Sergio Giudici FARE IL PUNTO. Una storia a ritroso della localizzazione dal GPS a Tolomeo

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1 Sergio Giudici FARE IL PUNTO Una storia a ritroso della localizzazione dal GPS a Tolomeo

2 2 La geometria del GPS Siamo a Parigi in Rue Monge e dobbiamo andare all Hotel de Ville dove ci aspetta un amico. Un passante ci ha dato delle informazioni ma il nostro francese è pessimo: «destra» si dice «droite» e «diritto» si dice «droit». Basta mancare una vocale per perdersi e infatti non sappiamo più dove siamo. Decidiamo di accendere il GPS per trovare l itinerario giusto. Un messaggio sullo schermo ci informa che bisogna aspettare l acquisizione dei satelliti. Abbiamo fretta e l attesa è snervante! Cosa sta facendo il ricevitore? Il GPS trova il punto Le notti buie e tempestose sono ideali per estrarre un primo elemento concettuale perché quando fa tempesta e cadono dal cielo fulmini spaventosi, potrebbe essere interessante sapere se si sono schiantati vicino a noi o se il fortunale si sta allontanando o avvicinando: si tratta del più elementare tentativo di localizzare qualcosa. Ma come riusciamo a sapere quanto lontano è caduto un fulmine? Semplice: il suono viaggia a circa 300 m/s e se sono passati 10 secondi tra l istante in cui abbiamo visto il lampo e quello in cui abbiamo sentito il boato del tuono allora il fulmine si è schiantato a 3 km da noi. Stiamo usando la definizione di velocità: «spazio = velocità tempo» e possiamo utilizzarla perché qualcuno ci ha fatto il favore di misurare la velocità del suono. Il calcoletto non riesce a determinare esattamente il luogo dello schianto ma ci dice che questo luogo si trova a 3 km di distanza da noi e tutti i luoghi con questa caratteristica stanno su una sfe- 21

3 Fare il punto ra di raggio 3 km di cui noi siamo il centro. Questa sfera è il primo elemento astratto che incontriamo e si merita un nome: chiamiamola «sfera di posizione». Spesso dare un nome ad una cosa è sufficiente per trasformarla in un potente utensile concettuale! L idea principale del sistema GPS è dedurre la posizione di un ricevitore a terra misurando il tempo di arrivo di segnali sincronizzati emessi da satelliti. In poche parole si fa la stessa operazione che abbiamo fatto per il fulmine: si moltiplica una velocità per un tempo tenendo conto che la velocità da usare non è quella del suono ma quella a cui viaggiano i segnali ovvero la velocità della luce (c = km/s). In questo modo si trova una sfera di posizione e, ripetendo l operazione per un certo numero di satelliti, si otterranno altre sfere: la loro intersezione determina il punto in cui siamo. Per il momento non preoccupiamoci dei dettagli hardware del dispositivo GPS ma immaginiamolo come una «scatola nera» in cui entrano tempi ed escono coordinate e cerchiamo di stabilire quanti tempi occorre misurare o equivalentemente quante sfere di posizione bisogna determinare affinché la «scatola» possa trovare la posizione del ricevitore. Possiamo convincerci che quattro misure sono sufficienti e l argomento si basa su un fatto logico: un problema matematico ammette una soluzione non ambigua quando il numero delle quantità incognite è almeno uguale al numero di condizioni che le incognite devono soddisfare. Valutiamo dunque quante incognite ci sono in un problema di localizzazione. Per specificare la posizione di un oggetto bisogna dirne il dove e il quando: viviamo infatti in un mondo quadri-dimensionale in cui tre dimensioni sono riservate a ciò che chiamiamo spazio e la quarta è il tempo. Per specificare il «dove» bisogna dire lunghezza, larghezza e profondità, cioè bisogna trovare una terna di numeri che potrebbero essere le coordinate (x,y,z) della geometria cartesiana oppure latitudine, longitudine e quota ovvero l altezza rispetto alla superficie media terrestre. In ogni caso si tratta sempre di trovare tre numeri. Per specificare il «quando» si deve dire un tempo. Localizzare nello spazio-tempo significa dunque determinare quattro numeri incogniti: tre coordinate spaziali e una temporale e per riuscire a farlo dobbiamo stabilire almeno quattro condizioni. 22

4 La geometria del GPS Immaginiamo che un satellite sia in orbita intorno alla Terra e nell istante t 0 si trovi in una certa posizione nota. Non preoccupiamoci al momento di come conoscere questa posizione, supponiamo soltanto che sia nota. All istante t 0 il satellite emette un segnale radio che viene ricevuto nell istante successivo t dal ricevitore a terra. Se vogliamo dare un nome al segnale possiamo chiamarlo BEEP e immaginiamolo come un onda radio, di quelle usate nelle telecomunicazioni e che si trasmettono in tutte le direzioni viaggiando alla velocità della luce. La differenza di tempo (t 0 -t) esprime la durata del viaggio del segnale dal satellite al ricevitore e se la moltiplichiamo per la velocità della luce, la quantità c(t 0 -t) rappresenta la distanza in linea retta che separa il satellite dal ricevitore. Ecco comparire la prima «sfera di posizione»: siamo infatti sicuri che il ricevitore è posizionato «sulla superficie di» una sfera di raggio r=c(t 0 -t) centrata nel satellite. Ma siamo certi che (t 0 -t) sia la «vera» durata e che c(t 0 -t) sia il «vero» raggio? Il tempo t 0 in cui il satellite decide quando inviare il segnale è stabilito in modo estremamente accurato da un orologio atomico ultrapreciso sistemato a bordo del satellite mentre il tempo di ricezione t è misurato a terra dal ricevitore in modo assai più rozzo: sarebbe infatti poco pratico dotare il ricevitore GPS, che deve stare nel palmo di una mano, di un ingombrante ma soprattutto costoso orologio atomico. Il ricevitore dispone soltanto di un comune orologio al quarzo che ha prestazioni decisamente inferiori e va spesso fuori sincrono in modo impredicibile rispetto agli orologi satellitari. Ammettiamo dunque che la «vera» durata del viaggio percorso dal segnale sia leggermente diversa e sia data da (t 0 -t+δ) dove δ è un tempo incognito (positivo o negativo) che tiene conto dell eventuale «fuori sincrono». Fatte queste precisazioni siamo certi che il ricevitore è posizionato sulla sfera di raggio r=c(t 0 -t+δ) centrata nel satellite. Se ripetiamo lo stesso ragionamento per altri tre satelliti stabiliamo in totale quattro sfere di posizione e dunque abbiamo quattro condizioni che permettono di determinare le quattro incognite del problema. Queste condizioni si possono esprimere in forma algebrica e, se usiamo le coordinate cartesiane, ricordano una specie di teorema di Pitagora nelle quattro dimensioni: (x x i ) 2 + (y y i ) 2 + (z z i ) 2 = c 2 (t i t 0 + ) 2 i = 1, 2, 3, 4 23

5 Fare il punto L indice i assume i valori da 1 a 4 e corrisponde a ciascuno dei quattro satelliti utilizzati, le coordinate (x i,y i,z i ) rappresentano la posizione dell i-esimo satellite mentre le coordinate (x,y,z) rappresentano la posizione incognita del ricevitore e δ è l eventuale fuori-sincrono. I tempi t i sono i tempi di ricezione di ciascuno dei quattro BEEP ricevuti mentre t 0 è l istante nel quale con perfetto sincronismo i quattro satelliti hanno inviato il proprio segnale. Abbiamo dunque «inventato» un metodo per localizzare il ricevitore: basta disporre di quattro satelliti, regolarli in modo che nello stesso momento tutti emettano un segnale e garantiamo che il metodo funziona perché il numero di incognite è uguale al numero di equazioni 1. Il metodo merita un nome e possiamo chiamarlo «quadri-laterazione» perché ha bisogno di quattro satelliti di riferimento. Ora si tratta di fare i calcoli e trovare davvero le quantità incognite. Tale compito è assegnato ad una «calcolatrice» installata nel dispositivo sotto forma di circuito elettronico. Non appena il ricevitore acquisisce il segnale di almeno quattro satelliti, la sua calcolatrice dispone di tutte le informazioni necessarie per determinare le coordinate spaziali e l offset temporale δ e le soluzioni sono comunicate all utente come latitudine, longitudine e quota della posizione. Il tempo δ di solito non è visualizzato ma è comunque disponibile nella memoria elettronica del dispositivo. Terminata la quadri-laterazione, il ricevitore non solo conosce la propria posizione ma sa anche di quanto il suo orologio interno è fuori sincrono rispetto agli orologi ultraprecisi sistemati a bordo dei satelliti. Il sistema GPS permette dunque non solo di sapere dove siamo ma distribuisce anche un riferimento temporale su scala globale: «vedere» i quattro satelliti è come riuscire a scorgere il quadrante di un gigantesco orologio celeste rispetto al quale ogni ricevitore misura il tempo. 1 Va precisato che quattro sfere a tre a tre non allineate hanno al più due punti in comune, quindi potrebbe esserci una ambiguità; tuttavia nel caso concreto della localizzazione satellitare solo uno dei due punti si trova in prossimità della superficie terrestre, l altro è fuori anche di migliaia di chilometri e quindi l ambiguità è rimossa. 24

6 La geometria del GPS La procedura di quadri-laterazione stabilisce dunque due principi comuni a qualunque sistema di localizzazione satellitare: La visibilità di almeno quattro satelliti. La perfetta sincronizzazione della costellazione satellitare. Solo rispettando queste due condizioni il sistema può funzionare: se per qualche motivo fossero visibili meno di quattro satelliti la localizzazione sarebbe impossibile e se venisse meno la sincronizzazione la precisione sarebbe compromessa. Il sistema GPS prevede una costellazione di 24 satelliti disposti in modo tale che da ogni punto della superficie terrestre ne risultano sempre almeno quattro visibili; alle latitudini intermedie in media otto sono accessibili e ciò significa che mediamente un ricevitore dispone di più informazione rispetto a quanto sarebbe necessario e questa ridondanza ha dei vantaggi: esistono infatti delle tecniche numeriche che sanno sfruttare al meglio l eccesso di informazione rendendo la localizzazione ancora più precisa 2. La procedura di quadri-laterazione si basa sulla corretta valutazione dei raggi delle quattro sfere di posizione e la precisione con cui si conoscono questi raggi dipende da quanto bene si riesce a sincronizzare i satelliti tra loro. Se la sincronizzazione degli orologi in orbita è garantita entro il miliardesimo di secondo, i raggi delle sfere potranno scostarsi dal loro valore «vero» per una quantità pari all incirca allo spazio che la luce percorre in un miliardesimo di secondo: ovvero 30 centimetri. Questa distanza fornisce l ordine di grandezza della precisione del sistema. Appena accendiamo il GPS, il sistema ha bisogno di un po di tempo per «agganciare» i satelliti visibili in quel momento e 2 Se il numero di equazioni è superiore al numero di incognite, la procedura da adottare è nota come metodo dei minimi quadrati e consiste nel determinare i valori delle incognite che soddisfano al meglio le condizioni imposte. L invenzione del metodo è attribuita al matematico C.F. Gauss che nel 1809 aveva sistematicamente risolto il problema di come tracciare al meglio l orbita di un corpo celeste di cui sono note alcune posizioni registrate in tempi diversi. 25

7 Fare il punto la sua calcolatrice deve compiere una certa sequenza di operazioni preliminari prima di effettuare i calcoli necessari. Il manuale di istruzione di uno dei più comuni ricevitori GPS in commercio avverte che «quando il dispositivo funziona correttamente, potrebbe impiegare circa due minuti per calcolare la posizione una volta acceso». Non bisogna lamentarsi troppo di questa lentezza: il grande astronomo Tycho Brahe nel secolo XVI impiegò venti anni per misurare la sola latitudine del suo osservatorio con un margine di errore pari a 500 metri; oggi per sapere dove sta l Hotel de Ville ci vogliono «soltanto» un paio di minuti e quattro satelliti! I segnali del GPS Fino ad ora non abbiamo detto nulla a proposito dei segnali emessi dai satelliti, li abbiamo probabilmente immaginati come una sorta di «canto», un coro di BEEP proveniente dal cielo. Se però ci mettiamo nei panni del ricevitore che deve fare i calcoli, possiamo immaginare di quali informazioni ha bisogno e comprendere meglio il BEEP trasmesso. Chiediamoci: Quando il ricevitore sente un certo BEEP, come riesce a sapere da quale satellite arriva? Come conosce la posizione dei trasmettitori? Come conosce l istante t 0 in cui i satelliti hanno inviato simultaneamente il loro BEEP? Dal punto di vista di chi riceve il messaggio, le tre domande sono equivalenti a porsi una questione epistolare: «Ho ricevuto una lettera. Come posso sapere da chi, da dove e quando è stata mandata?». A meno che non si tratti di una lettera anonima, la risposta è semplice: ogni lettera scritta bene riporta il luogo, la data e la firma del mittente. Ecco che abbiamo individuato una caratteristica importante del sistema satellitare: il BEEP emesso dai satelliti non è un semplice canto ma un messaggio in cui sono codificati l istante di trasmissione, la posizione e la firma digitale del trasmettitore. 26