Metodi diretti e teoria dei punti critici nel Calcolo delle Variazioni

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1 Metodi diretti e teoria dei punti critici nel Calcolo delle Variazioni Salvatore A. Marano Università di Catania 9 novembre 2016

2 Sommario 1 Metodi diretti Formulazione astratta Punto di vista classico: il caso uni-dimensionale Punto di vista classico: il caso multi-dimensionale Un principio di minimo globale Il problema di Dirichlet per un EDO del secondo ordine l teoremi di Tonelli 2 Teoria dei punti critici Sono i punti di minimo sempre significativi? Il teorema del passo di montagna 3 Speculating about mountains 4 Bibliografia

3 Formulazione astratta Il problema Siano X un insieme non vuoto e J : X R. Studieremo il seguente problema: Determinare, se esiste, x 0 X tale che Esempi classici sono i problemi isoperimetrici (Didone), J(x 0 ) = inf J(x). (1) x X la riflessione della luce (Erone di Alessandria e Fermat), la brachistocrona (Galilei, Bernoulli, Newton), il solido di minima resistenza in un fluido (Newton).

4 Formulazione astratta Condizioni sufficienti Condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché (1) abbia soluzioni è che J sia limitata. In tal caso, posto l := inf x X J(x), si può costruire una successione {x n } X minimizzante, cioè tale che J(x n ) l. Se X è uno spazio topologico in cui le successioni minimizzanti per J sono relativamente compatte, J è sequenzialmente s.c.i., vale a dire z n z in X implica J(z) lim inf n + J(z n ), allora (1) ha soluzioni.

5 Punto di vista classico: il caso uni-dimensionale Il funzionale tipico del CdV nel caso uni-dimensionale Dati f C 1 ([a, b] R 2 ) α, β R U := {u C 1 ([a, b]) : u(a) = α, u(b) = β} (funzioni ammissibili) V := {v C 1 ([a, b]) : v(a) = v(b) = 0} (funzioni test) Tipicamente J ha la forma seguente: J(u) := b a f (t, u(t), u (t)) dt u U. (2)

6 Punto di vista classico: il caso uni-dimensionale Il funzionale tipico del CdV nel caso uni-dimensionale Teorema Se u 0 U è un punto di minimo relativo di J allora b a [f x (t, u 0, u 0 )v + f y(t, u 0, u 0 )v ] dt = 0 v V. (3) L espressione a sinistra della (3) si chiama variazione prima di J in u 0 rispetto a v e si denota con δj(u 0 )(v). Definizione Se δj(u 0 )(v) = 0 per ogni v V allora si dice che u 0 è un punto critico o stazionario di J.

7 Punto di vista classico: il caso uni-dimensionale Il funzionale tipico del CdV nel caso uni-dimensionale Lo studio della (3) si basa sul risultato seguente, noto come lemma di du Bois-Reymond. Lemma Sia u C 0 ([a, b]) tale che b Allora u è costante. a u(t)v (t) dt = 0 v V.

8 Punto di vista classico: il caso uni-dimensionale Il funzionale tipico del CdV nel caso uni-dimensionale Si può ora provare che Teorema Sono equivalenti: 1) u U è un punto critico di J; 2) f y (t, u, u ) C 1 ([a, b]) e risulta d dt f y(t, u, u ) f x (t, u, u ) = 0 in [a, b]. (4) L equazione differenziale ordinaria (4) si chiama equazione di Eulero-Lagrange associata al problema J(u 0 ) = inf J(u). (5) u U

9 Punto di vista classico: il caso uni-dimensionale Il funzionale tipico del CdV nel caso uni-dimensionale Teorema Se f C 2 ([a, b] R 2 ), la funzione (x, y) f (t, x, y) è convessa in R 2 e u 0 U è una soluzione di (4) allora u 0 soddisfa (5).

10 Punto di vista classico: il caso multi-dimensionale Il funzionale tipico del CdV nel caso multi-dimensionale Dati Ω R N denota un aperto non vuoto, limitato e con frontiera Ω regolare f C 2 (Ω R R N ) ϕ C 0 ( Ω) U := {u C 1 (Ω) : u = ϕ su Ω} (funzioni ammissibili) V := {v C 1 (Ω) : v = 0 su Ω} (funzioni test) Tipicamente J ha la forma seguente: J(u) := f (x, u(x), u(x)) dx u U. (6) Ω

11 Punto di vista classico: il caso multi-dimensionale Il funzionale tipico del CdV nel caso multi-dimensionale In questo caso si ha δj(u)(v) = Ω [f y (x, u, u)v + N i=1 f zi (x, u, u) v x i ]dx (7) per ogni u U, v V. Se u 0 U C 2 (Ω) è un punto critico di J allora u 0 è soluzione dell equazione differenziale alle derivate parziali N f zi (x, u, u) f y (x, u, u) = 0, (8) x i i=1 detta ancora equazione di Eulero-Lagrange associata a (5).

12 Punto di vista classico: il caso multi-dimensionale Il funzionale tipico del CdV nel caso multi-dimensionale Problema della membrana elastica N := 2 τ > 0 è la tensione della membrana e J(u) := τ u 2 dx u U. 2 La (8) porta al cosiddetto problema di Dirichlet per l equazione di Laplace: Ω u = 0 in Ω, u = ϕ su Ω. Se c è un termine forzante h C 0 (Ω) si perviene all equazione di Poisson u = h(x) in Ω.

13 Un principio di minimo globale Un principio di minimo globale Da ora in poi, (X, ) denoterà uno spazio di Banach reale e B 1 := {x X : x 1}. Definizione La funzione J : X R si dice coerciva quando lim J(x) = +. x + Usando il teorema di Weierstrass abbiamo Teorema Se J : R N R è s.c.i. e coerciva allora essa ammette minimo.

14 Un principio di minimo globale Un principio di minimo globale In R N ogni insieme limitato è anche relativamente compatto. Ciò non vale negli spazi infinito-dimensionali. Ricordiamo infatti il seguente risultato, dovuto a Riesz. Teorema L insieme B 1 è compatto in X se e solo se dim(x) < +. Una topologia con pochi aperti ha molti compatti. Si va quindi alla ricerca di topologie su X che sono meno fini di quella indotta dalla norma. Una buona scelta è la cosiddetta topologia debole. Denotiamo con X il duale topologico di X. Definizione Siano {x n } X e x X. Diciamo che {x n } converge debolmente a x in X, e scriviamo x n x, quando per ogni ϕ X si ha ϕ(x n ) ϕ(x).

15 Un principio di minimo globale Un principio di minimo globale Purtroppo avere pochi aperti rende onerosa la continuità. In alcuni casi, però, la topologia debole è un buon compromesso. Ciò succede ad esempio negli spazi di Hilbert o, più in generale, negli spazi di Banach riflessivi. Sussiste infatti il seguente risultato, dovuto a Kakutani. Teorema Se X è riflessivo allora l insieme B 1 è debolmente compatto. Dunque: Teorema Siano X riflessivo e J : X R debolmente sequenzialmente s.c.i., cioè x n x in X implies J(x) lim inf n + J(x n ), e coerciva. Allora (1) ha soluzioni.

16 Un principio di minimo globale Un principio di minimo globale Un buon veicolo per la debole semicontinuità inferiore è la convessità. Ricordiamo infatti che Lemma Se X è riflessivo e J : X R è convessa e s.c.i. allora J è pure debolmente s.c.i. Possiamo ora enunciare il Principio di minimo globale. Teorema Siano X uno spazio di Banach riflessivo, C un suo sottoinsieme non vuoto, convesso e chiuso e J : C R una funzione s.c.i. e convessa. Nel caso in cui C non sia limitato, supponiamo pure che J sia coerciva. Allore esiste il min x C J(x).

17 Il problema di Dirichlet per un EDO del secondo ordine Il problema di Dirichlet per un EDO del secondo ordine Sia g : [0, π] R R continua. Consideriamo il problema Posto u = g(t, u) in [0, π], u(0) = u(π) = 0. (9) H 1 0 (]0, π[) := {u AC([0, π]) : u(0) = u(π) = 0, u L 2 ([0, π])}, u v := π 0 u (t)v (t) dt u, v H0 1 (]0, π[), otteniamo uno spazio di Hilbert reale. Ciò anche grazie alla disuguaglianza di Poincaré-Wirtinger: π 0 u(t) 2 dt π 0 u (t) 2 dt.

18 Il problema di Dirichlet per un EDO del secondo ordine Il problema di Dirichlet per un EDO del secondo ordine Definizione Diciamo che û H0 1 (]0, π[) è una soluzione debole di (9) quando π 0 û (t)v (t)dt π 0 g(t, û(t))v(t)dt = 0 v H0 1 (]0, π[). Ciò significa che û è un punto critico del funzionale dell energia J(u) := 1 2 π 0 u (t) 2 dt π 0 G(t, u(t))dt, u H0 1 (]0, π[), associato al problema (9). Qui G(t, ξ) := ξ 0 g(t, s) ds.

19 Il problema di Dirichlet per un EDO del secondo ordine Il problema di Dirichlet per un EDO del secondo ordine Sussiste il seguente risultato, dovuto a Lichtenstein (1915). Teorema Se esiste c 0 tale che G(t, ξ) c in [0, π] R allora (9) ha almeno una soluzione debole che minimizza il funzionale J. Esempi g(t, x) := ae x + h(t), con a > 0 e h L 1 ([0, π]). g(t, x) := a sin x + h(t), con a > 0 e h L 1 ([0, π]) (equazione del pendolo forzato). Una questione molto importante ma delicata è la regolarità delle soluzioni deboli del problema (9), ovviamente in ipotesi più generali di quelle qui adottate.

20 l teoremi di Tonelli l teoremi di Tonelli Ipotesi f C 0 ([a, b] R 2, R + 0 ) y f (t, x, y) è convessa e di classe C 1 (R) Esiste c > 0 tale che f (t, x, y) cy 2 in [a, b] R 2. Teorema Nelle suddette ipotesi il problema (5), con U := {u H0 1 (]a, b[) : u(a) = α, u(b) = β}, ha almeno una soluzione. Sotto ulteriori condizioni per f tale soluzione sta in C 2 ([a, b]) e quindi risolve l equazione di Eulero-Lagrange associata a J.

21 Sono i punti di minimo sempre significativi? Sono i punti di minimo sempre significativi? Da ora in poi (X, ) è uno spazio di Banach reale, x 0 X e J : X R. Definizione x0 X si chiama derivata di Gâteaux di J in x 0, e si scrive J (x 0 ) = x0, quando per ogni v X risulta J(x 0 + tv) J(x 0 ) lim = x0 t 0 t (v). Definizione Se J (x 0 ) = 0 X allora diciamo che x 0 è un punto critico di J. Non sempre i minimanti di J sono significativi, come mostra il seguente

22 Sono i punti di minimo sempre significativi? Esempio u = u 3 in ]0, π[, u(0) = u(π) = 0 Il corrispondente funzionale dell energia è dato da J(u) := 1 2 π 0 u (t) 2 dt 1 4 π 0 u(t) 4 dt u H0 1 (]0, π[). Si dimostra che u 0 (t) 0 è un punto di minimo locale per J, che J non è limitato inferiormente e che esistono punti critici non banali di J. Quest ultimo fatto deriva dal celebre teorema del passo di montagna di Ambrosetti-Rabinowitz (1973).

23 Il teorema del passo di montagna Il teorema del passo di montagna Ipotesi 1) J è Gâteaux-derivabile in ogni punto x X e l applicazione x X J (x) X è continua 2) Esistono x 0, x 1 X ed r > 0 tali che r < x 1 x 0 e, inoltre, max{j(x 0 ), J(x 1 )} < inf J(x). (10) x x 0 =r Poniamo ora dove c := inf γ Γ max t [0,1] J(γ(t)), Γ := {γ C 0 ([0, 1], X) : γ(0) = x 0, γ(1) = x 1 }. La 2) è nota come geometria del passo montano.

24 Il teorema del passo di montagna Il teorema del passo di montagna Diciamo che J soddisfa la condizione di Palais-Smale, in breve (PS), quando (PS) Ogni successione {x n } X tale che {J(x n )} è limitata e J (x n ) 0 X in X possiede una sottosuccessione convergente. Evidentemente, (PS) è una ipotesi di relativa compattezza. Teorema Nelle ipotesi 1), 2) e (PS) il funzionale J ha almeno un punto critico ˆx X tale che J(ˆx) = c. Ad esempio, questo risultato fornisce una soluzione classica non banale del problema di Dirichlet omogeneo per l equazione u = u 3 in Ω.

25 Speculating about mountains È possibile indebolire qualcuna delle ipotesi 1), 2) e (PS)? Generalizzare la 1) significa avere a che fare con funzionali non derivabili nel senso usuale. Questa circostanza si presenta in alcuni importanti casi concreti, dove il funzionale dell energia presenta termini convessi oppure localmente lipschitziani. Una nuova nozione di derivata è allora necessaria... La geometria del passo montano 2) si presta a diverse considerazioni. Innanzitutto, la disuguaglianza in (10) può essere indebolita? Sono possibili geometrie più generali?... La (PS) è stata ampiamente studiata e diverse estensioni, come ad esempio la cosiddetta condizione di Cerami (C), sono orami molto note, ma...

26 Piccola (e molto incompleta) bibliografia 1) G. Buttazzo, M. Giaquinta e S. Hildebrandt, One-dimensional variational problems, Oxford. 2) E. Cabib, Calcolo delle variazioni per principianti, Università di Udine. 3) G. Talenti, Calcolo delle variazioni, Quaderni dell UMI. 1) A. Ambrosetti, Critical points and nonlinear variational problems, Bull. Soc. Math. France. 2) D.G. de Figueiredo, Lectures on the Ekeland variational principle with applications and detours. 3) G. Mawhin, Critical point theory and applications to nonlinear differential equations. 4) G. Mawhin e M. Willem, Origin and evolution of the Palais - Smale condition in critical point theory.