Sistemi Dinamici Complessi

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1 Sistemi Dinamici Complessi Linee guida per l analisi dei sistemi dinamici caotici Chiara Mocenni a.a. 2011/2012 Corsi di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica e Gestionale mocenni/compdynsys-teach html

2 Questo documento presenta alcune linee guida per effettuare l analisi dei sistemi dinamici, a tempo continuo o discreto (mappe) non lineari che mostrano comportamenti complessi, come ad esempio dinamiche caotiche. 1. Soluzioni di equilibrio. In primo luogo è opportuno individuare le soluzioni di equilibrio del sistema dinamico. Nel caso di sistemi a tempo continuo, queste soluzioni sono tali che: ẋ = 0, x R n, x = (x 1, x 2,..., x n ). In altre parole si tratta di risolvere il sistema: ẋ 1 = 0, ẋ 2 = 0,..., ẋ n = 0. Ad esempio, nel caso del sistema di Lorenz, descritto dal sistema di equazioni ẋ = σx + σy ẏ = xz + rx y ż = xy bz, si hanno tre soluzioni di equilibrio ottenute risolvendo il sistema: Le soluzioni sono: x 1 = (0, 0, 0), σx + σy = 0 xz + rx y = 0 xy bz = 0. x 2,3 = (± b(r 1), ± b(r 1), r 1). E evidente che le soluzioni x 2,3 esistono solo per r 1. Nel caso delle mappe, una soluzione è soluzione di equilibrio (o punto fisso), quando: x t+1 = x t. Ad esempio, nel caso della mappa logistica, descritta dall equazione: x t+1 = rx t (1 x t ), 1

3 dove x t 0, i punti fissi si ottengono risolvendo l equazione: Tali soluzioni sono: rx t (1 x t ) = x t. x 1 = 0, x 2 = 1 1 r. x 1 esiste per ogni valore di r, mentre x 2 esiste solo per r Linearizzazione. Si studia il sistema linearizzato nell intorno di ciascuno dei punti di equilibrio. Il sistema linearizzato è descritto dalla seguente equazione: η = J(x )η, dove η = x x. Per ogni punto di equilibrio si calcolano gli autovalori della matrice Jacobiano J(x ), sostituendo le coordinate del punto di equilibrio nella matrice, allo scopo di studiare la stabilità della soluzione nulla del sistema linearizzato. 3. Stabilità degli equilibri in funzione dei parametri. Notiamo che in generale l espressione degli autovalori e delle soluzioni di equilibrio dipendono dai parametri del sistema. La condizione di stabilità è diversa a seconda che il sistema studiato sia a tempo continuo o discreto. In particolare, le condizioni di stabilità nei due casi sono le seguenti: TC. Re(λ i ) < 0, λ i ; TD. λ i < 1, λ i. Nel caso in cui almeno un autovalore abbia parte reale nulla (cioè il corrispondente punto di equilibrio non è iperbolico), possono avvenire cambiamenti nella stabilità della soluzione di equilibrio, o del punto fisso (biforcazioni). In questo caso è opportuno effettuare alcune simulazioni variando le condizioni iniziali del problema ed il parametro critico (cioè quello per cui si annulla la parte reale degli autovalori) alternativamente allo scopo di individuare le eventuali biforcazioni. Le simulazioni possono essere fatte utilizzando una delle funzioni ODE di MATLAB o qualunque software che presenti algoritmi di integrazione di equazioni differenziali ordinarie, quali Eulero, Runge-Kutta, ecc. 2

4 4. Analisi di biforcazione. Se nel corso delle analisi svolte nei punti precedenti si sono individuati cambiamenti nella dinamica, è opportuno effettuare un analisi di biforcazione del sistema. A questo scopo si prende in considerazione una delle soluzioni di equilibrio trovate precedentemente, e si calcolano gli autovalori in funzione del parametro critico imponendo sue piccole variazioni in un range opportuno. Una volta che si è effettuata l analisi per tutte le soluzioni di equilibrio, I risultati possono essere visualizzati nel diagramma di biforcazione del sistema. Ad esempio, nel caso del sistema di Lorenz si evidenzia quanto segue: 0 r < 1. L unica soluzione di equilibrio x 1 è stabile asintoticamente. Script MATLAB per l analisi dell origine x 1. File: stability lorenz.m % equazioni del sistema di Lorenz: % dydt=[sigma*(y-x); % r*x - y - x*z; % x*y - b*z] % J = [-sigma, sigma, 0; % r - z, - 1, - x; % y, x, - b]; i=1; for r = 1:0.02:30 ; sigma = 10.0; b = 8.0/3.0; E=[0, 0, 0]; % E=[sqrt(b*(r - 1)), sqrt(b*(r - 1)), r - 1]; % E=[-sqrt(b*(r - 1)), -sqrt(b*(r - 1)), r - 1]; J = [-sigma, sigma, 0; r - E(3), - 1, - E(1); E(2), E(1), - b]; [VJ, EJ] = eig(j); 3

5 R(i)=r; EJr(i,:)=[EJ(1,1),EJ(2,2),EJ(3,3)]; i=i+1; end plot(r,real(ejr(:,1)),.,r,real(ejr(:,2)),.,r,real(ejr(:,3)),. ) grid on xlabel( r ) title( parte reale degli autovalori ) legend( \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 ) figure plot(r,imag(ejr(:,1)),.,r,imag(ejr(:,2)),.,r,imag(ejr(:,3)),. ) grid on xlabel( r ) title( parte immaginaria degli autovalori ) legend( \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 ) 1 < r < 24. La soluzione x 1 perde la propria stabilità attraverso una biforcazione pitchfork supercritica. Le due nuove soluzioni che nascono grazie alla stessa biforcazione x 2,3 risultano stabili per questi valori dei parametri. Script MATLAB per l analisi dei punti x 2 e x 3. File: stability lorenz.m i=1; for r = 1:0.02:30 ; sigma = 10.0; b = 8.0/3.0; %E=[0, 0, 0]; E=[sqrt(b*(r - 1)), sqrt(b*(r - 1)), r - 1]; % E=[-sqrt(b*(r - 1)), -sqrt(b*(r - 1)), r - 1]; J = [-sigma, sigma, 0; r - E(3), - 1, - E(1); E(2), E(1), - b]; 4

6 [VJ, EJ] = eig(j); R(i)=r; EJr(i,:)=[EJ(1,1),EJ(2,2),EJ(3,3)]; i=i+1; end 24 < r < 30. Entrambe le soluzioni x 2,3 perdono stabilità attraverso una biforcazione di Hopf subcritica. Questa coppia di biforcazioni non può essere facilmente individuata in quanto i cicli limite che esistono prima della biforcazione sono instabili. Script MATLAB per effettuare le simulazioni del sistema per tali valori del parametro r. Lo script può essere utilizzato anche per analizzare la sensitività alle condizioni iniziali presente nell attrattore di Lorenz. Sub-function lorenz.m. In questa funzione vengono scritte le equazioni del sistema, richiamate dell integratore ODE. La funzione contiene anche i valori dei parametri assegnati per la simulazione. File: lorenz.m function dydt = lorenz(t,y); sigma = 10.0; r = 30; b = 8.0/3.0; dydt = [sigma*(y(2)-y(1)); r*y(1) - y(2) - y(1)*y(3); y(1)*y(2) - b*y(3)]; Script che contiene l integratore del sistema e visualizza le soluzioni. % Write here the initial conditions ystart = [2.0;2.0;1.0]; ystart1 = [2.01;2.01;1.01] % Write here the vector tspan as tinit : dt : tfinal tspan = 0:0.001:100; % This solves the ODE system defined in the sub-function "lorenz.m" and % returns the vector y(t,i) (for i = 1 to the number of dependent variables) % at the times t defined in the vector tspan. Note that if you set 5

7 % tspan = [tinit tfinal] without specifying dt then the solver chooses % the times of output and returns them in the vector t %The second command call to the ODE function allows to obtain a % second trajectory starting at initial conditions very close to the % original i.c.. Thsi is to show the sensitivity to initial conditions. [t,y] = ode45(@lorenz,tspan,ystart); [t,y1] = ode45(@lorenz,tspan,ystart1); % This draws the trajectory in phase space. hold line(y(:,1),y(:,2),y(:,3)) title( phase space ) line(y1(:,1),y1(:,2),y1(:,3), Color, r ) % This plots y(t) figure plot(t,y(:,1)) title( x(t) ) plot(t,y1(:,1), Color, r ) % This plots y_2(t) figure plot(t,y(:,2)) title( y(t) ) plot(t,y1(:,2), Color, r ) % This plots y_3(t) figure plot(t,y(:,3)) title( z(t) ) plot(t,y1(:,3), Color, r ) r > nessuna delle soluzioni di equilibrio esistenti è stabile. Il comportamento diventa caotico. Si osservi che per questo valore di biforcazione non si determina nessuna collisione di equilibri o cicli e tutte le soluzioni di equilibrio continuano ad esistere, come confermato 6

8 dall analisi effettuata al punto 1. Tutte le soluzioni sono instabili. Script MATLAB per la visualizzazione animata dell attrattore di Lorenz. Lo script genera anche un filmato della dinamica nello spazio delle fasi denominato butterflyr21.avi. File: lorenz movie.m % initial conditions y0 = [ ]; ystart = y0; % timestepping data: tstep = 0.4; nstep = 200; % labelling axes axis([ ]) xlabel( x, FontSize,20) ylabel( z, FontSize,20) % creation and acquisition of frames for i = 1:nstep tspan = 0:tstep/100:tstep; [t,y] = ode45(@lorenz,tspan,ystart); line(y(:,1),y(:,3)) ystart = y(101,:); h = gcf; M(i) = getframe(h,[ ]); end movie(m); movie2avi(m, butterflyr21, fps,4); Nel caso della mappa logistica, la stabilità dipende dal moltiplicatore del sistema linearizzato: J(x ) = f (x ) = r 2rx. La stabilità dei punti fissi è la seguente: 7

9 x 1. Poichè f (x 1) = r, l origine è stabile per r < 1 ed instabile per r > 1. x 2. f (x 2) = 2 r, quindi x 2 è stabile per 2 r < 1, cioè per 1 < r < 3, e instabile per r > 3. Script MATLAB per l analisi della stabili a lineare delle soluzioni di equilibrio della mappa logistica. File: stability logistica.m % xt+1=r*xt*(1-xt); equazione della mappa % x1=0; x2=1-1/r; equilibri della mappa % f =r-2*r*x(eq); espressione dei moltiplicatori % f (x1)=r; valore del moltiplicatore relativo all equilibrio x1 % f (x2)=2-r; valore del moltiplicatore relativo a x2 r=0.01:0.01:4; %range del parametro r fprimo1=r; plot(r,fprimo1) r1=1:0.01:4; fprimo2=2-r1; plot(r1,fprimo2, r ) legend( f (0), f (r-1)/r) ) title( moltiplicatori ) grid on Per r = 3 f (x 2) = 1 cioè r raggiunge un valore critico, superato il quale il punto x 2 perde la sua stabilità e le traiettorie del sistema cominciano ad oscillare tra due valori (biforcazione di raddoppiamento di periodo o flip). Il periodo diventa 2T. Per 3 < r < il ciclo di periodo 2 rimane stabile. Oltre questo valore anch esso perde la propria stabilità dando luogo ad un nuovo ciclo di periodo 4T. Questo fenomeno si ripete per valori sempre crescenti di r, finché, per r > 3.57 si osserva un comportamento aperiodico e caotico. 8