PRINCIPI GENERALI DELLA MECCANICA CLASSICA

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1 Fisica 2CFU Meccanica - 1 parte Andrea Susa PRINCIPI GENERALI DELLA MECCANICA CLASSICA 1

2 Meccanica classica La meccanica classica studia il movimento dei corpi nello spazio a velocità molto inferiori a quella della luce ( /) ovvero di massa superiore a quella atomica (in generale). Il movimento dei corpi a velocità luminari ovvero di massa paragonabile a quella atomica sono studiate dalla meccanica quantistica o relativistica. I fondamenti della Meccanica classica si devono a Galilei e Newton (XVII secolo) Meccanica classica La meccanica classica è suddivisa in tre parti: Statica (si occupa dell equilibrio dei corpi) Cinematica (si occupa del movimento dei corpi senza indagarne le cause, ovvero senza analizzare le forze in gioco) Dinamica (si occupa del movimento dei corpi indagandone le cause, ovvero le forze in gioco) 2

3 Sistema riferimento Fissiamo un punto nello spazio (0,0,0)ed una terna cartesiana,,, chiamiamo Sistema di Riferimento (,,, ): (,, ) (0,0,0) Punto materiale Useremo spesso il concetto di punto materiale: particella materiale assimilata ad un punto matematico ideale e pertanto priva di dimensioni spaziali, identificato da un vettore di posizione all interno di un sistema di riferimento, dotato di massa. (0,0,0) 3

4 CINEMATICA Moto relativo e non assoluto Il concetto di moto è relativo e non assoluto. Esempio: stando in un treno fermo nel momento in cui dal binario vicino parte un altro treno non si è in grado di stabilire quale dei due treni è in moto e quale è fermo (ciascuno è in moto rispetto all'altro) mentre, rispetto alla stazione, un treno è fermo e l'altro è in movimento. Il moto di un corpo è in generale- diverso se esaminato da due diversi sistemi di riferimento. 4

5 Moto relativo e non assoluto Posizione e traiettoria Fissato un sistema di riferimento, la posizione di un punto materiale è data dal vettore posizione (). Questa è una funzione del tempo. Se il punto è in movimento, ()è una funzione non costante in t. La traiettoria è la linea che unisce due posizioni del punto materiale a tempi diversi. La relazione che esprime la posizione di un punto materiale in funzione del tempo è detta legge oraria traiettoria Vettore spostamento Il vettore spostamento, = non dipende dalla traiettoria, ma solo dai punti iniziali e finali 5

6 Velocità media ed istantanea Velocità media: rapporto tra l intero spazio percorso ed il tempo impiegato. = = Velocità media Velocità istantanea: velocità ad un dato istante, rapporto tra un piccolissimo tratto di percorso ed il relativo piccolissimo intervallo di tempo impiegato. = lim = lim Velocità istantanea coincide con la derivata del vettore posizione direzione tangente alla traiettoria Accelerazione media ed istantanea Accelerazione media: rapporto tra la variazione di velocità ed il tempo impiegato. = = Accelerazione media Accelerazione istantanea: accelerazione ad un dato istante, rapporto tra un la variazione di velocità ed il relativo piccolissimo intervallo di tempo impiegato. = lim = lim Accelerazione istantanea coincide con la derivata del vettore velocità direzione segue la traiettoria e si scompone in componente tangenziale e componente normale 6

7 Tipologia di moto Studieremo i seguenti tipi di moto: Moto rettilineo Moto rettilineo uniforme Moto uniformemente accelerato Moto curvilineo Moto curvilineo uniforme Moto uniformemente accelerato Moto armonico MOTO RETTILINEO 7

8 Moto rettilineo uniforme Chiamiamo moto rettilineo uniforme un moto in cui il vettore velocità è costante in modulo, direzione e verso Caratteristiche moto =. =0 Legge oraria = + Equazione retta nel piano cartesiano (x,t) = + =. Andamento velocità nel piano (v,t) =0 Andamento acc. nel piano (a,t) Moto uniformemente accelerato Chiamiamo moto rettilineo uniforme un moto in cui il vettore accelerazione è costante in modulo, direzione e verso Caratteristiche moto == = + Legge oraria = Equazione di una parabola = + Andamento velocità nel piano (v,t) = = Andamento acc. nel piano (a,t) 8

9 Moto dei gravi Il moto di caduta libera dei corpi soggetti alla forza gravitazionale è un moto uniformemente accelerato, in cui l accelerazione è pari a =9,8/ = ()= 1 2 = 2h = 2h Per un corpo lasciato cadere (velocità iniziale nulla) da un altezza h, valgono le seguenti relazioni: h Per un corpo lanciato verso l alto con vel. da un altezza h=0, valgono le seguenti relazioni: = = 1 2 = h = 2 h_ Moto proiettile Consideriamo un proiettile lanciato con velocità iniziale che percorra un moto planare e senza considerare resistenza area ed attriti. =0 = =, =, h = =, =, =, =, 1 2 = 2, = 2,., = cos (), = () Velocità iniziale = 2 sin () cos () 9

10 ESERCIZI Esercizi 1. Un automezzo viaggia su una strada rettilinea alla velocità di 20 / h per 30 ed alla velocità di 40 /hper 60. Qual è la sua velocità media? 2. Un automezzo viaggia con velocità iniziale pari a 80 /he si ferma in 10 minuti. Quanto vale il modulo dell accelerazione? 3. Un corpo di massa 10 è lasciato cadere su Giove ( =26/ ). Ipotizzando assenza di attrito, per toccare il suolo occorrono 10,da quale altezza è stato lanciato. 4. Dobbiamo definire la miglior alzata per un cannone, in modo da avere la gittata massima. Quale deve essere l angolo di alzata? 10

11 SOLUZIONE ESERCIZI Esercizio 1 Un automezzo viaggia su una strada rettilinea alla velocità di 20 /h per 30 ed alla velocità di 40 /hper 60. Qual è la sua velocità media? = Δ Δ = 50 1,5 h =33,3 h Δ=20 h 0,5h+40 h 1h=50 Δ=0,5h+1h=1,5h 11

12 Esercizio 2 Un automezzo viaggia con velocità iniziale pari a 80 /he si ferma in 10 minuti. Quanto vale il modulo dell accelerazione? = =0 = 80/h 1 6 h =480km/h = Esercizio 3 Un corpo di massa 10 è lasciato cadere su Giove ( =26/ ). Ipotizzando assenza di attrito, per toccare il suolo occorrono 10,da quale altezza è stato lanciato. = 2h h= 1 2 h= =

13 Esercizio 4 Dobbiamo definire la miglior alzata per un cannone, in modo da avere la gittata massima. Quale deve essere l angolo di alzata? = 2 sin () cos () Il prodotto sin cos è massimo per =45 ESERCIZI PER CASA 13

14 Esercizi 1. Un automezzo viaggia su una strada rettilinea alla velocità di 35 /h per 30 ed alla velocità di 68 /hper 60 poi alla velocità di 115 km/hper 15 minuti. Qual è la sua velocità media? 2. Un automezzo viaggia con velocità iniziale pari a 110 /hin un rettilineo e raggiunge in 36 secondila velocità di 150 km/h. Quanto vale il modulo dell accelerazione? 3. Un corpo di massa 10 viene lanciato da terra verso l alto e raggiunge l altezza massima di 7 m in 10prima di cominciare a cadere. Quanto vale la velocità iniziale e quanto tempo e necessario per toccare terra? 4. Due sfere e hanno massa pari a =10 e =13. Cadendo simultaneamente nel vuoto da un altezza di 20 cosa accade? In quanto tempo arrivano a terra? Esercizi 5. Il seguente grafico rappresenta l andamento della velocità di un auto in funzione del tempo. a) Calcolare lo spazio percorso nell intervallo di tempo compreso tra gli istanti t = 0 se t = 10 s. b) Calcolare l accelerazione durante la frenata. c) Calcolare la velocità all istante t = 8, 3 s. d) Calcola la velocità media con cui è stato percorso l intero tragitto. 14

15 MOTO CIRCOLARE Moto circolare uniforme Il moto circolare uniforme di un punto materiale è un moto con una traiettoria circolare con velocità costante in modulo. = T= 2 = = 1 = Il vettore velocità è in ogni punto tangente alla circonferenza. Definiamo velocità periferica il rapporto tra lo spazio sulla circonferenza nell intervallo di tempo Chiamiamo periodo del moto T, il tempo che impiega il punto a percorrere l intera circonferenza La velocità angolare è il rapporto tra l angolo descritto dal raggio R nell intervallo di tempo La frequenza è il numero di giri completi che percorre il punto materiale nell unità di tempo Velocità periferica e velocità angolare sono legate dalla relazione 15

16 Moto circolare uniforme Le leggi che regolano il moto circolare uniforme sono le seguenti = 2 =2= = =2f In un moto circolare uniforme, l accelerazione non è nulla, perché la curvatura rende non nullo il vettore. Il punto è soggetto ad una accelerazione centripeta, diretta ed orientata in ogni istante verso il centro della circonferenza = = Moto curvilineo non uniforme Un punto materiale che si muove su una traiettoria curva ad una velocità non costante in modulo è soggetto ad una accelerazione diretta verso la concavità della curva, come risultato di una accelerazione tangenziale ed una radiale o normale. 16

17 ESERCIZI Esercizi 1. Sia la velocità di un punto che si muove di moto circolare uniforme su una circonferenza di raggio R e sia la sua velocità angolare. Il modulo dell accelerazione centripeta vale? 2. Un automobile percorre una curva di raggio 20 m con una velocità costante pari a 40 km/h. L accelerazione dell automobile è pari a? 3. Un corpo percorre a velocità costante una circonferenza di raggio =6 in 8. Si determini: a. il modulo della velocità del corpo b. il modulo dell accelerazione centripeta 17

18 Esercizi 4. Determinare la velocità angolare di un corpo che, muovendosi a velocità costante, impiega 39 s per percorrere 7 giri e 3/4 su una traiettoria circolare. 5. Un corpo si sta muovendo lungo una circonferenza, impiegando 18 s per percorrere 5 giri e 2/3. Sapendo che il modulo dell accelerazione centripeta è pari a 7 /, determinare: a) il raggio della circonferenza; b) il modulo della velocità; c) la frequenza f. 6. A quale velocità angolare deve ruotare una centrifuga se una particella a 10 cm dall asse di rotazione deve subire un accelerazione di modulo pari a 800 /? MOTO ARMONICO 18

19 Moto armonico Un moto armonico è il moto di un punto materiale che compie oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio o centro di oscillazione. Ad esempio, un punto P che si muove di moto circolare uniforme, la sua proiezione sul diametro AB della circonferenza descrive un moto armonico A = sin () Aampiezza delle oscillazioni (il massimo spostamento dalla posizione di equilibrio -A = L accelerazione è direttamente proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio, ma di verso opposto; l accelerazione è nulla nella posizione di equilibrio e di intensità massima agli estremi dell oscillazione ESERCIZI 19

20 Esercizi 1. Una nave con la prua perpendicolare alle onde ha un moto di beccheggio verticale che approssimativamente può essere assimilato ad un moto armonico. Tra un onda ed un altra passano 7, mentre la prua si sposta di 3. Determinare velocità ed accelerazione massima in verticale per una persona posta in piedi sulla prua. 2. Un oggetto si muove di moto armonico. Quando si trova a 5 cm dalla posizione di equilibrio, l oggetto è accelerato con =10/. Calcolare l accelerazione quando l oggetto si trova a 8 cm dalla posizione di equilibrio. 3. Un moto armonico è descritto dall espressione =cos, con =4, =. Calcolare il periodo dell oscillazione. Esercizi 4. Scrivere l espressione di un moto armonico con velocità iniziale nulla, ampiezza =30 e frequenza =25 5. Il grafico in figura rappresenta la legge orario di un corpo che oscilla. a. Determinare ampiezza e periodo, frequenza e pulsazione; b. Determinare il valore della velocità e dell accelerazione quanto =2 c. Determinare il valore della velocità e dell accelerazione quanto =2,5 d. calcolare il valore dell accelerazione quando =1 20

21 SOLUZIONI Esercizi 1. Una nave con la prua perpendicolare alle onde ha un moto di beccheggio verticale che approssimativamente può essere assimilato ad un moto armonico. Tra un onda ed un altra passano 7, mentre la prua si sposta di 3. Determinare velocità ed accelerazione massima in verticale per una persona posta in piedi sulla prua. L ampiezza è metà dello spostamento: = = =1,5 La pulsazione è inversamente proporzionale al periodo: = = =0,9 L accelerazione massima è pari a: = =1,2/ La velocità massima: ==1,4/ 21

22 Esercizi 2. =16/ 3. =1,26 4. = 0,3 cos(157 ) 5. =1,5, =2, =0,5, =3,1 /, 2 =0/, 2 = 15 /, 2,5 = 4,7 /, 2,5 =0/ = 9,9 / ESERCIZI DI RIEPILOGO 22

23 Esercizi 1. Il moto di un proiettile è dato dalla composizione di un moto rettilineo uniforme (in direzione orizzontale) e di un moto uniformemente accelerato (in direzione verticale). La traiettoria risultante è? 2. Si consideri un punto che si muove di moto circolare uniforme su di una circonferenza di raggio R e sia l angolo descritto in un tempo. La velocità angolare è data da? 3. Una pallina viene lasciata cadere da un altezza di 4,9 m; quanto tempo impiega per raggiungere il suolo? 4. Una pallina viene lanciata da un altezza di 4,9 m con una velocità orizzontale avente modulo uguale a 2 m/s; quanto tempo impiega per raggiungere il suolo? 5. Un corpo si muove di moto uniforme lungo una circonferenza di raggio R, con velocità di modulo pari a v; se raddoppiamo la velocità e raddoppiamo il raggio, che relazione esiste tra il modulo della nuova accelerazione centripeta ed il modulo della vecchia accelerazione? Esercizi 6. Un barista lancia sul bancone un boccale di birra ad un cliente che, momentaneamente distratto, non lo vede arrivare. Sapendo che il bancone è alto 1,05 m e che il boccale di birra cade al suolo ad una distanza pari a 1,80 m dalla base del bancone, si determini: a) il tempo di volo del boccale; b) la velocità del boccale nell istante in cui inizia a cadere dal bancone; c) il modulo della velocità del boccale un attimo prima di giungere al suolo; d) l equazione cartesiana della traiettoria (dopo aver scelto un opportuno sistema di assi cartesiani) 23

24 Esercizi 7. Un grave viene lanciato da un altezza di 3 m verso l alto con velocità iniziale pari a 6 m/s. Si determini: a. la quota massima raggiunta e il tempo impiegato per raggiungerla; b. il tempo che impiega a raggiungere il suolo; c. la velocità di impatto con il suolo. d. Si tracci il grafico posizione-tempo, il grafico velocità-tempo ed il grafico accelerazione-tempo. Esercizi 8. Una palla viene lanciata da un altezza di 5 m con velocità iniziale di modulo = 15 / ed avente un angolo = 60 rispetto all orizzonte. Si determini: a. il tempo di volo; b. l altezza massima raggiunta; c. il punto di impatto con il suolo; d. il modulo della velocità un attimo prima di giungere al suolo; e. Variando l angolo iniziale e mantenendo costante il modulo della velocità, si determini il punto più lontano che può essere raggiunto dalla pallina 24

25 DINAMICA Dinamica La dinamica è quella parte della fisica che studia le cause di un moto. Perché un oggetto in movimento si ferma o varia la sua velocità/accelerazione? Perché un oggetto fermo si mette in movimento? La Dinamica introduce 3 leggi o principi fondamentali (sulla base di celebri esperienze di Galilei e Newton). 25

26 Forza La forzaè la causa del moto, nel senso che determina una variazione delle caratteristiche del moto del corpo su cui agisce. L esperienza mostra che l effetto direttamente provocato da una forza è una variazione di velocità del corpo, ovvero una sua «accelerazione». Le forze sono grandezze vettoriali e si sommano secondo la regola del parallelogramma. Dimensioni della forza: =[ ] Nel S.I. l'unità di misura della forza è derivata e si chiama il Newton. I principio della dinamica Principio d'inerzia: Un corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché non intervengono cause esterne. 26

27 II principio della dinamica Un corpo soggetto all'azione di una forza F acquista una accelerazione proporzionale ad essa. = m III principio della dinamica Principio di azione e reazione Per un sistema isolato (ovvero in assenza di forze esterne) ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria. 27

28 Esempi di problemi dinamici Moto di caduta di un grave Forza Peso In prossimità della superficie terrestre tutti i corpi dotati di massa sono soggetti all accelerazione gravitazionale, ovvero alla forza peso. = IMPORTANTE: massa e peso sono concetti distinti. La massa è una grandezza scalare, mentre il peso è una grandezza vettoriale. Esempi di problemi dinamici Moto lungo un piano inclinato Un corpo di massa m su un piano inclinato in assenza di forze di attrito è il vettore normale componente tangenziale componente normale, equilibrata dalla forza di contatto =sin= sin Il corpo scende lungo il piano inclinato con accelerazione costante pari a = sin = + + = + + sin 28

29 Esempi di problemi dinamici Moto armonico Consideriamo un corpo di massa m attaccato all estremità di una molla fissata all altra estremità. Se il corpo viene spostato dalla posizione di equilibrio e poi abbandonato, si origina una forza elastica di richiamo direttamente proporzionale all allungamento = Legge di Hooke k costante elastica =sin(+) A ampiezza, pulsazione o frequenza angolare, è la fase iniziale = = 2 = 1 2 = 1 = 2 =2 Esempi di problemi dinamici Moto di un pendolo Si chiama pendolo semplice un punto materiale di massa mappeso tramite un filo inestensibile, di lunghezza l e massa trascurabile, ad un punto O. Dal momento in cui il pendolo viene spostato dalla sua verticale e quindi lasciato, esso inizierà un moto oscillatorio che, in caso di smorzamento trascurabile, proseguirà come un moto armonico 29

30 Esempi di problemi dinamici I triangoli AOH e ACB sono simili, quindi vale la proporzione: = Si ha quindi: = = Osserviamo che per piccoli spostamenti, la forza di richiamo è proporzionale allo spostamento ed opposta in verso. le relazioni fondamentali sono = = 2 = 1 2 = 1 = 2 =2 Esempi di problemi sul pendolo Alcune osservazioni sul moto del pendolo: Il periodo di oscillazione non dipende dalla massa, ma solo dalla radice della lunghezza del filo. Che succede se ad un pendolo in movimento taglio la corda? La massa diventa soggetta alla forza di gravità e segue un moto di tipo verticale. Cosa succede se ad un pendolo fermo fornisco energia per piccole oscillazioni? L azione della forza peso risulta ancora annullata dal vincolo della corda. 30

31 ESERCIZI Esercizi Il periodo di oscillazione di un pendolo: A) Dipende dalla massa del corpo che oscilla B) Dipende dall ampiezza dell oscillazione C) Decresce al crescere della lunghezza del filo D) Cresce al crescere della lunghezza del filo E) Non dipende dall accelerazione di gravità 31

32 Esercizi Un corpo che scivola su un piano inclinato liscio di altezza h: A) Si muove di moto rettilineo uniforme B) Arriva alla fine del piano inclinato con una velocità inferiore rispetto a quella a cui arriverebbe al suolo se lasciato cadere da un altezza h C) Arriva alla fine del piano inclinato con una velocità maggiore rispetto a quella a cui arriverebbe al suolo se lasciato cadere da un altezza h D) È soggetto a forze a risultante nulla E) Possiede un accelerazione costante FINE ESERCIZI 32

33 Soluzioni 1) D 2) E QUANTITÀ MOTO, LEGGI DI KEPLERO E LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE 33

34 Quantità di moto ed impulso Dato un punto materiale di massa m, definiamo la quantità di motocome il prodotto tra la sua massa e la sua velocità: = = = Definiamo impulso di una forza costante: Teorema dell Impulso = Δ L impulso di una forza relativo ad un certo intervallo Δ, è uguale alla variazione della quantità di moto del punto nello stesso intervallo di tempo; =Δ Conservazione della quantità di moto Consideriamo un sistema costituito da più corpi. Il sistema si dice isolatose la somma delle forze esterne che agiscono sul sistema è nulla. Teorema di conservazione della quantità di moto In un sistema isolato, la quantità di moto totale del sistema si conserva: Δ Δ =0 Il teorema è una conseguenza del III principio della Dinamica 34

35 Leggi di Keplero I legge (delle orbite) I pianeti nel loro moto intorno al sole, descrivono delle orbite ellittiche ed il sole occupa uno dei due fuochi. II legge (delle aree) Le aree, descritte dai raggi vettori di un pianeta rispetto al sole, sono direttamente proporzionali ai tempi Δ,Δ impiegati a descriverle III legge (dei periodi) I quadrati dei tempi di rivoluzione sono direttamente proporzionali ai cubi del semiasse maggiore Legge di gravitazione universale Due corpi di massa m e M a distanza r si attraggono con una forza di intensità pari a = =6,67 10 / Costante di gravitazione universale Osservazione l accelerazione di gravità gè pari a dove è la massa della terra e il suo raggio = Per cui la forza peso = coincide con la legge di gravitazione universale applicata al corpo e la Terra 35

36 Forze di attrito Le forze di attrito sono forze che si oppongono al moto di un corpo quando questo scivola su un piano o si muovo attraverso un fluido. Le forze di attrito si dividono in statiche e dinamiche. Le forze di attrito statico si manifestano quando non c è movimento relativo tra oggetto e piano si oppongono al moto fino ad un valore limite, superato il quale il corpo si mette in movimento. La forza di attrito si oppone alla forza motrice,mentre la forza peso è bilanciata dalla forza di contatto. = dove è il coefficiente di attrito statico Le forze di attrito dinamicosi manifestano quando un corpo è già in movimento. Per mantenere un corpo in moto uniforme su un piano in presenza di attrito è necessario fornire una forza costante. L intensità della forza = dove è il coefficiente di attrito dinamico Forze resistenti Quando un corpo di muove all interno di un fluido, il fluide esercita una forza resistente che tende a diminuire la velocità. Un corpo che cade nell aria è soggetto ad esempio sia alla forza peso che alla resistenza dell aria. In generale, se un corpo che si muove in un fluido è soggetto ad una forza motrice, ad essa si oppone la resistenza del fluido con una forza opposta di intensità pari a =, ovvero proporzionale alla forza motrice. è detta resistenza del fluido. 36

37 LAVORO ED ENERGIA Lavoro Una forza compie lavoroquando sposta il suo punto di applicazione. Il lavoro compiuto dalla forza applicata ad un corpo che subisce uno spostamento è pari a = Casi particolari Lavoro nullo: se F è perpendicolare ad s Lavoro massimo: se F è parallela ad s Lavoro positivo o motore: se 0<< Lavoro negativo o resistente: se << Il lavoro è una grandezza scalare 37

38 Potenza Si definisce potenzail rapporto tra il lavoro compiuto e l intervallo di tempo in cui tale lavoro è stato svolto = Δ = = Un watt è la potenza che in un secondo produce un joule di energia. Energia potenziale Un campo di forze si dice conservativo se il lavoro delle forze del campo dipende solo dalla posizione iniziale e finale ed è indipendente dal percorso. Energia Potenziale L energia potenziale di un corpo che si trova in un campo conservativo è una funzione della posizione. Consideriamo un corpo di massa m che cade dalla posizione A alla posizione B, il lavoro compiuto dalla forza peso è pari a è l energia, potenziale = gravitazione h h =h del corpo h nel punto = A. =Δ =[ ] 38

39 Energia cinetica L energia cinetica di un corpo di massa m in moto con una velocità di modulo v è definita = 1 2 =[ ] Teorema dell energia cinetica Il lavoro compiuto da tutte le forze applicate ad un corpo di massa m è uguale alla variazione dell energia cinetica del corpo =Δ Principio di conservazione energia meccanica Se un corpo si muove in un campo di forze conservativo la somma dell energia cinetica e dell energia potenziale si conserva durante tutto il moto. =+= ESERCIZI 39

40 Esercizi 1. Il lavoro compiuto dalla forza peso per portare un corpo di massa = 1 da un altezza di h=1 di un piano inclinato di angolo =45 a terra, in assenza di attrito, è? 2. Quando il lavoro compiuto da una forza che sposta il suo punto di applicazione di una quantità è massimo? 3. Durante il moto di caduta di un grave per effetto della forza pesoquale energia si conserva? 4. Si consideri un corpo di massa =2, posto su un piano inclinato liscio ad altezza h=1. L energia potenziale del corpo è pari a? SOLUZIONI 40

41 Esercizio 1 Il lavoro compiuto dalla forza peso per portare un corpo di massa = 1 da un altezza di h=1 di un piano inclinato di angolo =45 a terra, in assenza di attrito, è B)9,8 = cos ==9,8 h = = 2 = cos=9,8 2 =9,8 Esercizi 2. Quando il lavoro compiuto da una forza che sposta il suo punto di applicazione di una quantità è massimo? = cos, quindi è massimo se cos=1, quindi =0 3. Durante il moto di cadute di un grave per effetto della forza peso: l energia meccanica si conserva (Teorema di conservazione dell energia meccanica) 4. = h= 19,6 41

42 ESERCIZI DI RIEPILOGO Esercizi 1. Un corpo di massa m = 6,3 kg si muove con velocita uniforme = 3,7 / quando comincia ad agire su di esso una forza F di modulo = 54 nella direzione del moto ma in verso contrario; determinare il quanto tempo il corpo si ferma e quanto spazio percorre da quando e iniziata l'azione della forza. 2. Uncarrellosuruotedimassa = 23 emessoinmovimentodafermo grazie a due forze uguali in modulo che tirano lungo direzioni tali da formare angoli = 30 con la direzione del moto; sapendo che le ruote girano senza attrito e che all'istante = 5 la distanza percorsa e = 4 ;sideterminiilmodulodelledueforze. 42

43 Esercizi 3. Due casse sono poste a contatto su di un piano orizzontale privo di attrito; le loro masse sono = 2,4 e = 3,6 ; le casse sono messe in movimento da una forza di modulo = 12 che agisce sulla prima cassa; determinare l'intensità della forza di contatto agente fra le casse e la loro accelerazione. Esercizi 4. Si consideri una cassa di massa = 4,2 che scende, partendo da ferma, dalla sommità di un piano inclinato privo di attrito lungo l = 7,5 e alto h = 3,8 ; a. determinare le forze agenti sulla cassa; b. determinare il tempo impiegato ad arrivare in fondo al piano inclinato; c. determinare la velocità finale; 5. Per sollevare una cassa di massa m lungo un piano inclinato che formi con l'orizzontale un angolo = 35 un uomo deve applicare un forza di intensità F = 600 N; a. determinare la massa della cassa; b. determinare quale deve essere l'angolo di inclinazione del piano inclinato perchè la forza necessaria al sollevamento diventi la meta. 43

44 Esercizi 6. Si consideri un punto materiale P di massa m = 248 g appoggiato su di una superficie orizzontale scabra; sapendo che i coefficienti di attrito fra P e la superficie valgono = 0,78 e = 0,42, determinare: a. il modulo della minima forza orizzontale che e necessario applicare per mettere P in movimento; b. il modulo della massima reazione vincolare statica esplicabile dal vincolo; c. il modulo dell'accelerazione di P se la forza agente ha modulo = 1,50. STATICA 44

45 Statica E la parte della Meccanica che studia l equilibrio dei corpi. Dai principi della dinamica sappiamo che se su un corpo agiscono delle forze allora il moto del corpo risulta necessariamente accelerato. Pertanto affinché un corpo sia in equilibrio è condizione necessaria (non sufficiente) che la risultante di tutte le forze ad esso applicate sia nulla. Chiamiamo corpo rigidoun corpo esteso che sotto l azione di forze applicate non subisce deformazioni. Equilibrio rispetto alle traslazioni Un corpo è in equilibrio rispetto alle traslazioni nello spazio se e soltanto se la risultante di tutte le forze agenti su di esso è nulla. Se il corpo considerato è un punto materiale questa condizione è anche sufficiente per l equilibrio; Per un corpo rigido tale condizione non è sufficiente Per un corpo rigido, anche se la risultante delle forze esterne applicate è nulla, sono ancora possibili moti di rotazione 45

46 Coppia di forze e rotazioni Per un corpo non puntiforme, anche se la risultante delle forze esterne applicate è nulla, sono ancora possibili moti di rotazione Momento di una forza La tendenza di una forza a causare una rotazione intorno ad un punto dipende sia dall intensità della forza che dalla sua distanza dal punto di rotazione. La grandezza che consente di quantificare tale tendenza si chiama momento meccanico della forza: = = sin Dove il vettore indica la distanza dal polo O al punto di applicazione della forza 46

47 Momento di una forza Coppia di forze Due forze, uguali ed opposte che agiscono con differenti rette di azione su un corpo rigido costituiscono una coppia di forze. Per una coppia di forze, la risultante delle forze è nulla, ma il momento non è nullo e provoca una rotazione 47

48 Condizioni di equilibrio Un corpo rigido risulta in equilibrio se e soltanto se: 1) La risultante di tutte le forze applicate deve essere nulla; 2) La risultante dei momenti di tutte le forze applicate deve essere nulla. Tipologie di equilibrio: Equilibrio stabile il corpo, a seguito di piccoli spostamenti, tende a tornare nel punto di equilibrio (si genera un forza che riporta il corpo al punto di equilibrio) Equilibrio instabile il corpo, a seguito di piccoli spostamenti, si allontana dal punto di equilibrio (si genera un forza che allontana il corpo dal punto di equilibrio) Equilibrio indifferente il corpo, a seguito di piccoli spostamenti, raggiunge un nuovo punto di equilibrio (non si generano forze) 48