Esercizi svolti per la I parte del corso di Economia Monetaria CLEF (6058) Classe 14 - Prof. Tommaso Monacelli

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1 Esercizi svolti per la I parte del corso di Economia Monetaria CLEF (6058) Classe 4 - Prof. Tommaso Monacelli a cura di Giovanni Vittorino March 5, 200 La Domanda di Moneta Ripasso del Modello Rischio-Rendimento Breve Sommario Il messaggio principale del modello di rischio-rendimento sviluppato da Tobin (958) è che gli individui potrebbero decidere di detenere parte della loro ricchezza in moneta anche quando il suo rendimento è nullo se consideriamo la moneta nella sua funzione di riserva di valore (un asset). Se il tasso di interesse sulla moneta fosse nullo, detenere moneta potrebbe apparire una scelta incomprensibile. Tuttavia, spesso accade che il tasso di rendimento su altre attività risulti, una volta risolta l incertezza, negativo. Detenere moneta per evitare possibili perdite derivanti da attività rischiose è alla base del movente speculativo di Keynes. Tuttavia, mentre Keynes ipotizzava che l investitore detenesse solo moneta oppure solo titoli, Tobin fa un passo avanti aprendo alla possibilità che un portafoglio possa comporsi di un mix di attività che si di erenziano in termini di rendimento atteso e/o rischiosità. In conclusione, il modello di Tobin (958) cattura il trade-o tra rischio e rendimento di fronte al quale viene a trovarsi un investitore che deve scegliere come allocare la propria ricchezza. Esercizio Considerate la domanda di moneta come attività patrimoniale secondo il modello di portafoglio di Tobin (Rischio-Rendimento). Rispondete ai seguenti quesiti: (a) Scrivete le equazioni che rappresentano il modello e rappresentatele gra camente; (b) Esaminate gli e etti di un aumento del rendimento della moneta (c) Esaminate gli e etti di una riduzione del grado di avversione al rischio; Gli esercizi sono stati svolti cercando di essere accurati e di evitare errori. Tuttavia, nel caso lo studente dovesse avere dubbi e/o trovare qualche errore negli esercizi può segnalarli (ed è cosa molto gradita) all indirizzo giovanni.vittorino@unibocconi.it

2 (d) A quali critiche è soggetto il modello di Tobin? Esercizio 2 Considerate il modello di portafoglio rischio-rendimento. Supponete che il rendimento atteso del titolo rischioso sia E(i T ) = T e che lo scarto quadratico medio del titolo rischioso sia T. La funzione di utilità del portafoglio detenuto dagli investitori sia data dalla seguente funzione di utilità quadratica: U fe (i A ; ) ; A g = E (i A ) 2 ( A) 2 ; > 0 dove E (i A ) = E(i T ) + ( )i M A è il rendimento atteso del portafoglio e ( A ) 2 = 2 ( T ) 2 rappresenta lo scarto quadratico medio del portafoglio al quadrato. Il rendimento della moneta è certo e pari a i M. (a) Trovate la condizione di equilibrio nella scelta ottima tra rischio e rendimento. (b) Esprimete l equazione delle curve di indi erenza dell investitore e datene una rappresentazione gra ca. (c) Derivate la quota ottimale detenuta in attività rischiose (d) Supponete ora che sulla spinta di una fase di euforia sui mercati vi sia una diminuzione dell avversione al rischio. Qual è l e etto sulla quota di moneta e attività rischiose detenute in portafoglio? (e) Esaminate gli e etti di un aumento del rendimento della moneta (f) Esaminate gli e etti di un aumento della rischiosità dei titoli 2

3 Soluzione Esercizio Considerate la domanda di moneta come attività patrimoniale secondo il modello di portafoglio.di Tobin (Rischio-Rendimento). Rispondete ai seguenti quesiti: (a) Scrivete le equazioni che rappresentano il modello e rappresentatele gra camente; Soluzione Partiamo dalla funzione di utilità dell investitore: U = U E (i A ; ); A + sotto l ipotesi di avversione al rischio, la (a) può essere rappresentata da curve di indi erenza (CI) inclinate positivamente: da un certo livello di utilità U al crescere del rischio ( A ) l investitore richiederà una rendimento atteso (E (i A ; )) più elevato Ora passiamo al vincolo di bilancio dell investitore. Il rendimento del titolo rischioso è una variabile casuale e può essere rappresentato con una distribuzione probabilistica che ha valore atteso T = E(i T ) = c + V e V V e scarto quadratico medio pari a T : La moneta, invece, ha rendimento certo pari a i M. Se l individuo detiene una quota della propria ricchezza (che assumiamo essere R = ) in titoli, il rendimento atteso del portafoglio è quindi: mentre lo scarto quadratico medio è: (a) A = E(i A ) = E(i T ) + ( )i M (b) A = T L individuo sceglierà quindi ottimamente come allocare la propria ricchezza massimizzando la propria funzione di utilità dati i vincoli del rendimento atteso e dello scarto medio di portafoglio. I due vincoli possono essere riscritti. Infatti, la (c) può quindi essere riscritta come: = A (d) T Sostituendo l equazione (d) nell equazione del rendimento atteso del portafoglio (b), abbiamo: A = A T T + ( A T )i M l equazione (e) rappresenta il vincolo di bilancio dell investitore ovvero tutte le combinazioni ( A ; A ) che sono raggiungibili (non necessariamente e cienti) dati i M, T e T. L equazione (e) può essere riscritta come: (c) (e) A = ( T i M ) A T + i M (f) 3

4 L equazione (f) può essere rappresentata da una linea retta con pendenza ( T im ) T ed intercetta i M. In ne, descriviamo la scelta di portafoglio dell investitore. Il nostro investitore deve scegliere quale quota della propria ricchezza detenere in titolo. Il valore ottimale di sarà quello che massimizza la (a) sotto due vincoli ovvero (b) e (c). La scelta ottima ( A ; A ) è rappresentata dal punto di tangenza tra la curva di indi erenza ed il vincolo di bilancio dell investitore a cui corrisponde un valore ottimo della quota di titoli. Possiamo rappresentare l equilibrio gra camente: Il vincolo di bilancio dell investitore è inclinato positivamente, in altre parole, se l investitore desidera un rendimento atteso più elevato deve essere pronto a sopportare un rischio più elevato. Guardando alla (b) ed alla (c) notiamo che:. Se = 0 l investitore deterrà solo moneta: in questo caso, A = i M, il rendimento atteso è minimo e l investitore non corre alcun rischio ( A = 0) 2. Se = l investitore deterrà solo titoli: in questo caso, A = T, il rendimento atteso è massimo e l investitore corre il più elevato rischio possibile ( A = T ) (b) Esaminate gli e etti di un aumento del rendimento della moneta Soluzione L aumento del rendimento della moneta, a parità di rischio del titolo, induce gli individui a detenere una quota superiore di ricchezza in moneta M d " e una quota inferiore in titoli. Gra camente si modi ca intercetta e inclinazione del vincolo: l intercetta aumenta e l inclinazione si riduce. Inoltre, l investitore si sposta su una curva d indi erenza più alta. 4

5 NOTA In generale, al variare del rendimento della moneta (i M ) o del rendimento atteso ( T ) del titolo rischioso o della volatilità del titolo rischioso ( T ) assistiamo ad un cambiamento di ( T im ) T ovvero della pendenza del vincolo di bilancio dell investitore de nito dalla equazione (f). Se cambia la pendenza, la (f) ruoterà ed assisteremo a due e etti che operano in direzione opposta rendendone ambiguo l e etto nale sulla domanda di moneta: l e etto di reddito e l e etto di sostituzione. Ad esempio, un tasso di interesse atteso più elevato =) T " (oppure una riduzione del rendimento della rischiosità dei titoli =) T # o ancora una riduzione del rendimento della moneta i M #) inducono due e etti:. E etto di reddito: essendo l individuo più ricco, ceteris paribus, cercherà di ridurre la propria esposizione al rischio =) #! M d " 2. E etto di sostituzione: se T " (oppure se T # oppure se i M #) allora per ogni unità di rischio il rendimento atteso è più alto quindi l investitore è incentivato a ridurre la propria quota in moneta ed incrementare la quota di titoli, ceteris paribus =) "! M d #. Quale dei due e etti prevale è ambiguo. Tuttavia, nel nostro modello assumeremo che l e etto di sostituzione prevalga sull e etto di reddito =) T " (oppure se T #oppure se i M #)=) "! M d # (si veda il prossimo esercizio). (c) Esaminate gli e etti di una riduzione del grado di avversione al rischio; Se varia i M si modi ca anche l intercetta del vincolo di bilancio. 5

6 Soluzione La riduzione dell avversione al rischio dell individuo, a parità di rischio e rendimento, induce gli individui a detenere una quota superiore di ricchezza in titoli e una quota inferiore in moneta M d #. Gli individui richiedono un rendimento atteso minore a parità di rischio (ceteris paribus). Gra camente si riduce la concavità delle curve di indi erenza individuali: In questo caso non vi è alcuna ambiguità. Nel caso di una variazione dell avversione al rischio e etto di sostituzione ed e etto di reddito si muovono nella stessa direzione. (d) A quali critiche è soggetto il modello di Tobin? Soluzione Una limitazione importante del modello di Tobin è che può accadere che esistano attività che possono avere un rendimento atteso più elevato di quello della moneta e che presentano una rischiosità virtualmente nulla. Pensiamo ai titoli di stato. Questa osservazione può potenzialmente mettere in discussione il movente speculativo della domanda di moneta citato da Keynes. Un altra limitazione è l assenza delle aspettative di in azione che rendono lo stesso rendimento reale della moneta incerto. Infatti, le attività considerate nel modello di Tobin sono denominate in termini nominali mentre quello che interessa all investitore è il rendimento reale dell investimento che può essere eroso dall in azione. Quindi, anche le aspettative di in azione giocano un ruolo nelle decisioni di investimento. 6

7 Soluzione Esercizio 2 Considerate il modello di portafoglio rischio-rendimento. Supponete che il rendimento atteso del titolo rischioso sia E(i T ) = T e che lo scarto quadratico medio del titolo rischioso sia T. La funzione di utilità del portafoglio detenuto dagli investitori sia data dalla seguente funzione di utilità quadratica: U fe (i A ; ) ; A g = E (i A ) 2 ( A) 2 ; > 0 (2a) dove E (i A ) = E(i T ) + ( )i M A è il rendimento atteso del portafoglio e ( A ) 2 = 2 ( T ) 2 rappresenta lo scarto quadratico medio del portafoglio al quadrato. Il rendimento della moneta è certo e pari a i M. (a) Trovate la condizione di equilibrio nella scelta ottima tra rischio e rendimento. Soluzione Trovare la condizione di equilibrio è equivalente ad uguagliare il bene cio marginale di una unità aggiuntiva di titolo rischioso (ossia l eccesso di rendimento atteso rispetto all attività priva di rischio) ed il suo costo marginale (crescente nell avversione al rischio, nella quota di ricchezza detenuta sottoforma di attività rischiosa nello SQM del titolo rischioso). Per calcolare risolviamo il problema dell investitore: max A A 2 ( A) 2 (2b) t:c: A = T + ( )i M (2c) t:c: A = T (2d) Sostituendo i vincoli ((2d) e (2c)) nel problema di massimizzazione (2b): max U = T + ( )i M 2 2 ( T ) 2 (2e) Deriviamo la (2e) rispetto ad e poniamo la derivata pari a zero (condizione del = 0 T i M ( T ) 2 = 0 (2f) Risoluzione Equivalente: Sostituiamo la (2d) nella (2c): T i M {z } BM = ( T ) 2 {z } CM A = A T ( T i M ) + i M (2g) 7

8 Sostituendo la (2g) nella (2b) il nostro problema diventa: max A A T ( T i M ) + i M 2 ( A) 2 (2h) Deriviamo la (2h) rispetto ad A e poniamo la derivata pari a zero (condizione del A = 0 La (2i) può essere riscritta come: T i M T {z } UM( T ) A = A {z} UM() A (2i) A T ( T i M ) {z } Pendenza V db = ( A ) 2 {z } SMS Per avere la scelta ottimale il saggio marginale di sostituzione (curvatura delle curve di indi erenza) deve essere eguagliato alla pendenza del vincolo di bilancio (lato sinistro). Sostituendo A = T nella (2j) otteniamo la quota di ricchezza detenuta in titoli rischiosi (). (b) Esprimete l equazione delle curve di indi erenza dell investitore e datene una rappresentazione gra ca. Soluzione Dato un livello di utilità costante U arbitrariamente ssato una curva d indi erenza è de nita da tutte le combinazioni (E (i A ; ) ; A ) tali che (2j) La (2k) può essere riscritta come U (E (i A ; ) ; A ) = A 2 ( A) 2 = U (2k) A = U + 2 ( A) 2 (2l) La (2l) esprime l equazione delle curve di indi erenza Prendiamo la derivata totale della (2k) A d A d A = du (2m) d A A d A = 0 (2n) La pendenza della curva di indi erenza è pari al suo saggio marginale di sostituzione (SMS): SMS A ; A = d A d A = A > 0 (2o) 8

9 L investitore è pronto a sopportare livelli più alti di rischio solo se il rendimento atteso del portafoglio aumenta. Quindi, ci troviamo di fronte ad un investitore avverso al rischio. La curvatura della curva d indi erenza è determinata prendendo la derivata prima della A ; A = d2 A d ( A ) 2 = > 0 La curvatura della funzione di utilità (concava rispetto al origine) ci dice che l avversione al rischio dell investitore cresce al crescere di ( A ) 2 : Intuitivamente, al crescere del livello di rischio il rendimento atteso del portafoglio deve crescere più velocemente. Gra camente: (2p) Curve di Indi erenza (CI) (c) Derivate la quota ottimale detenuta in attività rischiose Soluzione Dalla (2f) ricaviamo: i M = T ( T ) 2 L espressione ricavata per la frazione di ricchezza detenuta in titoli (o in moneta) mette in evidenza che il nostro investitore è interessato all eccesso di rendimento ( T i M ) che l attività rischiosa consente di ottenere rispetto alla moneta, ovvero al rendimento relativo atteso. (d) Supponete ora che sulla spinta di una fase di euforia sui mercati vi sia una diminuzione dell avversione al rischio. Qual è l e etto sulla quota di moneta e attività rischiose detenute in portafoglio? (2q) 9

10 Soluzione La risposta più breve: l avversione al rischio dell investitore () diminuisce e la quota di ricchezza detenuta in titoli rischiosi () risulterà più elevata. In altre parole, l investitore sarà disposto a sopportare un maggior livello di rischio di portafoglio ( A ) a fronte di un rendimento atteso del portafoglio ( A ) più elevato: #! " =) A " e A " Le variazioni della quote di ricchezza detenute in titoli ed in moneta saranno @( = T i M 2 ( T ) 2 > 0 = (2r) T i M ( T ) 2 < 0 (2s) Quindi, la quota di ricchezza detenuta in titoli rischiosi aumenta mentre la quota di ricchezza detenuta in moneta diminuisce. Gra camente: Modello Rischio-Rendimento (e) Esaminate gli e etti di un aumento del rendimento della moneta 0

11 Soluzione M = i M ( T ) 2 < 0 Se aumenta la rischiosità dei titoli, un individuo avverso al rischio ridurrà la sua esposizione in titoli ( #) ed aumenta la quota in moneta ( ) # e la domanda di moneta aumenta (M d "). (f) Esaminate gli e etti di un aumento della rischiosità dei titoli = 2 ( T i M T ( T ) 3 < 0 Se aumenta la rischiosità dei titoli, un individuo avverso al rischio ridurrà la sua esposizione in titoli ( #) ed aumenta la quota in moneta ( ) # e la domanda di moneta aumenta (M d ").

12 La domanda di moneta a scopo transattivo: Il Modello Baumol-Tobin Breve Sommario Il modello di Baumol (952), nella riformulazione operata da Tobin (956), si concentra sulla funzione della moneta come mezzo di scambio. Il modello di Baumol-Tobin caratterizza la domanda di moneta a scopo transattivo ovvero la domanda di moneta che trova giusti cazione nella manca di sincronizzazione tra i pagamenti e ettuati e ricevuti da un individuo in un certo periodo di tempo. Nella formulazione originale di Baumol (952) viene trattato il caso della gestione di una ricchezza iniziale composta da titoli (e.g. obbligazioni) che vanno convertite in contanti per nanziare i consumi. La riformulazione di Tobin (956) sostituisce la ricchezza iniziale (grandezza stock) con il reddito dell individuo (grandezza usso) ovvero il reddito che essendo erogato infrequentemente (di solito alla ne del mese) non è sicuramente sincronizzato con i pagamenti che un individuo e ettua giornalmente. L obiettivo dell individuo (in qualità di cash manager) è quello di scegliere quante operazioni di conversione e ettuare (prelievi al bancomat oppure conversioni di obbligazioni a seconda che si parli di ricchezza oppure di reddito). Ovviamente, vi sono dei costi che l individuo si trova a fronteggiare al crescere delle operazioni di conversione. Infatti, detenere contante implica la rinuncia agli interessi che si percepirebbero dalla sua immobilizzazione sotto forma di titoli. D altro canto, quando l individuo ha bisogno di contanti incorre in dei costi di conversione di diversa natura (ad esempio, il costo sostenuto per smobilizzare un investimento oppure la quota di salario mancato per recarsi allo sportello del bancomat per prelevare). Il modello di Baumol-Tobin fornisce una buona spiegazione dei motivi per cui un individuo può decidere di detenere del contante. Tuttavia, la limitazione più evidente di questo modello è l ipotesi che il pro lo temporale dei pagamenti e ettuati e ricevuti sia conosciuto con certezza dall individuo. Un ultima osservazione da fare è che esistono molti altri fattori, culturali ed istituzionali, che pur in uenzando la quantità di contante e/o di depositi detenuti, non sono spiegati dal modello di Baumol-Tobin. Esercizio Considerate il modello per la domanda di moneta di Baumol-Tobin. De nite i il tasso di interesse, Y il livello del reddito, N il numero di viaggi al Bancomat, e F il costo sso: (a) Scrivete un espressione per i costi totali e ricavate una espressione di equilibrio che esprima l uguaglianza fra il costo marginale e il bene cio marginale di recarsi al Bancomat. Spiegate e rappresentate gra camente la condizione di equilibrio (importante). (b) Risolvete per il numero ottimale N di viaggi al Bancomat. (c) Scrivete una espressione per la domanda di moneta nello spazio tasso di interesse (asse verticale) - quantità di moneta (asse orizzontale). (d) Supponete ora che un trasloco vi costringa ad allontanarvi dalla vostra sede della banca. Rappresentate gra camente l e etto su (i) domanda di moneta (ii) numero di viaggi ottimali al bancomat. 2

13 Esercizio 2 (a) Nell ambito del modello di Baumol e Tobin per la domanda di moneta a scopo transattivo si ricavi la domanda di saldi reali se il tasso di interesse è pari a i, il costo unitario di conversione a F e il reddito a Y (si ipotizzi che il livello dei prezzi sia P = P = ). (b) Si ricavino analiticamente le elasticità della domanda di moneta al tasso di interesse e al reddito. (c) Si discuta l e etto di una variazione del tasso d interesse da i a i 0 = 2i sulla domanda di moneta. (d) Cosa accade alla domanda di moneta se il reddito raddoppia? (e) Provate a calcolarvi i valori assunti dalle espressioni ricavate nei punti precedenti utilizzando i seguenti dati: Y = 32 :400, F = 5; i = 0 %, i 0 = %. Esercizio 3 Considerate il modello di Baumol-Tobin dell esercizio e considerate l equazione quantitativa MV = P Y. (a) Supponete che i costi di transazione siano ssi e pari F. Derivate la domanda dei saldi reali e la velocità di circolazione della moneta. Vale ancora la dicotomia tra variabili reali e nanziarie? Interpretate. (b) Supponete che i costi di transazione siano proporzionali al reddito con F = f Y con 0 < f <. Derivate la domanda dei saldi reali e la velocità di circolazione della moneta. Vale ancora la dicotomia tra variabili reali e nanziarie? Interpretate. (c) Come varia la domanda di moneta al variare di f? Calcolate l elasticità della domanda di moneta a f. Esercizio 4 Nell ambito del modello di Baumol-Tobin fate riferimento ai seguenti dati: Y = 32 :400, F = 5; i = 0 %, i 0 = %. Assumete che il nostro individuo venga pagato giornalmente e spenda ogni giorno il 60% del suo salario giornaliero. Il restante 40% viene risparmiato per le spese di ne anno. Il nostro individuo ha due possibilità di investimento:. deposito bancario remunerato al tasso i D = 0% con prelievi e depositi gratuiti. 2. acquistare titoli di stato remunerati al tasso i B = 3% che possono essere venduti pagando una commissione unitaria di vendita (costo di transazione) pari a F = 5. Suggerimento: Assumete che il nostro individuo durante l anno e ettui N operazioni, N operazioni di acquisto di titoli di stato e un ultima operazione a ne anno per vendere i titoli acquistati nel corso dell anno. 3

14 (a) Nell ambito del modello di Baumol e Tobin per la domanda di moneta a scopo transattivo si ricavi il numero ottimale di acquisto di obbligazioni (N ) la domanda di saldi reali (M d =P ). (b) Fornite una rappresentazione gra ca della sequenza temporale ottima degli acquisti di obbligazioni. (c) Come cambierebbe la vostra risposta se il governo introducesse un imposta di bollo sui titoli di stato pari ad un controvalore dell %. Quindi, i T 4

15 Soluzione Esercizio Considerate il modello per la domanda di moneta di Baumol-Tobin. De nite i il tasso di interesse, Y il livello del reddito, N il numero di viaggi al Bancomat, e F il costo sso: (a) Scrivete un espressione per i costi totali e ricavate una espressione di equilibrio che esprima l uguaglianza fra il costo marginale e il bene cio marginale di recarsi al Bancomat. Spiegate e rappresentate gra camente la condizione di equilibrio (importante). Soluzione I costi totali sono composti dal costo-opportunità (gli interessi sui titoli moltiplicati per la somma a cui l individuo rinuncia) e dal costo di recarsi al Bancomat: Indichiamo con Y l importo di ogni transazione. Il numero di conversioni e ettuate in ogni N periodo è quindi N. La quantità media di moneta detenuta in ogni periodo è Y=N : 2 L investitore desidera minimizzare il costo totale sostenuto per la gestione dei pagamenti. CT = F N + i Y=N 2 La prima componente dei costi di gestione rappresenta i costi di transazione (costo di transazione, F, moltiplicato per il numero di transazioni, N). La seconda componente dei costi totali rappresenta il costo opportunità di detenere moneta al posto di un altra attività nanziaria a rendimento i. L investitore minimizza i costi totali scegliendo l importo ottimale N. Il problema di minimizzazione è quindi il seguente: min F N + iy=n N 2 Deriviamo i Costi Totali rispetto a N e poniamo la derivata pari a zero (condizione del = 0 iy 2N 2 {z} BM = F {z} CM (3a) il lato sinistro dell equazione (3a) rappresenta il bene cio marginale del viaggio al Bancomat: tale espressione è crescente al crescere di: i: al crescere del costo opportunità di detenere moneta l individuo preferisce detenere meno moneta nel portafoglio e fare piu viaggi al Bancomat. Y : al crescere del reddito ogni viaggio al Bancomat diventa meno costoso. In ne, al crescere dei viaggi al Bancomat (N! ), il bene cio marginale si riduce (MB! 0). Il costo marginale ( F, il lato destro dell equazione) è invece sso per ipotesi. Gra camente: 5

16 N di equilibrio nel modello B-T (b) Risolvete per il numero ottimale N di viaggi al Bancomat Soluzione Risolvendo l eq.(3a) per N otteniamo: N = r iy 2F (3b) (c) Scrivete una espressione per la domanda di moneta nello spazio tasso di interesse (asse verticale) - quantità di moneta (asse orizzontale) Soluzione La domanda di saldi reali è quindi: M d = P Y 2N = r Y F 2i (3c) Gra camente: N = Y 2 M d P 6

17 Domanda di Saldi Reali nel Modello B-T (d) Supponete ora che un trasloco vi costringa ad allontanarvi dalla vostra sede della banca. Rappresentate gra camente l e etto su (i) domanda di moneta (ii) numero di viaggi ottimali al bancomat. Soluzione L e etto è assimilabile a quello di un aumento del costo sso F di ogni operazione. Pertanto la quantità media di moneta detenuta aumenta (cfr eq.(3c), mentre il numero ottimale di viaggi al Bancomat, N, si riduce (cfr eq. (3b). Gra camente, la retta orizzontale F si sposta verso l alto (determinando, ceteris paribus, una diminuzione di N ). Gra camente (tenete presente che F e M d =P non coincidono nel gra co i valori di F sono stati normalizzati rispetto a quelli di M d =P semplicemente per far stare tutte le curve del modello in un unisco gra co) : 7

18 Aumento dei Costi di Prelievo (F ") Soluzione Esercizio 2 (a) Nell ambito del modello di Baumol e Tobin per la domanda di moneta a scopo transattivo si ricavi la domanda di saldi reali se il tasso di interesse è pari al i, il costo unitario di conversione a F ed il reddito a Y (si ipotizzi che il livello dei prezzi sia P = P = ). Soluzione Indichiamo con Y l importo di ogni transazione. Il numero di conversioni e ettuate in ogni periodo è quindi N. La quantità media di moneta detenuta in ogni periodo è N Y=N : 2 L investitore desidera minimizzare il costo totale sostenuto per la gestione dei pagamenti. CT = F N + i Y=N 2 La prima componente dei costi di gestione rappresenta i costi di transazione (costo di transazione, F, moltiplicato per il numero di transazioni, N). La seconda componente dei costi totali rappresenta il costo opportunità di detenere moneta al posto di un altra attività nanziaria a rendimento i. L investitore minimizza i costi totali scegliendo l importo ottimale N. 8

19 Il problema di minimizzazione è quindi il seguente: min F N + iy=n N 2 Deriviamo i costi totali (CT ) rispetto al numero di conversioni (N) e poniamo la derivata pari a zero (condizione del = F iy 2N = 0 r 2 iy N = 2F La domanda di saldi reali è quindi: M d P = Y r Y F 2N = = M d 2i (b) Si ricavino analiticamente le elasticità della domanda di moneta al tasso di interesse e al reddito. Soluzione Ricaviamo analiticamente l elasticità della moneta al reddito: P ;Y M=P 0 " M = = 2 F q 2i Y F 2i Y F q 2i Y F 2i A q Y F 2i Y M=P = 2 L elasticità della domanda di saldi reali al reddito è positiva ed inferiore ad uno: questo signi ca che esistono economia di scala. A seguito di un aumento del reddito, la domanda di saldi reali aumenta, ma meno in termini percentuali rispetto al reddito. Si noti che =2 è un valore non confortato dai dati che, invece, suggeriscono un valore dell elasticità della domanda di saldi reali al reddito prossimo ad (non sono possibili economie di scala). Ricaviamo ora l elasticità della domanda di saldi reali al tasso di interesse: P ;i M=P 0 " M = Y F q 2i2 Y F 2i A i q Y F 2i

20 L elasticità della domanda di saldi reali al tasso di interesse è negativa ed, in valore assoluto, inferiore a. (c) Si discuta l e etto di una variazione del tasso d interesse da i a i 0 = 2i sulla domanda di moneta. Soluzione Sostituiamo il nuovo valore del tasso di interesse: M d0 = = = r Y F r 2i 0 Y F r 4i 2 M d Se il tasso di interesse raddoppia (%i = 00%), la domanda di saldi reali diminuisce, ma meno in termini percentuali del tasso di interesse. Infatti: %M d = = q 2 M d M d r 2 M d ' 0:3 E ettivamente, la domanda di saldi reali è diminuita in misura meno che proporzionale. (d) Cosa accade alla domanda di moneta se il reddito raddoppia? Soluzione scala: A seguito di un raddoppio del reddito (Y 00 = 2Y ) e in presenza di economie di r Y M d00 00 F = r 2i 2Y F = 2i = p 2M d Notate: la domanda di saldi reali aumenta, ma meno in termini percentuali rispetto al reddito (%Y = 00%). Infatti: p 2M %M d d M d = M d = p 2 ' 4% (e) Provate a calcolarvi i valori assunti dalle espressioni ricavate nei punti precedenti utilizzando i seguenti dati: Y = 32 ; 400, F = 5; i = 0 %, i 0 = %. 20

21 Soluzione Esercizio 3 Considerate il modello di Baumol-Tobin dell esercizio 2 e considerate l equazione quantitativa MV = P Y: (a) Supponete che i costi di transazione siano ssi e pari F. Derivate la domanda dei saldi reali e la velocità di circolazione della moneta. Vale ancora la dicotomia tra variabili reali e nanziarie? Interpretate. Soluzione La dicotomia classica tra variabili reali (PIL, tecnologia, consumo, investimento) e variabili nanziarie (moneta, tassi di interesse, prezzi delle azioni e delle obbligazioni) che in una economia caratterizzata da prezzi perfettamente essibili Y = Y N ed mercati in equilibrio M s = M d = M, cioè in una economia caratterizzata da un equilibrio di lungo periodo una variazione nella quantità di moneta ( at money) si ri ette soltanto sul livello dei prezzi (neutralità della moneta) lasciando inalterati i valori delle variabili reali. Supponiamo che in questa economia in ogni periodo, la quantità di moneta sia pari ad M ed il prodotto interno lordo reale, esogenamente dato, sia pari a Y (che supponiamo essere anche il numero di transazioni che avvengono nell arco di un periodo T ovvero il reddito nazionale ). Se il livello medio dei prezzi è pari a P : MV = P Y dove V, la velocità di circolazione della moneta ovvero il numero di transazioni che avvengono con una singola unità di moneta, è un parametro esogenamente dato (ad esempio potrebbe dipendere dalla frequenza con cui avvengono i pagamenti cash...). Nella nostra economia il livello medio dei prezzi è proporzionale alla quantità di moneta emessa: V P = M Y Mentre la velocità di circolazione della moneta sarà: (4a) Il livello dei saldi reali sarà: V = P Y M M P = Y V = ky Sotto queste ipotesi ricaviamo la seguente relazione: log MV = log P Y log M + log V = log P + log Y (4b) Prendiamo la derivata prima della (4b) rispetto al tempo (t) per calcolarci il tasso di crescita dello stock di moneta quando V = V e Y = Y N : 2

22 @ log log V m + 0 = + 0 log Y m = è un risultato noto come superneutralità della moneta ovvero tutte le variabili reali dell economia non sono in uenzati da variazioni nel tasso di crescita della moneta (m) che si ri ette solo sul tasso di crescita dei prezzi (). Nell esercizio abbiamo trovato che la domanda di saldi reali è: M d P = r Y F 2i moltiplichiamo e dividiamo il lato sinistro della (4c) per Y : r F M d = P Y Y 2i = f i (4c) (4d) Ora non ci resta che sostituire la (4a) nella (4d): r 2Y i V = F = V i + La velocità della moneta dipende positivamente da tasso d interesse e dal reddito. La velocità della moneta è pro-ciclica. Inoltre, come possiamo vedere la velocità della moneta non è costante per cui la teoria quantitativa della moneta non risulta veri cata. (b) Supponete che i costi di transazione siano proporzionali al reddito con F = f Y con 0 < f <. Derivate la domanda dei saldi reali e la velocità di circolazione della moneta. Vale ancora la dicotomia tra variabili reali e nanziarie? Interpretate. (4e) Soluzione Sostituendo in (4c) F = f Y otteniamo: M d = P = P Y r f Y 2 Ora non ci resta che sostituire la (4a) nella (4f): s 2i V = = V f r 2i f 2i = f i i + Ricaviamo analiticamente l elasticità della moneta al reddito: (4f) (4g) 22

23 " M P r f = 2i = Y Y M=P La velocità di circolazione della moneta non è costante quindi la teoria quantitativa (dicotomia classica) non trova riscontro. La " M P ;Y =. Quindi, la velocità di circolazione della moneta non è in uenzata dal reddito. Y q f 2i (c) Come varia la domanda di moneta al variare di f? Calcolate l elasticità della domanda di moneta a Y 2 2 " M P ;f = M d P M d = 2 = 2f f 2i f Y 2 2i = 2f M d P > 0 2 M d =P = M d =P f 2f M d =P = 2 L elasticità della domanda di saldi reali al costo unitario di conversione è positiva ed inferiore ad uno: questo signi ca che esistono economia di scala. A seguito di un aumento del costo unitario di conversione f, la domanda di saldi reali aumenta, ma meno in termini percentuali rispetto al reddito. Soluzione Esercizio 4 Nell ambito del modello di Baumol-Tobin fate riferimento ai seguenti dati: Y = 32 ; 400, F = 5; i = 0 %, i 0 = %. Assumete che il nostro individuo venga pagato giornalmente e spenda ogni giorno il 60% del suo salario giornaliero. Il restante 40% viene risparmiato per le spese di ne anno. Il nostro individuo ha due possibilità di investimento:. deposito bancario remunerato al tasso i D = 0% con prelievi e depositi gratuiti. 2. acquistare titoli di stato remunerati al tasso i B = 3% che possono essere venduti pagando una commissione unitaria di vendita (costo di transazione) pari a F = 5. Suggerimento: Assumete che il nostro individuo durante l anno e ettui N operazioni, N operazioni di acquisto di titoli di stato e un ultima operazione a ne anno per vendere i titoli acquistati nel corso dell anno. 23

24 (a) Nell ambito del modello di Baumol e Tobin per la domanda di moneta a scopo transattivo si ricavi il numero ottimale di acquisto di obbligazioni (N ) la domanda di saldi reali (M d =P ). Soluzione. Abbiamo F = 5N. I risparmi sono pari a S = 0; 40 32:400 = 2:960. Gli interessi a cui l individuo rinuncia nel momento in cui decide di detenere i risparmi in banca sono pari alla di erenza tra gli interessi che perde dal mancato investimento in obbligazioni e gli interessi percepiti sui depositi i B i D S. Il costo totale in cui incorre l individuo 2N è pari a: CT = i B Il problema di dell individuo è minimizzare CT : i D S 2N + F N min N i B i D S 2N + F N Condizione del primo ordine: i B i D S 2N = F 2 r N = (i B i D ) S r 0; 03 2:960 2F = = 6; 23 ' (b) Fornite una rappresentazione gra ca della sequenza temporale ottima degli acquisti di obbligazioni. Soluzione (c) Come cambierebbe la vostra risposta se il governo introducesse un imposta di bollo sui titoli di stato pari ad un controvalore dell %. Quindi, i T = % 24

25 Soluzione. L imposta di bollo è un ulteriore fonte di costo che in uenzerà il numero ottimo di acquisto di obbligazioni. Infatti, il costo determinato dall imposta di bollo sarà pari a: i T S N N = it S i T S N Il costo totale diventa: CT = i B i D S 2N + F N + it S N N Il problema di dell individuo è minimizzare i costi: min N i B i D S 2N + F N + it S N N CPO: i B i D 2i T S 2N = F r 2 N = (i B i D 2i T ) S r 0; 02 2:960 2F = 5 2 = 5; 09 ' 5 25

26 Imperfetta Sostituibilità tra Asset: Il Modello di Portafoglio di Tobin a 3 Attività Breve Sommario Il modello a tre attività di Tobin (969) è un modello di equilibrio simultaneo su tre mercati (moneta, azioni, obbligazioni) che estende il modello IS-LM indebolendo l ipotesi di sostituibilità perfetta tra obbligazioni e azioni ed introducendo l ipotesi di sostituibilità imperfetta tra azioni, obbligazioni e moneta. Questa ipotesi incide sul meccanismo di trasmissione della politica monetaria. Ripasso Modello di Portafoglio di Tobin con 3 Attività (Lato dell O erta) Per semplicità ipotizziamo P = P = MM : M s = M d W + ; r B ; r K BB : B s = B d W + ; r B+ ; r K KK : K s = K d W + ; r B ; r K+ Equilibrio modello di Tobin con 3 attività 26

27 Verso Spostamento Curve Variazione Variazioni Lato O erta MM BB KK W r B r K Au mento Offerta di Obbligazioni db s = dw alto alto alto + +? Espansione Monetaria P ura dm s = dw basso basso alto Riacquisto Azioni Pr oprie dk s = dw basso alto alto -? - Pr ivatizzazione con rimborso di B dk s = db s = basso basso = - + Pr ivatizzazione con pagamento in M dk s = dm s alto = basso = + + Nazionalizzazione con emissione di M dk s = dm s basso = alto = - - Nazionalizzazione con Emissione di Debito dk s = db s = alto alto = + - Monetizzazione del debito (Op: Mercato Aperto) dm s = db s basso basso = = - - Cartolarizzazione Debito dm s = db s alto alto = = + + Legenda:?=ambiguo +=aumento -=riduzione Il vincolo costituito dalla de nizione di ricchezza ci garantisce che, quando due mercati sono in equilibrio, anche sul terzo mercato vi è equilibrio fra domanda e o erta. Tale vincolo impone che la somma delle domande delle varie attività debba essere uguale alla ricchezza : W M + B + K = M d () + B d () + K d () L equazione (5a) può essere riscritta nel seguente modo: (5a) M d () M + B d () B + K d () K = 0 (5b) L equazione (5b) richiede appunto che la somma degli eccessi di domanda nei tre mercati sia uguale a zero (legge di Walras): ne deriva che se in due mercati la domanda è uguale all o erta, anche nel terzo mercato deve esservi equilibrio. Quindi, l equazione (5a), che considereremo nella nostra analisi degli e etti di breve periodo della politica monetaria, non consente di analizzare gli e etti indotti sulla ricchezza dalle uttuazioni dei prezzi di obbligazioni e azioni generate dalla politica monetaria (infatti i prezzi delle azioni e delle obbligazioni non compaiono nel vincolo di bilancio). La validità della nostra analisi di breve periodo richiede che tali e etti di secondo ordine non siano tali da cambiare il segno degli e etti diretti della politica monetaria sui tassi di rendimento delle varie attività nanziarie. La versione lineare del modello di Tobin è composta dalle seguenti equazioni di equilibrio: M = a 0 a r b a 2 r k + a 3 W (5c) B = b 0 + b r b b 2 r k + b 3 W (5d) K = W (B + M) = (a 0 + b 0 ) (b a )r b + (b 2 + a 2 )r k + [ (a 3 + b 3 )] W (5e) 27

28 I parametri a 0 ; a ; a 2,b 0 ; b ; b 2 sono tutti positivi (si veda pagina 62 della dispensa del corso per una discussione sui vincoli imposti sui parametri del modello). L equilibrio può essere descritto tramite tre curve che illustrano rispettivamente le relazioni tra i rendimenti sul capitale e sulle obbligazioni quando i mercati sono in equilibrio. De niamo quindi le tre curve BB, MM, e KK (la curva KK tiene già conto del vincolo di bilancio (5a)): MM : r B = a (M a 0 a 3 W ) BB : r B = b (B b 0 b 3 W ) + b 2 b r K a 2 a r K KK : r B = [K + (a 0 + b 0 ) ( (a 3 + b 3 )) W ] (b a ) (5f) (5g) + (b 2 + a 2 ) (b a ) r K (5h) Di erenziando le curve di equilibrio rispetto a r B e r K otteniamo le pendenze delle tre curve: MM : a dr B a 2 dr K = 0 ) dr B dr K = a 2 < 0 (5i) MM a BB : b dr B b 2 dr K = 0 ) dr B dr K = b 2 > 0 (5j) BB b KK : (b a ) dr B + (b 2 + a 2 ) dr K = 0 ) dr B dr K = (b 2 + a 2 ) KK (b a ) > 0 (5k) Gra camente (si veda la Figura ) possiamo rappresentare le (5f), (5g) e (5h) nel piano (r B, r K ). Chiamiamo la curva di equilibrio sul mercato della moneta MM e quella sul mercato dei titoli BB (per completezza, considereremo anche la terza curva di equilibrio sul mercato delle azioni, KK). Essendo b < (b a ) e b 2 < (b 2 + a 2 ) siamo in grado di concludere che la pendenza della curva BB è minore di quella della curva KK. 28

29 Espansione Monetaria Pura ("Quantitative Easing" Puro): dm = dw > 0 Si tratta, in questo caso, di un aumento della quantità di moneta senza che venga diminuita la quantità esistente di obbligazioni o azioni cioè che non altera l o erta delle altre attività nanziarie: conseguentemente la ricchezza complessiva aumenta nella stessa misura e abbiamo dm = dw > 0. Per un interpretazione degli spostamenti delle curve si veda pagg della dispensa del corso). Esaminiamo gli spostamenti delle curve delle curve del modello in seguito alla politica monetaria di "quantitative easing": (a) E etto su posizione curva MM Soluzione Consideriamo la variazione di r B (r K è da considerarsi una costante) nella (5f): a 2 dr B = (dm a 0 d a 3 dw ) dr K a a dr B = (dm a 3 dm) a dr B dm = a 3 < 0 (5l) a Consideriamo la variazione di r K (r B è da considerarsi una costante): dr B = a 2 (dm a 0 d a 3 dw ) dr K a a 0 = a 2 (dm a 3 dm) dr K a a dr K dm = a 3 < 0 a 2 (5m) con a 3 <. L eccesso di o erta di moneta comporta una riduzione sia di r K che di r B. La curva MM si sposta verso il basso. (b) E etto su posizione curva BB. Soluzione Consideriamo la variazione di r B (r K è da considerarsi una costante) della (5g): dr B = (db b b 0 d b 3 dw ) + b 2 dr K b dr B = b 3 dm b dr B dm = b 3 < 0 b (5n) Consideriamo la variazione di r K (r B è da considerarsi una costante): 29

30 dr B = (db b 0 d b 3 dw ) + b 2 dr K b b b 3 0 = dm + b 2 dr K b b dr K dm = b 3 > 0 b 2 con b, b 2 ; b 3 > 0. L eccesso di domanda di obbligazioni comporta un aumento di r K e/o una riduzione di r B. La curva BB si sposta verso il basso. (c) E etto su posizione curva KK. (5o) Soluzione Consideriamo la variazione di r B (r K è da considerarsi una costante) della (5h): [dk + (a 0 + b 0 )d ( (a 3 + b 3 )) dw ] dr B = (b a ) dr B = ( (a 3 + b 3 )) dm (b a ) dr B dm = (a 3 + b 3 ) (b a ) + (b 2 + a 2 ) (b a ) dr K > 0 (5p) Consideriamo la variazione di r K (r B è da considerarsi una costante): dr B = [dk + (a 0 + b 0 )d ( (a 3 + b 3 )) dw ] + (b 2 + a 2 ) (b a ) (b a ) dr K dr K = ( (a 3 + b 3 )) dm (b 2 + a 2 ) dr K dm = ( (a 3 + b 3 )) < 0 (b 2 + a 2 ) (5q) con ( (a 3 + b 3 )) > 0. L eccesso di domanda di azioni comporta un aumento di r B e/o una riduzione di r K. La curva KK si sposta verso l alto. Possiamo ora utilizzare le equazioni di equilibrio e la loro rappresentazione gra ca per studiare gli e etti complessivi della variazione della quantità di moneta M da parte della banca centrale sulla struttura dei rendimenti delle attività (per semplicità poniamo il livello dei prezzi pari all unità: P = ). Utilizziamo la legge di Walras: M d () M = 0 {z } risolto dall 0 eq. (5f) & B d () B = 0 =) K d () {z } K = 0 (5r) risolto da (5g) Combinando la (5f) e la (5g) (cioè eguagliando r b e risolvendo per r K ): 30

31 a2 r K = + b 2 (B b 0 b 3 W ) a b b Combinando la (5f) e la (5g): (M a 0 a 3 W ) a (5s) b b 2 + a r B = a 2 a 2 a r K = r B a (M a 0 a 3 W ) r K = a a 2 r B a 2 (M a 0 a 3 W ) r K = b b 2 r B b 2 (B b 0 b 3 W ) r B + a 2 (M a 0 a 3 W ) = b 2 (B b 0 b 3 W ) b + a (B b 0 b 3 W ) b 2 a 2 b 2 (M a 0 a 3 W ) a 2 La (5s) è il tasso di equilibrio prevalente sul mercato azionario mentre la (5t) rappresenta il tasso di equilibrio prevalente sul mercato obbligazionario. Queste due espressioni ci permettono di ragionare in termini di variazioni totali dei rendimenti di equilibrio in seguito ad uno shock (ad esempio un aumento dell o erta di moneta puro). Per valutare l e etto netto di un provvedimento di "quantitative easing" sui rendimenti di equilibrio prendiamo le derivate totali della (5s) e della (5t): Iniziamo dall e etto netto di una espansione monetaria sul tasso di equilibrio sul mercato obbligazionario. Prendiamo la derivata totale della (5t) tenendo conto che dm = dw : dr B = = dr B dm = + a (db b 0 d b 3 dw ) b 2 a 2 b 2 + a ( b 3 dm) (dm b 2 a 2 b 2 a 2 b + a b3 + ( a 3) < 0 b 2 a 2 b 2 a 2 b b (dm a 0 d a 3 dw ) a 2 a 3 dm) questa disuguaglianza è sempre veri cata (per la dimostrazione si vedano le slides del prof. Monacelli). Per valutare l e etto netto sul tasso prevalente sul mercato azionario prendiamo la derivata totale della (5s) (ricordandoci che dm = dw ): (5t) dr K = = dr K dm = + b 2 (db b 0 d b 3 dw ) (dm a 0 d a 3 dw ) a b b a a2 + b 2 b 3 dm + (dm a 3 dm) a b b a a2 + b 2 a3 b 3 < 0 a b a b a2 3

32 questa disuguaglianza è sempre veri cata (per la dimostrazione si vedano le slides del prof. Monacelli). Pertanto, l e etto nale di una espansione monetaria è una diminuzione sia di r B che di r K. Gra camente: r B KK KK BB E 0 BB E MM MM r K Quantitative Easing 32

33 Operazione di mercato aperto: dm s = db s > 0 Se la moneta addizionale viene immessa nel sistema attraverso una operazione di mercato aperto, a di erenza del caso precedente, la ricchezza complessiva non varia, modi candosi solo la sua composizione: abbiamo dm s + db s = 0 (ad un aumento dell o erta di moneta corrisponde una uguale diminuzione dell o erta di obbligazioni). Procedendo analogamente al caso precedente e utilizzando l uguaglianza dm s = db s > 0: (a) E etto su posizione curva MM Consideriamo la variazione di r B (r K è da considerarsi una costante) della (5f): dr B = (dm a a 0 d a 3 dw ) dr B = dm a dr B dm = < 0 a a 2 a dr K Consideriamo la variazione di r K (r B è da considerarsi una costante): dr K = (dm a 0 d a 3 dw ) a 0 = dm a 2 dr K a a dr K dm = < 0 a 2 a 2 a dr K L eccesso di o erta di moneta comporta una riduzione sia di r K che di r B. La curva MM si sposta verso il basso. a, a 2 > 0. (b) E etto su posizione curva BB. Consideriamo la variazione di r B (r K è da considerarsi una costante) della (5g): dr B = b (db b 0 d b 3 dw ) + b 2 b dr K dr B = b ( dm) dr B dm = < 0 b Consideriamo la variazione di r K (r B è da considerarsi una costante): 33

34 dr B = (db b b 0 d b 3 dw ) + b 2 dr K b 0 = ( b dm) + b 2 dr K b dr K dm = > 0 b 2 con b ; b 2 > 0. L eccesso di domanda di obbligazioni comporta un aumento di r K e/o una riduzione di r B. La curva BB si sposta verso il basso. (c) E etto su posizione curva KK. Consideriamo la variazione di r B (r K è da considerarsi una costante) della (5h): dr B = dr B = 0 [dk + (a 0 + b 0 )d ( (a 3 + b 3 )) dw ] (b a ) + (b 2 + a 2 ) (b a ) dr K Consideriamo la variazione di r K (r B è da considerarsi una costante): [dk + (a 0 + b 0 )d ( (a 3 + b 3 )) dw ] dr B = (b a ) 0 = 0 + (b 2 + a 2 ) (b a ) dr K dr K dm = 0 + (b 2 + a 2 ) (b a ) dr K La curva KK non si sposta in quanto né l o erta di azioni né la ricchezza hanno subito obbligazioni. Iniziamo a vedere quale è l e etto nale sul tasso di equilibrio sul mercato obbligazionario di una operazione di mercato aperto. Prendiamo la derivata totale della (5t) tenendo conto che dm = db: dr B = = dr B dm = + a (db b 0 d b 3 dw ) b 2 a 2 b 2 + a ( dm) dm b 2 a 2 b 2 a 2 + < 0 b a b b (dm a 0 d a 3 dw ) a 2 Ora prendiamo la derivata totale della (5s) sempre ricordandoci che dm = db: 34

35 dr K = = dr K dm = a2 + b 2 (db b 0 d b 3 dw ) a b b a2 + b 2 dm a b b a a2 + b 2 a b < 0 a b {z a } b {z } >0 <0 (dm a 0 d a 3 dw ) a con a < b. Pertanto, l e etto nale di un operazione espansiva di mercato aperto è una diminuzione sia di r B che di r K. Gra camente: r B KK BB E 0 BB E MM MM r K Operazione di mercato aperto Nota: L impatto su r B di una Operazione di Mercato Aperto è più marcato 35

36 di una politica di Quantitative Easing. Gra camente si può vedere che la variazione (in valore assoluto) di r B (nel caso speci co si tratta di una variazione negativa) è più marcata nel caso di un operazione di mercato aperto che nel caso di una politica monetaria di quantitative easing. Analiticamente questo equivale a richiedere che sia soddisfatta la seguente disuguaglianza: drb dm b + a b 2 a 2 mercato aperto > > + b 2 a 2 b 3 + a 3 b 2 a 2 > 0 drb dm b + a b 2 a 2 b3 + ( a 3) b 2 a 2 quantitative easing Si noti che b 3 > 0 sempre. Quindi la disuguaglianza è sempre soddisfatta. Nota: L impatto su r K di una Operazione di Mercato Aperto rispetto ad una politica di Quantitative Easing è ambiguo. Per quanto riguarda r K quale delle due espansioni monetarie produca una variazione più marcata è ambiguo. Analiticamente: drk > drk dm mercato aperto dm quantitative easing a2 + b 2 b a a2 > + b 2 a b a b a b b a a3 b 3 > a b a b a 3 b > a ( b 3 ) b > ( b 3) > a a 3 a3 a b 3 b Sappiamo che l elasticità di B alla ricchezza (W ) è minore di, quindi b 3 > a 3. Inoltre, sappiamo che l elasticità di r B (a B) è maggiore per BB che per MM, quindi b > a =) b a >. Quindi, tutto dipende da quale delle due elasticità prevale. Se prevale l elasticità di B a W avremo che ( b 3 ) # (e a 3 "), quindi maggiore è b 3 tanto più e cace sarà una operazione di mercato aperto nel ridurre r K. Il che vuol dire che l economia è maggiormente stimolata da una operazione di mercato aperto (si vedano le slides del prof. Monacelli su cosa succede con la q di Tobin quando r K #) per valori su cientemente alti di b 3 (e di conseguenza per valori su cientemente alti di a 3 ). Stesso discorso vale tanto più è grande il valore di b : Quindi maggiore è b 3 e/o b tanto più la diminuzione di r K tenderà ad essere più accentuata nel caso di una operazione di mercato aperto. 36

37 Esercizio 3. Ripasso Modello di Tobin a 3 Attività: Lato della Domanda Per semplicità ipotizziamo P = P = MM : M s = M d W + ; r B ; r K BB : B s = B d W + ; r B+ ; r K KK : K s = K d W + ; r B ; r K+ Equilibrio modello di Tobin con 3 attività Verso Spostamento Curve Variazione Variazioni Lato Domanda MM BB KK W r B r K Aumento Componente Autonoma della M d a o "=) dm d = dk d alto = basso = + + Aumento Componente Autonoma della B d b o "=) db d = dk d = basso basso = - + Aumento Componente Autonoma della (a 0 + b 0 ) "=) dk d = dm d + ( )db d alto basso basso =? + Legenda:?=ambiguo +=aumento -=riduzione Si consideri la versione lineare del modello di portafoglio a tre attività: moneta (M), obbligazioni (B) e azioni (K). Le condizioni di equilibrio sul mercato della moneta e delle obbligazioni sono: M = a 0 a r b a 2 r k + a 3 W (6a) B = b 0 + b r b b 2 r k + b 3 W (6b) K = W M B (6c) = (a 0 + b 0 ) (b a )r b + (b 2 + a 2 )r k + [ (a 3 + b 3 )] W (6d) (a) Con riferimento al modello di portafoglio a tre attività Partendo da una situazioni di equilibrio, supponete ora che a seguito di una crisi nanziaria la rischiosità delle azioni 37

38 aumenti in modo istantaneo. Come possiamo rappresentare tale evento nell ambito di questo modello? (suggerimento: se un attività è più rischiosa che cosa succede alla componente autonoma della domanda per le altre attività?) Soluzione Dalla (6d) abbiamo che (a 0 +b 0 ) aumenta, quindi la domanda di azioni diminuisce istantaneamente e la KK si sposta verso destra (sempre). La componente autonoma della domanda di moneta (a 0 ) e/o della domanda di obbligazioni (b 0 ) aumenta. Possiamo distinguere 3 sottocasi: Caso Spostamento della domanda dalle azioni alla moneta( dk d = dm d ). r K " e r B " Caso 2 Spostamento della domanda dalle azioni alle obbligazioni( r B # dk d = db d ). r K " e Caso 3 (Caso Generale) Spostamento della domanda dalle azioni alla moneta ed alle obbligazioni. La MM si sposta verso destra, la BB si sposta verso il basso, la KK si sposta verso destra. r K " e r B? Nel caso generale l e etto netto su r B è ambiguo e dipenderà dalle pendenze e dagli spostamenti relativi delle varie equazioni di equilibrio. (b) Derivate gli e etti di equilibrio sul rendimento di azioni e obbligazioni. Soluzione Caso Generale (Caso 3) Un aumento della percezione di rischiosità delle azioni che si ri ette su entrambe le componenti autonome della domanda di moneta (a 0 > 0) e di obbligazioni (b 0 > 0). Abbiamo dk d = dm d + ( ) db d : dr K = = a2 + b 2 (db db 0 b 3 dw ) a b b a2 + b 2 db 0 + da 0 > 0 a b b a (dm da 0 a 3 dw ) a dr B = = b + a (db db 0 b 3 dw ) b 2 a 2 b 2 b + a db 0 + da 0? b 2 a 2 b 2 a 2 (dm da 0 a 3 dw ) a 2 L e etto netto su r B è ambiguo è dipenderà dalle pendenze delle curve MM e BB e dalla variazione delle rispettive componenti autonome (a 0 e b 0 ). Possiamo distinguere analizzare i due casi estremi (caso e caso 2): Caso Un aumento della rischiosità delle azioni che si ri ette sulla sola componente autonoma della domanda di moneta (a 0 ). dk d = dm d : 38