Stage Liceo Ariosto 14/03/2011. Dott.ssa Silvia Bonettini

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1 Stage Liceo Ariosto 14/03/2011 Dott.ssa Silvia Bonettini 1

2 Prima di tutto. le presentazioni Silvia Bonettini Ricercatore di ruolo del Dipartimento di Matematica Docente per i Corsi di Laurea Triennale in Matematica Magistrale in Ingegneria Meccanica, Civile, Elettronica, Informatica 2

3 Formazione Esperienza professionale Curriculum Ricercatore al Dipartimento di Matematica Assegni di Ricerca, Contratti per Didattica Dottorato in Matematica Laurea in Matematica (Magistrale) Scuola Superiore (Maturità Classica) 3

4 Concetto di funzione? Trigonometria? Grafico di una funzione? Informatica? 4

5 Si fa presto a dire matematica Ufficialmente la matematica si divide in 9 settori MAT/01 LOGICA MATEMATICA MAT/02 ALGEBRA MAT/03 GEOMETRIA MAT/04 MATEMATICHE COMPLEMENTARI MAT/05 ANALISI MATEMATICA MAT/06 PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA MAT/07 FISICA MATEMATICA MAT/08 ANALISI NUMERICA MAT/09 RICERCA OPERATIVA 5

6 Programma dello stage Lunedì Martedì Mercoledì Venerdì Analisi Numerica S. Bonettini R. Zanella Probabilità G. Giantesio Matematica per le Scienze della Vita Storia della Matematica I. Nagliati E. Patergnani M. G. Lugaresi Divulgazione e Museologia della Matematica A. Fiocca Probabilità F. Prinari A. Ascanelli 6

7 Cos è l Analisi Numerica? dare una risposta ad un problema matematico mediante un calcolatore (V. Comincioli, Analisi Numerica, Metodi, Modelli, Applicazioni) 7

8 La matematica nella realtà Moltissimi problemi del mondo scientifico-tecnologico si possono esprimere in forma matematica Equazioni Espressioni Sono accomunati dal fatto di avere un enorme numero di incognite Impossibile risolverli a mano! 8

9 Il calcolatore al servizio della matematica Un calcolatore è una macchina capace di eseguire precisamente e velocemente una grande quantità di operazioni; Ma Non è creativo ; Dobbiamo fornirgli la lista precisa e ordinata delle operazioni da eseguire = algoritmo 9

10 Di cosa si occupa l Analisi Numerica? trovare gli algoritmi che risolvono un problema matematico nel minor tempo e con la massima accuratezza dare una risposta ad un problema matematico mediante un calcolatore (V. Comincioli, Analisi Numerica, Metodi, Modelli, Applicazioni) 10

11 Aspetti della ricerca in Analisi Numerica Studio del problema reale (fisica, ingegneria, biologia, ) Analisi e sviluppo del modello matematico che lo descrive Analisi e sviluppo degli algoritmi numerici adatti a risolverlo Implementazione dell algoritmo in un linguaggio di programmazione Rilascio di software 11

12 Algoritmo Premere il pulsante di accensione del PC; Se lo schermo non si accende, premere il pulsante di accensione dello schermo; Alla richiesta inserire Username: studente Password : studente Creare sul desktop una cartella di nome Stage Fare doppio click sull icona del programma Matlab Rimanere in attesa di istruzioni 12

13 Matlab Si tratta di un linguaggio di programmazione e di un ambiente di sviluppo software molto usato nel mondo scientifico-tecnologico per simulazioni numeriche 13

14 Esempi di Applicazioni di Analisi Numerica 14

15 La mia ricerca Ricostruzione di immagini Machine Learning (Apprendimento automatico) Analisi dei segnali 15

16 Le immagini Ogni immagine digitale è una matrice (tabella) di numeri Ogni elemento della matrice è detto pixel 16

17 Immagini in bianco e nero Ad ogni livello di grigio è associato un codice. 255 = nero = bianco

18 Immagini a colori (RGB) Un immagine digitale RGB è rappresentata da tre matrici invece che da una sola

19 Immagini RGB Ad ogni livello di blu, rosso, verde, rispettivamente è associato un codice

20 Verifichiamolo con Matlab Con il browser andare all indirizzo del database di immagini docente.unife.it/silvia.bonettini/stage Scaricare l immagine di Lena e salvarla con il nome Lena.tiff in una cartella del PC. 20

21 Verifichiamolo con Matlab Andare su Matlab e 21

22 Verifichiamolo con Matlab 22

23 La mia ricerca: ricostruzione di Oggetto reale immagini Immagine osservata Sistema di acquisizione Rumore Processo Deterministico Processo Statistico 23

24 Scopo del gioco: A partire dall immagine osservata, trovare un approssimazione più vicina possibile all oggetto originale. E un problema matematico Le incognite sono i pixel dell immagine da ricostruire Per un immagine di media grandezza 256x256, le incognite sono = 65536

25 Modello matematico Fredholm Integral equation of the first kind Immagine ricostruita Modello discreto Algoritmi numerici 25

26 Apprendimento automatico 26

27 Obiettivo: Utilizzare il calcolatore per Classificare/riconoscere oggetti Fare predizioni 27

28 Esempio: riconoscimento di facce faccia faccia faccia faccia non faccia faccia 28

29 Esempio: riconoscimento di cifre scritte a mano 29

30 Esempio: strumento per supportare diagnosi mediche Interpretare i risultati di analisi cliniche sulla base dello storico per capire se un paziente svilupperà o meno una certa malattia 30

31 Apprendimento da esempi Classificazione binaria (es.: faccia/non faccia) Supponiamo di avere un certo numero di esempi di cui conosciamo la classificazione y = faccia = non faccia x 31

32 Modello matematico Trovare una funzione il cui grafico separa i due insiemi di punti y y f (x) = faccia = non faccia x 32

33 Modello matematico Trovare una funzione il cui grafico separa i due insiemi di punti y y f (x) = faccia = non faccia x 33

34 Modello matematico Classificazione di un nuovo punto y y f (x) = faccia = non faccia y y f (x) x faccia x 34

35 Modello matematico Classificazione di un nuovo punto y y f (x) y = faccia = non faccia y f (x) non faccia x x 35

36 Il problema più difficile da risolvere è quello della determinazione della funzione separatrice Scelta del tipo di funzione: difficoltà teoriche Calcolo della funzione (elevato numero di incognite): difficoltà numeriche Si tratta di un problema di ottimizzazione 36

37 Modello matematico (caso lineare) Trovare, tra tutte le possibili rette che separano i rossi dai blu, quella che è alla massima distanza dal più vicino degli esempi y y f (x) = faccia = non faccia x 37

38 Analisi dei segnali Analisi di Fourier 38

39 Jean Baptiste Joseph Fourier 1768 Auxerre 1830 Parigi Matematico francese, partecipò alla rivoluzione francese e seguì Napoleone in Egitto come membro della spedizione scientifica. Studiò principalmente la diffusione del calore nei corpi. Conobbe Laplace, Lagrange, Legendre e Poisson. 39

40 Segnali audio I segnali audio descrivono le variazioni di pressione che il nostro orecchio percepisce come suoni. Focalizziamo la nostra attenzione su segnali periodici che chiamiamo toni. 40

41 I toni puri Un tono puro può essere descritto dalla seguente funzione sinusoidale del tempo: x( t) acos( 0t ) dove a 0 è l ampiezza 0 0 è la pulsazione espressa in radianti/secondo 0 è la frequenza fondamentale in Hertz 2 è la fase E una funzione periodica di periodo 2 41

42 x( t) cos( t) x( t) 2cos( t) x( t) cos(2t ) x( t) cos( t 2) x( t) cos t 2 42

43 I caratteri distintivi del suono Intensità: Altezza: Timbro: è legata al volume del suono ovvero all ampiezza della sinusoide è quella caratteristica del suono che ci consente di distinguere un tono basso (grave) da un tono alto (acuto). Suoni più acuti hanno frequenza fondamentale più alta. Se un pianoforte e un violino emettono la stessa nota con la stessa intensità i suoni corrispondenti sono evidentemente diversi. I due strumenti hanno emesso un segnale che ha la stessa frequenza ed intensità ma differente timbro. Il timbro è legato alla forma d onda. Gli strumenti musicali non emettono toni puri (ovvero sinusoidi perfette, che sarebbero anche sgradevoli) ma sono caratterizzati da forma d onda molto differenti tra loro. 43

44 Note e ottave Si definisce ottava l intervallo musicale tra due do consecutivi. Dalla metà del settecento tutti gli strumenti ad intonazione fissa (pianoforte, organo,..) sono accordati secondo la scala temperata. Questa scala divide l ottava in 12 intervalli ognuno dei quali vale un semitono. Ogni semitono corrisponde alla frequenza del semitono precedente moltiplicata per 2 1/12, in modo tale che la prima nota dell ottava seguente abbia frequenza doppia della nota corrispondente nell ottava precedente. Nella tabella seguente diamo un esempio di note che formano una ottava a partire da un la prodotto dal diapason. 44

45 La scala temperata Note Notazione anglosassone Frequenza fondamentale la A = /12 la# A# = /12 si B 493.8= /12 do C = /12 do# C# 554.4= /12 re D 587.3= /12 re# D# 622.2= /12 mi E 659.2= /12 fa F = /12 fa# F# 740.0= /12 sol G 784.0= /12 sol# G# 830.6= /12 la A 880.0=

46 Esempio: la Ricaviamo la pulsazione dalla frequenza fondamentale del la Per suonare un la di un secondo con Matlab: >> N = 8192; >> t = linspace(0,1,n); >> omega0 = 440*2*pi; >> x = cos(omega0*t); >> sound(x,n) >> Per abbassare il volume >> x = 0.1cos(omega0*t); >> sound(x,n) >> 46

47 Suonare il coseno La scala temperata con Matlab >> N = 8192; >> t = linspace(0,1,n); >> for i=0:12 omega0 = 440*2*pi*2^(i/12); x = cos(omega0*t); sound(x,n); end 47

48 Armoniche Le armoniche di un tono puro (ovvero di un segnale sinusoidale ad una certa frequenza fondamentale) sono i suoni (segnali) di frequenza multipla di quella fondamentale. Se si sommano due o più armoniche si compone un segnale che ha la stessa frequenza di quella fondamentale, ma forma diversa. 48

49 Esempio 49

50 Esempio 50

51 Le armoniche del do Ottava sotto Ottava centrale Ottava sopra do re mi fa sol la si seconda armonica 261.6*2 = do dell ottava successiva terza armonica 261.6*3 = sol dell ottava successiva quarta armonica 261.6*4 = do di due ottave sopra quinta armonica 261.6*5 = 1318 mi di due ottave sopra Queste tre note suonano bene assieme e formano l accordo di do-maggiore. 51

52 Analisi di Fourier Le varie armoniche possono essere sommate con coefficienti (intensità) differenti e il segnale risultante a parità di armoniche dipende da questi coefficienti. Fourier, dimostrò che qualsiasi segnale periodico può essere scomposto in una somma di (infiniti) segnali sinusoidali di cui il primo termine ha lo stesso periodo del segnale considerato e gli altri termini sono tutte armoniche pesate con opportuni coefficienti. Inoltre questa decomposizione è unica. Il significato dell analisi di un segnale attraverso la trasformata di Fourier è lo studio delle armoniche del segnale, ovvero lo studio delle ampiezze delle varie armoniche che permettono di formare il segnale. 52

53 Timbri e spettri Abbiamo detto che uno strumento musicale non emette un tono puro, ma il suo suono è caratterizzato dal timbro, ovvero la forma del segnale sonoro emesso. Il timbro dipende dalla presenza delle armoniche di un segnale. I coefficienti possono essere rappresentati in un grafico in funzione della frequenza dell armonica, questo grafico è detto spettro del segnale. 53

54 Altre applicazioni Problemi di ingegneria strutturale: simulazione di velocità e pressione Simulazione della temperatura attorno ad una sezione d ala durante il rientro di veicoli aerospaziali 54

55 Approssimazione numerica E applicazioni alla computer grafica 55

56 Curve di Bézier Si tratta di curve definite a partire da un certo numero di punti nel piano 56

57 Curve di Bezier lineari 2 punti: segmento che li congiunge B t) (1 t) P tp t [0,1] ( 0 1 P 1 P 0 57

58 Curve di Bézier quadratiche 3 punti 2 2 B( t) (1 t) P0 2t(1 t) P1 t P2 t [0,1] P 1 P 2 P 0 58

59 Curve di Bézier cubiche 4 punti B( t) (1 t) P0 3 t(1 t) P1 3t (1 t) P2 t P3 t [0,1] P 1 P 2 P 0 P 3 59

60 Costruzione delle curve di Bézier 60

61 Le curve di Bézier prendono il nome dall'ingegnere francese Pierre Bézier che nel 1962 le usò per disegnare le carrozzerie delle automobili Renault. Le curve erano già state realizzate per la Citroen nel 1959 da Paul de Casteljau mediante l'algoritmo che prese poi il suo nome. 61

62 Le curve di Bézier sono alla base di strumenti per il disegno tecnico professionale come il CAD 62

63 Grafica vettoriale Le curve di Bézier sono largamente usate nella computer grafica per modellare curve smussate. Trasformazioni geometriche come traslazione, simmetria e rotazione possono essere applicate alla curva applicando le rispettive trasformazioni sui punti di controllo della curva. 63

64 Esempio 64

65 65

66 66

67 In particolare, i caratteri tipografici vengono creati a partire da curve di Bézier lineari e cubiche 67