imago mundi Immagini del mondo- immagini della conoscenza. Il ruolo dei modelli: considerazioni epistemologiche a margine.

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1 imago mundi Immagini del mondo- immagini della conoscenza. Il ruolo dei modelli: considerazioni epistemologiche a margine.

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3 Modello Cosa o persona posta innanzi a un artista, per essere ritratta. Bozzetto, abbozzo che precede la realizzazione definitiva di una costruzione o un'opera. Prototipo o rappresentazione materiale di una macchina, un sistema, un fenomeno, realizzato per fare sperimentazioni su di esso o studiarne proprietà. Rappresentazione schematica di un fenomeno, un sistema, usata per rappresentarne le caratteristiche principali e facilitarne lo studio ( modello economico, modello matematico ). Esempio da imitare ( è un modello di onestà; è una fattoria modello - qui usato in funzione di aggettivo). Esemplare originario e ideale. Archetipo. Foglio che indica come realizzare un certo oggetto. Forma (in legno o altro opportuno materiale) usata per ricavare l oggetto.

4 I primi modelli che la storia ricorda: il modello del tempio di re Salomone La Bibbia afferma che il Tempio di Salomone (x sec. a.c.) fu costruito sulla base di un modello. La decisione di costruire il tempio risale a Davide, ma il Signore glielo impedì, perché Davide aveva fatto grandi guerre e stabilì che il tempio sarebbe stato costruito dal figlio, Salomone. Così, quando fu vecchio, Davide convocò Salomone e gli consegnò il modello del tempio. Il tempio fu edificato in sette anni e fu distrutto dai babilonesi nel 586 a.c., fu poi ricostruito ma raso al suolo dai romani nel 70 d.c.

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6 modelli di cattedrali Stanno in piedi quelle che non sono rovinate a terra: il crollo degli edifici religiosi nel medioevo era quasi la norma. Gli architetti più audaci erano quelli francesi, per questo i crolli più memorabili sono avvenuti in Francia: nel 1267 crollò la torre della Cattedrale di Sens; nel 1272 fu la volta della guglia di Saint Bénigne di Digione; il 1284, quando avvenne il crollo della volta della cattedrale di Bauvais, la più alta di tutte, segna il termine della corsa verso l alto degli architetti francesi.

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9 Galileo Nel 1636 Galileo Galilei, ormai settantenne e quasi cieco, pubblica i Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, attinenti alla mecanica ed i movimenti locali. In questo saggio si occupa dei modelli

10 I modelli nei secoli seguenti Da Galileo in poi i modelli di alto profilo culturale saranno soprattutto quelli matematici. Meno importanti di quelli matematici, i modelli fisici, ormai ritornati nel rango di strumenti operativi, continueranno tuttavia ad essere tenuti in gran conto dai tecnici.

11 Esempio: modello Immaginiamo che una situazione crei in noi delle domande: un proiettile con a bordo degli esploratori è stato lanciato dalla Terra alla Luna, grazie alle leggi della meccanica ci si chiede quale curva γ seguirà il proiettile e dove andrà a finire (Jules Verne, Autour de la lune, 1870) Per dare una risposta si costruisce un dispositivo reale o astratto M, che viene considerato l immagine o l analogo di γ e la domanda posta si traduce in una domanda su M, sfruttandone l articolazione, cioè, partendo da certe condizioni iniziali, lo si lascia evolvere, studiando tale evoluzione. Il modello M può essere di diversa natura: un oggetto materiale (in cui si corregge l effetto di riduzione di scala) o una struttura astratta (matematica o logica che simula certi aspetti del fenomeno da studiare)

12 William Thomson (Lord Kelvin): (Belfast, 26 giugno 1824 Netherhall, 17 dicembre 1907) è stato un fisico e matematico britannico. Compì studi e ricerche in vari campi della fisica matematica e fu tra i primi fisici a sfruttare industrialmente le sue scoperte. Fece numerose scoperte nel campo della termodinamica. Introdusse la scala assoluta delle temperature, detta poi scala Kelvin. Prende il suo nome (kelvin) l'unità di misura della temperatura nel Sistema Internazionale (SI). Wikipedia «Non sono mai soddisfatto finché non ho costruito un modello meccanico dell oggetto che studio. Se riesco a costruirlo, allora capisco; altrimenti non capisco»(w. Thomson, Notes of Lectures on Molecuar Dynamics and the Wave Theory of Light).

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14 Esempio: modello del mondo Uomini con intelligenza pari alla nostra hanno osservato il cielo per un periodo di almeno anni. Il più completo modello astronomico elaborato nell antichità si trova nell Almagesto di Tolomeo e l ingegnosità di tale modello può suscitare solo ammirazione

15 Esempio: modello del mondo Il sistema geocentrico (detto anche aristotelico-tolemaico) è un modello astronomico che pone la Terra al centro dell'universo, e tutti gli altri corpi celesti ruotano attorno ad essa

16 Esso aveva raggiunto una discreta precisione ma al prezzo di una grande complessità

17 Il sistema geocentrico fu accettato per quasi due millenni, ma fu sostituito a causa della rinascita dell'osservazione empirica (ad esempio con Tycho Brahe) e dell'adozione del metodo scientifico. Le orbite dei pianeti non potevano essere adeguatamente spiegate ricorrendo a puri cerchi (nonostante il metodo degli epicicli di Ipparco e Tolomeo) Esso fu superato non solo con l'adozione del sistema eliocentrico, ma anche con l'abbandono delle orbite circolari a favore di quelle ellittiche.

18 Il modello tolemaico Lo schema geocentrico elementare non spiega i dettagli dei moti, come il moto retrogrado (a fianco, il moto di Marte all opposizione), e non consente di calcolare le posizioni dei pianeti. Il sistema Tolemaico condensava secoli di osservazioni in una struttura geocentrica molto complessa, frutto di una lunga evoluzione. Esso descriveva ogni orbita con un sistema di moti circolari sovrapposti e ricorreva a diversi accorgimenti per modellare le irregolarità dei moti.

19 Copernico : De Revolutionibus Orbium Caelestium (1543) Col perfezionarsi delle osservazioni, in epoca araba, il modello Tolemaico si differenziò in una dozzina di modelli diversi, ciascuno costituito da un complesso di più di 40 sfere. Erano modelli matematici, che risolvevano le irregolarità dei moti con un sistema di ipotesi ad hoc. Il modello tolemaico non poteva essere reale, era solo uno strumento di calcolo delle posizioni. Il cumularsi di secoli di osservazioni mostrava la difficoltà di spiegare i fatti se non a prezzo di un castello artificioso di moti. Già l astronomo arabo Averroè (..) affermava che eccentrici ed epicicli sono impossibili noi abbiamo qualcosa che fa tornare i conti ma che non ha senso. Copernico si propone di esplorare un nuovo concetto con lo scopo di ottenere un metodo sicuro e univoco di calcolo delle posizioni. La sua posizione iniziale è matematica, non filosofica. Sebbene pochi aspetti del pensiero occidentale siano rimasti immuni dalle conseguenze dell opera di Copernico, il De Revolutionibus era in se stessa un opera strettamente tecnica e professionale. Era l astronomia planetaria, non la cosmologia o la filosofia, che Copernico trovava mostruosa e fu la riforma dell astronomia matematica che, sola, lo spinse a far muovere la Terra. (segue)

20 segue Copernico : De Revolutionibus Orbium Caelestium (1543) In Copernico l ipotesi del moto della Terra nasce come risultato collaterale del tentativo di un astronomo preparato ( matematico ) di riformare le tecniche usate nel calcolo della posizione dei pianeti.. Avendo meditato a lungo su questa incertezza della tradizione matematica nel determinare i moti del mondo delle sfere, cominciò a turbarmi il fatto che i filosofi non potessero fissarsi su nessuna teoria sicura del moto del meccanismo di un universo creato da Dio che è.. ordine supremo, sebbene facessero osservazioni così accurate sui minimi dettagli di quell universo. Per questo mi sono assunto il compito di cercare se qualcuno avesse mai pensato che le sfere potessero muoversi secondo moti diversi da quelli che propongono gli insegnanti di matematica nelle scuole. Citati filosofi greci (Aristarco, Iceta, Filolao, Eraclito), che avevano ipotizzato il moto e la rotazione della Terra, prosegue: pensai che anche a me sarebbe stato concesso di ricercare se, assunto per ipotesi un certo moto della terra, fosse possibile trovare dimostrazioni della rivoluzione delle sfere celesti più sicure delle loro. Adattato da Kuhn, La rivoluzione Copernicana (Einaudi)

21 Il sistema copernicano Due moti: 1. La terra intorno a se stessa in un giorno 2. La terra (come gli altri pianeti) intorno al Sole

22 Modello Geocentrico Moti retrogradi Modello Eliocentrico Entrambi i modelli riescono a descrivere la cinematica del moto retrogrado, ma il modello eliocentrico spiega in modo semplice e automatico il fatto che l inversione si manifesta quando il pianeta è opposto al Sole Animazioni da McConnell:

23 Il modello Copernicano..spiegava i moti in uno schema semplice e generale, ma con meno precisione dei modelli Tolemaici, che avevano cumulato, in secoli, un gran numero di elementi correttivi ad hoc..aveva ugualmente necessità di orbite eccentriche, per spiegare con orbite circolari le irregolarità dei moti (p.e. del moto della terra, mostrato dal diverso intervallo tra i due equinozi: inverno 179 d; estate 186 d)..consentiva, sulla base di osservazioni semplici, di stabilire le proporzioni tra le distanze all interno del Sistema Solare Su tutti questi punti interverrà in modo conclusivo Keplero.

24 Modelli matematici Introducendo la legge fondamentale della dinamica insieme alla teoria della gravitazione Isaac Newton, costruisce un modello del sistema solare che sembrerebbe chiudere il problema della modellizzazione del sistema solare. In realtà, come fece notare Newton, non esiste un motivo assolutamente valido per preferire un sistema ad un altro ed è quindi perfettamente legittimo porre il punto d'origine del sistema di riferimento nel centro della Terra. Inoltre in base alla terza legge del moto (principio di azione e reazione) ed alla gravitazione universale, è impossibile stabilire se la Terra gira attorno al Sole o viceversa, infatti i due corpi celesti si attraggono reciprocamente con la stessa forza. "A parità di fattori la spiegazione più semplice tende ad essere quella esatta" William of Ockham

25 Modelli matematici L'unico vero motivo per preferire il sistema eliocentrico è che esso semplifica il modello di struttura del sistema solare, seguendo il concetto filosofico detto rasoio di Occam: i moti dei pianeti nel sistema eliocentrico sono descrivibili con poche semplici leggi, mentre nel sistema geocentrico queste leggi sono molto più complesse. La situazione che però tutt ora è in discussione, passando dal modello a due corpi a quello degli n corpi, è quella della cosiddetta stabilità del sistema solare: sulla base dell opera di Poincarè. "A parità di fattori la spiegazione più semplice tende ad essere quella esatta" William of Ockham

26 Cosa è un modello matematico? André Weil: la Matematica è solo uno dei tanti specchi in cui si riflette la verità,, anche se forse con più purezza che non in altri specchi. Lo studio scientifico della realtà avviene attraverso modelli matematici che simulano il fenomeno o il processo in esame.

27 Modelli matematici formalizzazione, si prende in eredità il problema e, alla luce della discussione fatta e del formalismo che si intende impiegare, introducendo ipotesi semplificatrici, si costruisce il modello. analisi, fatta nel linguaggio corrente, con gli strumenti della logica ordinaria e il concorso di tutte le competenze specialistiche fornite dalle discipline coinvolte nel problema. studio del modello: è la parte più propriamente matematica, non c'è più alcun esplicito riferimento al concreto problema iniziale. Tutto si svolge all'interno del mondo matematico tornando al problema originario per verificare empiricamente la correttezza dei risultati trovati, infatti questi risentono inevitabilmente delle semplificazioni impiegate e del particolare linguaggio formale prescelto. Occorre dunque ricominciare da capo o, come si dice, raffinare il modello per arrivare ad una lettura e ad un'analisi più puntuale.

28 Carlo Emilio Gadda spiega la molteplicità delle cause Da: "Quer pasticciaccio brutto de via Merulana" (1957). «... le inopinate catastrofi non sono mai la conseguenza o l'effetto che dir si voglia d'un unico motivo, di una causa al singolare: ma sono come un vortice, un punto di depressione ciclonica nella coscienza del mondo, verso cui hanno cospirato tutta una molteplicità di causali convergenti. Diceva anche nodo o groviglio, o garbuglio, o gnommero, che alla romana vuol dire gomitolo.» Carlo Emilio Gadda (Milano Roma 1973) lasciò la professione di ingegnere per dedicarsi alla letteratura.

29 Questo concetto è espresso dalla famosa frase di Sherlock Holmes (il detective creato da sir Arthur Conan Doyle): «È una mia vecchia massima che, una volta escluso l'impossibile, ciò che resta, per quanto improbabile, non può che essere la verità». Anche fra le famose «Leggi di Murphy» si trova qualcosa di adatto: la Legge di Bates sulla ricerca, che recita: «La ricerca consiste nel percorrere vicoli per vedere se sono ciechi».

30 Il determinismo di Laplace Il posto occupato da Pierre-Simon de Laplace ( ) nella storia della scienza è strettamente collegato alla sua concezione deterministica della realtà. Egli, infatti, considerava i fenomeni del mondo naturale come legati tra loro da precisi rapporti di causa-effetto. Da questa concezione scaturiva il carattere di assoluta prevedibilità di ogni teoria scientifica, la quale doveva enunciare leggi corrispondenti ad un comportamento ineluttabile degli oggetti fisici.

31 Modelli deterministici

32 Il determinismo di Laplace Tutti gli avvenimenti, anche quelli che per la loro piccolezza non sembrano essere dominati dalle grandi leggi della natura, ne sono una conseguenza così necessaria come le rivoluzioni del Sole. Nell'ignoranza dei legami che li uniscono all'intero sistema dell'universo, li si fa dipendere da cause finali o dal caso. Ma queste cause immaginarie sono state successivamente arretrate fino ai limiti delle nostre conoscenze, e svaniscono del tutto davanti alla sana filosofia, che non vede in esse se non l'espressione dell'ignoranza in cui siamo circa le vere cause. Un'intelligenza che per un dato istante conoscesse tutte le forze e da cui la natura è animata e la situazione rispettiva degli esseri che la compongono, no, se fosse così vasta da sottoporre questi dati all'analisi, abbraccerebbe in un'unica u e medesima formula i movimenti dei più grandi corpi dell'universo e quelli del più lieve atomo: nulla sarebbe incerto per essa, e l'avvenire, come il passato, sarebbe presente ai suoi occhi." Da: P.S. Laplace, "Saggio sulle probabilità" (1814)

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34 Che cos'è un modello matematico? Il concetto di modello matematico si precisa, nella sua accezione moderna, verso la fine dell '800, nell'opera di Henri Poincaré( ) Poincaré ha scardinato l'impianto epistemologico di Galileo, di Keplero, di Newton, asserendo esplicitamente la possibilità di descrizioni matematiche non univoche dei fenomeni fisici e confutando ogni pretesa di universalità. Un modello matematico non aspira a cogliere l'essenza ultima dei fenomeni ma si limita a fornire un'analogia formale che permetta di rappresentarne alcuni aspetti: un modello non ci dice come funzionano le cose ma soltanto che le cose funzionano "come se".

35 Modelli non deterministici

36 Modelli matematici Modello Deterministico: si utilizza quando si conosce lo stato attuale del sistema e le leggi che governano il sistema stesso. Modello NON Deterministico : si utilizza quando si conosce quale insieme variano i risultati e la probabilità degli eventi

37 Esempio di modello deterministico

38 Esempio di modello deterministico

39 Esempio di modello non deterministico. Un modello stocastico è un modello costituito da un insieme finito di variabili casuali e dai valori che le singole variabili casuali hanno assunto nel passato. L'inizializzazione delle variabili casuali avviene mediante l'identificazione della distribuzione di probabilità che caratterizza ogni singola variabile, attraverso l'analisi statistica di una base di dati raccolti nel passato, che rappresenta lo spazio probabilistico dei valori che la variabile casuale può assumere.

40 Esempio di modello non deterministico. Una volta ricostruita la distribuzione di probabilità delle singole variabili casuali è possibile simulare, attraverso il modello stocastico, la variazione nel tempo della distribuzione di probabilità delle variabili casuali, ottenendo come risultato un nuovo spazio probabilistico di valori per ogni variabile casuale.

41 Modelli non deterministici Nel 1827 il botanico inglese Robert Brown scoprì che grani di polline in sospensione acquosa si muovevano in modo frenetico. Nel 1905 Albert Einstein diede un interpretazione del fenomeno basata sull esistenza di due livelli d analisi: uno microscopico e uno macroscopico. Al livello microscopico troviamo il moto deterministico della particella (il grano di polline), regolato dall equazione di Newton, e i cui cambiamenti repentini di direzione sono dovuti agli urti con le molecole d acqua. Si ipotizza così che l effetto cumulativo degli urti porti la particella a muoversi in modo casuale come se si trovasse su un reticolo e potesse saltare a da un sito all altro con determinate probabilità. Einstein ne derivò per esempio che la velocità quadratica media dovesse essere proporzionale alla Temperatura, come evidenziato dagli esperimenti di Brown.

42 Che cos'è un modello matematico? In campo tecnico i modelli vengono costruiti in scala a somiglianza di macchine più grandi - oppure vengono realizzati mediante sistemi di equazioni. Questi possono essere risolti per calcolare il comportamento futuro delle macchine in progetto, oppure possono essere fatti funzionare simulando in un computer il comportamento di quelle macchine. Negli anni Cinquanta i primi grossi computer venivano usati per progettare, ad esempio, i primi aerei a reazione e i primi reattori nucleari. Alla fine degli anni Sessanta i computer avevano fatto notevoli passi avanti. Perchè non usarli per modellare e simulare l'avvenire della terra?

43 4 ottobre 1957: SPUTNIK I Il primo Grande Fratello

44 Modelli matematici Probabilmente la risposta è da cercare nel successo che ebbe nel 1969 la missione dei primi astronauti sulla luna. Il progetto del solo modulo lunare impiegò circa persone per un decennio. Tremila di questi erano ingegneri. La missione fu senza sorprese, ma era stata simulata su computer secondo centinaia di modalità diverse. E ciascuna modalità era stata sperimentata decine di volte.

45 Modelli matematici Se era possibile prevedere e progettare una missione così complessa perchè, allora, non poter calcolare con una precisione simile anche vicende future di fenomeni che si verificano sulla terra - anche se sono molto complessi?

46 Oggi Osserviamo Direttamente Il sistema terra

47 Modelli matematici Mediante un modello si possono ottenere informazioni importantissime sulle regioni della crosta terrestre, ad esempio in caso di terremoti, vulcani, frane e alluvioni, per lo studio della qualita dell Aria, dell inquinamento marino da Idrocarburi, per la prevenzione di incendi e altro ancora.

48 Flusso energetico (Mt Etna) MIVIS IMAGE 29/07/2001

49 Misura della concentrazione di NO2 mediante Envisat NO2 from SCIAMACHY (Jan June 2004) 1e15 molec/cm2 Courtesy CourtesyofofSteffen SteffenBeirle, Beirle,Univ. Univ.Heidelberg, Heidelberg,DD

50 Mappa delle sogenti sismiche di forti terremoti

51 Modelli matematici La forma della Terra cambia a causa di: fenomeni periodici, fenomeni irreversibili, Rispetto ai fenomeni periodici si può definire una posizione media; considerando però i fenomeni irreversibili si può affermare che, in generale, qualunque punto del pianeta occupa una certa posizione solo per un istante infinitesimo.

52 Modelli matematici

53 Modelli per il sistema terra Moti della massa costituente il pianeta: fenomeni periodici Maree oceaniche: oscillazioni della distribuzione delle acque per l attrazione gravitazionale di Sole e Luna; da pochi decimetri a diversi metri. Maree terrestri: oscillazioni della distribuzione delle masse solide per l attrazione gravitazionale di Sole e Luna; alcuni decimetri. Carico oceanico: deformazioni della crosta terrestre (in prossimità delle coste), dovute alle maree oceaniche: alcuni centimetri. Periodi fondamentali dei precedenti fenomeni: sottomultipli dei periodi di orbita apparente di Sole e Luna rispetto alla Terra: 12 ore, 24 ore, 28 giorni, 365 giorni.

54 Modelli matematici 54

55 Argomenti di discussione Esiste un modello globale del sistema terra? Esistono modelli efficaci dei suoi sottosistemi? Una volta costruito un modello di un sottosistema fino a che punto esso è affidabile? Su questo modello matematico posso fare ipotesi ed esperimenti?

56 Bibliografia e sitografia