Moduli finitamente generati su domini a ideali principali

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1 Moduli finitamente generati su domini a ideali principali Versione del 2 dicembre Moduli noetheriani Una delle proprietà fondamentali degli spazi vettoriali a coefficienti in un campo consiste nel fatto che i sottospazi di uno spazio vettoriale finitamente generato sono a loro volta finitamente generati Questa proprietà non si estende a R-moduli qualunque: Esempio 1 Sia R := K[x 1, x 2, ] l anello dei polinomi a coefficienti in un campo K nelle infinite indeterminate x 1, x 2, Ogni polinomio f di R coinvolge un numero finito di indeterminate L R-modulo destro R R è generato da 1 ma il sottomodulo N formato dai polinomi il cui termine noto è nullo non è finitamente generato Supponiamo per assurdo che f 1, f 2,, f r generino N Poiché sono finiti coinvolgono complessivamente solo un numero finito di indeterminate: sia allora x j un indeterminata che non appare in nessuno degli f i Poiché x j è anche un polinomio con termine noto nullo, appartiene a N e, dunque, dovrebbero esistere p 1, p 2,, p r in R tali che x j = f 1 p 1 + f 2 p f r p r Nella combinazione lineare a secondo membro otteniamo termini di grado 1 solo quando moltiplichiamo un termine di grado 1 in f i per un termine di grado 0 in p i Ma allora le incognite che appaiono nei termini di primo grado sono solo quelle che appaiono nei termini di primo grado in qualcuno degli f i : in particolare x j non può apparire Risulta di particolare interesse studiare allora i moduli i cui sottomoduli sono tutti finitamente generati Cominciamo con la caratterizzazione: Proposizione 2 Sia M un R-modulo Le seguenti condizioni sono equivalenti: i) ogni sottomodulo di M è finitamente generato; ii) ogni successione ascendente di sottomoduli M 1 M 2 M i di M si stabilizza, cioè esiste un intero k tale che M k = M k+1 = M k+2 = (questa condizione è detta condizione catenaria ascendente); iii) ogni famiglia non vuota F di sottomoduli di M ammette un elemento massimale, vale a dire un sottomodulo della famiglia F che non è contenuto strettamente in nessun altro sottomodulo della famiglia F 1

2 Dimostrazione Supponiamo che valga la condizione i) e proviamo che vale la condizione ii) Sia allora M 1 M 2 M i una successione ascendente di sottomoduli di M L unione insiemistica N degli M i è un sottomodulo di N Se infatti x e y sono due elementi di N e k è un elemento di R, allora esistono i 1 e i 2 tali che x M i1 e y M i2 Detto i il massimo tra i 1 e i 2 abbiamo allora che x e y appartengono a M i : pertanto x + y e xk appartengono a M i e, di conseguenza, a N Poiché vale la proprietà i), il sottomodulo N è finitamente generato, diciamo dagli elementi x 1, x 2,, x t Esistono allora j 1, j 2,, j t tali che x 1 M j1, x 2 M j2,, x t M jt Detto j il massimo tra questi interi abbiamo allora che x 1, x 2,, x t sono contenuti in M j e, di conseguenza N M j : ma allora N = M j = M j+1 = Supponiamo ora che valga la condizione ii) e proviamo che vale la condizione iii) Sia allora F una famiglia non vuota di sottomoduli di M Scegliamo un sottomodulo M 1 nella famiglia F: se M 1 è massimale in F abbiamo finito, altrimenti esiste un sottomodulo M 2 in F contenente strettamente M 1 ; se M 2 è massimale in F abbiamo finito, altrimenti esiste un sottomodulo M 3 in F contenente strettamente M 2 Se questo processo non avesse termine otterremmo una catena strettamente ascendente di sottomoduli M 1 M 2 M i appartenenti alla famiglia F: poiché vale la proprietà ii) ciò non è possibile, e, dunque, esiste un elemento massimale di F Infine, supponiamo che valga la condizione iii) e proviamo che vale la condizione i) Sia allora N un sottomodulo di M Consideriamo la famiglia F dei sottomoduli di M che sono contenuti in N e sono finitamente generati La famiglia F è non vuota: il sottomodulo banale {0} appartiene a F Per la condizione iii), la famiglia F ammette un elemento massimale L Questo è finitamente generato, diciamo dagli elementi y 1, y 2,, y t Mostriamo che in realtà L = N e abbiamo così che N è finitamente generato Sia y un qualsiasi elemento di N: il sottomodulo K generato dagli elementi y 1, y 2,, y t e y è finitamente generato, contenuto in N e contenente L In altri termini K è un elemento di F contenente L: per la massimalità di L in F ciò significa che L = K In particolare y L: poiché ciò vale per ogni y N abbiamo che N L e, dunque, N = L, come richiesto Definizione 3 Un modulo che soddisfa una delle condizioni (e quindi tutte) della Proposizione 2 è detto noetheriano 1 Osservazione 4 Se R è un dominio a ideali principali, allora gli R-sottomoduli di R R non sono altro che gli ideali di R: questi sono tutti generati da un elemento (sia come ideali che come sottomoduli) e, pertanto, R R è un modulo noetheriano Proposizione 5 Sia M un modulo e N un suo sottomodulo Allora M è noetheriano se e solo se N e M/N sono noetheriani Dimostrazione Sia M noetheriano Ogni sottomodulo di N è anche sottomodulo di M ed è dunque finitamente generato: pertanto N è noetheriano I sottomoduli di M/N sono del tipo L/N con L sottomodulo di M contenente N: poiché L è finitamente generato, diciamo da x 1, x 2,, x t, il quoziente L/N è generato da x 1 + N, x 2 + N,, x t + N Pertanto M/N è noetheriano 1 Emmy Noether

3 Viceversa siano N e M/N noetheriani: dobbiamo mostrare che ogni successione ascendente M 1 M 2 M i di sottomoduli di M si stabilizza Le successioni ascendenti M 1 N M 2 N M i N e M 1+N N M2+N N Mi+N N di sottomoduli di N e M/N rispettivamente si stabilizzano: esiste quindi k tale che M k N = M k+1 N = M k+2 N = e M k+n N = M k+1+n N = M k+2+n N = Sia allora x M k+i con i > 0: poiché M k +N N = M k+i+n N abbiamo che x = x + y con x M k e y N Ma allora y = x x M k+i N = M k N, da cui segue che x = x + y M k Per l arbitrarietà di x in M k+i otteniamo che M k+i M k e, quindi, M k+i = M k Corollario 6 Se M e N sono moduli noetheriani, allora M N è un modulo noetheriano Dimostrazione Basta applicare la proposizione precedente al modulo M N, osservando che M e M N M N sono noetheriani Abbiamo già osservato che i sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale finitamente generato sono finitamente generati Ciò può essere riespresso dicendo che se K è un campo, allora ogni K-modulo finitamente generato è noetheriano Esistono altri anelli per cui si può dare una proprietà simile: ad esempio i domini a ideali principali Corollario 7 Se R è un dominio a ideali principali e M è un R-modulo finitamente generato, allora M è noetheriano Dimostrazione Sappiamo che R pensato come R-modulo su sé stesso è noetheriano (Osservazione 4) Pertanto il modulo libero R n è noetheriano per ogni n (Corollario 6) Un R-modulo generato da un numero finito n di elementi è immagine (e, quindi, quoziente) di R n ed è, pertanto, noetheriano (Proposizione 5) 2 Annullatori e torsione Se x è un elemento di un R-modulo M (con R anello qualunque) e a è un elemento di R, il prodotto xa si annulla nel caso in cui x = 0 o a = 0 (il simbolo 0 indica nel primo caso lo zero del modulo mentre nel secondo caso indica lo zero dell anello) Se R è un campo, cioè M è uno spazio vettoriale, queste sono le uniche possibilità per cui xa = 0 In generale, però il prodotto xa si può annullare anche senza che né x né a si annullino Ad esempio, prendiamo l anello Z/6 delle classi di resto modulo 6 e consideriamolo come modulo destro su sé stesso: abbiamo allora (2)(3) = (0) (dove pensiamo (2) come elemento del modulo e (3) come elemento dell anello) Questo suggerisce la Definizione 8 Dato un elemento x di un R-modulo M, l annullatore di x è il sottoinsieme Ann(x) di R formato dagli elementi a tali che xa = 0 Proposizione 9 L annullatore di un elemento x di un modulo è un ideale destro di R 3

4 Dimostrazione Ovviamente Ann(x) è non vuoto perché contiene 0 Se a e b sono elementi di Ann(x), cioè xa = xb = 0, allora x(a+b) = xa+xb = 0+0 = 0, cioè a + b Ann(x) Infine, se a appartiene a Ann(x) e r è un elemento di R allora x(ar) = (xa)r = 0r = 0, cioè ar Ann(x) Fissato un elemento x di un modulo M, è immediato verificare che la mappa da R R in M definita da a xa è un omomorfismo di R-moduli L immagine di questa mappa è il sottomodulo ciclico xr generato da x e il suo nucleo è esattamente l annullatore di x (tra l altro questo fornisce un altra prova del fatto che Ann(x) è un sottomodulo di R R, cioè un ideale destro di R) Pertanto xr R R / Ann(x) (in particolare xr R R se Ann(x) = 0) Possiamo estendere la definizione di annullatore a un sottoinsieme S di un modulo M: più precisamente l annullatore Ann(S) di S è formato dagli elementi a di R tali che xa = 0 per ogni x di S: in altri termini l annullatore di S è l intersezione degli annullatori degli elementi di S ed è, dunque, anch esso un ideale destro di R Nel caso in cui l anello dei coefficienti sia un dominio, possiamo dare la Definizione 10 Se M è un modulo su un dominio di integrità R, un elemento x M si dice di torsione se esiste un elemento non nullo a in R tale che xa = 0: in altri termini un elemento x è di torsione se il suo annullatore Ann(x) è non banale Il modulo M è detto di torsione se ogni suo elemento è di torsione Proposizione 11 Sia M un modulo su un dominio di integrità R Allora il sottoinsieme Tor(M) formato dagli elementi di torsione di M è un sottomodulo detto sottomodulo di torsione Dimostrazione Chiaramente Tor(M) perché 0 è di torsione Se x e y sono elementi di Tor(M) allora in R esistono a e b non nulli tali che xa = 0 e yb = 0 Dunque (x + y)(ab) = xab + yab = xab + yba = 0, cioè x + y Tor(M), poiché ab 0 essendo R un dominio Inoltre per ogni k R si ha (xk)a = (xa)k = 0, cioè xk Tor(M) Possiamo allora dire che un modulo M è di torsione se e solo se Tor(M) = M Nella proposizione precedente l ipotesi che R sia un dominio (cioè un anello commutativo intero) non può essere tralasciata (vedi Esercizio 4) Per questo motivo, anche se di per sé si potrebbe dare la definizione di elemento di torsione per un R-modulo con R anello qualunque, abbiamo preferito limitare questa definizione al solo caso in cui R sia un dominio Se M è un R-modulo su un dominio R e Ann(M) 0, chiaramente M è un modulo di torsione Il viceversa in generale non è vero (vedi Esercizio 6), tuttavia vale per moduli finitamente generati: Proposizione 12 Sia M un modulo su un dominio di integrità R Se M è generato dagli elementi x 1, x 2,, x r allora Ann(M) = r i=1 Ann(x i) Inoltre M è di torsione se e solo se ogni x i è di torsione: in tal caso Ann(M) 0 Dimostrazione Poiché, per definizione, Ann(M) è l intersezione degli annullatori degli elementi di M, abbiamo che Ann(M) r i=1 Ann(x i) Per mostrare l inclusione opposta sia a r i=1 Ann(x i): dunque x i a = 0 per ogni i Se x è 4

5 un elemento di M, si può scrivere x = x 1 h x r h r per qualche h 1,, h r in R Ma allora xa = (x 1 h x r h r )a = x 1 h 1 a + + x r h r a = x 1 ah x r ah r = = 0, cioè a Ann(x) per ogni x M, vale a dire a Ann(M) Abbiamo dunque r i=1 Ann(x i) Ann(M) Per provare la seconda parte osserviamo che se M è di torsione allora chiaramente ogni x i è di torsione Viceversa, se ogni x i è di torsione allora, preso per ciascun i un elemento a i non nullo in Ann(x i ), si ha che a 1 a 2 a r è un elemento non nullo in r i=1 Ann(x i) = Ann(M) e, quindi Ann(M) 0 e M è di torsione Definizione 13 Un modulo M su un dominio di integrità R si dice privo di torsione se Tor(M) = 0, vale a dire se tutti gli elementi non nulli hanno annullatore banale Osservazione 14 Un R-modulo libero (di rango finito o infinito) è privo di torsione Proposizione 15 Se M è un modulo su un dominio di integrità R allora il modulo quoziente M/ Tor(M) è privo di torsione Dimostrazione Sia x+tor(m) un elemento di torsione di M/ Tor(M): dunque esiste a in R non nullo tale che (x + Tor(M))a = Tor(M), cioè xa Tor(M) Ma allora esiste b in R non nullo tale che (xa)b = 0 e, quindi, x(ab) = 0 Poiché R è un dominio, si ha ab 0 e, di conseguenza, x Tor(M), cioè x + Tor(M) = Tor(M) 3 Moduli liberi Proposizione 16 Sia L un sottomodulo di un R-modulo M tale che il quoziente M/L sia libero di rango finito 2 Esiste allora un sottomodulo N di M tale che M = N L Inoltre N è isomorfo a M/L Dimostrazione Sia y 1 + L,, y n + L una base di M/L Sia N il sottomodulo di M generato da y 1,, y n Mostriamo innanzitutto che M = N + L: se x è un qualsiasi elemento di M, il laterale x+l si può esprimere come combinazione lineare degli elementi y 1 +L,, y n +L, cioè x+l = (y 1 +L)a 1 + +(y n +L)a n per opportuni a 1,, a n in R, vale a dire x+l = y 1 a 1 + +y n a n +L Ma allora x = y 1 a 1 + +y n a n +z per qualche z L: dunque x è somma di un elemento di N (cioè y 1 a y n a n ) e uno di L, come richiesto Per provare che N L = 0 mostriamo che un elemento qualsiasi w di N L è nullo Poiché w N possiamo scrivere w = y 1 b y n b n per opportuni b 1,, b n in R Poiché w L abbiamo allora che w+l = (y 1 +L)b 1 + +(y n +L)b n 2 In realtà l ipotesi che il rango sia finito non è necessaria, ma in questo modo la dimostrazione è un po più esplicita 5

6 è l elemento nullo di M/L Ma y 1 + L,, y n + L formano una base del modulo libero M/L e quindi b i = 0 per ogni i da cui segue w = 0, come richiesto Poiché M = N L si ha ovviamente M/L N Teorema 17 Se M è un R-modulo finitamente generato e privo di torsione con R dominio a ideali principali allora M è un modulo libero Dimostrazione Procediamo per induzione sul numero di generatori r di M Se r = 0 il risultato è banale Sia allora r > 0 e siano x 1, x 2,, x r generatori di M Possiamo supporre che x r 0, altrimenti M può essere generato da x 1, x 2,, x r 1 e per induzione abbiamo finito Consideriamo la famiglia di sottomoduli ciclici di M contenenti x r : questa è non vuota perché contiene almeno x r R Dal momento che M è noetheriano per il Corollario 7, questa famiglia ammette un elemento massimale xr (ovviamente x 0 perché x r 0) Il modulo ciclico xr è isomorfo a R R / Ann(x): poiché M è privo di torsione Ann(x) = 0 e xr è isomorfo a R R ed è, quindi, libero di rango 1 Se mostriamo che M/xR è libero abbiamo finito perché allora, per la Proposizione 16, il modulo M è somma diretta di xr, che è libero, e di un modulo isomorfo a M/xR anch esso libero Mostriamo dunque che M/xR è libero Poiché x r xr, il quoziente M/xR è generato dagli r 1 elementi x 1 + xr, x 2 + xr,, x r 1 + xr: per ipotesi induttiva è sufficiente allora mostrare che M/xR è privo di torsione Se dunque t + xr è un elemento di torsione di M/xR, allora esiste un elemento non nullo h di R tale che (t + xr)h = xr In altri termini th xr, cioè esiste k R tale che th = xk Per concludere dobbiamo mostrare che t xr Sia d il massimo comun divisore tra h e k (poiché h 0 anche d 0) Allora esistono h e k in R tali che h = h d e k = k d Otteniamo così th d = xk d, vale a dire (th xk )d = 0 Poiché M è privo di torsione e d 0 otteniamo th xk = 0 cioè th = xk Il massimo comun divisore di h e k è 1, quindi esistono α e β in R tali che αh + βk = 1 Abbiamo allora x = x(αh + βk ) = xαh + xβk = xαh + th β = (xα + tβ)h Pertanto x appartiene al sottomodulo ciclico generato da w := xα + tβ, cioè xr wr Per la massimalità di xr tra i sottomoduli ciclici, ciò significa che xr e wr coincidono In particolare esiste l tale che w = xl Ma allora x = wh = xlh, da cui ricaviamo x(1 lh ) = 0 Poiché x 0 e M è privo di torsione otteniamo che 1 lh = 0, cioè lh = 1 Poiché th = xk otteniamo allora t = tlh = xk l cioè t xr come richiesto Corollario 18 Se M è un modulo finitamente generato su un dominio a ideali principali R, allora M ha un sottomodulo libero N tale che M = N Tor(M) Il sottomodulo N non è univocamente determinato ma il suo rango sì (ed è precisamente il rango di M/ Tor(M)) Dimostrazione Il modulo quoziente M/ Tor(M) è finitamente generato e privo di torsione (Proposizione 15): per il Teorema 17 il quoziente M/ Tor(M) è libero La tesi ora segue dalla Proposizione 16 4 Moduli ciclici su domini a ideali principali Uno Z-modulo non è altro che un gruppo abeliano scritto in notazione additiva: in questo caso l annullatore di un elemento x è l insieme degli interi n 6

7 tali che xn = 0 (o, con una scrittura più abituale, nx = 0) Nel caso in cui x abbia periodo infinito, l annullatore contiene allora solo 0, mentre se il periodo di x è un intero positivo d allora l annullatore di x è l ideale (d) Ciò suggerisce di estendere la terminologia e i risultati sui gruppi abeliani (e ciclici in particolare) ai moduli su domini a ideali principali Ovviamente sarà necessario qualche aggiustamento In questa sezione consideriamo allora moduli su un dominio a ideali principali R Due elementi di R generano lo stesso ideale principale se e solo se sono associati In particolare, dato un elemento x di un R-modulo, l ideale Ann(x) è generato da un elemento d o da un qualsiasi elemento a esso associato: anche se d non è, in genere, univocamente determinato diremo, con un abuso di linguaggio, che d è l ordine 3 dell elemento x Il modulo ciclico generato da x è isomorfo al quoziente R R / Ann(x): abbiamo dunque xr R R /dr e, per alleggerire la notazione, scriveremo semplicemente xr R/dR Consideriamo ora un elemento del sottomodulo ciclico xr generato da x: questo può scriversi come xr per qualche r in R e, dunque, (xr)d = x(rd) = x(dr) = (xd)r = 0r = 0 Ma allora Ann(xr) contiene d e, se Ann(xr) è generato da un elemento e, abbiamo che e divide d Riassumendo Proposizione 19 Se x è un elemento di ordine d, gli elementi del modulo ciclico generato da x hanno ordine che divide d In particolare se x e y sono elementi che generano lo stesso modulo ciclico, allora l ordine di x e l ordine di y si dividono reciprocamente: usando la convenzione che abbiamo posto di non distinguere tra elementi associati quando parliamo di ordine di un elemento, gli elementi x e y hanno lo stesso ordine Ha allora senso dire che un modulo ciclico M ha ordine d se d è l ordine di un qualsiasi elemento che genera M Sottolineiamo che, in questa accezione, l ordine non è (in generale) un numero e non va quindi interpretato come il numero degli elementi del modulo Notiamo in particolare che dire che un modulo ha ordine 0 significa che è generato da un elemento il cui annullatore è banale e, pertanto, il modulo è isomorfo a R R : dunque Z pensato come Z-modulo su sé stesso ha, in questa terminologia, ordine 0 Proposizione 20 Due moduli ciclici sono isomorfi se e solo se hanno lo stesso ordine Dimostrazione Se M e N sono isomorfi è facile vedere che hanno lo stesso ordine (Esercizio 7) Viceversa, se un elemento x di un R-modulo ha ordine d, allora il modulo ciclico generato da x è isomorfo a R/dR: in particolare moduli ciclici generati da elementi con lo stesso ordine sono isomorfi tra loro Osservazione 21 Sia M = M 1 M r una somma diretta di moduli e sia x := (x 1,, x r ) un elemento di M L ordine di M è il minimo comune multiplo degli ordini degli elementi x i In particolare x è di torsione se e solo se tutti gli x i sono di torsione Proposizione 22 Ogni sottomodulo di un modulo ciclico è ciclico 3 Più correttamente dovremmo dire che Ann(x) è l ideale ordine di x 7

8 Dimostrazione Un modulo ciclico è isomorfo a un quoziente R/dR dove d è l ordine del modulo I sottomoduli di R/dR sono del tipo N/dR dove N è un sottomodulo di R R contenente dr, ovvero un ideale di R contenente dr: ma allora N è generato come ideale (e, quindi, come modulo) da un singolo elemento x Pertanto il quoziente N/dR è generato dal laterale x + dr Ricordiamo che i sottogruppi non banali di un gruppo ciclico infinito sono anch essi infiniti Diamo il corrispondente risultato per i moduli: Proposizione 23 Sia M un modulo ciclico di ordine 0 Allora ogni elemento non nullo di M ha ordine 0 Dimostrazione Sia x un generatore di M e sia y un elemento non nullo di M: dunque y = xa per qualche elemento non nullo a di R Se b Ann(y), abbiamo 0 = (xa)b = x(ab), cioè ab Ann(x) Dal momento che x ha ordine 0 abbiamo che ab = 0 ed essendo a 0 otteniamo b = 0: quindi y ha ordine 0 Proposizione 24 Sia M un modulo ciclico generato da un elemento x di ordine d con d 0 Se y = xr con r R, allora y ha ordine f dove f è l elemento di D tale che d = MCD(d, r) f Dimostrazione Dato a R si ha ya = (xr)a = x(ra), dunque a Ann(y) se e solo se ra Ann(x) Sia ora e := MCD(d, r) e siano dunque d = ef e r = es con f e s elementi opportuni di R L elemento ra appartiene a Ann(x) se e solo se è multiplo di d, cioè se e solo se ra = dk per qualche k in R La condizione ra = dk si riscrive come esa = efk che, essendo e 0 (altrimenti d = ef = 0), è equivalente a sa = fk: poiché s e f sono coprimi, ciò avviene se e solo se a è multiplo di f Abbiamo dunque mostrato che l annullatore di y è formato da tutti e soli i multipli di f che è, dunque, l ordine di y Usando le ipotesi e la notazione della proposizione precedente notiamo che se f è un divisore di d, cioè se esiste e tale che d = ef, allora xe ha ordine f e, dunque, per ogni divisore f di d esiste almeno un sottomodulo di M di ordine f Mostriamo ora, in analogia a quanto avviene per i gruppi ciclici finiti, che tale sottomodulo è unico Proposizione 25 Sia M un modulo ciclico di ordine d con d 0 Due elementi y e z di M hanno lo stesso ordine se e solo se generano lo stesso sottomodulo In particolare per ogni divisore f di d esiste esattamente un sottomodulo N di M di ordine f e il quoziente M/N ha ordine e dove e è tale che ef = d Dimostrazione Abbiamo già osservato che due elementi che generano lo stesso modulo hanno lo stesso ordine Viceversa, supponiamo che y e z abbiano lo stesso ordine f Sia allora x un generatore di M e siano r e s in R tali che y = xr e z = xs Per la Proposizione 24 abbiamo MCD(d, r) = MCD(d, s) = e Poiché e divide r, l elemento y è un multiplo di w := xe Poiché R è un dominio a ideali principali, esistono a e b in R tali che da + rb = e: dunque w = xe = x(da + rb) = xda + xrb = 0a + yb = yb Pertanto w è multiplo di y Riassumendo, y e w sono l uno multiplo dell altro e dunque generano lo stesso sottomodulo In maniera analoga si prova che z e w generano lo stesso sottomodulo e, di conseguenza, il sottomodulo generato da y e il sottomodulo generato da z coincidono 8

9 Consideriamo ora il quoziente M/N: esso è generato dal laterale x + N Dato a R si ha che (x + N)a = 0, se e solo se xa N: poiché N è generato da xe, per mostrare che x + N ha ordine e dobbiamo provare che xa N se e solo se a è multiplo di e Se a è multiplo di e allora xa è multiplo di xe e, quindi, appartiene a N Viceversa, se xa appartiene a N allora esiste t R tale che xa = (xe)t, cioè x(a et) = 0 Poiché x ha ordine d = ef abbiamo che a et è multiplo di d e, quindi, di e e, di conseguenza, anche a = (a et) + et è multiplo di e Consideriamo ora la somma diretta di moduli ciclici Cominciamo con la Proposizione 26 Siano M e N due moduli ciclici di ordine rispettivamente d ed e entrambi diversi da 1 (cioè M e N sono entrambi non banali) Il modulo M N è ciclico se e solo se d ed e sono entrambi non nulli e coprimi: in tal caso M N ha ordine de Dimostrazione Siano x un generatore di M e y un generatore di N Supponiamo che d ed e siano entrambi non nulli e coprimi e mostriamo che M N è generato da z := (x, y) e che z ha ordine de Poiché il massimo comun divisore tra d ed e è 1, esistono u e v in R tali che 1 = du + ev Ora zdu = (xdu, ydu) = (0, y(1 ev)) = (0, y yev) = (0, y): pertanto (0, y) appartiene al sottomodulo generato da z Analogamente (x, 0) appartiene al sottomodulo generato da z Poiché M N è generato da (x, 0) e (0, y), il sottomodulo generato da z coincide con M N Per l Osservazione 21 l ordine di z è de Viceversa, supponiamo che M N sia ciclico, generato da un suo elemento w In particolare esistono a e b in R tali che (x, 0) = wa e (0, y) = wb: si noti che a e b sono non nulli perché x 0 e y 0 Ora (wa)b = (x, 0)b = (xb, 0) e (wb)a = (0, y)a = (0, ya): d altra parte (wa)b = w(ab) = w(ba) = (wb)a e, pertanto (xb, 0) = (0, ya) Ma allora xb = 0 e ya = 0: dunque sia x che y hanno annullatore non nullo Supponiamo per assurdo che d ed e non siano coprimi e sia f un divisore comune non invertibile di d ed e Il sottomodulo M generato da (x, 0) ha ordine d, e, quindi, contiene un sottomodulo di ordine f; analogamente il sottomodulo Ñ generato da (0, y) ha ordine e e, quindi, contiene un sottomodulo di ordine f: poiché M Ñ = 0, questi due sottomoduli di ordine f sono distinti, contro la Proposizione 25 5 Moduli p-primari In teoria dei gruppi si usano i termini di p-elemento e di p-gruppo per indicare, rispettivamente, un elemento il cui periodo è una potenza di un dato numero primo p e un gruppo in cui ogni elemento è un p-elemento Queste nozioni possono essere trasportate ai moduli su domini a ideali principali Definizione 27 Dato un modulo M su un dominio a ideali principali R e un elemento irriducibile p di R, un elemento x di M si dice p-elemento se x ha ordine p i per qualche i 0 Se ogni elemento di M è un p-elemento, diciamo che M è un modulo p-primario Un modulo primario è un modulo p-primario per qualche irriducibile p 9

10 Nella precedente definizione possiamo rimpiazzare all elemento irriducibile p un qualunque elemento p a esso associato (in altri termini, un elemento è un p-elemento se e solo se è un p -elemento) Se invece p e q sono irriducibili non associati, non ci sono elementi che sono a un tempo p-elementi e q-elementi, a parte lo zero di M Osserviamo altresì che per verificare che un elemento x è un p-elemento, è sufficiente verificare che xp i = 0 per qualche intero i: infatti in tal caso l ordine di x è un divisore di p i e i divisori di p i sono (associati a) potenze di p Nel resto di questa sezione siano allora fissati un dominio a ideali principali R e un suo elemento irriducibile p Proposizione 28 L anello quoziente R/pR è un campo Dimostrazione Poiché R/pR è un anello commutativo è sufficiente mostrare che non ha ideali propri Un ideale di R/pR è della forma I/pR dove I è un ideale contenente pr Se d genera I allora d divide p, quindi o d è invertibile, nel qual caso I = R e I/pR = R/pR, o d è associato a p, nel qual caso I = dr = pr e I/pR = 0 Proposizione 29 Il sottoinsieme M p formato dai p-elementi di un R-modulo M è un sottomodulo di M contenuto in Tor(M) ed è il più grande sottomodulo p-primario di M detto componente p-primaria di M Dimostrazione Poiché 0 M p si ha M p Siano x e y due elementi di M p di ordini p i e p j rispettivamente Detto allora l = max(i, j) abbiamo (x + y)p l = xp l + yp l = xp i p l i + yp j p l j = 0p l i + 0p l j = 0; inoltre per ogni k in R si ha (xk)p i = (xp i )k = 0k = 0; dunque x + y e xk appartengono a M p, cioè M p è un sottomodulo Poiché M p è formato esattamente da tutti i p-elementi di M, è il più grande sottomodulo p-primario di M Questo risultato, applicato al caso dei gruppi abeliani, ci dice che l insieme dei p-elementi è un sottogruppo Ciò non è però in generale vero per gruppi non abeliani: ad esempio gli scambi (12) e (23) nel gruppo simmetrico su 3 lettere sono 2-elementi (hanno periodo 2) mentre il loro prodotto (12)(23) = (132) non è un 2-elemento (ha periodo 3) Definizione 30 Lo zoccolo Soc(M) di un R-modulo p-primario M è il sottoinsieme di M formato dagli elementi x tali che xp = 0 Proposizione 31 Lo zoccolo di un modulo p-primario M è un sottomodulo di M che può essere visto come R/pR-spazio vettoriale Dimostrazione Chiaramente 0 appartiene a Soc(M) che è, dunque non vuoto Se x e y appartengono a Soc(M) e r R allora (x + y)p = xp + yp = e (xr)p = x(rp) = x(pr) = (xp)r = 0r = 0, cioè x + y e xr appartengono a Soc(M) che è, dunque, un sottomodulo di M Se x appartiene a Soc(M) e pr + r è un elemento di R/pR, poniamo x(pr + r) := xr Questa moltiplicazione è ben definita: se infatti r è un elemento di R tale che pr + r = pr + r, cioè r = ps + r per qualche s in R, allora xr = x(ps + r) = xps + xr = 0 + xr = xr È immediato poi mostrare che con questa moltiplicazione Soc(M) risulta essere un R/pR-spazio vettoriale 10

11 Gli elementi dello zoccolo hanno periodo che divide p, dunque 1 o p Nel caso in cui M sia un modulo ciclico di ordine p α (con α > 0), lo zoccolo di M è un sottomodulo ciclico di ordine p, che come R/pR-spazio vettoriale ha dimensione 1; inoltre M/ Soc(M) è un modulo ciclico di ordine p α 1 (vedi Proposizione 25) Lemma 32 Sia M := M 1 M r un R-modulo (con R anello qualunque) e siano N 1,, N r sottomoduli di M 1,, M r rispettivamente Posto allora N := N 1 N r si ha M/N M 1 /N 1 M r /N r Dimostrazione Sia φ la mappa che manda l elemento (x 1,, x r ) di M nell elemento (N 1 + x 1,, N r + x r ) di M 1 /N 1 M r /N r È immediato verificare che φ è un omomorfismo suriettivo di moduli Per i teoremi di isomorfismo basta allora mostrare che ker φ = N: un elemento (x 1,, x r ) appartiene a ker φ se e solo se N i + x i = N i per ogni i, cioè x i N i per ogni i, vale a dire se e solo se (x 1,, x r ) appartiene a ker φ come richiesto Corollario 33 Sia M := R p α 1 R R pαr R somma diretta di R-moduli ciclici p-primari (con ciascun α j > 0) Posto M 1 := M e M i := M i 1 / Soc(M i 1 ) per i > 1, la dimensione di Soc(M i ) come R/pR-spazio vettoriale è uguale al numero degli α j tali che α j i In particolare Soc(M) ha dimensione r Dimostrazione Sia x := (x 1,, x r ) un elemento di M Dal momento che xp = (x 1 p,, x r p), si ha che x Soc(M) se e solo se x j Soc (R/p αj R) per ogni j: dunque Soc(M) = Soc (R/p α1 R) Soc (R/p αr R) Abbiamo già osservato che lo zoccolo di un modulo ciclico non banale è un R/pR-spazio vettoriale di dimensione 1: dunque lo zoccolo di M, essendo somma diretta di r spazi vettoriali di dimensione 1, ha dimensione r Inoltre il quoziente di un modulo ciclico di ordine p α sul proprio zoccolo ha ordine p α 1 : dal Lemma 32 R R p αr 1 R segue quindi che M 2 = M/ Soc(M) p α 1 1 R Il numero di addendi non banali in questa decomposizione è uguale al numero degli α j maggiori di 1: ripetendo il ragionamento precedente questo numero è uguale alla dimensione di Soc(M 2 ) Iterando il procedimento e notando che a ogni passo l ordine di ciascun addendo diretto viene diviso per p otteniamo la tesi Il corollario precedente ci dice che se un modulo primario M può essere decomposto come somma diretta di un numero finito di moduli ciclici (vedremo che ogni modulo primario finitamente generato ha questa proprietà) è possibile ottenere gli ordini di questi addendi calcolando le dimensioni degli zoccoli dei quozienti successivi M i : più precisamente il numero di addendi di ordine p i è uguale a dim Soc(M i ) dim Soc(M i+1 ) Esempio 34 Sia M un modulo p-primario somma diretta di moduli ciclici Supponiamo che dim Soc(M 1 ) = 5, dim Soc(M 2 ) = dim Soc(M 3 ) = dim Soc(M 4 ) = 4, dim Soc(M 5 ) = dim Soc(M 6 ) = 2 e dim Soc(M 7 ) = 0 Nella decomposizione di M abbiamo 5 addendi: 5 4 = 1 di ordine p, 4 2 = 2 di ordine p 4 e 2 0 = 2 di ordine p 6 Lemma 35 Sia M un R-modulo p-primario con Ann(M) = (p r ) 0 e sia N un sottomodulo ciclico di ordine p r Se y è un elemento di M esiste un elemento y tale che y + N = y + N e Ann(y ) = Ann(y + N) (cioè l ordine di y in M e l ordine di y + N in M/N coincidono) 11

12 Dimostrazione Sia p h l ordine di y e p l l ordine di y + xr Chiaramente r h l Per la Proposizione 25 in N esiste un elemento x di ordine p h Dunque yp l e xp l sono due elementi di N aventi lo stesso ordine p h l Sempre per la Proposizione 25 essi generano lo stesso sottomodulo di N: pertanto esiste un elemento a di R tale che xp l a = yp l Consideriamo ora l elemento y := y xa Chiaramente y +N = y+n e Ann(y ) Ann(y +N) = Ann(y+N) = (p l ) Per completare la dimostrazione basta provare che y p l = 0: ma y p l = (y xa)p l = yp l xap l = 0 Teorema 36 Un R-modulo p-primario M finitamente generato può essere espresso come somma diretta di un numero finito di moduli ciclici p-primari: M R p α 1 R R p αr R (con ciascun α i > 0) Gli addendi in questa decomposizione non sono univocamente determinati ma i loro ordini sì (a meno ovviamente dell ordinamento) Dimostrazione Dimostriamo prima che M è somma diretta di un numero finito di moduli ciclici p-primari Procediamo per induzione sul numero t di generatori di M Il caso t = 1 è banale, perché M è esso stesso ciclico Sia allora t > 1 e siano x 1,, x t generatori di M di ordini rispettivi p γ1,, p γt Pur di riordinare i generatori, possiamo supporre che γ t γ i per ogni i Grazie alla Proposizione 12, l annullatore di M coincide con p γt R Posto N := x t R, il quoziente M/N è generato da x 1 + N,, x t 1 + N, e per ipotesi induttiva è somma diretta di moduli ciclici, di generatori y 1 + N,, y v + N Grazie al Lemma 35, pur di rimpiazzare gli y i se necessario, possiamo supporre che Ann(y i ) = Ann(y i + N) Mostriamo che M è somma dei sottomoduli ciclici generati da y 1,, y v, x r Sia x un elemento di M: allora x+n = (y 1 +N)h 1 + +(y v +N)h v per opportuni h 1,, h v in R, cioè x = y 1 h 1 + +y v h v +z con z in N Ma N = x t R, dunque x appartiene a y 1 R + + y v R + x t R: per l arbitrarietà di x la somma di questi sottomoduli ciclici coincide con M Proviamo che la somma è diretta: presi k 1,, k v e k elementi di R tali che y 1 k 1 + +y v k v +x t k = 0, dobbiamo mostrare che y 1 k 1 = = y s k s = x t k = 0 Ora y 1 k y v k v = x t k N: poiché M/N è somma diretta dei moduli ciclici generati dai laterali y 1 + N,, y v + N abbiamo che y i k i N per ogni i Ma, poiché Ann(y i ) = Ann(y i + N) otteniamo che y i k i = 0 per ogni i Di conseguenza anche x t k = y 1 k 1 y v k v = 0 L unicità del numero degli addendi e dei loro ordini in differenti decomposizioni segue immediatamente dal Corollario 33 e dalle osservazioni successive 6 Classificazione dei moduli finitamente generati Teorema 37 Sia M un modulo di torsione finitamente generato su un dominio a ideali principali R Sia d = p α1 1 pαr r un generatore dell annullatore di M scritto come prodotto di potenze di irriducibili p 1,, p r a due a due non associati (per la Proposizione 12 sappiamo che d 0) Allora M = M p1 M pr e, se p è un irriducibile di R non associato ad alcuno dei p i si ha M p = 0 Dimostrazione Proviamo innanzitutto che la somma M p1 + + M pr sia x 1 + x x r = 0 è diretta: 12

13 con x j M pj per ogni j e sia p ij j l ordine di x j Mostriamo che x 1 = 0 (in modo analogo si mostra che x j = 0 per ogni j) Poniamo Q 1 := p i2 2 pi3 3 pir r : chiaramente x j Q 1 = 0 per ogni j = 2,, r Ma allora x 1 Q 1 = ( x 2 x r )Q 1 = x 2 Q 1 x r Q 1 = 0 Dunque Q 1 è multiplo di p i1 1 : poiché p 1 e Q 1 sono coprimi, ciò può avvenire se e solo se p i1 1 = 1 cioè x 1 = 0 Mostriamo ora che M = M p1 + + M pr Se x è un elemento di M il suo ordine e divide d e possiamo allora scriverlo come e = p i1 1 pi2 2 pir r Per j = 1,, r sia Q j := p i1 1 pij 1 pij+1 pir r (cioè Q j è tale che e = Q j p ij j ) Il massimo comun divisore di Q 1, Q 2,, Q r è 1, dunque esistono α 1,, α r in R tali che α 1 Q 1 + +α r Q r = 1 Allora x = x(α 1 Q 1 + +α r Q r ) = xα 1 Q 1 + +xα r Q r : notiamo che xα j Q j p ij j = xα je = xeα j = 0α j = 0 e, dunque, xα j Q j M pj Ma allora x r j=1 M p j p P M p Siamo ora in grado di dare il teorema fondamentale di classificazione dei moduli finitamente generati su domini a ideali principali Teorema 38 Sia M un modulo finitamente generato su un dominio a ideali principali R Allora M è somma diretta di un modulo libero di rango finito e di un numero finito di moduli ciclici primari: M R s R R con p α 1 1 R p α t t α R i > 0 Gli addendi in questa decomposizione non sono univocamente determinati ma l intero s e gli ordini p αi i sì (a meno dell ordinamento in cui scriviamo gli addendi) Dimostrazione Per il Corollario 18 esiste un sottomodulo libero di rango finito N tale che M = N Tor(M) Poiché M è noetheriano (Corollario 7), il sottomodulo di torsione è finitamente generato e, per il Teorema 37, è somma diretta di un numero finito di sottomoduli primari (a loro volta finitamente generati, visto che M è noetheriano) Per il Teorema 36, ciascuna di queste componenti primarie è somma diretta di un numero finito di sottomoduli ciclici primari Proviamo ora la seconda parte Consideriamo la decomposizione M R s R R R p α 1 1 R p α t t R Mostriamo che il sottomodulo T = R p α 1 1 R p α t t R coincide con Tor(M): ogni addendo di T è di torsione e, quindi, T è contenuto in Tor(M) Viceversa sia x un elemento di torsione di M di ordine d Poiché M = R s T possiamo scrivere x = (y, z) con y R s e z T : dunque 0 = xd = (y, z)d = (yd, zd) e abbiamo allora yd = 0 Dal momento che R s è privo di torsione, ciò significa che y = 0 e, dunque, x = (0, y) T Pertanto Tor(M) T e, di conseguenza T = Tor(M) Ciò implica che R s M/ Tor(M) e, dunque, s è univocamente determinato come il rango di M/ Tor(M) Consideriamo ora Tor(M) = R R p α 1 1 R p α t e mostriamo che gli ordini degli addendi sono univocamente determinati Dato un elemento x := (x 1,, x t ) t R di Tor(M), il suo ordine è il minimo comune multiplo degli ordini degli elementi x i (Osservazione 21) Se allora p è un irriducibile di R, si ha che x è un p-elemento se e solo ogni x i è un p-elemento Ciò avviene se e solo se x i = 0 per tutti gli i tali che p i non è associato a p Dunque il sottomodulo M p formato dai p-elementi di M è esattamente uguale alla somma diretta degli addendi 13

14 R p α j j tali per cui p R j è associato a p: per l unicità degli ordini degli addendi della decomposizione di un modulo primario (Teorema 36) abbiamo la tesi Osservazione 39 L unicità degli ordini dei ciclici di torsione e del rango della parte libera nella precedente decomposizione comporta che se due moduli finitamente generati hanno decomposizioni di questo tipo non equivalenti allora i moduli non sono isomorfi fra loro Osservazione 40 Nella decomposizione data dal teorema precedente potrebbero non comparire i ciclici primari (cioè il modulo è libero) oppure non comparire il modulo libero (cioè il modulo è di torsione) 7 Gruppi abeliani finitamente generati I risultati della sezione precedente si applicano immediatamente ai gruppi abeliani, dal momento che questi non sono altro che Z-moduli Abbiamo dunque il Teorema 41 Un gruppo abeliano finitamente generato G può esprimersi come somma diretta di un gruppo abeliano libero e di gruppi ciclici di ordine potenza di primi: G Z s C α p 1 C α 1 p t con α t i > 0 (dove indichiamo con C n Z/n il gruppo ciclico di ordine n) Gli addendi in questa decomposizione non sono univocamente determinati ma l intero s e gli ordini p αi i sì (a meno dell ordinamento in cui scriviamo gli addendi) In particolare per i gruppi abeliani finiti, abbiamo il Corollario 42 Un gruppo abeliano finito è somma diretta di un numero finito di gruppi ciclici di ordine potenza di primi Gli ordini degli addendi in questa decomposizione sono univocamente determinati In questo caso l ordine (inteso come numero di elementi del gruppo) è uguale al prodotto degli ordini degli addendi diretti: ciò permette di determinare tutti i gruppi abeliani di un dato ordine finito (a meno di isomorfismi) Esempio 43 Vogliamo determinare tutti i gruppi abeliani di ordine 324 Esprimiamo tale ordine come prodotto di primi 324 = Nella decomposizione di tali gruppi come somma diretta di ciclici primari avremo quindi 2-gruppi e 3-gruppi Poiché 2 compare con esponente 2 potremo avere un gruppo ciclico di ordine 2 2 oppure 2 gruppi ciclici di ordine 2 Poiché 3 appare con esponente 4 potremo avere un gruppo ciclico di ordine 3 4 oppure uno di ordine 3 3 e uno di ordine 3 oppure 2 gruppi ciclici di ordine 3 2 oppure un gruppo ciclico di ordine 3 2 e due di ordini 3 o, infine, 4 gruppi ciclici di ordine 3 Combinando le varie possibilità possiamo dunque elencare tutti i gruppi abeliani di ordine 324 a 14

15 meno di isomorfismo C 4 C 81 C 2 C 2 C 81 C 4 C 27 C 3 C 2 C 2 C 27 C 3 C 4 C 9 C 9 C 2 C 2 C 9 C 9 C 4 C 9 C 3 C 3 C 2 C 2 C 9 C 3 C 3 C 4 C 3 C 3 C 3 C 3 C 2 C 2 C 3 C 3 C 3 C 3 Possiamo ora anche determinare in ciascuno di questi gruppi il numero di elementi di un dato ordine Ad esempio supponiamo di voler trovare il numero di elementi di ordine 54 = in ciascuno di questi gruppi Poiché l ordine di un elemento di una somma diretta è il minimo comune multiplo degli ordini delle sue componenti, affinché ci sia almeno un elemento di ordine 54 è necessario che nella decomposizione appaia almeno un addendo di ordine 3 k con k 3 Negli ultimi 6 gruppi della lista non ci sono dunque elementi di ordine 54 Consideriamo i primi 4 gruppi Ricordiamo che un gruppo ciclico finito di ordine n contiene esattamente un sottogruppo ciclico di ordine d per ogni divisore d di n Quindi il numero di elementi di ordine d di un gruppo ciclico di ordine n è uguale a φ(d) se d divide n In particolare un gruppo ciclico di ordine p n con p primo contiene φ(p m ) = p m p m 1 elementi di ordine p m se m n Un elemento di C 4 C 81 si scrive nella forma (x, y) con x in C 4 e y in C 81 L ordine di (x, y) è 54 se x ha ordine 2 e y ha ordine 27 Poiché C 4 contiene 1 elemento di ordine 2 e C 81 contiene 27 9 = 18 elementi di ordine 27 abbiamo 1 18 = 18 elementi di ordine 54 Un elemento di C 2 C 2 C 81 si scrive nella forma (x, y, z) con x e y in C 2 e z in C 81 L ordine è 54 se almeno uno tra x e y ha ordine 2 e z ha ordine 27 Poiché C 2 contiene un elemento di ordine 1 e uno di ordine 2, abbiamo che almeno uno tra x e y ha ordine 2 in 3 casi Abbiamo dunque 3 18 = 54 elementi di ordine 54 Un elemento di C 4 C 27 C 3 si scrive come (x, y, z) con x in C 4, y in C 27 e z C 3 Abbiamo ordine 54 se e solo se x ha ordine 2, y ha ordine 27 e z ha ordine qualunque Abbiamo dunque = 54 elementi di ordine 54 Infine un elemento di C 2 C 2 C 27 C 3 scritto come (x, y, z, w) con x in C 2, y in C 2, z in C 27 e w C 3 ha ordine 54 se e solo se almeno uno tra x e y ha ordine 2 (e, come prima, abbiamo 3 scelte per la coppia (x, y)), z ha ordine 27 e w ha ordine qualunque Dunque abbiamo = 162 elementi di ordine 54 8 Forme canoniche di matrici La seconda applicazione del teorema di classificazione dei moduli finitamente generati su un dominio a ideali principali è molto meno immediata della classificazione dei gruppi abeliani finitamente generati Fissiamo un po di notazioni e richiamiamo qualche risultato Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n su un campo K Se θ è un endomorfismo 15

16 di V e v 1,, v n è una base di V, la matrice rappresentativa di θ rispetto alla base assegnata è la matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A := a n1 a n2 a nn definita da v i θ = a i1 v a in v n In altri termini, la i-esima riga di A dà le componenti di v i θ rispetto alla base assegnata Sappiamo che cambiando la base di V la matrice rappresentativa di θ cambia: le matrici rappresentative di θ sono tutte e sole le matrici del tipo M 1 AM dove M è una matrice invertibile, vale a dire sono le matrici simili ad A Definizione 44 Dato un endomorfismo θ di uno spazio vettoriale V, un sottospazio vettoriale U di V si dice θ-stabile se uθ U per ogni u U Se U è un sottospazio θ-stabile, l endomorfismo θ induce ovviamente un endomorfismo di U Supponiamo allora di avere due sottospazi θ-stabili U e W tali che V = U W Se v 1,, v m è una base di U e v m+1,, v n è una base di W, si ha che v 1,, v n è una base di V Se B è la matrice rappresentativa rispetto alla base assegnata dell endomorfismo di U indotto da θ e C è la matrice rappresentativa rispetto alla base assegnata dell endomorfismo di W indotto da θ, si vede allora facilmente che la matrice rappresentativa di θ rispetto alla base assegnata è la matrice a blocchi: ( ) B 0 A := 0 C Viceversa, se rispetto a una base v 1,, v n di V, l endomorfismo θ si rappresenta con una matrice a blocchi di questo tipo, allora il sottospazio U generato da v 1,, v m e il sottospazio W generato da v m+1,, v n sono θ-stabili e V = U W Tutto ciò può essere generalizzato: supponiamo che V sia somma diretta V = V 1 V r di sottospazi θ-stabili Scelta una base per ciascuno di questi sottospazi V i, sia B i la matrice rappresentativa rispetto a questa base dell endomorfismo di V i indotto da θ Allora la matrice rappresentativa di θ rispetto alla base di V formata dall unione delle basi scelte dei sottospazi V i è la matrice diagonale a blocchi B B B s Il calcolo con le matrici diagonali a blocchi è particolarmente comodo Richiamiamo alcuni risultati: Proposizione 45 Sia B := Allora 16 B B B s una matrice diagonale a blocchi

17 1 det B = det B 1 det B 2 det B s ; 2 rk B = rk B 1 + rk B rk B s ; 3 B t = B t B t B n t per ogni t > 0 Al momento non è chiaro cosa c entri tutto ciò con i moduli sui domini a ideali principali Vediamo allora come rendere V un K[x]-modulo (ricordiamo che l anello dei polinomi a coefficienti in un campo è un dominio a ideali principali) In V abbiamo già un operazione di addizione, rispetto a cui V è un gruppo abeliano Definiamo allora il prodotto di un vettore v per un polinomio p := a 0 + a 1 x + + a s x s nel modo seguente vp := a 0 v + a 1 vθ + + a s vθ s = s a i vθ i dove θ i è la potenza di θ rispetto all operazione di composizione (con la convenzione usuale θ 0 = I) Ciò significa che la moltiplicazione di un vettore per x non è altro che l applicazione di θ a v Verifichiamo che sono soddisfatte le proprietà che definiscono la nozione di modulo Se v è un elemento di V e 1 è il polinomio costante per definizione abbiamo v1 = v (si noti che in questo caso a 0 = 1 e a i = 0 per i > 0) Siano ora u e v due elementi di V e sia p un polinomio come sopra Abbiamo allora i=0 (u + v)p = a 0 (u + v) + a 1 (u + v)θ + + a s (u + v)θ s = a 0 u + a 0 v + a 1 uθ + a 1 vθ + + a s uθ s + a s vθ s = up + vp dove abbiamo usato il fatto che θ e le sue potenze sono endomorfismi di spazi vettoriali e, quindi, (u + v)θ i = uθ i + vθ i Sia dato ora un vettore v e due polinomi p (come sopra) e q := b 0 +b 1 x+ +b s x s (dove abbiamo eventualmente aggiunto all uno o all altro dei polinomi termini nulli in modo che appaiano le stesse potenze di x) Ora v(p + q) = v(a 0 + b 0 + (a 1 + b 1 )x + + (a s + b s )x s ) = (a 0 + b 0 )v + (a 1 + b 1 )vθ + + (a s + b s )vθ s ) = a 0 v + a 1 vθ + + a s vθ s + b 0 v + b 1 vθ + + b s vθ s = vp + vq Infine dato un vettore v e due polinomi p (come sopra) e q := b 0 +b 1 x+ +b t x t, indichiamo con w il vettore vp Allora abbiamo (vp)q = wq = b 0 w + b 1 wθ + + b t wθ t = t b j wθ j Ora θ j è un endomorfismo di spazi vettoriali per ogni j e, dunque, ( s ) s s wθ j = a i vθ i θ j = a i vθ i θ j = a i vθ i+j i=0 i=0 i=0 j=0 17

18 Di conseguenza t (vp)q = b j wθ j = t j=0 j=0 b j s a i vθ i+j = i=0 i,j a i b j vθ i+j = v(pq) dove abbiamo usato il fatto che pq = i,j a ib j x i+j Dunque abbiamo mostrato che uno spazio vettoriale su un campo K, dotato di un endomorfismo θ assume la struttura di K[x]-modulo È importante sottolineare che tale struttura dipende da θ: preso un altro endomorfismo dello stesso spazio vettoriale, si ottiene una struttura di K[x]-modulo differente A cosa corrispondono i K[x]-sottomoduli di V? È facile vedere che sono esattamente i sottospazi vettoriali θ-stabili Lasciamo per esercizio la dimostrazione di questo fatto (Esercizio 8) Dunque una decomposizione di V come somma diretta di K[x]-sottomoduli è una decomposizione come somma diretta di sottospazi θ-stabili e, di conseguenza, permette di rappresentare θ con una matrice diagonale a blocchi Per poter applicare il teorema di struttura dei moduli finitamente generati sui domini a ideali principali, dobbiamo descrivere l annullatore di un vettore v di V e la struttura del K[x]-modulo ciclico generato da v Consideriamo i vettori v, vθ, vθ 2, vale a dire i vettori che si ottengono applicando ripetutamente θ a v Poiché V ha dimensione finita n questi vettori non possono esser linearmente indipendenti (anzi, possiamo dire che i primi n + 1 vettori sono linearmente dipendenti) Esisteranno allora a 0, a 1,, a s in K non tutti nulli tali che a 0 v + a 1 vθ + + a s vθ s = 0, vale a dire v(a 0 + a 1 x + + a s x s ) = 0 Dunque esiste un polinomio non banale che annulla v: ciò è vero per ogni vettore di V, in altri termini V è un K[x]-modulo di torsione Se v = 0 il suo annullatore è, ovviamente, tutto K[x], altrimenti è un ideale principale generato da un certo polinomio non nullo p Il grado s di p è almeno 1, altrimenti sarebbe una costante non nulla e non potrebbe annullare il vettore non nullo v Pur di dividere eventualmente per il suo coefficiente direttivo, possiamo supporre che p sia un polinomio monico: p = a 0 + a 1 x + + x s Dimostriamo ora che il K[x]-sottomodulo vk[x] generato da v ha, come K-sottospazio vettoriale, dimensione s e una sua base è formata dai vettori v, vθ,, vθ s 1 Questi vettori generano vk[x]: infatti se f è un polinomio qualunque, possiamo eseguire la divisione per p e ottenere f = pq + r dove r := b 0 + b 1 x + + b s 1 x s 1 Ma allora vf = v(pq + r) = vpq + vr = vr = v(b 0 + b 1 x + + b s 1 x s 1 ) = b 0 v + b 1 vθ + + b s 1 vθ s 1, e, dunque, ogni vettore di vk[x] è K-combinazione lineare di v, vθ,, vθ s 1 Questi vettori sono anche K-linearmente indipendenti: se infatti b 0 v + b 1 vθ + + b r 1 vθ r 1 = 0 è una loro combinazione lineare che dà come risultato il vettore nullo, allora b 0 + b 1 x + + b r 1 x r 1 annulla v ed è, quindi, un multiplo del polinomio p Poiché p ha grado r, ciò può avvenire se e solo se b 0 = b 1 = = b r 1 = 0 Riassumiamo quanto visto nella Proposizione 46 Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n su un campo K e sia θ un endomorfismo di V Allora V, considerato come K[x]- modulo rispetto alla struttura indotta da θ, è di torsione Se v è un vettore 18

19 non nullo, l annullatore di v è generato da un polinomio monico di grado s con 1 s n e il K[x]-sottomodulo ciclico generato da v è un sottospazio vettoriale θ-stabile di dimensione s e di base v, vθ,, vθ s 1 Vediamo ora come tutto ciò ci permetta, prima in un caso particolare, di rappresentare un endomorfismo per mezzo di una matrice particolarmente semplice Proposizione 47 Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n su un campo K e sia θ un endomorfismo di V Supponiamo che V, con la struttura di K[x]-modulo indotta da θ, sia ciclico di generatore v Se p := a 0 +a 1 x+ +x n è il polinomio monico che genera l annullatore di v allora θ, rispetto alla base di V formata dai vettori v 1 := v, v 2 := vθ,, v n := vθ n 1 si rappresenta con la matrice C(p) := a 0 a 1 a 2 a n 1 detta matrice compagna del polinomio monico p Il polinomio caratteristico det(x I C(p)) della matrice C(p) è esattamente p Dimostrazione Determiniamo la matrice rappresentativa di θ rispetto alla base prescelta Osserviamo che per 1 i n 1 si ha v i θ = v i+1 In particolare v 1 θ = 0 v v v v n, quindi i coefficienti sulla prima riga della matrice rappresentativa di θ sono (0, 1, 0,, 0) In maniera analoga determiniamo le righe della matrice fino alla n 1-esima Per determinare l ultima riga osserviamo che vp = 0, cioè a 0 v + a 1 vθ + + vθ n vale a dire vθ n = a 0 v a 1 vθ + a n 1 vθ n 1 Ma allora v n θ = vθ n 1 θ = vθ n = a 0 v 1 a 1 v 2 a n 1 v n da cui ricaviamo i coefficienti dell ultima riga Per mostrare che il polinomio caratteristico di C(p) è p procediamo per induzione su n Se n = 1 (e, quindi, p = a 0 + x) la matrice compagna di p è ( a 0 ) e il polinomio caratteristico di questa matrice è, ovviamente, a 0 + x Se n > 1 il polinomio caratteristico di C(p) è x x 1 0 det(x I C(p)) = a 0 a 1 a 2 x + a n 1 Se ora utilizziamo lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima colonna otteniamo: x det(x I C(p)) = x + ( 1) n+1 x 1 0 a a 1 a 2 x + a n

20 Il primo determinante che appare in questo sviluppo non è altri che il polinomio caratteristico della matrice compagna del polinomio a 1 + a 2 x + + x n 1 e, per ipotesi induttiva, coincide con questo polinomio Il secondo determinante è il determinante di una matrice triangolare inferiore ed è dunque il prodotto degli elementi sulla diagonale principale, vale a dire ( 1) n 1 Dunque det(x I C(p)) = x(a 1 + a 2 x + + x n 1 ) + ( 1) n+1 a 0 ( 1) n 1 = p Osservazione 48 La matrice compagna è definita solo per polinomi monici Possiamo ora dare il Teorema 49 Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n su un campo K e sia θ un endomorfismo di V Esiste allora una base di V rispetto a cui θ si rappresenta con una matrice diagonale a blocchi del tipo C C 2 0 C := 0 0 C s dove ciascun C s è la matrice compagna di un polinomio del tipo p ds s con p s monico irriducibile e d s > 0 La matrice C è univocamente determinata a meno dell ordine in cui sono riportati i blocchi Dimostrazione Basta reinterpretare risultati già visti L endomorfismo θ induce su V una struttura di K[x]-modulo: poiché V è finitamente generato come K- spazio vettoriale, a maggior ragione è finitamente generato come K[x]-modulo Inoltre V è un K[x]-modulo di torsione per la Proposizione 46: quindi, grazie al Teorema 38, possiamo esprimere V, in maniera essenzialmente unica, come somma diretta di un numero finito di moduli ciclici di ordine una potenza di irriducibili, che possiamo supporre monici pur di dividere per il loro coefficiente direttivo Scegliendo per ciascuno di questi sottomoduli una K-base come nella Proposizione 47, e rappresentando θ rispetto alla base che si ottiene unendo queste basi, otteniamo esattamente la matrice C Questo risultato può essere espresso direttamente in termini di matrici: Teorema 50 Sia A una matrice quadrata di ordine n a coefficienti in un campo K Allora A è simile a una matrice diagonale a blocchi del tipo C C 2 0 C := 0 0 C s dove ciascun C i è la matrice compagna di un polinomio del tipo p di i con p i monico irriducibile e d i > 0 Inoltre il polinomio caratteristico di A è p d1 1 pds s La matrice C è univocamente determinata a meno dell ordine in cui sono riportati i blocchi 20