Funzioni e ProPorzionalità

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1 58 lezioni digitali aritmetica 2 - unità 4 Funzioni e ProPorzionalità tempi In aula: circa 10 ore luoghi Aula con lavagna LIM o PC con videoproiettore Aula multimediale Per alcune attività è necessaria la connessione Internet contenuti digitali Videotutorial Tassi di interesse pag. 209 Apprendiscienza Che cos è una funzione? Il grafico di una funzione Correzione Soluzioni delle Prime competenze pag.150 Tutor Esercizio n 418 pag. 122 Verifiche Prova di verifica A-B in formato Word modificabile a seconda delle esigenze della classe pag. 206 Strumenti inclusivi Audio Text to Speech (per l intero MEbook) Percorsi Facilitati 2 pag. 48,50,52,54 Tutor Esercizio n 394 pag. 121 Mappa concettuale Percorsi facilitati 2 pagg Esercizi guida Esercizio n 435 pag. 123 Esercizio n 442 pag. 124 Esercizio n 485 pag. 126 competenze digitali del docente Saper usare PC e videoproiettore, eventualmente LIM e programmi di didattica interattiva (SMART Notebook, Mimio Studio, ActivInspire, Workspace, ecc.) Saper usare programmi di geometria dinamica (GeoGebra, Cabri, Déclic, Dr. Geo, ecc.) Saper usare programmi di videoscrittura e foglio di calcolo (Word, Writer, Excel, Calc..) Saper usare Internet Saper usare l applicazione MEbook Vedi UNESCO ICT Competency Framework for Teachers

2 lezioni digitali 59 Quesiti Percorsi Facilitati 2 es. 1,2,3 pag. 49 Percorsi Facilitati 2 es. 2 pag. 51 Percorsi Facilitati 2 es. 2,3 pag. 53 Percorsi Facilitati 2 es. 2,3 pag. 55 Percorsi di recupero Esercizi n 1, 2, 3, 4, 5 e 6 pagg Verifiche Prova di verifica C in formato Word modificabile a seconda delle esigenze pag. 206 conoscenze abilità Le relazioni tra grandezze Grandezze costanti e grandezze variabili Le funzioni empiriche e le funzioni matematiche Grandezze direttamente e inversamente proporzionali Rappresentazione grafica della proporzionalità Saper riconoscere grandezze costanti e grandezze variabili Saper riconoscere una funzione e saperne disegnare il grafico In una funzione di proporzionalità diretta o inversa, saper ricavare i valori della variabile dipendente noti i valori della variabile indipendente e il valore della costante di proporzionalità competenze disciplinari Traguardi per lo sviluppo delle competenze al termine del primo ciclo competenze chiave Raccomandazione del Parlamento europeo e del Consiglio (2006/962/CE) Produrre argomentazioni che consentono di passare da un problema specifico a una classe di problemi Interpretare la realtà confrontando grandezze, dati e procedimenti di soluzione Individuare le criticità selezionando gli algoritmi più strategici allo scopo di pervenire ai possibili risultati; verificare l intero percorso Comunicazione in italiano Comunicazione nelle lingue straniere Competenze nella matematica, nelle scienze e nella tecnologia Competenza digitale Imparare a imparare Competenze sociali e civiche Senso di iniziativa Consapevolezza ed espressione culturale competenze digitali dello Studente Usare il libro di testo digitale, con i suoi contenuti, video, audio, esercizi e strumenti integrativi Usare software di geometria dinamica Vedi European e-competence Framework 3.0

3 60 lezioni digitali Funzioni e ProPorzionalità lezione 1 introduzione al concetto di Funzione e Prime competenze 3 h 30 in classe lezione ParteciPata e lavoro di gruppo in classe Introdurre il concetto di funzione proponendo alla classe lo svolgimento della lezione multimediale interattiva Che cos è una funzione? presente nel Campus matematica e Scienze di Apprendiscienza (FIG. 1). Questa attività comprende più schede con brevi filmati, immagini ed esercizi interattivi legati al contesto reale. FIG. 1 Accedere alla propria Home Page di LibropiuWeb; cliccare sulla voce Risorse, poi sulla voce Campus di Matematica e Scienze e quindi su Apprendiscienza. Infne aprire l attività Che cos è una funzione? FIG. 2 Per avviare i fle audio cliccare sull icona indicata. Aprire la scheda 2 e chiamare alla lavagna interattiva un alunno alla volta per completare i campi, trascinando le misure del peso negli spazi corretti (in alternativa non disponendo di LIM saranno gli studenti a guidare il docente alle corrette attribuzioni). Se lo si reputa necessario è possibile avviare i file audio (FIG. 2). Proseguire con la scheda 3, avviare l animazione che illustra il diagramma di mappatura e il file audio che enuncia la definizione di funzione: risolvere i quesiti presenti nella scheda. Procedere con le stesse modalità affrontando le schede successive che illustrano diversi esempi di funzioni. Quando necessario, avviare le animazioni prima di procedere con l esecuzione dei quesiti. La scheda 11 può anche essere saltata: è dedicata al gioco Memory riadattato al tema funzioni. L attività può anche essere predisposta per uno svolgimento individuale in aula multimediale: comunicare ai ragazzi l indirizzo URL della risorsa; far inserire l indirizzo nella barra del Browser e avviare la ricerca. Se si dispone di alcuni tablet è possibile rendere più coinvolgente l attività proponendo di lavorare a gruppi. Alla conclusione dell attività guidare gli studenti a riformulare il concetto di funzione con domande del tipo: Dopo l attività svolta, riuscite a formulare il concetto di funzione? Che cos è una funzione?. Portare gli studenti a realizzare come il concetto di funzione sia più vicino a loro di quanto possano pensare, con altre domande: Quali funzioni abbiamo incontrato durante l attività? Quando incontriamo le funzioni? e ancora Il concetto di funzione è così lontano dalla vita di tutti i giorni?. Video proiettare pag. 148 della versione multimediale del libro di testo. Leggere insieme agli studenti il paragrafo 1 Le funzioni. Leggere la tabella e formulare le domande: Come possiamo associare i dati presenti nella colon-

4 lezioni digitali 61 na dello Spazio con i dati presenti nella colonna del Tempo? Come possiamo descrivere questo tipo di relazione?. Continuare la lettura del testo insieme agli studenti e soffermarsi sulla definizione di funzione A parole e In simboli. Chiedere agli studenti di interpretare tutti i simboli presenti nella scrittura In simboli e di scriverne il significato sul libro. Se lo si reputa utile può essere inserita una nota a riguardo e, se è stata creata una classe virtuale in LibropiuWeb ed è stata associata al libro di testo, può essere condivisa con gli studenti attraverso lo strumento Social Learning del MEbook (FIG. 3). Video proiettare la lezione multimediale Che cos è una funzione? di Apprendiscienza: ripercorrere i diversi esempi di funzioni presenti nelle varie schede e chiedere di volta in volta agli studenti di individuare la variabile dipendente e la variabile indipendente. FIG. 4 Lezione multimediale Il grafco di una funzione tratta Apprendiscienza. Continuare la lettura del testo e in particolare la definizione di funzioni empiriche e funzioni matematiche. Facendo sempre riferimento agli esempi presenti nelle schede dell attività di Apprendiscienza, chiedere ai ragazzi di individuare le funzioni empiriche e quelle matematiche. Proporre alla classe l attività Il grafico di una funzione presente in Apprendiscienza. Aprire la scheda n 2 e avviare l animazione che illustra il procedimento per costruire il grafico cartesiano di una funzione: fermare l animazione quando viene visualizzata la tabella compilata fino al costo di 6 quaderni (FIG. 4) e formulare le domande: Riuscireste a calcolare anche il costo di due e cinque quaderni? Che formula avete utilizzato? Qual è la variabile dipendente e con quale lettera possiamo indicarla? E quella indipendente?. Ed ancora: Siamo in presenza di una funzione empirica o matematica? Perché?. Riavviare l animazione e mettere in pausa quando vengono visualizzati i punti nel piano cartesiano. Formulare la domanda: Secondo voi unendo i punti cosa ottengo?. Chiamare alla lavagna interattiva un alunno alla volta per completare i campi dei quesiti 2 e 3. Affrontare la scheda 3 con le stesse modalità. Scaricare la risorsa Soluzioni delle Prime competenze cliccando sull apposita icona a pag. 150 e creare un file dedicato: importare le soluzioni dalla risorsa Soluzioni delle Prime competenze in un file di videoscrittura, utilizzando lo strumento macchina fotografica del programma Adobe Reader (FIG. 5) oppure del software di didattica multimediale della LIM (in quest ultimo caso è possibile utilizzare lo strumento tendina per nascondere le soluzioni fino al momento desiderato). FIG. 3 FIG. 5 Con lo strumento Social Learning del MEbook è possibile condividere una nota con gli studenti. Utilizzare lo strumento istantanea rapida per copiare le soluzioni e creare un fle dedicato (per es. in Word).

5 62 lezioni digitali Funzioni e ProPorzionalità Suddividere la classe in gruppi e chiedere agli studenti di risolvere l esercizio n 2 pag Stimolare gli alunni a collaborare tra loro per raggiungere l obiettivo. Procedere per passi: quando è stata completata la prima parte del quesito si apre una discussione, interpellando i gruppi uno alla volta. Si video proiettano solo le soluzioni della prima parte dell esercizio; si passa quindi alla seconda parte e così via fino al grafico della funzione. Dovrebbe emergere che è necessario considerare due diverse unità di misura per l asse x e per l asse y. Chiedere ai ragazzi di risolvere gli esercizi 3 e 4 a pag : discutere le risposte e infine video proiettare le soluzioni. Chiedere ai ragazzi di risolvere il quesito 6 a pag. 151: dopo aver discusso le risposte dei gruppi si video proietta la soluzione corretta. Guidare gli studenti al concetto di funzione costante con domande del tipo: Quali valori assume la variabile dipendente al variare di x? Come potremmo chiamare questo tipo di funzione? e ancora Dal grafico cosa si ottiene?. Per motivare gli alunni è possibile attribuire un punteggio a ogni risposta esatta. Strumenti inclusivi Il lavoro di gruppo è uno strumento di didattica inclusiva Se necessario, gli studenti con Bisogni Educativi Speciali e con Disturbi Sociali dell Apprendimento possono ascoltare i file audio Ascolta l audio della lezione a pagg. 48 e 50 del tomo Percorsi facilitati 2. Questa risorsa può essere utilizzata anche per finalità riferite all intera classe. Chiedere di svolgere gli esercizi 1, 2 e 3 a pag. 49 e l esercizio 2 a pag. 51. Se necessario far eseguire gli esercizi 1 e 2 a pag. 204 della scheda Percorsi di recupero. lezione 2 grandezze direttamente ProPorzionali 2 h 30 in classe lavoro di gruppo in classe Suddividere la classe in gruppi e video proiettare la scheda 2 della lezione multimediale Il grafico di una funzione di Apprendiscienza: chiedere agli studenti di predisporre una tabella a due colonne, dove compaiano il numero di quaderni e il costo complessivo; completare la tabella per 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 quaderni. Guidare gli studenti al concetto di proporzionalità diretta tra le due grandezze con domande del tipo: Osservando i dati in tabella, cosa accade al costo se raddoppio il numero di quaderni acquistati? E se triplico, quadruplico il numero di quaderni, come varia il costo totale?. E ancora: E se i quaderni acquistati vengono dimezzati, per esempio da 6 a 3, come varia il relativo costo totale? E se il numero di quaderni viene ridotto a un terzo, passando da 6 a 2, come varia il costo totale?. Chiedere agli studenti di tacciare il relativo grafico cartesiano della funzione. Portare gli studenti a riflettere su quale sia la variabile dipendente e quella indipendente, per rispondere autonomamente a domande quali: Dobbiamo riportare i dati relativi al numero di quaderni sull asse x oppure sull asse y?. Una volta tracciato il grafico porre la domanda: Unendo i punti riportati sul piano cartesiano cosa otteniamo?. Portare gli studenti a comprendere che unendo i punti si ottiene una semiretta con origine nell origine degli assi cartesiani: Se non viene acquistato alcun quaderno qual è il costo? Possiamo quindi aggiungere al grafico anche questo punto? E se acquistassi 100 quaderni quale sarebbe il costo? Potrei ancora continuare? Quanto? Quanti

6 lezioni digitali 63 FIG. 6 Portare gli studenti a osservare che il rapporto y/x è costante e pari alla costante di proporzionalità diretta. punti otterrei? Come posso indicare questa situazione nel grafico cartesiano?. A questo punto chiedere agli studenti di lavorare ancora con i dati della tabella, facendo aggiungere una terza colonna dal titolo y/x e di calcolare i relativi rapporti (FIG. 6). Formulare le domande: I valori ottenuti variano? Potreste spiegare perché?. Portare gli studenti ad identificare il rapporto con il costo unitario (costante di proporzionalità diretta): Cosa si ottiene dividendo le due variabili (costo totale e n di quaderni)?. Chiedere di formulare la legge che lega il numero di quaderni (x) ed il costo totale (y). Guidare i ragazzi a osservare come varia la pendenza della semiretta al variare della costante di proporzionalità k: chiedere di compilare una nuova tabella considerando un prezzo unitario di 1 e di disegnare la funzione, nello stesso riferimento cartesiano della precedente, utilizzando un colore diverso: Cosa si ottiene se si uniscono i punti della nuova funzione? Quale differenza notiamo tra i due grafici? A cosa è dovuta questa differenza?. Si conclude l attività affrontando le schede 4, 5, 6, 7, 8 e 9, chiamando alla lavagna un alunno alla volta per completare gli esercizi interattivi. Avviare il contenuto multimediale in forma di video Tassi di interesse, relativo al quesito 23 della scheda Educazione finanziaria, cliccando sull apposita icona a pag. 209 (FIG. 7). In assenza di collegamento internet in classe, scaricare e salvare precedentemente il file Tassi di interesse dal portale Libropiuweb e quindi riprodurlo durante la lezione. FIG. 7 Nel MEbook cliccare sull apposita icona per avviare il fle video. Porre agli studenti la domanda: Secondo voi la funzione che lega il tempo trascorso e la somma di denaro in banca è di proporzionalità diretta? Si apre una discussione (brainstorming) senza rivelare la risposta corretta né correggere le eventuali risposte errate. Se necessario si visualizza una seconda volta il file video. Chiedere ai ragazzi di confermare le risposte date, dopo aver tracciato sul quaderno una tabella con i dati relativi a dieci anni di deposito, senza versamenti né prelievi da parte di Elisa. FIG. 8 Per verifcare la correttezza delle risposte è possibile costruire con il foglio di calcolo (Excel, Calc, ecc.) il grafco cartesiano relativo alla funzione. Chiedere di disegnare il grafico cartesiano della funzione (FIG. 8). Ogni gruppo esporrà i propri risultati discutendone con la classe. Dovrebbe emergere che le due grandezze non sono direttamente proporzionali e le motivazioni riportate dai gruppi potranno essere diverse: al raddoppiare triplicare dell una, l altra non raddoppia, triplica ecc; non è sufficiente che all aumentare di una grandezza anche l altra aumenti perché siano legate da proporzionalità diretta; il grafico cartesiano è una semiretta ma la sua origine non coin-

7 64 lezioni digitali Funzioni e ProPorzionalità cide con l origine degli assi cartesiani; non è sufficiente che il grafico sia una semiretta perché la funzione sia di proporzionalità diretta, in questo caso si parlerà di funzione lineare generica. Guidare eventualmente gli studenti al confronto delle equazioni della funzione oggetto di studio e quella di una generica relazione di proporzionalità diretta: y=q+k x e y=k x. Strumenti inclusivi Il lavoro di gruppo è uno strumento di didattica inclusiva. Se necessario, gli studenti con Bisogni Educativi Speciali e con Disturbi Specifici dell Apprendimento possono ascoltare i file audio Ascolta l audio della lezione a pagg. 52 e 53 del tomo Percorsi facilitati 2. Questa risorsa può essere utilizzata anche per finalità riferite all intera classe. lezione 3 grandezze inversamente ProPorzionali 2 h in classe lezione ParteciPata e lavoro di gruppo in classe Aprire il libro di testo in formato digitale a pagg e con lo strumento evidenziatore alla massima intensità di colore, come fosse una tendina, coprire il testo di pag. 153; lasciare visibile solo la tabella dove sono riportati i dati relativi al numero di persone che partecipano alla gita e alla quota individuale, come indicato in FIG. 9 (da effettuarsi in precedenza a cura del docente, ricordando di operare la sincronizzazione se l operazione viene effettuata su PC diverso da quello destinato alla videoproiezione in classe). Video proiettare pag. 152 della versione digitale del libro di testo e leggere insieme agli studenti il paragrafo Grandezze inversamente proporzionali fino alla tabella di pag FIG. 9 Usare lo strumento del MEbook evidenziatore, aumentando l intensità del colore, per nascondere parti del testo. Portare gli studenti a formulare alcune considerazioni sulla funzione che mette in relazione il numero di partecipanti alla gita e la quota individuale: Secondo voi le due grandezze sono direttamente proporzionali? Perché? Se raddoppia il numero dei partecipanti cosa accade alla quota individuale? E se i partecipanti triplicano, come varia la quota? Se i partecipanti da quattro passano a due, come varia la quota individuale?. Chiedere agli studenti di riportare sul quaderno la tabella aggiungendo due righe vuote e intitolandole con y/x e x y. Far calcolare il rapporto tra y e x e riportare i risultati nelle celle corrispondenti. Porre la domanda: I rapporti ottenuti sono costanti o variano?. Far calcolare anche il prodotto delle due variabili e riportare i risultati nelle celle corrispondenti. Formulare la domanda: Il prodotto delle due grandezze varia o rimane costante? Potreste spiegare perché? Portare gli studenti

8 FIG. 10 Togliere la tendina che nasconde il grafco cartesiano della funzione con lo strumento evidenziatore del MEbook. lezioni digitali 65 a identificare il prodotto con la spesa totale della gita (costante di proporzionalità inversa): Cosa si ottiene moltiplicando le due variabili (n partecipanti e quota individuale)? Chiedere di formulare la legge che lega il numero di partecipanti (x) e la quota individuale (y). Formulare la domanda: Disegnando la funzione vi aspettereste di ottenere una semiretta uscente dall origine degli assi? Perché?. Togliere la tendina che copre il grafico (FIG. 10) e stimolarne l osservazione con domande del tipo: Come potremmo chiamare il grafico ottenuto? Perché alle estremità la curva risulta tratteggiata? Guidare i ragazzi a osservare che il ramo di iperbole equilatera si avvicina progressivamente agli assi cartesiani: Ipotizzando 30 partecipanti alla gita, quale sarebbe la quota di partecipazione? E se fossero 50?. Far notare come la curva non passi per l origine: In questo caso il grafico ottenuto passa per l origine degli assi? Potreste spiegare il perché? Far ragionare gli studenti sul fatto che per essere x y=90 deve essere x,y 0 (richiamare la legge di annullamento del prodotto). Scoprire le parti di testo precedentemente nascoste e leggere insieme agli studenti Scaricare la risorsa Soluzioni delle prime competenze cliccando sull apposita icona a pag. 154; creare un file dedicato utilizzando lo strumento macchina fotografica del programma Adobe Reader oppure del software di didattica multimediale della LIM. Suddividere la classe in gruppi e chiedere agli studenti di risolvere l esercizio 2 a pag Procedere per passi: quando tutti i gruppi sono giunti a completare la prima parte del quesito, si apre una discussione chiedendo le strategie impiegate. Si video proiettano solo le soluzioni della prima parte dell esercizio; si passa quindi alla seconda parte e si formula la domanda: Nel primo caso quanti punti sarebbero sufficienti per disegnare il grafico della funzione? E nel secondo caso? È sempre necessario disegnare il grafico di una funzione per comprendere se le grandezze siano legate da proporzionalità diretta oppure inversa? Perché?. Chiedere ai ragazzi di risolvere gli esercizi 4 e 5 a pag. 155: discutere le soluzioni e infine video proiettarle. Strumenti inclusivi Il lavoro di gruppo è uno strumento di didattica inclusiva. Se necessario, gli studenti con Bisogni Educativi Speciali e con Disturbi Specifici dell Apprendimento possono ascoltare i file audio Ascolta l audio della lezione a pagg. 54 e 55 del tomo Percorsi facilitati 2. Questa risorsa può essere utilizzata anche per finalità riferite all intera classe. Chiedere di svolgere gli esercizi 2 e 3 a pag. 53 e gli esercizi 2 e 3 a pag. 55. Se necessario far eseguire gli esercizi 3 e 4 a pag. 204 e gli esercizi 5 e 6 a pag. 205 della scheda Percorsi di recupero. Inoltre, sono molto utili le mappe concettuali di pagg del tomo Percorsi facilitati 2 per guidare al riconoscimento di grandezze direttamente o inversamente proporzionali.

9 66 lezioni digitali Funzioni e ProPorzionalità lezione 4 le Funzioni con geogebra lezione ParteciPata 1 h laboratorio multimediale Chiedere agli studenti di aprire GeoGebra; con la video proiezione aiutare gli studenti a eseguire le semplici operazioni indicate dal testo a pag. 203 nella scheda Competenze digitali, per la creazione di un modello dinamico di proporzionalità diretta (FIG. 11). Chiedere quindi agli studenti di eseguire gli esercizi 4 e 5 a pag FIG.11 Utilizzando gli sliders (indicati dalla freccia) è possibile costruire un modello dinamico di proporzionalità diretta con il software di geometria dinamica GeoGebra. lezione 5 verifica Sommativa 1 h in classe Somministrare i quesiti dal n 1 al n 8 della verifica intermedia Funzioni e proporzionalità presente nella guida per l insegnante; oppure modificare opportunamente il file scaricabile cliccando l icona a pag. 206 (prova A-B). Strumenti inclusivi Se necessario, gli studenti con Bisogni Educativi Speciali e con Disturbi Sociali dell Apprendimento possono effettuare la prova di verifica a loro dedicata: il file è scaricabile cliccando l opportuna icona a pag. 206 (prova C) e può essere opportunamente riorganizzato. In entrambi i casi il file editabile della prova. In alternativa alla prova di verifica intermedia è possibile somministrare agli studenti, anche in aula multimediale, il test interattivo: sarà sufficiente comunicare ai ragazzi l opportuno l indirizzo URL da inserire nella barra URL del Browser ed avviare la ricerca. È altresì possibile proporre lo svolgimento dell attività a casa (autovalutazione). In alternativa alla prova di verifica intermedia è possibile somministrare agli studenti la prova sommativa Secondo periodo. Infine, il docente dispone dello strumento Test generator per creare ex novo prove di verifica personalizzate (FIG. 12).

10 lezioni digitali 67 FIG. 12 Accedere alla propria Home Page di LibropiuWeb; cliccare sulla voce Risorse e quindi sulla voce del libro Ubi Math Matematica per il tuo futuro - Aritmetica 1 + Geometria 1 e infne su Test Generator.