3 Il problema dell impacchettamento come problema

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1 3 Il problema dell impacchettamento come problema NP - Le partizioni di numeri e i Taxicab come possibili esempi di soluzione Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero Abstract In this paper we show some connection between the NP. problem of package, partitions of number and Fibonacci numbers (Theorem of Zeckendorf s theorem) and Taxicab numbers as example of solutions Riassunto In questo lavoro esamineremo il problema NP dell impacchettamento (uno dei numerosi difficili problemi detti anche del tipo ago nel pagliaio, tramite le partizioni di numeri p(n) e il caso particolare dei numeri di Fibonacci, tramite il teorema di Zackendorf (ogni numero n > 2 è sempre la somma di numeri di Fibonacci più piccoli, e quindi come particolare partizione di n). I numeri Taxicab ( cubi come somma di alcuni cubi minori come possibili esempi di soluzioni 1

2 Testo Tra i difficili problemi NP, molti dei quali detti anche di tipo ago nel pagliaio (uno di questi, anch esso difficile e importante,è la fattorizzazione di N = p*q, com è noto e alla base della crittografia RSA), esiste anche il problema dell impacchettamento, che qui tratteremo tramite le sue connessioni con le partizioni di numeri p(n), che ci sembrano adatti a tale scopo. Un caso particolare di partizione che prenderemo in considerazione è la somma di alcuni numeri di Fibonacci, tramite il teorema di Zackendorf. Cominciamo con la definizione di Marcus du Sautoy nel suo libro L equazione da un milione di dollari (Rizzoli) : Il problema dell impacchettamento Dirigete un azienda di traslochi. Tutte le vostre casse da imballaggio sono della stessa altezza e della stessa larghezza, esattamente identiche alle dimensioni interne del vostro camion (bè, facciamo un pochino più piccole, in modo che riescano almeno ad entrare) ma hanno lunghezze differenti. Il vostro camion è lungo 15 metri e le casse disponibili per l imballaggio hanno le seguenti lunghezze: 16,27,37,4252, 59,65 e 95 decimetri. Siete in grado di trovare una combinazione di casse che riempia il camion nel modo più efficiente possibile? Dovete trovare un algoritmiche dato un qualunque numero n e una serie di numeri più piccoli n(1), n(2),, n(r), decide se esista una qualche selezione di numeri più piccoli che, sommati 2

3 tra loro, diano il numero grande (ma questa è una partizione di numeri, come vedremo in seguito, N.d.A.A.) Questo genere di problemi non sono semplici giochi, ma saltano spesso fuori nel mondo dell industria e del commercio quando le aziende debbono trovare la soluzione più efficiente ad un problema pratico. Lo spreco di spazio o il consumo di carburante in eccesso comportano per le compagnie dei costi economici, e i manager hanno spesso bisogno di risolvere uno di questi NP- problemi. Ci sono anche alcuni codici usati nell industria delle telecomunicazioni che, per essere decifrati, richiederebbero la scoperto di un ago nel pagliaio. Non sono quindi soltanto i matematici o i giocatori incalliti a essere interessati alla soluzione di questo problema da un milione di dollari. Che si tratti di analizzare matematicamente il campionato di calcio o di organizzare feste, di colorare mappe o di dragare mine, il problema da un milione di questo capitolo si presenta in talmente tante varianti differenti che ce ne sarà senz altro qualcuna che vi attira. Ma vi avvero. Questo problema potrà pure parere un divertente gioco, ma è anche uno dei più difficili. I matematici credono che questi problemi presentino una complessità essenziale tale da escludere la possibilità che venga trovato un programma sufficiente per risolverli; il guaio è che dimostrare perché qualcosa non esiste è sempre più difficile che dimostrare che esiste.. Ma, se non altro,, mentre cercherete di vincere il milione di questo capitolo avrete modo di divertirvi. Pensiamo che tale problema possa avere che fare in qualche modo con le partizioni di numeri, p(n) cioè in quanti modi un numero n si può scrivere come somma di numeri più piccoli. Ponendo infatti, per esempio il numero n come capacità, in metri cubi, di un Tir e della stiva di una nave da caricare con casse di merci con volumi espressi anch essi da numeri interi di metri cubi per facilitare le cose rispetto all esempio sopra riportata dal libro di Marcus du Sautoy, i volumi n 3

4 sono perfettamente pieni (e quindi in modo conveniente al massimo per le ditte di trasporti), quando i volumi delle casse di merci sono uguali ai numeri minori la cui somma è n, e cioè ad una partizione di n, e quindi una qualsiasi delle p(n) per ogni n. Facciamo un piccolo esempio: per n = 5, abbiamo sette modi (e quindi p(5) = 7 modi diversi di scrivere 5 come somma di numeri diversi. Per un volume di 5 metri cubi, per collegare tale esempio al nostro problema, esso è completamente pieno solo se le casse sono di volumi corrispondenti ai numeri la cui somma è 5: = = = = = = 5 (4 non è numero di Fibonacci) = 5 Tutte le partizioni tranne la 4 +1, sono somme di numeri di Fibonacci, cosa che rivedremo in seguito per il loro coinvolgimento nel problema, almeno con almeno una partizione formata da numeri di Fibonacci in 4

5 base al teorema di Zeckendorf, e quindi tale partizione è anch essa una delle soluzioni del problema dell impacchettamento. In rosso un altra delle possibili soluzioni: in un volume di 5 metri cubi, possiamo stivare due casse da 2 metri cubi ciascuna ed una da 1 metro cubo. Per numeri piccoli il problema non è difficile, ma al crescere di n le cose si complicano sempre più, e specialmente se il volume della stiva viene calcolato in metri cubi, ma le casse vengono sostituite con scatole più piccole, di pochi decimetri centimetri cubi ciascuna, e tutte diverse. In ogni caso, una possibile soluzione è fare un elenco dei volumi delle singole casse da stivare, e confrontare tale elenco con le partizioni di n (volume totale): la partizione che si avvicina a tale elenco è la soluzione di quel particolare caso di impacchettamento, in modo da riempire tutto il volume disponibile (corrispondenza perfetta tra elenco e partizione di n), o al massimo lasciare il minor spazio disponibile e quindi rendere sempre ugualmente conveniente il carico, anche se non al 100% delle sue possibilità, e cioè n metri cubi). Il problema è quello di trovare tutte le partizioni di un numero (cosa facile se il numero n è piccolo, ma difficile se n è grande) per poter fare un paragone tra l elenco dei 5

6 volumi delle casse da trasportare e la corrispondente partizione, o almeno la più vicina. L importante, comunque è che la somma totale dei volume delle casse si avvicini il più possibile alla capacità totale del mezzo di trasporto delle casse, sia esso TIR o una stiva di una nave da carico o un vagone ferroviario. Come ordine di sistemazione, sarebbe meglio prima caricare le casse più grandi, e poi sistemare le casse più piccole nello spazio rimasto, in modo da poterlo riempire al massimo senza lasciare spazi vuoti inutili, indice di poca convenienza, la cosa che una soluzione del problema deve evitare per definizione (impacchettamento più completo e razionale possibile). Vediamo ora il caso particolare riguardante i numeri di Fibonacci, poiché ogni numero naturale n > 2 è la somma di numeri di Fbonacci più piccoli. Nell esempio prima riportato per n = 5 e con p(5) = 7, ben sei partizioni sono composte da numeri piccoli di Fibonacci, ma per n più grandi i numeri di Fibonacci si fanno sempre più grandi e più rari; ma almeno una partizione è composta da tutti numeri di Fibonacci, per il teorema di Zeckendorf, qui di seguito esposto da Wikipedia:. Teorema di Zeckendorf 6

7 Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Il teorema di Zeckendorf, dal matematico belga Edouard Zeckendorf, è un teorema sulla rappresentazione di interi come somme di numeri di Fibonacci. Il teorema di Zeckendorf afferma che ogni intero positivo è rappresentabile in modo unico come la somma di uno o più numeri di Fibonacci distinti in maniera tale che la somma non includa due numeri di Fibonacci consecutivi. Una somma che rispetti queste condizioni è detta rappresentazione di Zeckendorf. Per esempio, la rappresentazione di Zeckendorf di 100 è 100 = Ci sono altri modi per rappresentare 100 come somma di numeri di Fibonacci, per esempio 100 = = ma queste non sono rappresentazioni di Zeckendorf perché 1 e 2 sono numeri di Fibonacci consecutivi, e lo stesso vale per 34 e 55. Per qualsiasi intero positivo fissato, si può trovare una rappresentazione che soddisfi le condizioni del teorema di Zeckendorf usando un semplice algoritmo greedy, scegliendo ad ogni passo il più grande numero di Fibonacci possibile. È più difficile dimostrare che la rappresentazione così ottenuta sia l'unica, cioè che non esistano altre rappresentazioni che soddisfino le stesse condizioni. Per esempio, se n = 20, abbiamo = 20, con 13, 5, e 2 tutti numeri di Fibonacci. Ora, circa il nostro problema dell impacchettamento, ciò significa che in un Tir con la capacità di n = 20 metri cubi possiamo impacchettare perfettamente tre casse: una da 13 metri cubi, una da 5 e una da 2 metri cubi, in modo che = 20, e così pure, per esempio per n = 30 = con 21, 8 e 1 numeri di Fibonacci. 7

8 Una soluzione per il problema dell impacchettamento in uno spazio di volume n è quindi una delle possibili partizioni di n, ed in particolare quando tale partizione è composta da p(n) cubi o parallelepipedi, la cui somma totale è n anch esso cubo o parallelepipedo. In teoria, il problema potrebbe avere p(n) soluzioni, considerando tutti i termini di ogni partizione di n come piccoli cubi o parallelepipedi, con spigoli decimali Nel caso dei cubi con spigoli interi s tali che il cubo sia n = s^3, possiamo prendere come più facili e più comprensibili esempi, i cosiddetti numeri taxicab, cioè volumi come somme di cubi più piccoli, e quindi come partizioni di s^3; da Wikipedia, parzialmente: Numero taxicab Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. In matematica, l'n-esimo numero taxicab - indicato con Ta(n) - è il più piccolo numero rappresentabile in modi come somma di cubi positivi. Il nome di questi numeri prende origine da uno dei più famosi aneddoti della storia della matematica moderna, secondo il quale il matematico inglese Godfrey Harold Hardy, recatosi in ospedale in visita al matematico indiano Srinivasa Ramanujan, tanto per dire qualcosa osservò che il numero del taxi che aveva preso (1729) sembrava piuttosto insulso. Al che Ramanujan rispose immediatamente: "No Hardy, è un numero estremamente interessante: è il minimo intero che si può esprimere come somma di due cubi in due modi diversi!" Infatti il valore di Ta(2) è 1729, chiamato anche Numero di Hardy-Ramanujan. 8

9 Godfrey Harold Hardy e E. M. Wright hanno dimostrato che questo numero esiste per ogni valore di n, ma la dimostrazione non aiuta a trovarne i valori. Gli unici numeri Taxicab attualmente (2008) conosciuti sono quelli per 1 < n < 6 (sequenza A dell'oeis): I primi numeri taxicab sono quindi 9

10 per è probabile, ma non certo, che si abbia... Un esempio per tutti i taxicab: un volume di metri (o più realisticamente, anche decimetri o centimetri cubi) può essere riempito perfettamente dai tre gruppi di tre cubi dei quali ne è la somma E che quindi costituiscono tre delle tantissime partizioni di n = Conclusioni Il problema dell impacchettamento ci sembra quindi legato anche al concetto matematico delle p(n) partizioni di numeri, e invitiamo i matematici ad esaminare questa nostra congettura, con o senza i casi 10

11 particolari che coinvolgono i numeri di Fibonacci, le cui somme per n sono solo alcune o almeno una delle soluzioni possibili. L elenco dei volumi delle casse da impacchettare perfettamente corrisponde ad una partizione di n, o al massimo ci potrebbe essere piccolo spazio vuoto v finale che non compromette la convenienza del carico. In tal caso, all elenco dei volumi si aggiunge v a tale elenco, per ottenere esattamente n. Per ogni n avremmo, quindi, una partizione di numeri completa per un impacchettamelo perfetto, oppure una partizione incompleta n v per un impacchettamento quasi completo ma pur sempre conveniente, sprecando solo il pochissimo spazio v. Non abbiamo quindi risolto il problema, nè quindi indicato un qualche algoritmo, ma indichiamo soltanto il concetto matematico delle partizione di numeri, p(n), che pensiamo più adatto ad una migliore comprensione del problema dell impacchettamento; e quindi probabilmente utile, in futuro, ad una eventuale e possibile soluzione più rapida, almeno dal punto di vista matematico. Riferimenti Wikipedia : 11

12 1) Teorema di Zackendorf 2)Taxicab 12