4 Bibliografia. 3 Geometria. Fondamenti e didattica della matematica B. Contenuti del corso

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1 1 2 Fondamenti e didattica della matematica B 20 gennaio 2007 Contenuti del corso Dipartimento di Matematica e Applicazioni Università di Milano Bicocca Fondamenti e didattica della matematica B p. 1 Fondamenti e didattica della matematica B p. 2 3 Geometria 4 Bibliografia Proprietà delle figure geometriche: l eguaglianza in geometria, geometria metrica e geometria delle similitudini che cosa significa che due figure sono uguali? Il testo principale del corso è M. Cazzola, Per non perdere la bussola, Ed. Decibel-Zanichelli, 2001 L utilizzo della carta a quadretti come strumento per l insegnamento della geometria come si può utilizzare la carta a quadretti per introdurre concetti di geometria (anche ad un livello non banale) Ma spesso è difficile confinare la matematica in un solo libro di testo. Potrà esservi richiesto di rivedere concetti che già possedete (magari con uno spirito critico diverso), può essere che strada facendo vi accorgiate di dover rivedere qualcosa... Misura di aree e volumi Come variano aree e volumi? Simmetria isometrie e loro proprietà In questo caso potranno venirvi incontro gli altri testi consigliati sarà mia cura di volta in volta suggerire dove trovare il materiale adatto. Fondamenti e didattica della matematica B p. 3 Fondamenti e didattica della matematica B p. 4

2 5 6 Proprietà delle figure geometriche Proprietà delle figure geometriche Quando facciamo geometria concentriamo l attenzione su particolari proprietà delle figure. Spesso le proprietà che andiamo a considerare importanti sono diverse a seconda del contesto. Consideriamo ad esempio la seguente figura Fondamenti e didattica della matematica B p. 5 Fondamenti e didattica della matematica B p. 6 7 Proprietà delle figure geometriche 8 Definizioni è un quadrato il lato è lungo 5 quadretti ha area 25 ha quattro lati ha quattro angoli retti Quali di queste proprietà sono riconoscibili anche in questa figura? Spesso il primo passo da compiere è quello di dare delle definizioni. Proviamo a dare la definizione di quadrato: Definizione Chiamiamo quadrato un quadrilatero con tutti i lati e tutti gli angoli uguali. Vi sarete accorti che molti di voi avranno pensato a qualcosa di diverso. E quali in questa? Non sempre c è un solo modo per definire qualcosa... può succedere che due definizioni apparentemente diverse siano in realtà equivalenti. Fondamenti e didattica della matematica B p. 7 Fondamenti e didattica della matematica B p. 8

3 9 Quadrati? 10 figura geometrica piana con 4 lati uguali è una figura piana, è un poligono con 4 lati uguali e 4 angoli retti quadrilatero avente 4 lati uguali paralleli a 2 a 2, 4 angoli retti, 2 diagonali uguali Ancora sulle definizioni... figura piana avente 4 lati uguali e gli angoli uguali (di 90 ), è un poligono regolare la cui area viene misurata con A = l 2 poligono regolare con 4 lati uguali poligono regolare con 4 lati uguali e perpendicolari tra loro figura geometrica con 4 lati uguali e diagonali uguali Fondamenti e didattica della matematica B p. 9 Fondamenti e didattica della matematica B p Diagonali 12 Diagonali Proviamo a rispondere al seguente quesito: Un quadrilatero ha... diagonali. Un pentagono ha... diagonali. Un esagono ha... diagonali. Definizione In un poligono, chiamiamo diagonale un qualsiasi segmento che unisce due vertici non consecutivi. Un cubo ha... facce,... vertici,... spigoli e... diagonali. Una piramide a base esagonale ha... facce,... vertici,... spigoli e... diagonali. Per rispondere è fondamentale concordare su cosa si voglia chiamare diagonale! Un triangolo non ha diagonali. Fondamenti e didattica della matematica B p. 11 Fondamenti e didattica della matematica B p. 12

4 13 Quadrilateri 14 Pentagoni Un quadrilatero ha due diagonali. Un pentagono ha cinque diagonali Diagonale: un qualsiasi segmento che unisce due vertici non consecutivi Diagonale: un qualsiasi segmento che unisce due vertici non consecutivi Fondamenti e didattica della matematica B p. 13 Fondamenti e didattica della matematica B p Esagoni 16 Diagonali di un poligono Se assumiamo come definizione di diagonale Definizione In un poligono, chiamiamo diagonale un qualsiasi segmento che unisce due vertici non consecutivi. allora un poligono di n lati ha esattamente Quante sono? Un esagono ha diagonali diagonali. n (n 3) 2 Se diamo una definizione diversa (cioè non equivalente) di diagonale, questa formula potrebbe perdere di significato. Fondamenti e didattica della matematica B p. 15 Fondamenti e didattica della matematica B p. 16

5 17 Diagonale??? 18 Il caso tridimensionale Consideriamo la seguente definizione Definizione La diagonale in un poligono è l asse che unisce due vertici; in un quadrilatero esistono due diagonali. Vorremmo tradurre al caso tridimensionale la definizione data nel caso bidimensionale Definizione In un poligono, chiamiamo diagonale un qualsiasi segmento che unisce due vertici non consecutivi. cosa è un asse? la definizione di asse dovrebbe farmi escludere i lati del poligono la parte in un quadrilatero esistono due diagonali è rilevante per la definizione di diagonale? traduciamo poligono con poliedro abbiamo però due modi diversi di tradurre l espressione non consecutivi che non appartengono allo stesso lato che non appartengono alla stessa faccia Fondamenti e didattica della matematica B p. 17 Queste due possibilità danno origine a due definizioni non equivalenti... Fondamenti e didattica della matematica B p Diagonali del cubo 20 Giusto o sbagliato? Abbiamo quindi due possibili definizioni non equivalenti di diagonale in un poliedro un qualsiasi segmento che unisce due vertici non appartenenti alla stessa faccia un qualsiasi segmento che unisce due vertici non appartenenti allo stesso lato Nessuna delle due definizioni è di per sé quella giusta o quella sbagliata: ci sono contesti in cui ha senso utilizzare l una piuttosto che l altra. Per questo prima di porre la domanda quante sono le diagonali di un cubo? occorre specificare qual è il quadro di riferimento. Fondamenti e didattica della matematica B p. 19 Fondamenti e didattica della matematica B p. 20

6 21 Mi è capitato di sentire la seguente domanda Quiz televisivi 22 Qual è il numero massimo di angoli retti che può avere un trapezio? Questa è proprio una domanda a cui non si può dare risposta se non si risolve l ambiguità della definizione di trapezio un trapezio è un quadrilatero che ha almeno due lati paralleli un trapezio è un quadrilatero che ha due e solo due lati paralleli Di nuovo, queste definizioni non sono equivalenti e entrambe sono da considerarsi giuste o sbagliate a seconda del contesto. Fondamenti e didattica della matematica B p. 21 Quadrati Fondamenti e didattica della matematica B p Quadrati 24 Quadrati Definizione Chiamiamo quadrato un poligono con 4 lati uguali e 4 angoli retti. Quando diamo la definizione di quadrato in realtà non definiamo una figura, ma tante figure accomunate da proprietà geometriche. Definiamo una classe di figure geometriche. La parola classe è presa in prestito dal capitolo delle Relazioni di equivalenza. Infatti quello che di fatto facciamo è di considerare uguali (in altre parole equivalenti) tutte le figure che rispondono alla nostra definizione. Fondamenti e didattica della matematica B p. 23 Quando diamo una definizione (ad esempio di quadrato) quello che ci interessa è identificare la classe di similitudine delle figure che rispondono alla nostra definizione. Fondamenti e didattica della matematica B p. 24

7 25 26 Trasformazioni del piano Definizione Una trasformazione del piano è una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano. Geometria delle similitudini In altre parole una trasformazione del piano f associa ad ogni punto P uno e un solo punto f(p) (che possiamo indicare con P ) e viceversa ogni punto P del piano è il corrispondente di uno e un solo punto P. Fondamenti e didattica della matematica B p. 25 Fondamenti e didattica della matematica B p Corrispondenze biunivoche 28 Omotetie del piano Se A è l insieme dei numeri naturali e B è l insieme dei numeri naturali pari, nella corrispondenza biunivoca f(n) = 2 n al numero naturale 4 corrisponde il numero pari 8 il numero pari 2 è il corrispondente di 1 l espressione 2 n esprime la regola che ci permette di stabilire se due elementi sono l uno il corrispondente dell altro. Quando ho a che fare con oggetti geometrici la regola deve essere espressa in termini geometrici. Una omotetia del piano è una trasformazione del piano costruita in questa maniera si fissa un punto O del piano si fissa un parametro reale positivo k (k > 0) Se P è un punto del piano per costruire P, l immagine di P, si traccia la semiretta che parte da O passante per P e su questa semiretta si pone P tale che la distanza di O da P sia k volte la distanza di O da P. k = 2 Q O P P Q Fondamenti e didattica della matematica B p. 28 Fondamenti e didattica della matematica B p. 27

8 29 Omotetie del piano 30 Omotetie Possiamo anche avvalerci dello strumento della carta a quadretti k = 3 Q Q O P P Se k = 1 ad ogni punto P del piano corrisponde P stesso. La trasformazione del piano per cui per ogni punto P si ha f(p) = P è detta trasformazione identica (è anche detta identità). Nella definizione data si è posto k > 0. Se infatti avessimo ammesso il valore k = 0 la costruzione geometrica descritta sarebbe ancora possibile, ma ad ogni punto P del piano sarebbe associato il punto O. In questo caso non si avrebbe una corrispondenza biunivoca. Fondamenti e didattica della matematica B p. 29 Fondamenti e didattica della matematica B p Omotetie e figure geometriche 32 Omotetie e figure geometriche Se consideriamo una figura geometrica, possiamo pensare di applicare l omotetia a tutti i punti della figura Se consideriamo figure geometriche più semplici non abbiamo bisogno di applicare l omotetia a tutti i punti della figura k = 2 k = 2 B O O A B A L immagine di un segmento è un segmento (teorema di Talete) Fondamenti e didattica della matematica B p. 31 Fondamenti e didattica della matematica B p. 32

9 33 Poligoni 34 Omotetie Analogamente se consideriamo un poligono k = 3 O D L immagine di un poligono è un poligono B A C I lati del poligono triplicano, l area del poligono... D B A C Considerando una omotetia di centro O e rapporto k: l immagine di un segmento AB è ancora un segmento A B la lunghezza del segmento A B è pari a k volte la lunghezza del segmento AB l immagine di un poligono è un poligono con lo stesso numero di lati la misura di ogni lato del poligono viene moltiplicata per k ne consegue che il perimetro del poligono viene moltiplicato per k l area del poligono viene moltiplicata per k 2 Fondamenti e didattica della matematica B p. 33 Fondamenti e didattica della matematica B p Omotetie Omotetie e similitudini Considerando una omotetia di centro O e rapporto k: l immagine di una retta è una retta Le omotetie appartengono ad una classe più ampia di trasformazioni: le similitudini. l immagine di una circonferenza è una circonferenza di lunghezza k volte la lunghezza della circonferenza di partenza mentre l area del cerchio compreso è k 2 volte l area della figura di partenza dati tre punti A, B e C, la misura dell angolo ÂBC è Per le omotetie siamo stati in grado di esplicitare la costruzione geometrica che permette (dati il punto O e la costante reale positiva k) di costruire l immagine di un qualsiasi punto del piano. Per le similitudini invece daremo una definizione completamente astratta. uguale alla misura dell angolo  B C Fondamenti e didattica della matematica B p. 35 Fondamenti e didattica della matematica B p. 36

10 37 Similitudini 38 Similitudini Definizione Una similitudine è una trasformazione f del piano che verifica le condizioni seguenti Le distanze vengono mutate, ma vengono mutate in rapporto costante. Cioè possiamo trovare un numero k tale che se la distanza di due punti P e Q vale TOT, allora la distanza tra i loro corrispondenti f(p) e f(q) vale k TOT. Gli angoli non cambiano. Cioè comunque si fissino tre punti A, B e C, l angolo da questi individuato è uguale all angolo individuato dai loro corrispondenti f(a), f(b) e f(c). Si può dimostrare che la condizione sulle distanze e la condizione sugli angoli sono in realtà equivalenti. La definizione di similitudine può quindi essere data mettendo una delle due condizioni oppure l altra indistintamente. Anche se la trasformazione f è stata definita in maniera così astratta possiamo dalla definizione dedurne alcune proprietà geometriche: se tre punti A, B e C sono allineati, allora anche f(a), f(b) e f(c) sono allineati (per la condizione sugli angoli) l immagine di una retta è una retta, l immagine di un segmento è un segmento,... Fondamenti e didattica della matematica B p. 37 Fondamenti e didattica della matematica B p Similitudini 40 Esempi La condizione sulle distanze è una condizione di proporzionalità tra segmenti. Se abbiamo un segmento a e un segmento b, allora, indicando con a e b le rispettive immagini, vale la proporzione a : a = b : b Le omotetie sono similitudini infatti le omotetie soddisfano sia la condizione sulle distanze che la condizione sugli angoli Ci sono però similitudini che non sono omotetie. più precisamente a : a = b : b = k Fondamenti e didattica della matematica B p. 39 Fondamenti e didattica della matematica B p. 40

11 41 42 Terminologia Similitudini e relazioni di equivalenza A volte nei libri di testo il termine similitudine è utilizzato con un significato diverso da quello che abbiamo dato fin qui, ad esempio nella frase la similitudine è una relazione di equivalenza ATTENZIONE: fino ad ora abbiamo definito le similitudini come trasformazioni del piano..., ovvero come corrispondenze biunivoche... le corrispondenze biunivoche non sono relazioni di equivalenza Le nostre similitudini non sono relazioni di equivalenza. Fondamenti e didattica della matematica B p. 41 Fondamenti e didattica della matematica B p Figure simili 44 Relazione di equivalenza? Le nostre similitudini non sono relazioni di equivalenza. È però vero che le similitudini ci permettono di definire una relazione di equivalenza nell insieme delle figure del piano. (una figura del piano è un qualsiasi insieme di punti del piano) Definizione Due figure del piano si dicono simili se è possibile costruire una similitudine del piano che manda la prima figura nella seconda. Dato un insieme A, una relazione su A è un qualsiasi sottoinsieme di A A è una regola che, dati due elementi di A, mi permette di decidere se sono in relazione o meno arb se e solo se (a, b) appartiene al sottoinsieme di A A fissato Una relazione è detta di equivalenza se è riflessiva simmetrica transitiva Fondamenti e didattica della matematica B p. 43 Fondamenti e didattica della matematica B p. 44

12 45 Essere figure simili 46 Essere figure simili Se consideriamo l insieme di tutte le figure del piano, possiamo definire una relazione in questa maniera arb se e solo se a e b sono figure simili È una relazione di equivalenza? riflessiva ogni figura del piano è in relazione con se stessa la trasformazione identica è una similitudine che manda ogni figura in se stessa simmetrica se la figura a è simile alla figura b, allora la figura b è simile alla figura a se f è una similitudine che manda a in b allora, essendo f una corrispondenza biunivoca, possiamo considerare la corrispondenza inversa di f : questa manda b in a La proprietà simmetrica è strettamente legata al fatto che l inversa di una similitudine è una similitudine. La proprietà riflessiva è strettamente legata al fatto che la trasformazione identica è una similitudine. Fondamenti e didattica della matematica B p. 45 Fondamenti e didattica della matematica B p Essere figure simili 48 Gruppi transitiva se la figura a è simile alla figura b, e la figura b è simile alla figura c, allora si deve avere che la figura a è simile alla figura c se f è una similitudine che manda a in b e g è una similitudine che manda b in c, allora possiamo considerare la composizione di f e g: questa manda a in c La proprietà transitiva è strettamente legata al fatto che la composizione di due similitudini è una similitudine. Abbiamo fatto il primo incontro con il concetto di gruppo (concetto fondamentale in matematica). Abbiamo osservato che la chiave perché la relazione essere figure simili sia effettivamente una relazione di equivalenza sta nel fatto che la trasformazione identica è una similitudine l inversa di una similitudine è una similitudine la composizione di due similitudini è una similitudine Queste tre proprietà sono le proprietà fondamentali dell oggetto matematico gruppo. Fondamenti e didattica della matematica B p. 47 Fondamenti e didattica della matematica B p. 48

13 49 Figure simili 50 Quadrati Definizione Due figure del piano si dicono simili se è possibile costruire una similitudine del piano che manda la prima figura nella seconda. La geometria delle similitudini studia le proprietà in comune a due figure simili. La definizione Definizione Chiamiamo quadrato un poligono con 4 lati uguali e 4 angoli retti. Individua una qualsiasi figura nella classe di similitudine di questa: Fondamenti e didattica della matematica B p. 49 Fondamenti e didattica della matematica B p Figure simili Figure simili Definizione Due figure del piano si dicono simili se è possibile costruire una similitudine del piano che manda la prima figura nella seconda. Uno dei problemi che dovremo affrontare è quello di capire quando due figure sono simili. Avendo dato una definizione astratta di cosa sia una similitudine, dobbiamo costruire gli strumenti. Fondamenti e didattica della matematica B p. 51 Fondamenti e didattica della matematica B p. 52

14 53 Scorciatoie 54 Poligoni Data la nostra definizione di figure simili, per capire se due figure sono simili occorre costruire una similitudine (di tutto il piano) che mandi la prima figura nella seconda. Consideriamo due poligoni del piano. Se i due poligoni sono simili, significa che esiste una corrispondenza biunivoca di tutto il piano che manda il primo poligono nel secondo. Questo a volte può sembrare un problema di non facile soluzione. Quello di cui abbiamo bisogno sono delle scorciatoie che ci permettano, date due figure, di stabilire se le figure sono simili senza costruire esplicitamente una similitudine. Queste scorciatoie sono dette criteri di similitudine. In particolare questa corrispondenza biunivoca di tutto il piano farà corrispondere ad ogni vertice del primo poligono uno e un solo vertice del secondo poligono, e viceversa. In altre parole la corrispondenza biunivoca del piano induce una corrispondenza biunivoca tra i vertici dei due poligoni. Fondamenti e didattica della matematica B p. 53 Fondamenti e didattica della matematica B p Poligoni 56 Poligoni In altre parole, se indichiamo con A, B, C, D,... i vertici del primo poligono, allora è possibile indicare i vertici del secondo poligono con A, B, C, D,... in maniera tale che A sia proprio il corrispondente di A nella similitudine, e così via per gli altri vertici. Questa corrispondenza biunivoca tra i vertici induce una corrispondenza biunivoca tra i lati dei poligoni (al lato AB del primo poligono corrisponde il lato A B del secondo poligono, e così via). Di nuovo se supponiamo che i due poligoni siano simili, le proprietà delle similitudini ci dicono anche se misuriamo l angolo del primo poligono in A e misuriamo l angolo del secondo poligono in A, allora questi angoli sono uguali e questo vale per qualunque vertice del poligono si vada a scegliere alla similitudine è associata una costante di proporzionalità k, e questo implica che il rapporto tra le misure dei lati A B AB = k Fondamenti e didattica della matematica B p. 55 e questo vale per qualunque lato del poligono si vada a scegliere Fondamenti e didattica della matematica B p. 56

15 57 Poligoni 58 Rettangoli Abbiamo cioè concluso che se due poligoni (ABCD... e A B C D... sono simili), allora Questi rettangoli sono simili? 1. gli angoli sono uguali (nel senso che l angolo nel vertice A è uguale all angolo nel vertice A e così via per gli altri vertici) 2. i lati sono in rapporto costante (nel senso che il rapporto tra le misure di AB e A B è uguale al k associato alla similitudine, e così via per gli altri lati) ATTENZIONE: le condizioni 1 e 2 sono quindi condizioni necessarie perché i due poligoni siano simili. Quello che ci serve sono invece condizioni sufficienti per stabilire che due poligoni siano simili. Fondamenti e didattica della matematica B p. 57 D A C B D C A B In verde abbiamo costruito una omotetia di centro A e k = 2. (NOTA: in questo esempio le lettere sono fuorvianti rispetto al problema) Fondamenti e didattica della matematica B p Rettangoli 60 Triangoli Due rettangoli sono simili se è possibile rigirarli in modo che detta b la base del primo rettangolo e b la base del secondo rettangolo; analogamente detta h l altezza del primo rettangolo e h l altezza del secondo rettangolo, valga la proporzione Anche per i triangoli abbiamo delle scorciatoie due triangoli sono simili se esiste una corrispondenza tra gli angoli del primo triangolo e gli angoli del secondo tale che gli angoli corrispondenti sono uguali b b = h h CONSEGUENZA: due quadrati sono sempre simili. due triangoli sono simili se esiste una corrispondenza tra i lati del primo triangolo e i lati del secondo triangolo tale che i lati corrispondenti sono in proporzione due triangoli sono simili se un angolo del primo è uguale ad un angolo del secondo e i lati adiacenti a questi due angoli sono in proporzione Fondamenti e didattica della matematica B p. 59 Fondamenti e didattica della matematica B p. 60

16 61 Triangoli rettangoli 62 Triangoli rettangoli Dati due triangoli rettangoli C γ a b α β A B c b C γ come possiamo stabilire se sono simili? È utile ricordare il teorema di Pitagora a A α β B c Per verificare se due triangoli rettangoli sono simili (una volta poste le lettere come nel lucido precedente) è sufficiente verificare una (una soltanto!) delle condizioni seguenti β = β γ = γ b /b = a /a c /c = a /a c /c = b /b... Teorema a 2 = b 2 + c 2 Fondamenti e didattica della matematica B p. 61 Fondamenti e didattica della matematica B p Triangoli rettangoli 64 Similitudine di triangoli rettangoli Osserviamo che le condizioni di tipo c /c = b /b possono essere scritte invece b/c = b /c Conseguenze la similitudine di triangoli rettangoli mi permette di stabilire se due segmenti sono o meno allineati C Questo significa che possiamo attaccare al primo triangolo il numero b/c e possiamo attaccare al secondo triangolo il numero b /c (questi sono infatti due numeri che dipendono dal singolo triangolo) e concludere che due triangoli rettangoli sono simili se e solo se il numero che gli attacco è uguale. A B Fondamenti e didattica della matematica B p. 63 Fondamenti e didattica della matematica B p. 64

17 65 Similitudine di triangoli rettangoli 66 Angoli retti La similitudine di triangoli rettangoli mi permette di costruire angoli retti storti Gli angoli sulla sinistra sono la metà di un angolo retto. Accostandone due otteniamo perciò un angolo retto Osserviamo ora i due segmenti α β α β Non conosciamo le misure degli angoli acuti dei triangoli, le indichiamo perciò con α e β. Tutto quello che sappiamo è che la somma delle misure α e β è di 90 gradi. Fondamenti e didattica della matematica B p. 65 Fondamenti e didattica della matematica B p Angoli retti 68 Esempio In altre parole noi sappiamo che α + β = 90 e vogliamo valutare la misura dell angolo contrassegnato dal punto di domanda Costruiamo un segmento perpendicolare al segmento β? α Operando sulle misure si ottiene 180 (α + β) = = 90 Si tratta cioè di un angolo retto. Fondamenti e didattica della matematica B p. 67 Utilizziamo i due triangoli e che sono simili (sono uguali!) Fondamenti e didattica della matematica B p. 68

18 69 Angoli retti 70 Poligoni in posizioni non standard Si tratta di disegnare i due triangolini l uno vicino all altro in modo formino un angolo retto Il saper costruire angoli retti storti ci permette di sfruttare appeno le potenzialità della carta a quadretti e disegniare esempi di poligoni storti Triangoli rettangoli Fondamenti e didattica della matematica B p. 69 Fondamenti e didattica della matematica B p Poligoni in posizioni non standard 72 Poligoni in posizioni non standard Triangoli isosceli Trapezi rettangoli Fondamenti e didattica della matematica B p. 71 Fondamenti e didattica della matematica B p. 72

19 73 Poligoni in posizioni non standard 74 Poligoni in posizioni non standard Rombi Rettangoli Fondamenti e didattica della matematica B p. 73 Fondamenti e didattica della matematica B p Poligoni in posizioni non standard Quadrati Fondamenti e didattica della matematica B p. 75