1.1 Trasformazioni DI COORDINATE.

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1 1.1 Trasformazioni DI COORDINATE. Facendo passare per l'astro A il rispettivo verticale e il circolo orario otteniamo un triangolo sferico, detto triangolo di posizione. Detto triangolo ha per vertici lo zenit Z, sempre il polo celeste nord (Pcn) e l astro (A); per lati la colatitudine c = 90 φ, la distanza zenitale z = 90 h e la distanza polare p = 90 δ ; come angoli interni, angolo azimutale Z, l'angolo al polo P e l angolo all'astro A detto anche angolo parallattico. Trasformazioni delle coordinate locali orarie in coordinate altazimutali. Classica trasformazione da φ, δ, P h, a Se in un certo istante di tempo l'astro si trova nel punto A, allora nota la posizione dell'osservatore sulla superficie terrestre (coordinata latitudine φ) e le coordinate locali orarie (δ, P) dell'astro in tale istante, stabilire il valore dell'altezza h e dell'azimut a dell'astro. Per far ciò, in modo analogo allo studio della navigazione ortodromica, ricorreremo più volte all'uso del teorema di Eulero (Trigonometria sferica), difatti per trovare l'altezza dell'astro lo applichiamo partendo dal lato incognito distanza zenitale z: sostituendo si avrà: cos z = cos c cos p + sen c sen p cos P cos(90 h) = cos (90 φ) cos(90 δ) + sen(90 φ) sen(90 δ) cos P 1

2 ma essendo sen(90 α) = cos α e cos(90 α) = sen α allora sen h = sen φ sen δ + cos φ cos δ cos P (1) ponendo poi con: M = sen φ sen δ ed N = cos φ cos δ cos P si avrà semplicemente: sen h = M + N (algebrica) (2) Analisi dei segni: La declinazione dell'astro δ può avere segno Nord/Sud sen δ (±) La declinazione dell'astro δ può avere segno Nord/Sud cos δ (+) sempre positivo Se l'angolo al polo P < 90 cos P (+) Se l'angolo al polo P > 90 cos P ( ) Per cui in sintesi: M termine positivo (+) se astro ed osservatore nello stesso emisfero ossia φ e δ omonime M termine negativo ( ) se astro ed osservatore in emisferi opposti ossia φ e δ eteronime. N termine positivo (+) se l'angolo al polo P < 90 N termine negativo ( ) se l'angolo al polo P > 90 Osservazione Il segno del termine N non dipende dal segno Est o Ovest dell'angolo al polo P! Infine: Se risulta sen h > 0 significa h > 0 astro visibile per l'osservatore; Se risulta sen h < 0 significa h < 0 astro invisibile per l'osservatore. Invece per la valutazione dell'azimut a si passa attraverso l'angolo azimutale Z (coordinata di servile) applichiamo ancora il teorema di Eulero, partendo dal lato distanza polare p: cos p = cos c cos z + sen c sen z cos Z sostituendo si avrà: cos(90 δ ) = cos(90 φ) cos(90 h) + sen(90 φ) sen(90 h) cos Z ma essendo ancora sen(90 α) = cos α e cos(90 α) = sen α allora sen δ = sen φ sen h + cos φ cos h cos Z (3) risolviamo ricavando cos Z: cos φ cos h cos Z = [sen δ (sen φ sen h)] e poi dividendo ambo i membri per cos φ cos h si ottiene cos Z = [sen δ (sen φ sen h)] / cos φ cos h (4) 2

3 A questo punto l'analisi dei segni appare scontata difatti: Al numeratore: La declinazione dell'astro δ può avere segno Nord/Sud sen δ (±) L'altezza dell'astro h può avere segno (±) [in pratica sempre +] sen h (±) Al denominatore: L'altezza dell'astro h può avere segno (±) [in pratica sempre +] cos h (+) sempre positivo Osservazione Il denominatore della formula (4) è quindi sempre positivo (+)!!! Infine ricordando che l'angolo azimutale Z ha variabilità [0 180 ] ossia semicircolare per cui: se risulta cos Z > 0 significa Z < 90 se risulta cos Z < 0 significa Z > 90 Mentre il segno dell'angolo azimutale Z è quello dell'angolo al polo P (a seconda che l'astro si trova nell'emisfero celeste orientale o quello occidentale). Ed infine passaggio all'azimut a: Se astro ad oriente avremo angolo azimutale ZE a = ZE Se astro ad occidente avremo angolo azimutale ZW a = 360 ZW. Esempio N. 1 Per un osservatore posto in Z(φ = 43 38' N, λ = 13 31' E), nell'istante U.T. = 19h del 4 Maggio 2012 le coordinate locali orarie dell'astro SIRIO sono: (δ = 16 44',3 S ; t = 60 09',5). Determinare l'altezza e l'azimut di SIRIO in tale istante. Essendo t < 180 Pw = t = 60 09',5 M = sen φ sen δ = sen (43 38') sen ( 16 44',3) = + 0, ( 0,288001) = = 0, N = cos φ cos δ cos P = cos (43 38') cos ( 16 44',3) cos (60 09',5) = = 0, , , =+ 0, sen h = M + N = 0, , = + 0, h = 8 24',3 cos Z = [sen δ (sen φ sen h)] / cos φ cos h = = {sen ( 16 44',3) [sen (43 38') sen(8 24',3)]} / [cos (43 38') cos(8 24',3)] = = { 0, [+ 0, (+0,146159)]} / [0, ,989260] = = [ 0, / 0, ] = 0, Zw = 122,9 a = 360 ZW = 237,1 3

4 Esempio N. 2 Per un osservatore posto in Z (φ = 27 44' S, λ = 50 12' W), nell'istante U.T. = 23h del 6 Maggio 2012 le coordinate locali orarie dell'astro ANTARES sono (δ = 26 27',5 S ; t=272 26',9). Determinare l'altezza e l'azimut di ANTARES in tale istante. Essendo t > 180 PE = 360 t = ',1 M = sen φ sen δ = sen ( 27 44' ) sen ( 26 27',5) = 0, ( 0,445547) = = +0, N = cos φ cos δ cos P = cos ( 27 44' ) cos ( 26 27',5) cos (087 33',1) = = 0, , , =+0, sen h = M + N = 0, , = +0, h = 13 57',4 cos Z = [sen δ (sen φ sen h)] / cos φ cos h = = {sen( 26 27',5) [sen( 27 44' ) sen(13 21',5)]} / [cos( 27 44' ) cos(13 21',5 )] = = { 0, [ 0, (+0,241189)]} / [ 0, , ] = = [ 0,333308/ 0,858992] = 0, ZE = 112,8 a = ZE = 112,8 Esempio N. 3 Per un osservatore posto in Z (φ = 15 40' N, λ = ' W), nell'istante U.T. = 04h del 8 Maggio 2012 le coordinate locali orarie del pianeta VENERE sono (δ = 27 46',5 N; t=067 52',7). Determinare l'altezza e l'azimut di VENERE in tale istante. Essendo t < 180 Pw = t = ',7 M = sen φ sen δ = sen (15 40' ) sen (27 46',5) = +0, (+0,466001) = = +0, N = cos φ cos δ cos P = cos (15 40' ) cos (27 46',5) cos (067 52',7) = = 0, , , = +0, sen h = M + N = 0, , = +0, h = 26 31',7 cos Z = [sen δ (sen φ sen h)] / cos φ cos h = = {sen(27 46',5) [sen(15 40' ) sen(26 31',7)]} / [cos(15 40') cos(26 31',7)] = = {0, [ +0, (+0,446647)]} / [ 0, , ] = = [0, / 0,861475] = 0, Zw = 066,4 a = 360 Zw = 293,6 4

5 ESERCIZI N.1 Il giorno 09/03/2000, verso le ore 18 un osservatore Z trovasi in (φ = N ; λ = W). Calcolare altezza ed azimut dei seguenti astri: Aldebaran (δ = 16 30,4 N ; t = 18 57,8) Antares (δ = 26 25,8 S ; t = ,4) Risp. Aldebaran (h = 71 37,7 ; a = 261,3) Antares (h = 70 08,8 ; a = 112,0) N. 2 Il giorno 09/03/2000, verso le ore 11 del mattino un osservatore Z trovasi in (φ = N ; λ = E). Calcolare altezza ed azimut dei seguenti astri: Sole (δ = 4 17 S ; t = ,5) Venere (δ = 14 12,6 S ; t = 9 04,4) Risp. Sole (h = 34 59,6 ; a = 163,5) Venere (h = 25 49,2 ; a = 189,8) N.3 Il giorno 13/02/2003, verso le ore 20 un osservatore Z trovasi in (φ = 36 48,7 S ; λ = W). Calcolare altezza ed azimut dei seguenti astri: Sirio (δ = 16 43,3 S ; t = ,9) Hamal (δ = 23 28,6 N ; t = ,4) Risp. Sirio (h = 59 54,5 ; a = 054,9) Hamal (h = 16 45,9 ; a = 318,2) Trasformazioni delle coordinate altazimutali nelle corrispondenti locali orarie. Classica trasformazione da φ, h, Z δ, P Se in un certo istante di tempo l'astro si trova nel punto A, nota la posizione dell'osservatore sulla superficie terrestre (coordinata latitudine φ) e le coordinate altazimutali (h, Z) dell'astro in tale istante, stabilire il valore della declinazione δ e dell'angolo al polo P dell'astro. Per far ciò, senza ricorrere all'uso del teorema di Eulero, per quanto riguarda la declinazione δ abbiamo già a disposizione la formula (3) ricavata in precedenza, difatti: sen δ = sen φ sen h + cos φ cos h cos Z Analisi dei segni: L'altezza dell'astro h può essere (±) [in pratica sempre +] sen h (±) L'altezza dell'astro h può essere (±) [in pratica sempre +] cos h (+) sempre positivo Se l'angolo azimutale Z < 90 cos Z (+) Se l'angolo azimutale Z > 90 cos Ζ ( ) 5

6 Infine: Se risulta sen δ > 0 significa δ > 0 cioè segno declinazione NORD; Se risulta sen δ < 0 significa δ < 0 cioè segno declinazione SUD. N.B. Per avere l'angolo azimutale dall'azimut si opera al solito a livello semicircolare: se a <180 ZE = a ; se invece a >180 ZW = 360 a Anche per la valutazione dell'angolo al polo P adoperiamo la formula (1) già trovata in precedenza, ovvero: sen h = sen φ sen δ + cos φ cos δ cos P risolviamo ricavando cos P: cos φ cos δ cos P = [ sen h sen φ sen δ ] e poi dividendo ambo i membri per cos φ cos δ si ottiene cos P = [ sen h (sen φ sen δ) ] / cos φ cos δ (5) Seguiamo l'analisi dei segni: Al numeratore: L'altezza dell'astro h può avere segno (±) [in pratica sempre +] sen h (±) La declinazione dell'astro δ può avere segno Nord/Sud sen δ (±) Al denominatore: La declinazione dell'astro δ può avere segno Nord/Sud cos δ (+) sempre positivo Osservazione Il denominatore della formula (5) è quindi sempre positivo (+)! Infine: Se risulta cos P > 0 significa P < 90 Se risulta cos P < 0 significa P > 90 Mentre il segno dell'angolo al polo P è quello dell'angolo azimutale Z (a seconda che l'astro si trova nell'emisfero celeste orientale o quello occidentale). Ed infine volendo passare alla coordinata tempo dell'astro t: Se a < 180 (astro ad oriente) avremo angolo al polo PE t = 360 PE Se a > 180 (astro ad occidente) avremo angolo azimutale PW t = PW. Esempio N.1 Alle ore 5 locali del 30/3/2000 un osservatore nell'oceano Atlantico si trova nella Ps (φ = 44 12' S, λ = 27 35' W). Calcolare declinazione ed angolo orario dei seguenti astri: ASTRO1 ( h = 23 37' ; a = 149 ) ASTRO2 (h = 13 20' ; a = 331 ) 6

7 ASTRO1 Essendo a < 180 ZE = 149 sen δ = sen φ sen h + cos φ cos h cos Z = = sen( 44 12') sen(23 37') + cos( 44 12') cos(23 37' ) cos(149 )= = 0, , , , ( 0,857167) = = 0, ( 0,563041) = 0, δ = 57 23',3 S cos P = [ sen h (sen φ sen δ) ] / cos φ cos δ = = {sen(23 37') [sen( 44 12') sen( 57 23,3')]} / [cos( 44 12') cos( 57 23',3)]= ={0, [ 0, ( 0,842336)]} / (0, ,538942) = = 0, / 0, = 0, PE = ' (118,9) t = 360 PE = ,9 = 241,1 ASTRO1 ( δ = 57 23',3 S ; t = 241,1) ASTRO2 Essendo a > 180 ZW = 360 a = = 029 sen δ = sen φ sen h + cos φ cos h cos Z = = sen( 44 12') sen(13 20') + cos( 44 12') cos(13 20' ) cos(29 )= = 0, , , , , = = 0, , = +0, δ = 26 42',1 N cos P = [ sen h (sen φ sen δ) ] / cos φ cos δ = = {sen(13 20') [sen( 44 12') sen(26 42',1)]} / [cos( 44 12') cos(26 42',1)]= ={0, [ 0, ,449346]} / (0, ,893358) = = 0, / 0, = 0, PW = ',4 (031,9) t = PW = 031,9 ASTRO2 (δ = 26 42',1 N ; t = 031,9 ) ESERCIZIO Al crepuscolo nautico mattutino del 10/04/2004 per un osservatore che trovasi nella posizione stimata Ps (φ = S, λ = W), calcolare declinazione ed angolo orario dei seguenti astri: ASTRO A (h = 39 04,6 ; a = 161,8 ) ; ASTRO B (h = 61 37,3 ; a = 322,4 ) Risp. ASTRO A(δ = 56 43,2 S ; t = 333,7) ASTRO B(δ = 12 33,2 N ; t = 017,3) 7