Breve storia del Teorema dei Numeri Primi

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1 Breve storia del Teorema dei Numeri Primi Alessandro Languasco Dipartimento di Matematica Università di Padova Incontri Mathesis 13 maggio 2016 Padova A. Languasco p. 1

2 Tavola dei primi I A. Languasco p. 2

3 Tavola dei primi II Si nota che: 1 esistono 303 primi minori di distribuzione: subito fitti, poi piú radi; si notano coppie di primi; si notano buchi relativamente grandi (spaziatura media circa 7, differenza massima 34) 3 in definitiva, la distribuzione sembra casuale A. Languasco p. 3

4 Perché i numeri primi sono interessanti? (Gauss) I A. Languasco p. 4

5 Perché i numeri primi sono interessanti? (Gauss) II Teorema Fondamentale dell Aritmetica (Gauss): ogni intero n positivo si fattorizza in modo unico come prodotto di numeri primi: n = p a 1 1 pa 2 2 pa k k (8 = 2 3, 24 = 2 3 3, 25 = 5 2, 98 = 2 7 2,... ) A. Languasco p. 5

6 Quanti sono i numeri primi? I Euclide ( 300 a.c.): esistono infiniti numeri primi Dim. per assurdo: siano p 1 < p 2 <... < p k tutti i primi; consideriamo N = p 1 p 2 p k N non è primo (N > p k ) - N non è divisibile per alcun p i, i = 1,...,k, quindi N deve anch esso essere primo. Il che è chiaramente una contraddizione. Dunque l insieme dei numeri primi non può essere finito e quindi il Teorema di Euclide è dimostrato. A. Languasco p. 6

7 Ricerca di formule per i numeri primi I Domanda giusta (Gauss, fine 700): quanti sono i primi fino a x? (x molto grande). Comportamento per x della funzione π(x) = numero dei primi fino a x Congettura di Gauss (1792; pubblicato nel 1863) (basata sull analisi delle tavole dei numeri primi disponibili all epoca!): π(x) x n=2 1 logn x logx x 2 dt logt =: li(x) per x (log π( ) ) A. Languasco p. 7

8 Ricerca di formule per i numeri primi (Legendre) I A. Languasco p. 8

9 Ricerca di formule per i numeri primi (Legendre) II Legendre (1808) congetturò che x π(x) logx + B per x con B = ; approssimazione corretta solo al primo ordine asintotico. A. Languasco p. 9

10 Stime per i numeri primi (Chebyshev) I A. Languasco p. 10

11 Stime per i numeri primi (Chebyshev) II Fino a metà 800: metodi di natura elementare ( calculus + aritmetica) ma molto ingegnosi; culmine delle ricerche con Chebyshev ( 1850): (0 < c 1 < 1 < c 2 costanti opportune, ad es. c 1 = 0,7, c 2 = 1,4) c 1 x logx π(x) c x 2 logx Va ricordato per aver introdotto le funzioni θ(x) := logp, e ψ(x) := Λ(n), p x n x (dove Λ(n) = logp se n = p m e zero altrimenti, è la funzione di von Mangoldt) π(x) e aver dimostrato che se esiste lim x li(x) allora tale limite è 1 e che tale condizione equivale alle due seguenti: θ(x) ψ(x) esiste lim x =1 esiste lim x x =1. x A. Languasco p. 11

12 Diseguaglianze (Littlewood e Skewes) I Gauss e Riemann pensavano che π(x) < li(x) per ogni x. Nel 1914 Littlewood dimostrò che π(x) li(x) cambia segno infinite volte. Nel 1933 Skewes dimostrò che c è un cambio di segno (assumendo RH) per un x < S = (numero di Skewes); nel 1955, incondizionalmente: x < (adesso: il primo cambio di segno sta tra (Buthe 2015) e e (Zegowitz 2010)). Lehman (1966) ha dimostrato che tra e ci sono almeno cambi di segno. A. Languasco p. 12

13 Diseguaglianze (Littlewood e Skewes) II A. Languasco p. 13

14 L approccio di Riemann I A. Languasco p. 14

15 L approccio di Riemann II Idea fondamentale di Riemann (1859): studio dei primi con metodi di analisi complessa! Funzione zeta di Riemann: ζ(s) = n=1 1, s C, R(s) > 1 ns legata ai primi per mezzo dell identità di Euler: n=1 1 n = s p ( 1 1 ) 1, s C, R(s) > 1 p s Notiamo che il fatto che la formula precedente per s R, s 1 +, consente di provare, in modo alternativo rispetto alla dimostrazione di Euclide, l esistenza di infiniti numeri primi. A. Languasco p. 15

16 L approccio di Riemann III Grazie alla formula di somma per parti si ha però che n x 1 n = x x s x + s s 1 t t s+1 dt = 1 {x} x s 1 x + s s s 1 s x (s 1)x s 1 s 1 t {t} s+1 dt (1) Se σ = Rs > 1 allora, per x +, otteniamo ζ(s) = s + s 1 s 1 t {t} s+1 dt. Osservando che quest ultimo integrale è in realtà convergente per σ > 0, possiamo concludere che ζ(s) s è olomorfa per σ > 0. Da s 1 ciò deduciamo quindi che s + s 1 s 1 t {t} s+1 dt A. Languasco p. 16

17 L approccio di Riemann IV è il prolungamento meromorfo di ζ(s) nella regione σ > 0. Notiamo che tale prolungamento meromorfo ha, in σ > 0, un unico polo semplice nel punto s = 1 e che tale polo semplice ha residuo pari a 1. Consideriamo adesso Γ(s/2) = + 0 e y y s/2 1 dy. Poniamo y = n 2 πx e otteniamo che ( s π s/2 Γ n 2) s = Allora per σ > 1 otteniamo ( s π s/2 Γ ζ(s) = 2) x 0 x s/2 1 e n2 πx dx. + s/2 1 e n2πx dx, n=1 grazie alla convergenza assoluta della serie. Definiamo, per x > 0, θ(x) = + e n2 πx n= A. Languasco p. 17

18 L approccio di Riemann V ω(x) = + n=1 e n2πx = θ(x) 1. 2 Ricordando la formula di sommazione di Poisson + n= f(n) = + n= f(n) per f S, S spazio di Schwartz, si ha, applicandola alla funzione f(ξ) = e ξ2 πx, che la vale la seguente relazione modulare ( 1 ) θ = x 1/2 θ(x) x e quindi ( 1 ) ω = 1 x x 1/2 + x 1/2 ω(x). A. Languasco p. 18

19 L approccio di Riemann VI Abbiamo allora ( s π s/2 Γ ζ(s) = 2) = x s/2 1 ω(x) dx + x s/2 1 ω(x) dx x s/2 1 ω(x) dx ( 1 ) x s/2 1 ω dx. x Ma usando la relazione modulare su ω otteniamo + ( 1 ) x s/2 1 ω dx = 1 x s s 1 + x s/2 1/2 ω(x) dx 1 e quindi ( s π s/2 1 + Γ ζ(s) = 2) s(s 1) + ( x s/2 1 + x s/2 1/2) ω(x) dx. 1 Siccome ω(x) e πx per x abbiamo che l integrale precedente converge uniformemente in ogni compatto di C ed è quindi una 1 A. Languasco p. 19

20 L approccio di Riemann VII funzione olomorfa. Allora il lato destro dell equazione precedente è il prolungamento meromorfo in C di π s/2 Γ( s )ζ(s), con poli in s = 0,1. 2 Poiché Γ(s) ha poli semplici in s = n, n N, abbiamo che ζ(s) ha un unico polo semplice in s = 1. Dalla formula di Legendre ( Γ(s)Γ s + 1 ) = 2 1 2s π 1/2 Γ(2s) 2 otteniamo che Γ( 1 2 ) = π1/2 e quindi il residuo di ζ(s) in s = 1 vale 1. È dunque chiaro che ( π s/2 1 + Γ( s ) s(s 1) + ( x s/2 1 + x s/2 1/2) ) ω(x) dx 2 1 realizza il prolungamento di ζ(s) a tutto C come funzione meromorfa avente un unico polo in s = 1. A. Languasco p. 20

21 L equazione funzionale (Euler) I A. Languasco p. 21

22 L equazione funzionale (Euler) II Detta s(s 1) ( s Φ(s) = π s/2 Γ ζ(s), 2 2) si osservi che Φ(s) è una funzione olomorfa su C che dalle relazioni precedenti si ottiene l equazione funzionale per la funzione ζ di Riemann nella forma Φ(s) = Φ(1 s). Allora da ciò segue che ζ(s) 0 in σ > 1 perché il prodotto di Euler è assolutamente convergente in ogni compatto contenuto in σ > 1; gli unici zeri di ζ(s) nella regione s < 0 sono zeri semplici nei punti s = 2n, n 1, n N (dipende dal fatto precedente, dalla equazione funzionale e dai poli di Γ(s)); A. Languasco p. 22

23 L equazione funzionale (Euler) III gli zeri di ζ(s) nella regione 0 s 1 sono simmetrici rispetto alla retta s = 1 2 e all asse reale e quindi simmetrici rispetto s = 1 2. (dipende dall equazione funzionale e dal fatto che ζ(s) R per ogni s R). A. Languasco p. 23

24 Formula esplicita I Con il termine formula esplicita intendiamo il collegamento tra i primi e gli zeri della funzione ζ di Riemann. Considerando il logaritmo della funzione di Riemann abbiamo, per σ > 1 (dominio di convergenza assoluta), che logζ(s) = p + 1 m=1 e, derivando, abbiamo la mp ms derivata logaritmica della funzione di Riemann ζ + ζ (s) = Λ(n)n s, n=1 dove Λ(n) = logp se n = p m e zero altrimenti, è la funzione di von Mangoldt. Si noti che il lato sinistro non dipende dai primi, mentre il lato destro dipende strettamente dai primi. Utilizzando la formula di Perron nella forma: se f(s) = + n=1 a(n)n s è assolutamente convergente in σ > σ, allora A(x) = a(n) = 1 c+i f(s) x s ds, c > σ, n x 2πi c i s A. Languasco p. 24

25 Formula esplicita II otteniamo che ψ(x) = Λ(n) = 1 c+i ζ s n x 2πi c i ζ (s)x ds, c > 1. s Da quanto sappiamo sugli zeri ed i poli di ζ(s) deduciamo che ζ ζ (s) si può estendere meromorficamente a C con poli semplici in s = 1 ed in s = ρ i cui residui sono rispettivamente 1 e m, dove m è la molteplicità dello zero ρ. Applicando il teorema dei residui otteniamo allora (siccome la funzione ζ (s) ha una crescita controllata nella ζ striscia 1 σ c) che 2 ψ(x) = x ρ Rρ> 1 2 x ρ ρ i ζ s 2πi 1 2 i ζ (s)x s ds, A. Languasco p. 25

26 Formula esplicita III in cui la somma su ρ percorre gli zeri di ζ(s) contati con la loro molteplicità. Nel caso si riesca a provare che gli zeri di ζ(s) soddisfano Rρ < 1 e non sono troppi ; la crescita di ζ (s) è sotto controllo ; ζ si dimostra che il contributo della somma sugli zeri e dell integrale sono in realtà o(x). A. Languasco p. 26

27 Stime per ζ(s) e regione priva di zeri I I risultati minimali che consentono di arrivare alla dimostrazione del teorema dei numeri primi sono: Theorem 1. Abbiamo che ζ(s) = O(log t ) per σ 1, t 2, ζ (s) = O(log 3 t ) per σ 1, t 2, ζ(s) = O δ ( t 1 δ ) per σ δ, t 2 e 0 < δ < 1. A. Languasco p. 27

28 Stime per ζ(s) e regione priva di zeri II Theorem 2. Abbiamo che esiste una costante c > 0 tale che ζ (s) ζ(s) ζ(s) 0 per σ 1 c log( t + 2), t R, = O(log t ) per σ 1 c/10 log( t + 2), t 1 2. La regione dell ultimo teorema viene detta regione priva di zeri; non è la migliore nota; I.M. Vinogradov e Korobov hanno provato che ζ(s) 0 per σ 1 c log 2/5+ε ( t + 2), t R. A. Languasco p. 28

29 Il TNP (Hadamard e de la Vallée-Poussin) I A. Languasco p. 29

30 Il TNP (Hadamard e de la Vallée-Poussin) II Dalle stime dei due teoremi precedenti e la formula esplicita si deduce il Teorema dei Numeri Primi nella forma (Hadamard e de la Vallée-Poussin; 1896) ψ(x) = x + o(x). Il termine d errore può essere raffinato usando la regione priva di zeri di Vinogradov-Korobov; si ottiene ψ(x) = x +O ( ) x exp( c(ε)log 3/5 ε x). Inoltre sappiamo che ψ(x) = x + o(x) ζ(1 + it) 0. A. Languasco p. 30

31 Altre dimostrazioni del PNT Infine ricordiamo che esistono dimostrazioni del TNP che non fanno uso dell Analisi Complessa; Erdős e Selberg (indipendentemente) nel 1957 hanno fornito una dimostrazione elementare del TNP. A. Languasco p. 31

32 The Lord of Numbers: Atle Selberg A. Languasco p. 32

33 Pál Erdős A. Languasco p. 33

34 Per chi vuole sapere tutta la verità: Referenze tecniche (in inglese): 1) Apostol. T.M., Introduction to Analytic Number Theory, Springer UTM, (per costruirsi le basi) 2) Edwards, H.M., Riemann s Zeta Function, Dover (per una trattazione classica) 3) Ingham, A.E., The Distribution of Prime Numbers, Cambridge University Press, (la via più breve per il TNP dimostrato in modo classico) 4) Montgomery, H.L. - Vaughan, R.C., Multiplicative Number Theory I: Classical Theory, Cambridge University Press, (il testo di base più moderno) Referenze divulgative 1) Derbyshire, J., L ossessione dei numeri primi, Bollati Boringhieri, (storia nei capitoli dispari e matematica, partendo quasi da zero, nei capitoli pari) A. Languasco p. 34