meglio la relazione Σ = ΛΛ + Ψ in cui Σ è stimata con S. S Λˆ ˆ Λ + Ψˆ I metodi di stima dei parametri del modello che andremo a vedere sono i seguenti: a) metodo delle componenti principali b) metodo dei fattori principali (iterato) c) metodo della massima verosimiglianza In alcuni software statistici, come per esempio SPSS, vengono messi a disposizione anche altri metodi basati sui minimi quadrati e su altri sistemi di fattorizzazione. Esiste anche un metodo, detto del centroide che veniva utilizzato prima dell impiego dei calcolatori elettronici.

30 6 Analisi statistica multivariata Metodo delle componenti principali Con l analisi delle componenti principali si cercano combinazioni lineari delle variabili osservate X così da massimizzare il loro successivo contributo alla varianza totale dell insieme. Si suppone che le varianze dei fattori specifici ψ ii siano tutte nulle, cioè: S ΛΛ Il teorema spettrale afferma che data la matrice S pxp simmetrica, è sempre possibile trovare una matrice A pxp ortogonale tale che A -1 S A = L con L diagonale. Data l ortogonalità di A è possibile riscrivere l uguaglianza come A S A = L DIAG Il teorema specifica inoltre che gli elementi presenti sulla diagonale di L sono gli autovalori di S, mentre le colonne di A rappresentano i rispettivi autovettori normalizzati associati agli autovalori di S. Per la scomposizione spettrale, vale quindi la seguente uguaglianza: S = A L A dove L è la matrice diagonale che contiene in ordine decrescente gli autovalori di S, e A è la matrice ortogonale avente per colonne i corrispondenti autovettori. A causa del fatto che S è una matrice di varianze e covarianze e, di conseguenza, semidefinita positiva, gli autovalori di S devono essere tutti maggiori o uguali a zero. Dal momento che L = L 1/ L 1/ ne segue che S = A L 1/ L 1/ A

31 A. Lubisco 7 Di conseguenza Λˆ = A L 1/ Da ciò deriva quindi che S = Λˆ Λˆ. Questa conclusione non è però soddisfacente in quanto Λˆ ha dimensioni pxp e non si ottiene quindi una riduzione di dimensioni. Allora, facendo riferimento all analisi delle componenti principali, si può pensare di selezionare gli m autovalori più grandi di S e i rispettivi autovettori. Quindi si ricostruisce L 1/ 1 di dimensioni mxm in modo tale che contenga sulla diagonale le m radici quadrate degli m autovalori più elevati. Di conseguenza A 1 di dimensioni pxm conterrà gli m autovettori associati agli m autovettori più elevati. Alla fine si otterrà una stima della matrice dei pesi fattoriali di dimensione pxm 1/ Λˆ = A 1 L 1 Le specificità vengono ricavate per differenza: cioè Ψ = S - Λˆ Λˆ m ˆψ ii = Var(x i ) - k= 1 ˆ λ ik per i = 1,, p (i ˆλ ik sono in Λˆ ) È possibile condurre l analisi anche facendo riferimento alla matrice R di correlazione; tuttavia, le soluzioni ottenute usando le due diverse matrici (R e S), caratteristica già nota se si è già affrontato lo studio dell analisi delle componenti principali, non sono legate in alcun modo da una relazione algebrica; infatti il metodo non gode della proprietà di equivarianza rispetto ai cambiamenti di scala delle variabili osservate. Un ultima considerazione sul metodo delle componenti principali: uno degli svantaggi è che tale metodo non fornisce un test di bontà di adattamento. Possiamo esaminare i parametri ottenuti e valutare se essi sono prossimi o uguali a zero, ma non c è un test statistico che ci aiuti in questo. Tale test è presente invece nel metodo che si basa sulla massima verosimiglianza.

32 8 Analisi statistica multivariata Metodo dei fattori principali Un altro metodo proposto per la stima di Λ e Ψ è il metodo dei fattori principali. Tale metodo prevede che vengano stabilite stime iniziali per le comunalità. La stima delle comunalità è ottenuta per iterazione e viene calcolata in base ai pesi fattoriali. Si presuppone una stima iniziale di Ψ, Ψ ; tale stima, nell ambito del modello S ΛΛ + Ψ, da cui Ψ S - ΛΛ, comporta, per la singola variabile x i, la conoscenza di m ψ ii = s ii - k= 1 λ ik = sii h i, ossia delle varianze dei fattori specifici. Tuttavia, tale supposizione deve essere suffragata da una stima iniziale delle comunalità, h i. Prima di procedere, occorre precisare che l analisi può essere condotta sia su R sia su S. Immaginando di lavorare su R, il calcolo della varianza dei fattori specifici diventa m ψ ii = r ii - k = 1 λ ik = 1 hi In generale i criteri più seguiti per stimare le comunalità consistono, nel caso si analizzi la matrice R di correlazione, nel sostituire h i con: a) il quadrato del coefficiente di correlazione multiplo tra X i e tutte le altre variabili, R i( 1...,i 1,i + 1,...,p), indicato anche con R i oppure con b) il più elevato coefficiente di correlazione lineare tra X i e le altre variabili, maxr ii' i i' Nel caso, invece si utilizzi la matrice S di varianze-covarianze, si useranno rispettivamente: a) s ii R i( 1...,i 1,i + 1,...,p), indicato anche con s ii R i b) s ii maxr ii' i i' Nel caso della matrice R, si calcola la matrice di correlazione ridotta R- Ψˆ che si ottiene sostituendo gli 1 che si trovano sulla diagonale

33 A. Lubisco 9 principale con le stime delle comunalità diventando: ~ h 1 R Ψ ˆ = r i1 r p1 r r 1i ~ h i pi r 1p rip ~ h p Una volta stimate le comunalità, si otterranno direttamente anche le stime delle varianze dei fattori specifici, come complemento a 1 delle comunalità stesse (si ottiene, quindi, Ψ ). Nel caso di S, si calcola la matrice di varianze-covarianze ridotta S- Ψˆ che si ottiene sostituendo le varianze che si trovano sulla diagonale principale con le stime delle comunalità ~ diventando h i S Ψˆ ~ h 1 = s i1 s p1 s s 1i ~ h i pi s 1p sip ~ h p Per il teorema spettrale sarà possibile la scomposizione R - Ψˆ = A 1 L 1 A 1 dove L 1 è la matrice diagonale che contiene in ordine decrescente gli autovalori di R - Ψˆ, e A 1 è la matrice ortogonale avente per colonne i corrispondenti autovettori). Se i primi m autovalori sono positivi, dal momento che L 1 = L 1 1/ L 1 1/ e che R - Ψˆ = ΛΛ ne segue che la stima di Λ sarà 1/ ˆΛ = A 1 L 1 dove A 1 ha per colonne i primi m autovettori e L 1 ha sulla diagonale

34 3 Analisi statistica multivariata i corrispondenti autovalori. Perciò, data una adeguata stima ˆΨ di Ψ, le prime m componenti principali di R - ˆΨ sono stime dei pesi fattoriali Λ. Usando le stime dei pesi fattoriali contenute in ˆΛ vengono stimate successivamente le varianze specifiche tramite la relazione m ˆψ ii = 1 - ˆ λ ik k= 1 1 Ottenuta una nuova stima di ˆΨ (l indice 1 indica che si tratta di un 1 momento successivo), possiamo calcolare una nuova matrice R - ˆΨ 1 (o S - ˆΨ ) e di conseguenza una nuova stima ˆΛ 1. Il processo si arresta quando le differenze tra ˆΛ i e ˆ i + 1 Ψ sono minori di un ε prefissato. ˆ i + 1 Λ e tra i ˆΨ e Il problema è che il processo di convergenza può essere molto lento o, addirittura, si può non arrivare alla convergenza e può accadere che le stime di alcune varianze vengano negative (Caso di Heywood). In aggiunta, l analisi dei fattori con il metodo dei fattori principali, così come quella condotta con il metodo delle componenti principali, non è invariante rispetto ai cambiamenti di scala. C è da dire, però, che uno dei vantaggi consiste nel fatto che non è necessario porre condizioni sulla forma distributiva delle variabili X nella popolazione di riferimento.

35 A. Lubisco 31 Ripercorriamo il metodo dei fattori principali Lo scopo è sempre quello di fornire una stima di Λ e Ψ. Essendo nota la relazione R - Ψ = ΛΛ si effettua una prima stima ˆΨ di Ψ (le specificità) per poter successivamente scomporre la matrice ridotta R - ˆΨ Per la stima iniziale delle specificità, ciò che si è in grado di fare è partire da una stima iniziale delle comunalità per ottenere le specificità dalla seguente relazione: Ψ ii = Var(X i ) - h i Il punto di partenza è perciò la stima iniziale delle comunalità sostituendo h i con: a) il quadrato del coefficiente di correlazione multiplo tra X i e tutte le altre variabili, R i( 1...,i 1,i + 1,...,p), oppure con b) il più elevato coefficiente di correlazione lineare tra X i e le altre variabili, maxr ii' i i' Ottenuta ˆΨ, si determina la matrice ridotta R - ˆΨ che permette di ottenere, con la scomposizione spettrale, una stima ˆΛ pari a: 1/ ˆΛ = A 1 L 1 Questa scomposizione è possibile solo prendendo in considerazione gli autovalori positivi, non potendo fare la radice quadrata di valori negativi. Prendendo la diagonale della matrice Λ ˆ ˆ Λ si ottiene una nuova stima delle comunalità, tramite la quale ottengo una nuova stima di 1 ˆΨ. 1 Si calcola R - ˆΨ ottenendo una nuova matrice ΛΛ sulla quale fare la scomposizione spettrale ottenendo: 1 1/ ˆΛ = A L ˆ i + 1 ˆ i + 1 Si procede fino a quando le nuove coppie Λ e Ψ non differiscono da ˆΛ i i e ˆΨ meno di un valore ε prefissato. Per esempio, in SPSS questo valore è impostato a,1.

36 3 Analisi statistica multivariata Il metodo della massima verosimiglianza Una soluzione alternativa per stimare i pesi fattoriali, quando si può assumere che X abbia una distribuzione normale multivariata di parametri μ e Σ, si fonda sul metodo della massima verosimiglianza. Tale metodo produce stime dei pesi fattoriali che risultano i più probabili se la matrice di correlazione proviene da una distribuzione normale. È noto che la funzione di verosimiglianza è funzione dei parametri incogniti. Essa indica, per diversi valori dei parametri qual è la densità di probabilità (o probabilità se X è discreta) di osservare ciò che poi si è effettivamente osservato, cioè il campione. Il principio della massima verosimiglianza indica di scegliere come stima di un parametro il valore che dà la massima probabilità a ciò che si è osservato, cioè il valore che rende massima la verosimiglianza del campione estratto. Quindi se X ~ N p (μ,σ) L espressione della funzione di densità multivariata è: f 1 / ( ) ( ) ( ) 1 X = πσ exp 1 / x μ Σ x μ Il campione è costituito da n vettori p-dimensionali indipendenti e identicamente distribuiti. X * = (X 1,, X j,, X n ) I.I.D. La funzione di verosimiglianza è quindi, in questo caso ricavabile a partire dal prodotto di n funzioni di densità multivariata marginali: L n * ( X, μ, Σ) = f( x ) j= 1 j Diventa il prodotto di tante espressioni del tipo [1] = n j= 1 πσ 1 / exp 1 / x n n / = πσ exp 1 / j= 1 1 ( μ) Σ ( x μ) j 1 ( x μ) Σ ( x μ) j La trasformata logaritmica della verosimiglianza (funzione di logverosimiglianza) è: j j [1]

37 A. Lubisco 33 n * n 1 1 ( X, μ, Σ) = logπσ ( X μ) Σ ( X μ) l j= 1 j che può essere scritta nel seguente modo se X e S sono stimatori di μ e Σ: n = logπσ trσ n S ( X μ) Σ ( X μ) n 1 1 Se il vettore μ è sostituito dal vettore delle medie campionarie X, allora sparisce il terzo termine e la log-verosimiglianza si riduce alla seguente espressione, funzione solo di Σ: * n n 1 ( X, Σ ) = logπσ trσ S l Poiché Σ = ΛΛ + Ψ * la l( X,Σ) diviene funzione di Λ e Ψ: * n n 1 l( x, Λ, Ψ) = logπ( ΛΛ + Ψ) tr( ΛΛ + Ψ) S * La massimizzazione di l( x, Λ, Ψ) rispetto a Λ e Ψ avviene sotto il so- 1 Λ Ψ Λ sia diagonale (per ottenere una lito vincolo che la matrice soluzione unica). * Uguagliando a zero le derivate di l( x, Λ, Ψ) j rispetto a Λ e Ψ (sottoposte al vincolo) si ottengono le equazioni di verosimiglianza S Ψ Λ = Λ ( I + Λ Ψ Λ) 1 1 Ψ = diag ( S ΛΛ ) Risolvendo tali equazioni rispetto alle incognite Λ e Ψ, si ricavano le stime di massima verosimiglianza. Non esiste però una soluzione completamente analitica per queste equazioni e si ricorre perciò a procedimenti numerici iterativi che talvolta presentano problemi di convergenza. La soluzione, pur presentando anch essa la possibilità di fornire delle stime di comunalità superiori a 1 (Caso di Heywood), è equivariante rispetto a cambiamenti di scala.

38 34 Analisi statistica multivariata ROTAZIONE DEGLI ASSI FATTORIALI Al fine di interpretare più agevolmente i pesi fattoriali è possibile effettuare delle rotazioni degli assi fattoriali che mantengano l invarianza di scala semplificando la struttura del sistema di pesi. Il criterio da seguire dovrebbe condurre a suddividere le variabili in gruppi in modo tale che i pesi all interno di ciascun gruppo siano e- levati su un singolo fattore e bassi o trascurabili sugli altri. Tuttavia è difficile trovare una struttura fattoriale che soddisfi questi requisiti e sono pertanto state proposte soluzioni analitiche che ottimizzano criteri meno restrittivi. Le soluzioni più utilizzate rispettano l ortogonalità dei fattori. Rotazione VARIMAX (aiser, 1958) La nuova matrice ortogonale viene determinata in modo tale da massimizzare un indice basato sulla somma delle varianze dei quadrati dei pesi fattoriali normalizzati entro ciascuna colonna della matrice dei pesi fattoriali. V = 1 p m p p p 4 β ik β ik = i 1 k= 1 i 1 = dove β ik = λ ik m λ ik k= 1 La rotazione agisce sui pesi dei fattori facendo convergere proporzionalmente verso quelli più bassi e proporzionalmente verso 1 quelli più alti. Con questo criterio di rotazione, le modifiche avvengono sulle colonne della matrice di pesi fattoriali. Idealmente, è come se la rotazione fosse eseguita colonna per colonna della matrice dei pesi fattoriali, mantenendo fissa la varianza del quadrato dei pesi fattoriali per colonna. E una trasformazione utile soprattutto in presenza di più fattori.

39 A. Lubisco 35 Inoltre, è raccomandabile se si vuole ottenere una separazione netta tra i fattori e se la rotazione è effettuata alla cieca, senza precisi criteri di riferimento. La rotazione VARIMAX non dà, invece, buoni risultati se è estratto un solo fattore generale sul quale la maggior parte delle variabili ha pesi rilevanti. Rotazione QUARTIMAX La nuova matrice ortogonale viene determinata in modo tale da massimizzare un indice basato sulla varianza dei quadrati dei pxm pesi fattoriali: Q p m p m 4 1 = λ ik i 1 k 1 pm λ = = i= 1 k= 1 ik Idealmente, è come se la rotazione fosse eseguita riga per riga sulla matrice dei pesi fattoriali. L applicazione di questo criterio rende facile l attribuzione dei fattori comuni alla singola variabile. La rotazione QUARTIMAX è adatta per identificare i fattori che governano la variabilità dei caratteri osservati. Dà risultati migliori del VARIMAX quando si voglia semplificare il primo fattore estratto perché è un metodo che minimizza il numero dei fattori. Rotazione EQUAMAX E una soluzione di compromesso tra i criteri VARIMAX e QUARTI- MAX: invece di concentrarsi sulla semplificazione dei pesi sulle righe o di quelli sulle colonne, tenta di realizzare una semplificazione simultanea, mantenendo costante la varianza complessivamente spiegata dalla soluzione fattoriale. Il criterio EQUAMAX non è in genere efficace nella ricerca di strutture semplici.

40 36 Analisi statistica multivariata Rotazioni oblique Le rotazioni non ortogonali sono procedimenti iterativi di variazione dell angolo tra coppie di assi dopo una rotazione ortogonale. Il metodo PROMAX parte con una rotazione ortogonale VARIMAX dei pesi originari. Poi si cerca una trasformazione dei pesi ruotati che incrementi i pesi già grandi in assoluto e riduca quelli più piccoli, con un procedimento iterativo di aggiustamento. L angolo tra gli assi varia secondo passi predeterminati fino a trovare la soluzione ottima. Alla fine del processo gli assi possono essere molto avvicinati, e, di conseguenza, la correlazione tra i fattori può risultare molto elevata. Prima di interpretare i fattori Ecco alcune indicazioni metodologiche per interpretare i risultati di un analisi dei fattori. E opportuno verificare: Forma del test grafico sugli autovalori: se il grafico mostra una forma a gomito, l ipotesi dell esistenza di fattori è plausibile. L entità dei coefficienti di correlazione parziale tra le p variabili al netto dei fattori ottenuti: Se le correlazioni parziali nette sono elevate in rapporto alle correlazioni iniziali, significa che i fattori specifici dominano su quelli comuni, e, quindi, che l analisi non ha avuto successo. Il rapporto fra fattori comuni e fattori specifici si può esprimere come la media delle comunalità delle p variabili, oppure con la misura di aiser-meyer-olkin MO = p i p j i ij r p i + p j i p i ij r p j i ij.1...q r dove si denota con r il coefficiente di correlazione tra x i e x j al ij.1... q netto dei fattori estratti e con r ij il coefficiente di correlazione semplice tra le stesse variabili.

41 A. Lubisco 37 aiser (1974) suggerisce di valutare l indice nel seguente modo: Meraviglioso almeno pari a,9 Meritorio da,8 a,9 Medio da,7 a,8 Mediocre da,6 a,7 Scarso da,5 a,6 Inaccettabile fino a,5 Test di sfericità di Bartlett: tale test è basato sull assunto di normalità distributiva delle variabili osservate e saggia l ipotesi che la matrice di correlazione iniziale coincida con la matrice identità (caso per il quale non ha senso effettuare un analisi fattoriale in quanto le correlazioni tra le variabili sono tutte nulle). Al crescere del valore del test di Bartlett decresce il corrispondente p-value. Se a causa di un elevato p-value l ipotesi in questione non può essere rifiutata, l opportunità di stimare un modello fattoriale va ridiscussa. ESEMPIO DI VALUTAZIONE DEI PESI FATTORIALI Come fa un ricercatore a valutare i pesi fattoriali? Prima di tutto si valuta la matrice ruotata dei pesi fattoriali piuttosto che quella non ruotata, per l ovvia ragione che è più semplice da interpretare ed è equivalente dal punto di vista matematico. I pesi fattoriali variano da -1 a +1, con la considerazione che più è alto il valore assoluto del peso fattoriale, più è grande l ammontare della varianza spiegata in X dal fattore. Un criterio per decidere se una variabile è causata da un fattore è considerare solo pesi fattoriali superiori a,4 (anche se di solito si sceglie comunque di visualizzare in output i pesi fattoriali superiori a,3). I segni dei pesi fattoriali vanno considerati solo per colonna. Proviamo a considerare un esempio in cui vengono osservate solo 4 variabili. Le prime due (X 1 e X ) correlate tra loro, ma non con le altre due. Anche X 3 e X 4 sono correlate tra loro e non correlate con le prime due. Con una matrice di correlazione simile ci si aspetta che si otterranno due fattori, uno rappresentante la correlazione tra le prime due variabili e uno la correlazione tra le seconde due. R contiene quattro autovettori. L analisi fattoriale, attraverso l analisi degli autovalori associati a ciascuno degli autovettori e tra-

42 38 Analisi statistica multivariata mite i criteri di scelta del numero di fattori (per esempio quelli con autovalori maggiori di 1) riduce i quattro autovettori a due, definendoli fattori. Si consideri ora una situazione nella quale il peso fattoriale per la variabile X 1 nel Fattore 1 abbia segno positivo, mentre il peso fattoriale per la variabile X, sempre nel Fattore 1, abbia invece segno negativo. Questo risultato significa che X 1 e X siano correlate negativamente. Si supponga anche che il ricercatore non si aspettasse un risultato del genere. Che verifiche si possono fare? Il primo controllo deve riguardare il fatto che la codifica dei dati utilizzata per le due variabili X 1 e X (cioè la trasformazione in valori delle risposte ai test) vada nella stessa direzione concettuale. Si supponga che le risposte alle domande alle quali si riferiscono le due variabili X 1 e X siano codificate con la stessa scala Likert a 5 o 7 termini che va da Sono completamente d accordo a Sono completamente in disaccordo, solo che la prima domanda sia Sento di avere un grande numero di buone qualità, mentre la seconda sia Sento di non essere molto fieri di me stesso. Una persona con molta autostima tenderà a rispondere con Sono molto d accordo alla prima domanda e Sono molto in disaccordo alla seconda. Se la codifica della variabile X riferita alla seconda domanda, cioè la trasformazione delle risposte dalla scala Likert a una scala numerica, non viene invertita prima di condurre l analisi fattoriale, allora i pesi fattoriali per le variabili X 1 e X sullo stesso fattore avranno segni diversi. Se i dati sono invece stati codificati in modo corretto, allora i pesi fattoriali sono il sintomo di un problema legato sia al fattore sia alla validità del contenuto.

43 A. Lubisco 39 DETERMINAZIONE DEI PUNTEGGI FATTORIALI Un ulteriore fase da compiere è la stima dei fattori in funzione delle variabili osservate. Per questo è necessario calcolare i punteggi fattoriali. Il metodo di Bartlett per la stima dei punteggi fattoriali è basato sulla massima verosimiglianza e produce punteggi con media=. Il modello fattoriale è il solito: X = Λf + u A questo punto dell analisi, sono noti i pesi λ ik e Ψ. Se vale la condizione di normalità distributiva (abbiamo inoltre considerato X espressa in termini di scarto dalla media), eguagliando a zero le derivate parziali rispetto a f della log-verosimiglianza di X si ottiene: 1 1 ( Λ Ψ Λ) Λ Ψ X 1 fˆ = Si può anche sfruttare l analogia formale tra il modello fattoriale e quello di regressione multipla. X è noto, u è interpretabile come un vettore di residui non omoschedastici (E(u j u j )=Ψ) e quindi per stimare f è necessario ricorrere ai minimi quadrati generalizzati, pervenendo alla medesima soluzione. Il metodo di Thompson imposta il problema della stima in un ottica bayesiana. f ( I + Λ Ψ Λ) Λ Ψ X * = Lo stimatore di Bartlett è corretto mentre quello di Thompson è distorto, tuttavia lo stimatore di Bartlett presenta un errore medio di previsione maggiore. Un metodo basato sulla regressione produce punteggi fattoriali che possono essere correlati fra loro anche se i fattori non lo sono.

44 4 Analisi statistica multivariata UNA PRIMA INTERPRETAZIONE I pesi fattoriali I pesi fattoriali hanno un interpretazione simile a quella dei coefficienti delle componenti principali. Se si analizza la matrice di correlazione, e sono state introdotte le ipotesi di incorrelazione dei fattori (ipotesi 1b), il peso fattoriale λˆ ij rappresenta la correlazione tra la variabile osservata x i e il fattore f j. Un fattore può essere interpretato esaminando la struttura dei pesi di quel fattore sulle variabili osservate. Esempio: La seguente tabella mostra i pesi fattoriali di un modello a due fattori stimati utilizzando il metodo della massima verosimiglianza. I dati riguardano i voti ottenuti da un gruppo di studenti inglesi in alcune materie. λˆ i1 λˆ i Gaelico,56,43 Inglese,57,9 Storia,39,45 Aritmetica,74 -,8 Algebra,7 -,1 Geometria,6 -,13 Dal momento che in questo caso è stata analizzata la matrice di correlazione, ciascun peso fattoriale λ può essere interpretato come la correlazione tra il voto in una materia e un fattore. Per esempio, la correlazione tra il voto in Gaelico e il primo fattore è pari a,56. Nel tentativo di dare un interpretazione al primo fattore ci si deve interrogare sul perché ci sia una elevata correlazione positiva con tutte le materie. Per quello che riguarda il secondo fattore c è una correlazione positiva con le materie umanistiche e negativa con quelle matematiche. Quindi, il primo fattore può essere interpretato come un abilità generale su tutte le materie, mentre il secondo mostra il contrasto tra le materie umanistiche e quelle matematiche. Studenti che vanno meglio nelle materie umanistiche avranno un punteggio fattoriale positivo elevato, mentre studenti che vanno meglio nelle materie matematiche piuttosto che in quelle umanistiche avranno punteggio fattoriale negativo elevato.

45 A. Lubisco 41 Nella tabella che segue ci sono i pesi fattoriali di un modello a due fattori riguardanti alcune caratteristiche della personalità dei bambini. λˆ i1 λˆ i Cortesia,65,57 Ricerca di approvazione,54,54 Iniziativa,61 -,45 Sensi di colpa,63 -,54 Socialità,56,54 Creatività,7 -,59 Comportamento da adulti,67 -,45 Cooperatività,64,6 Il primo fattore rappresenta una misura complessiva della personalità mentre il secondo mostra il contrasto tra indicatori di come il bambino si relazioni agli altri e indicatori riguardanti l individuo. Si tenga presente che comunque questi risultati sono assolutamente analoghi a quelli che si ottengono utilizzando le componenti principali. Le comunalità La comunalità di una variabile osservata standardizzata è la radice quadrata del coefficiente di correlazione multiplo o la proporzione di varianza spiegata dai fattori comuni. Le comunalità dei voti nelle materie del primo esempio stimate con l analisi fattoriale sono indicate nella tabella che segue. Comunalità Gaelico,49 Inglese,41 Storia,36 Aritmetica,6 Algebra,56 Geometria,37 Da ciò si legge che il 49% della varianza nei voti in Gaelico è spiegata dai due fattori comuni. Si ricorda che la comunalità di una variabile è data dalla somma dei quadrati dei pesi fattoriali per quella variabile. La comunalità per i voti in Gaelico è calcolata come,56 +,43 =,49. Più alta è la comunalità di una variabile, me-

46 4 Analisi statistica multivariata glio tale variabile serve da indicatore per il fattore associato. In altre parole, una variabile x i con una elevata comunalità è indicatore più puro dei fattori comuni f con una minore contaminazione da parte del fattore specifico u i. La somma delle comunalità è la varianza spiegata dal modello fattoriale. Nel caso in questione è,81 pari al 47% di 6, che è la varianza totale dei voti nelle 6 materie.

47 A. Lubisco 43 ADEGUATEZZA DEL MODELLO E SCELTA DEL NUMERO DI FATTORI Un obiettivo primario dell analisi fattoriale è di ridurre le dimensioni del data set originario mantenendo un numero di dimensioni sufficienti da fornire comunque una buona rappresentazione dei dati o- riginari. Ci sono diverse vie per verificare l adeguatezza del modello. Percentuale di varianza spiegata da fattori Sebbene lo scopo dell analisi fattoriale sia quello di spiegare la covarianza o, analogamente, la correlazione tra le variabili osservate piuttosto che la varianza, tuttavia la percentuale di varianza spiegata dai fattori comuni dovrebbe essere ragionevolmente elevata. I due fattori dell esempio sui voti nelle materie spiegavano approssimativamente il 47% della varianza complessiva. Anche le comunalità possono essere usate per verificare che le variabili osservate siano adeguatamente spiegate dai fattori. Dalla tabella delle comunalità dell esempio sui voti nelle materie si vede che i voti in Aritmetica sono spiegati meglio di quelli in Storia. Matrice di correlazione riprodotta Un metodo efficace per verificare l adeguatezza del modello è di confrontare le matrici di correlazione riprodotta e osservata. Correlazioni Gaelico Inglese Storia Aritm. Algebra Geom. Gaelico,49,44,41,9,31,8 Inglese,44,41,35,34,35,3 Storia,41,35,36,16,19,17 Aritmetica,9,34,16,6,59,48 Algebra,31,35,19,59,56,46 Geometria,8,3,17,48,46,37 Differenze Gaelico,,,, -,3 Inglese,,,1 -,3,3 Storia,,,,, Aritmetica,,1,,, Algebra, -,3,,, Geometria -,3,3,,, La tabella mostra, per i dati sui voti nelle materie la matrice di correlazione riprodotta ottenuta dal modello a due fattori. Lungo la

48 44 Analisi statistica multivariata diagonale della prima matrice ci sono le comunalità, mentre al di fuori della diagonale ci sono le correlazioni riprodotte. Per esempio, la correlazione tra i voti in Gaelico e in Inglese si stima tramite il modello nel seguente modo: corr(x,x 1 ) = λˆ 1 λˆ 11 + λˆ λˆ 1 = (,57 x,56) + (,9 x,43) =,44 Le correlazioni riprodotte vengono confrontate con la matrice di correlazione campionaria. La seconda parte della tabella mostra tali differenze e il fatto che siano prossime a zero suggerisce che il modello a due fattori garantisca un buon adattamento. Test sulla bontà di adattamento Introducendo le ipotesi sulla normalità distributiva, si può effettuare un test basato sul rapporto di verosimiglianza, o test sulla bontà di adattamento, per valutare l ipotesi H che la matrice di covarianza osservata abbia la forma specificata dal modello fattoriale. Il non rifiuto di tale ipotesi significa buon adattamento del modello. La statistica test, indicata con W, si distribuisce come un χ con [(p - q) - (p + q) ] / gradi di libertà. Nell esempio dei voti la statistica test valeva,18, con 4 gradi di libertà; ciò non consente di rifiutare l ipotesi nulla. Se si crede che il modello con un certo numero di fattori non abbia un buon adattamento, si potrebbe scegliere di aggiungere più fattori al fine di migliorarlo. Tuttavia, bisogna sempre tener presente l equilibrio tra l interpretabilità dei fattori e la bontà di adattamento. Un modello con un ottimo adattamento e un elevato numero di fattori potrebbe non essere interpretabile, mentre un modello con minor adattamento potrebbe in realtà svelare interessanti caratteristiche dei dati. Il rifiuto dell ipotesi nulla potrebbe dipendere comunque da altri motivi come, per esempio, l allontanamento dalla normalità distributiva piuttosto che la reale necessità dell aggiunta di altri fattori.

49 A. Lubisco 45 RIASSUMENDO: SCOPI E PROCEDURE DELL ANALISI FATTORIALE Ci sono molte ragioni perché un ricercatore debba effettuare un analisi fattoriale. Alcune di queste sono le seguenti: a) egli può disporre di misure di un insieme di variabili e vorrebbe avere una qualche idea riguardo ai costrutti che potrebbero essere usati per spiegare le correlazioni tra queste variabili; b) può avere bisogno di esaminare la validità di una teoria rispetto al numero e alla natura dei costrutti fattoriali necessari per spiegare le correlazioni tra le variabili che si stanno studiando; c) può aver bisogno di determinare l effetto sui costrutti fattoriali causato dai cambiamenti nelle variabili misurate e nelle condizioni nelle quali le misure sono state raccolte; d) può avere il desiderio di verificare risultati precedenti, sia propri che di altri, utilizzando un nuovo campione della stessa popolazione o un campione di una popolazione differente; e) può voler esaminare sui risultati ottenuti l effetto prodotto da una variazione nelle procedure di analisi fattoriali utilizzate. Qualunque siano gli scopi dell analisi fattoriale, nella maggior parte dei casi essa comprenderà i seguenti passi: 1) selezione delle variabili; ) calcolo della matrice di correlazione tra le variabili; 3) estrazione dei fattori non ruotati; 4) rotazione dei fattori; 5) interpretazione della matrice dei fattori ruotati. Passo 1: Selezione delle variabili In taluni casi le variabili studiate nell analisi fattoriale risultano da una selezione basata su ciò che è disponibile al ricercatore tra i dati esistenti. In altri casi, le variabili scelte rappresentano il risultato di un notevole lavoro di attenta pianificazione. L analisi fattoriale vera e propria inizia di solito con una matrice di coefficienti di correlazione tra le variabili studiate. Prendiamo un esempio dalla psicologia, nel quale queste variabili possono essere i

50 46 Analisi statistica multivariata punteggi in alcuni test di personalità, come: 1) Mancanza di riservatezza ) Espansività 3) Loquacità 4) Mancanza di timidezza 5) Mancanza di paura del pubblico 6) Gregarietà 7) Socievolezza Passo : Calcolo ed esame della matrice di correlazione tra le variabili Questi test potrebbero essere somministrati ad alcune centinaia di studenti. Si potrebbero quindi calcolare i coefficienti di correlazione tra ciascuna coppia di test per tutti gli studenti. Tali coefficienti verrebbero a essere sistemati in una matrice come quella della Tabella AF : Tabella AF 1 - Matrice simbolica di correlazione Denominazione delle variabili ) Mancanza di riservatezza r 1 r 13 r 14 r 15 r 16 r 17 ) Espansività r 1 r 3 r 4 r 5 r 6 r 7 3) Loquacità r 31 r 3 r 34 r 35 r 36 r 37 4) Mancanza di timidezza r 41 r 4 r 43 r 45 r 46 r 47 5) Mancanza di paura del pubblico r 51 r 5 r 53 r 54 r 56 r 57 6) Gregarietà r 61 r 6 r 63 r 64 r 65 r 67 7) Socievolezza r 71 r 7 r 73 r 74 r 75 r 76 Tabella AF - Matrice numerica di correlazione Denominazione delle variabili ) Mancanza di riservatezza ) Espansività ) Loquacità ) Mancanza di timidezza ) Mancanza di paura del pubblico ) Gregarietà ) Socievolezza La correlazione tra la variabile 1 e la variabile è riportata all incrocio tra la seconda riga e la prima colonna (o tra la prima riga e la seconda colonna) della matrice di correlazione. È pari a,46 ed è indicata con r 1 (o r 1 ) nella matrice simbolica rappresentata nella Tabella AF 1.

51 A. Lubisco 47 Quando la matrice di correlazione contiene coefficienti elevati, ciò indica che le variabili considerate sono correlate tra loro, o si sovrappongono in ciò che misurano, come per esempio il peso è correlato all altezza. Con un grande numero di variabili e molte correlazioni sostanziali tra di esse, diventa difficile non solo ricordare, ma anche esaminare il groviglio delle varie interrelazioni. L analisi fattoriale rappresenta una maniera di considerare l esistenza di fattori latenti o costrutti fattoriali che spieghino i valori nella matrice delle correlazioni tra le variabili. Riprendendo l esempio delle due variabili peso e altezza già utilizzato per le componenti principali, un fattore Taglia potrebbe essere utilizzato per spiegare la correlazione tra altezza e peso. Le persone potrebbero essere posizionate lungo i due estremi molto piccola e molto grande del continuum (cioè della dimensione continua) della Taglia. La correlazione tra peso e altezza sarebbe spiegata dal fatto che entrambe condividono una relazione con il fattore ipotetico Taglia. Se sia più utile usare un concetto unico come la Taglia oppure due concetti (però misurabili) come peso e altezza è una questione che non può trovare risposta nell analisi fattoriale. Obiettivo dell analisi fattoriale è quello di individuare un numero relativamente piccolo di costrutti fattoriali che possano servire come adeguati sostituti per un numero più ampio di variabili. Questi costrutti fattoriali sono anch essi variabili che possono rivelarsi più utili delle variabili originarie dalle quali sono derivate. Ritornando all esempio della psicologia, un costrutto fattoriale che si è dimostrato molto utile è quello di Estroversione-Introversione. È possibile spiegare una parte sostanziale delle interrelazioni tra le variabili della Tabella AF tramite questo unico costrutto fattoriale. Questo perché tutte le variabili considerate sono correlate positivamente le une con le altre. Con matrici di dati reali più ampie, tuttavia, le interrelazioni tra variabili sono assai più complicate, con molti valori vicino allo zero, per cui, di solito, si ha bisogno di più di un costrutto fattoriale per spiegare le intercorrelazioni della matrice R delle correlazioni. Passo 3: Estrazione dei fattori non ruotati Dopo aver calcolato la matrice R delle correlazioni, il passo succes-

52 48 Analisi statistica multivariata sivo consiste nel determinare quanti costrutti fattoriali sono necessari per spiegare l insieme dei valori di R. Questo viene fatto tramite un processo chiamato estrazione dei fattori, che costituisce il terzo passo principale nell analisi fattoriale. Questo processo implica una procedura numerica che utilizza tutti i coefficienti che rappresentano le interrelazioni tra le variabili incluse nell analisi fattoriale e il costrutto ipotetico del fattore. La procedura che solitamente viene applicata è quella di estrarre fattori dalla matrice di correlazione R fin quando non rimanga più nessuna porzione apprezzabile di varianza da spiegare, cioè, finché le correlazioni residue sono così vicine allo zero che si presume siano di importanza trascurabile. Ci sono molti metodi di estrazione dei fattori, ma tutti finiscono con una colonna di numeri, uno per ciascuna variabile, che rappresentano le saturazioni (o pesi ) delle variabili in quel fattore. Questi pesi rappresentano la misura in cui le variabili sono in relazione con il fattore ipotetico. Per la maggior parte dei metodi di estrazione, queste saturazioni possono essere considerate come correlazioni tra le variabili e il fattore. Se una variabile ha un peso fattoriale di,7, allora la sua correlazione con il costrutto fattoriale ipotetico sarà dell ordine del 7%. Un altra variabile potrebbe avere un peso fattoriale negativo nel fattore, e ciò indicherebbe che è negativamente correlata con il suo costrutto fattoriale. Dopo che il primo fattore è stato estratto, usando uno dei metodi visti, l effetto di questo fattore viene rimosso dalla matrice delle correlazioni R per produrre la matrice delle correlazioni residue rispetto al primo fattore. Supponiamo, facendo riferimento alle variabili della Tabella AF, che il primo fattore abbia pesi fattoriali,7 per la variabile 1. Mancanza di riservatezza e,8 per 3. Loquacità. Moltiplicando,7x,8 si ottiene,56 che rappresenta la correlazione tra queste due variabili dovuta soltanto al primo fattore. Sottraendo,56 a,66 (che è la correlazione complessiva tra le due variabili osservate) abbiamo come risultato,1, e ciò rappresenta la correlazione residua tra le due variabili una volta rimosso il primo fattore. Se tutti gli altri residui rispetto al primo fattore fossero così piccoli, non sarebbe probabilmente necessario estrarre un secondo fattore. Se invece le correlazioni residue rispetto al primo fattore presenta-

53 A. Lubisco 49 no valori consistenti, è necessario estrarre un secondo fattore. Se anche le correlazioni residue rispetto al secondo fattore presentano valori sostanziali, deve essere estratto un terzo fattore, e così via, finché i residui sono così piccoli che non è più possibile continuare. Una volta che i fattori necessari per spiegare le correlazioni nella matrice R sono stati estratti, i valori delle correlazioni tra variabili e fattori sono sistemati in una tabella definita matrice delle saturazioni (o pesi fattoriali) non ruotate. Un esempio è riportato nella Tabella AF 3. Tabella AF 3 - Matrice fattoriale non ruotata Variabili I II III IV h 1,48 -,67 -,1 -,5,68,38 -,63,1,8,56 3,4 -,65 -,14 -,1,61 4,51,7,36 -,17,5 5,61,6,37 -,,57 6,46,,46,9,48 7,41,6 -,11 -,4,41 8,55,8 -,6 -,5,5 9,41,31 -,4,3,54 1,47,37 -,38,38,65 SSQ,37 1,8,91,53 Il primo fattore nella Tabella AF 3, denominato con I, è il fattore più grande (,37 è la somma dei quadrati dei valori di colonna). I fattori successivi diventano progressivamente più piccoli, e l ultimo in questo esempio risulta grande solamente un quinto rispetto al primo (,53). L ultima colonna della matrice nella Tabella AF 3, intestata con h, contiene le comunalità delle variabili. In questa tabella le comunalità sono uguali alla somma dei quadrati dei pesi fattoriali delle variabili nei quattro fattori. Cioè, la comunalità h 1 per la variabile 1, trascurando gli arrotondamenti, è data da,68=(,48) +(-,67) +(-,1) +(-,5). Le comunalità rappresentano ciò che vi è in comune tra le variabili e questi quattro fattori. Cioè, se la comunalità per una variabile raggiunge il valore di 1,, questo significa che vi è una totale sovrapposizione in ciò che viene misurato dalla variabile e dai fattori. In questo caso, il punteggio nella variabile potrebbe essere predetto perfettamente da una combinazione pesata dei punteggi che rappresentano solo questi quattro fattori. Un altro modo per esprimere questa idea è dire che tutta la varian-

54 5 Analisi statistica multivariata za di questa variabile può essere spiegata dai punteggi che rappresentano la posizione di ogni individuo nei quattro fattori. Se una di queste variabili avesse comunalità pari a zero, d altro canto, tutti i quattro fattori per quella variabile sarebbero uguali a zero e la variabile non avrebbe niente in comune con nessuno dei quattro fattori. I valori delle comunalità compresi tra zero e uno indicano parziale sovrapposizione tra ciò che misurano le variabili e i fattori. Passo 4: Rotazione dei fattori L analisi fattoriale non si esaurisce tuttavia con l estrazione dei fattori e la preparazione della tabella dei pesi fattoriali non ruotati. Benché questa tabella fornisca una soluzione fattoriale basata su costrutti fattoriali soddisfacenti da un punto di vista matematico, i costrutti fattoriali contenuti in una matrice dei fattori non ruotati raramente sono utili nel lavoro scientifico. La maggior parte dei metodi di estrazione dei fattori ha infatti lo scopo di estrarre approssimativamente più varianza possibile per ciascun fattore successivo, e da ciò risulta un netto dislivello tra il primo e l ultimo fattore, come viene evidenziato dalla somma dei quadrati delle colonne dei pesi fattoriali. Questo fenomeno è molto chiaro nella matrice fattoriale della Tabella AF 3. I fattori non ruotati, ottenuti estraendo più varianza possibile dalla matrice delle correlazioni in ciascun passo del processo di estrazione, tendono a essere costrutti fattoriali assai complessi che correlano con molte variabili invece che soltanto con alcune. Nella Tabella AF 3, per esempio, il fattore I ha pesi fattoriali apprezzabili in tutte le variabili. Il fattore II ha pesi fattoriali negativi elevati in tre variabili mentre tutte la altre variabili presentano pesi fattoriali positivi apprezzabili. Cinque delle dieci variabili presentano più o meno lo stesso livello di correlazione con il fattore III. Questi fattori complessi che in parte si sovrappongono sono difficili da interpretare e utilizzare per la descrizione scientifica poiché contengono diversi elementi che probabilmente non sono correlati tra di loro. Essi non hanno un carattere omogeneo. Usare un fattore non ruotato per la descrizione scientifica non è dissimile dal descrivere gli esseri umani con una variabile ottenuta sommando i punteggi relativi all Intelligenza, al Peso, al Conto in Banca e al Numero di Fratelli. Una variabile così composta sarebbe

55 A. Lubisco 51 sicuramente complessa (nel senso che è complesso dare un nome a questa variabile) e la conoscenza del punteggio di una persona su tale variabile risulterebbe virtualmente inutile (poiché sarebbe impossibile dire, sulla base della conoscenza del punteggio totale, dove si posiziona l individuo rispetto agli elementi che compongono tale punteggio). Fortunatamente è possibile ruotare la matrice fattoriale verso un altra forma matematicamente equivalente alla matrice originale non ruotata, ma che rappresenta costrutti fattoriali non ruotati. La matrice fattoriale non ruotata nella Tabella AF 3, per esempio, può essere ruotata nella forma che appare nella Tabella AF 4. Tabella AF 4 - Matrice fattoriale ruotata Variabili I II III IV h 1,8,4,8,1,68,73,1 -,1 -,,56 3,76 -,1,14,3,61 4,3,64,8 -,5,5 5,9,7,,8,57 6,5,69,,,48 7 -,,,6,6,41 8,4,4,6,31,5 9 -,6,1,16,7,54 1 -,8,1,14,76,65 I valori che appaiono nella Tabella AF 4 hanno valori compresi tra 1 e -1; questo non vale nel caso viene analizzata una matrice delle covarianze invece che una matrice delle correlazioni. È possibile altresì ottenere pesi fattoriali in valore assoluto superiori a 1 quando si effettuano rotazioni oblique, ma accade solo quando i fattori sono fortemente correlati tra loro. I costrutti fattoriali rappresentati nella Tabella AF 4 sono molto differenti da quelli rappresentati nella Tabella AF 3 anche se le due matrici sono matematicamente equivalenti, nel senso che entrambe spiegano ugualmente bene i coefficienti di correlazione dai quali sono derivate. È da notare che il fattore I nella Tabella AF 4 presenta pesi fattoriali elevati nelle prime tre variabili e pesi fattoriali bassi in tutte le altre variabili. Il fattore II presenta pesi fattoriali elevati nelle variabili 4, 5 e 6 e molto bassi in tutte le altre variabili. Il fattore III presenta pesi fattoriali elevati solo nelle variabili 7 e 8. Il fattore IV presenta pesi fattoriali elevati esclusivamente nelle variabili 9 e 1.

56 5 Analisi statistica multivariata Quindi, ciascun fattore nella Tabella AF 4 è altamente correlato soltanto con poche variabili e le variabili correlate con ciascun fattore sono differenti. Esaminando il contenuto delle variabili 1, e 3 sarebbe possibile avere un idea sulla natura del costrutto fattoriale sottostante. Similmente, i fattori II, III e IV potrebbero essere provvisoriamente identificati e descritti sulla base delle variabili che risultano correlate a essi. Questi fattori risulteranno ben differenziati l uno dall altro poiché ciascuno è rappresentato da un diverso insieme di variabili. I costrutti fattoriali derivanti dalla Tabella AF 4, quindi, hanno molta più probabilità di avere una qualche utilità scientifica rispetto a quelli derivati dalla matrice non ruotata della Tabella AF 3. Le comunalità dell ultima colonna sono le stesse nelle tabelle Tabella AF3 e Tabella AF4. Questo è un indice dell equivalenza matematica delle due matrici nel descrivere la matrice originale delle correlazioni. Passo 5: Interpretazione della matrice dei fattori ruotati Dopo il calcolo delle correlazioni, l estrazione dei fattori non ruotati, e la rotazione dei fattori non ruotati, si cerca di interpretare cosa siano i fattori, servendosi di tutte le conoscenze disponibili riguardo le variabili, così come di ogni altra informazione pertinente. Le variabili che presentano elevati pesi fattoriali nei fattori ruotati vengono esaminate attentamente per determinare cosa hanno in comune. Ciascun fattore ruotato viene denominato sulla base del contenuto comune che è stato identificato. In molti casi effettuare un analisi fattoriale e dare il nome ai fattori può rappresentare solo un esercizio se non si va al di là di queste procedure. La matrice dei fattori ruotati e i costrutti fattoriali da essa derivati forniscono un interpretazione dei dati, ma non c è garanzia che questa interpretazione sia corretta. L analisi fattoriale potrebbe essere considerata come un modo per generare ipotesi sulla natura dei fenomeni. I costrutti fattoriali che emergono da un analisi fattoriale possono risultare molto utili come variabili per comprendere e descrivere le relazioni in un dato dominio scientifico, ma la correttezza delle interpretazioni basate sui risultati dell analisi fattoriale deve essere confermata da fatti esterni all analisi fattoriale stessa.

57 A. Lubisco 53 Ci sono molti metodi differenti per effettuare un analisi fattoriale. Differenti analisi fattoriali possono esaminare gli stessi dati e giungere a soluzioni molto differenti. Tutte queste soluzioni rappresentano interpretazioni della matrice di correlazione che possono essere ugualmente corrette dal punto di vista matematico. I procedimenti matematici mostrano semplicemente che gli stessi dati possono essere interpretati in modi diversi. Alcune di queste interpretazioni possono essere più utili di altre in relazione a determinati obiettivi scientifici, ma non c è nulla nei metodi di analisi fattoriale che possa dimostrare che una soluzione sia scientificamente più utile di un altra.

58 54 Analisi statistica multivariata ANALISI FATTORIALE E ANALISI DELLE COMPONENTI PRINCIPALI L analisi fattoriale, come l analisi delle componenti principali, è un tentativo di spiegare un insieme di dati in un numero di dimensioni ridotto rispetto a quello di partenza, ma, nei due metodi, le procedure usate per raggiungere questo obiettivo sono abbastanza differenti. Sia la PCA che l analisi fattoriale sono sensibili all ampiezza delle correlazioni, agli outliers, ai dati mancanti e ai bassi livelli di correlazione dovuti alle distribuzioni non normali delle variabili osservate. Per questo motivo, le trasformazioni dei dati hanno grande effetto i risultati ottenibili con entrambe le tecniche. I coefficienti di correlazioni tendono a essere meno attendibili quando stimati da campioni di piccole dimensioni. Bisognerebbe disporre di almeno cinque osservazioni per ogni variabile osservata. I dati mancanti devono essere gestiti opportunamente. Infatti, i metodi di sostituzione che sfruttano tecniche di regressione verosimilmente portano a un over fitting dei dati. La conseguenza si misura in livelli di correlazione troppo elevati e la determinazione dei fattori ne risente altamente. Bisogna in qualche modo anche trattare gli outliers. È opportuno e- liminarli a causa della grande influenza che hanno nella determinazione dei coefficienti di correlazione (visto che essendo molto lontani dal valor medio, hanno un peso elevato) e di conseguenza anche sulla determinazione dei fattori. Nella PCA la multicollinearità non è un problema, dal momento che non sono richieste inversioni di matrici, mentre lo è per la maggior parte dei metodi di analisi fattoriale. Se il determinante della matrice R e gli autovalori associati ad alcuni fattori sono prossimi a zero, potrebbe esserci della multicollinearità. È sicuramente opportuno e- liminare le variabili coinvolte. L analisi fattoriale, a differenza della PCA, inizia con un ipotesi sulla struttura della covarianza o della correlazione. Formalmente, come è ormai noto, l ipotesi è che la matrice Σ di or-

59 A. Lubisco 55 dine p possa essere scomposta nella somma di due matrici ΛΛ e Ψ. Σ = ΛΛ + Ψ La prima (ΛΛ ) è di ordine p, ma di rango m (il numero dei fattori comuni), i cui elementi al di fuori della diagonale sono uguali a quelli di Σ. La seconda (Ψ) è una matrice diagonale di ordine e rango p, i cui elementi, una volta sommati a quelli sulla diagonale di ΛΛ restituiscono gli elementi della diagonale di Σ. In altre parole, l ipotesi è che esista un insieme di m variabili latenti (m<p) in grado di spiegare le relazioni tra le variabili, ma non necessariamente rende ragione della varianza. La PCA, invece, è una semplice trasformazione dei dati e non è fatta alcuna assunzione sulla matrice di covarianza. E vero che le componenti spiegano, almeno in parte le interrelazioni tra le variabili, ma non è questo il loro obiettivo. In questo tipo di analisi, cioè nella PCA, non c è una parte corrispondente alle specificità della FA. Conseguentemente, se esiste il modello fattoriale, ma le varianze specifiche sono piccole, ci si deve aspettare che i due tipi di analisi conducano sostanzialmente agli stessi risultati. Tuttavia, se le varianze specifiche sono grandi, esse saranno completamente assorbite dalle componenti principali, mentre la FA ne fornisce una misura. La FA ha inoltre il vantaggio che c è una semplice relazione tra i risultati ottenuti analizzando la matrice di covarianza e quelli ottenuti analizzando la matrice di correlazione. E noto che, definita una matrice D 1/ come matrice diagonale la quale contiene le radici delle varianze D 1 = σ 1 σ σ p

60 56 Analisi statistica multivariata le variabili standardizzate, se consideriamo X composta da variabili scarto dalla media, si ottengono con l espressione: Y = D -1/ X e la matrice di varianze-covarianze Σ Y sarà: Σ Y = Ρ = D -1/ Σ x D -1/ = D -1/ Λ x Λ x D -1/ + D -1/ Ψ x D -1/ Quindi la relazione tra i pesi fattoriali nel modello con le variabili o- riginarie e quelli relativi alle variabili standardizzate sono uguali a meno di una costante: Λ Y = D -1/ Λ x Inoltre si deve ricordare che PCA e FA sono simili sotto un ulteriore aspetto e cioè che entrambe sono sostanzialmente inutili se le variabili osservate sono poco correlate. In questo caso la FA non ha niente da spiegare, mentre la PCA porterebbe a individuare componenti che sono simili alle variabili originali. Un ulteriore e importante differenza tra modello fattoriale e componenti principali consiste nel fatto che la FA cerca di ridurre le dimensioni di un sistema multivariato mediante un modello che leghi le p variabili osservate X a m fattori latenti f; nella PCA questo modello non esiste. Come conseguenza di ciò, i valori individuali sulle componenti principali possono essere direttamente calcolati, mentre i punteggi fattoriali devono essere stimati. Si denomina punteggio fattoriale (factor score) il valore che un unità statistica assume su un fattore. Nelle applicazioni di psicologia e del settore dell istruzione i punteggi fattoriali sono frequentemente utilizzati per fornire il profilo di ogni unità su uno o più fattori immateriali che possono corrispondere, per esempio, all intelligenza, alla conoscenza, all abilità verbale, all abilità tecnica. In questo ambito, generalmente, i fattori sintetizzano i risultati di numerosi test psicologici o di prove oggettive somministrate. Idealmente, nel ricavare i punteggi fattoriali si massimizza il coefficiente di correlazione tra il fattore trovato e quello reale. I fattori

61 A. Lubisco 57 si assumono indipendenti mentre quelli reali sono sempre un po correlati. Prima di iniziare, quindi, si sa già che del singolo punteggio fattoriale non si cerca il valore esatto, ma una sua stima passibile di errore. I punteggi fattoriali possono essere impiegati per classificare le unità di analisi sulla base di un opportuna determinazione degli intervalli di classificazione. La classificazione in base a più fattori può essere condotta con tecniche di analisi multivariata. Se si ricorre all analisi dei gruppi, l'analisi fattoriale è usata praticamente solo come tecnica per la riduzione della dimensionalità dei caratteri osservati.

62 58 Analisi statistica multivariata ERRORI COMUNI NELL USO DELL ANALISI FATTORIALE 1) Raccogliere i dati prima di pianificare l analisi fattoriale ) Utilizzare variabili con cattive distribuzioni e forme di regressione inappropriate: a) Distribuzioni fortemente asimmetriche (test di abilità troppo facili o troppo difficili per i soggetti esaminati) b) Distribuzioni tronche c) Distribuzioni bimodali d) Distribuzioni con alcuni casi estremi e) Regressioni non lineari 3) Utilizzare variabili che non sono empiricamente indipendenti l una dall altra: a) Assegnare a più di una variabile la stessa risposta relativa a un item b) In un item a scelta forzata, assegnare una risposta alternativa a una variabile e l altra a una seconda variabile c) Avere una variabile come combinazione lineare delle altre (per esempio, i punteggi assieme al totale) 4) Mancata sovradeterminazione dei fattori: il numero di variabili osservate dovrebbe essere diverse volte più grande del numero dei fattori. Ci dovrebbero essere per lo meno cinque buone variabili marker per ogni fattore anticipato. 5) Utilizzare variabili troppo complesse. Le variabili migliori per definire un fattore sono relativamente pure da un punto di vista fattoriale, cioè le variabili devono sottendere a un unico fattore e non misurarne più di uno. 6) Includere nell analisi variabili fortemente simili che producono fattori a un livello molto basso nella gerarchia quando invece vengono cercati costrutti di maggiore generalità. Includere due item simili in un elenco di alternative di risposta o due variabili che sono sostanzialmente risposte alternative alla stessa domanda rappresentano errori di questo tipo. Sarebbero come chiedere con una domanda di assegnare un punteggio alla propria predisposizione verso l acquisto di prodotti finanziari rischiosi e con

63 A. Lubisco 59 un altra di assegnare un punteggio alla propria predisposizione ad acquistare prodotti finanziari non rischiosi. 7) Procedure di campionamento inadeguate: a) Prendere un campione troppo piccolo per ottenere correlazioni stabili b) Combinare due diversi gruppi con differenti strutture fattoriali nello stesso campione per effettuare un unica analisi fattoriale 8) Non includere un numero sufficiente di fattori nell analisi (bilanciando però l esigenza di completezza interpretativa con la contrapposta esigenza di semplificare il sistema a un numero ridotto di dimensioni) 9) Usare procedure di rotazione inadeguate: a) Non effettuare alcuna rotazione b) Utilizzare una soluzione ortogonale quando invece sarebbe necessario utilizzarne una obliqua per una migliore rappresentazione/interpretazione dei risultati c) Consentire un grado di obliquità non giustificato tra i fattori nella ricerca di una struttura semplice d) Utilizzare criteri di rotazione ritenuti inappropriati per il tipo di dati analizzati 1) Interpretare il primo fattore estratto come fattore generale 11) Saltare a conclusioni riguardo la natura di un fattore sulla base di informazioni insufficienti