1 ottobre Marina Bertolini Dipartimento di Matematica F.Enriques Università degli Studi di Milano

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1 Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a ottobre 2007 Marina Bertolini (marina.bertolini@mat.unimi.it) Dipartimento di Matematica F.Enriques Università degli Studi di Milano Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 1/?

2 Contenuti del corso Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 2/?

3 Geometria Definizione e Proprietà delle figure geometriche enti geometrici fondamentali figure geometriche piane: alcune definizioni e proprietà Misura cosa significa misurare una grandezza aree di figure geometriche piane Trasformazioni geometriche isometrie e loro proprietà similitudini e loro proprietà Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 3/?

4 Alcuni testi consigliati: M. Cazzola, Per non perdere la bussola, Ed. Decibel-Zanichelli, M. Dedo, Trasformazioni geometriche, Ed. Decibel-Zanichelli, Bibliografia V. Villani, Cominciamo dal punto, Ed. Pitagora, Bologna, Ma spesso è difficile confinare la matematica in un solo libro di testo. Potrà essere necessario rivedere concetti che già possedete (magari con uno spirito critico diverso), e in questo caso potranno venirvi incontro altri Fondamenti testi e didatticache della matematica di volta - Geometria -in Corsovolta speciale - Facoltà vi di suggerirò. Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 4/?

5 Enti geometrici fondamentali Punto Retta Piano Le definizioni servono a chiarire il significato dei termini che si usano in un determinato contesto, al fine di evitare ambiguità e fraintendimenti...gli enti fondamentali della geometria sono il punto, la retta, il piano. Perchè i matematici non ne precisano il significato mediante opportune definizioni?(v.villani) Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 5/?

6 Enti geometrici fondamentali Quante rette passano per un punto fissato...? Quante rette passano per due punti fissati...?(chiodi e filo) Postulato: Due punti distinti determinano una e una sola retta passante per essi. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 6/?

7 Enti geometrici fondamentali Quanti piani passano per un punto fissato...? e per due punti fissati...? (porta e cardini) e per tre punti fissati (non allineati)...? (tavolino a tre gambe) Postulato: Tre punti distinti e non allineati determinano uno e un solo piano passante per essi. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 7/?

8 Enti geometrici fondamentali Se una retta e un piano hanno due punti in comune...? Per quali altre superficie vale questa proprietà? Quanti piani contengono una retta fissata...? Quanti piani contengono una retta fissata e un punto fuori di essa...? Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 8/?

9 Posizioni reciproche Come si intersecano due rette in un piano? Come si possono intersecano due rette nello spazio?...e un piano e una retta? Come si possono intersecare due piani nello spazio? Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 9/?

10 Proprietà delle figure geometriche Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 10/?

11 Proprietà delle figure geometriche Quando facciamo geometria concentriamo l attenzione su particolari proprietà delle figure. Spesso le proprietà che andiamo a considerare importanti sono diverse a seconda del contesto. Consideriamo ad esempio la seguente figura Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 11/?

12 è un quadrato il lato è lungo 5 quadretti ha area 25 ha quattro lati ha quattro angoli retti Quali di queste proprietà sono riconoscibili anche in questa figura? E quali in questa? Proprietà delle figure geometriche Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 12/?

13 Definizioni Spesso il primo passo da compiere è quello di dare delle definizioni. Proviamo a dare la definizione di quadrato: Definizione Chiamiamo quadrato un quadrilatero con tutti i lati e tutti gli angoli uguali. Vi sarete accorti che molti di voi avranno pensato a qualcosa di diverso. Non sempre c è un solo modo per definire qualcosa... può succedere che due definizioni apparentemente diverse siano in realtà equivalenti. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 13/?

14 figura geometrica piana con 4 lati uguali Quadrati? è una figura piana che è un quadrilatero con 4 lati uguali e 4 angoli retti. quadrilatero avente 4 lati uguali paralleli a 2 a 2, 4 angoli retti, 2 diagonali uguali poligono regolare con 4 lati uguali quadrilatero (poligono con 4 lati) regolare figura geometrica con 4 lati uguali e diagonali uguali Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 14/?

15 Ancora sulle definizioni... Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 15/?

16 Proviamo a rispondere al seguente quesito: Diagonali Un quadrilatero ha... diagonali. Un pentagono ha... diagonali. Un esagono ha... diagonali. Un cubo ha... facce,... vertici,... spigoli e... diagonali. Una piramide a base esagonale ha... facce,... vertici,... spigoli e... diagonali. Per rispondere è fondamentale concordare su cosa si voglia chiamare diagonale! Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 16/?

17 Diagonali Definizione In un poligono, chiamiamo diagonale un qualsiasi segmento che unisce due vertici non consecutivi. Un triangolo non ha diagonali. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 17/?

18 Quadrilateri Un quadrilatero ha due diagonali. Diagonale: un qualsiasi segmento che unisce due vertici non consecutivi Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 18/?

19 Pentagoni Un pentagono ha cinque diagonali Diagonale: un qualsiasi segmento che unisce due vertici non consecutivi Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 19/?

20 Esagoni Quante sono? Un esagono ha diagonali Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 20/?

21 Diagonali di un poligono Se assumiamo come definizione di diagonale Definizione In un poligono, chiamiamo diagonale un qualsiasi segmento che unisce due vertici non consecutivi. allora un poligono di n lati ha esattamente diagonali. n (n 3) 2 Se diamo una definizione diversa (cioè non equivalente) di diagonale, questa formula potrebbe perdere di significato. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 21/?

22 Consideriamo la seguente definizione Diagonale??? Definizione In un poligono, chiamiamo diagonale un qualsiasi segmento che unisce due vertici. In questo caso anche i lati devono essere considerati diagonali e quindi un quadrato ha sei diagonali e un poligono di n lati ha esattamente n (n 3) 2 + n = n (n 1) 2 diagonali. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 22/?

23 Il caso tridimensionale Vorremmo tradurre al caso tridimensionale la definizione data nel caso bidimensionale Definizione In un poligono, chiamiamo diagonale un qualsiasi segmento che unisce due vertici non consecutivi. traduciamo poligono con poliedro abbiamo però due modi diversi di tradurre l espressione non consecutivi che non appartengono allo stesso lato che non appartengono alla stessa faccia Queste due possibilità danno origine a due definizioni non equivalenti... Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 23/?

24 Diagonali del cubo Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 24/?

25 Giusto o sbagliato? Abbiamo quindi due possibili definizioni non equivalenti di diagonale in un poliedro un qualsiasi segmento che unisce due vertici non appartenenti alla stessa faccia un qualsiasi segmento che unisce due vertici non appartenenti allo stesso lato Nessuna delle due definizioni è di per sé quella giusta o quella sbagliata: ci sono contesti in cui ha senso utilizzare l una piuttosto che l altra. Per questo prima di porre la domanda quante sono le diagonali di un cubo? occorre specificare qual è il quadro di riferimento. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 25/?

26 Mi è capitato di sentire la seguente domanda Qual è il numero massimo di angoli retti che può avere un trapezio? Quiz televisivi Questa è proprio una domanda a cui non si può dare risposta se non si risolve l ambiguità della definizione di trapezio un trapezio è un quadrilatero che ha almeno due lati paralleli un trapezio è un quadrilatero che ha due e solo due lati paralleli Di nuovo, queste definizioni non sono equivalenti e entrambe sono da considerarsi giuste o sbagliate a Fondamentiseconda e didattica della matematica del - Geometria contesto. - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 26/?

27 Definizioni, Proprietà e Proprietà caratterizzanti Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 27/?

28 Quadrilateri Chiamiamo quadrilatero un poligono (convesso) con 4 lati. Chiamiamo trapezio un quadrilatero avente due e solamente due lati paralleli. Chiamiamo trapezio isoscele un trapezio avente i lati obliqui uguali. Proprietà: In un trapezio isoscele le diagonali sono uguali. Avere le diagonali uguali è una proprietà caratterizzante dei trapezi isosceli nell insieme dei quadrilateri? e nell insieme dei trapezi? Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 28/?

29 Parallelogrammi Chiamiamo parallelogramma un quadrilatero avente i lati opposti paralleli. Proprietà: In un parallelogramma i lati opposti sono congruenti. Proprietà: In un parallelogramma gli angoli opposti sono congruenti. Proprietà: In un parallelogramma le diagonali si tagliano a metà. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 29/?

30 Parallelogrammi Le tre proprietà elencate sopra sono caratterizzanti per i parallelogrammi nell insieme dei quadrilateri. Infatti vale che: se un quadrilatero ha i lati opposti congruenti è un parallelogramma se un quadrilatero ha gli angoli opposti congruenti è un parallelogramma se un quadrilatero ha le diagonali che si tagliano a metà è un parallelogramma Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 30/?

31 Quadrati Proprietà 1: In un quadrato le diagonali sono uguali. Proprietà 2: In un quadrato le diagonali sono perpendicolari. La proprietà 1 è caratterizzante per i quadrati? No, vale per esempio anche per i rettangoli La proprietà 2 è caratterizzante per i quadrati? No, vale per esempio anche per i rombi Se le considero entrambe contemporaneamente? Si, infatti un se un parallelogramma ha le diagonali perpendicolari e congruenti è un quadrato Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 31/?

32 Misura Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 32/?

33 A cosa serve misurare? Misurare una grandezza è un procedimento che permette di associare alla grandezza un numero e quindi di operare con le grandezze in modo preciso e rigoroso. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 33/?

34 Come facciamo a misurare? Il modo migliore per introdurre il concetto di misura è proporre una attività pratica di misurare. Immaginiamo di procedere alla misurazione di lunghezza e larghezza della stanza in cui ci troviamo, utilizzando vari campioni un metro un pezzo di corda una sciarpa un foglio di carta... Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 34/?

35 Come facciamo a misurare? Se vogliamo ad esempio misurare la lunghezza di questa stanza, l operazione di misura equivale a valutare il rapporto tra la lunghezza che vogliamo misurare e la lunghezza di un campione (quante volte il campione sta nella stanza). Questo procedimento è quello che si effettua sempre quando si deve misurare una grandezza. Se il campione non è contenuto un numero intero di volte (avanza un pezzettino), suddividiamo il campione in parti uguali più piccole e procediamo con questo nuovo campione. Procediamo alla stessa maniera, fino a che non otteniamo un campione contenuto un numero intero di volte. Ma è sempre possibile? Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 35/? Questa procedura ha un termine?

36 Piano pratico/concreto Il procedimento ha sempre termine nella pratica perché quando la misurazione ha una approssimazione sufficiente ci si ferma; perché lo strumento di misura non ci permettere di suddividere ulteriormente il campione. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 36/?

37 Dal punto di vista teorico Piano teorico/astratto il procedimento ha termine se e solo se la grandezza da misurare e il campione hanno un sottomultiplo comune; per esempio se: oppure anche se: G = 3u G = 3( u 5 ) = (3 5 )u in altre parole, il procedimento ha termine se e solo se la misura è espressa da un numero razionale. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 37/?

38 Piano teorico/astratto Nel caso in cui il procedimento abbia termine, le due grandezze (cioè la grandezza da misurare e il campione) sono dette commensurabili. ATTENZIONE: esistono coppie di grandezze per cui il procedimento non ha termine, ad esempio il lato e la diagonale del quadrato sono grandezze incommensurabili. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 38/?

39 Diagonale del quadrato Notiamo che l espressione incommensurabili non significa affatto che non si può misurare o non si può determinare 1 disegniamo il quadrato con lato di lunghezza 1 3 con il compasso riportiamo la lunghezza della diagonale sulla retta 2 la diagonale ha lunghezza Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 39/?

40 Approssimazioni di numeri reali I numeri razionali sono densi nei numeri reali. Questo significa che ogni numero reale può essere approssimato in maniera efficiente da un numero razionale. Questo giustifica il fatto che quando effettuiamo una misurazione possiamo essere sicuri che, anche se la procedura non dovesse aver termine, raggiungiamo comunque un livello in cui l approssimazione è adeguata. Vediamo proprio il caso di 2. Consideriamo una approssimazione con due cifre decimali: il numero reale 2 è compreso tra i numeri razionali 1, 41 e 1, 42, quindi il punto corrispondente a 2 sarà uno dei punti compresi tra il punto corrispondente a 1, 41 e il punto corrispondente a 1, 42. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 40/?

41 Approssimazioni di numeri reali Se effettuiamo un disegno molto ingrandito, siamo in grado di percepire la differenza tra 1, 41 e 1, 42 e quindi l approssimazione a due cifre non è sufficiente a permetterci di individuare il punto corrispondente a 2 1, , Se il disegno è di dimensioni normali non siamo più in grado di percepire la differenza 1, , Qui l approssimazione a una cifra è più che sufficiente e possiamo assumere 2 = 1, 4. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 41/?

42 Ma come possiamo valutare l approssimazione della misurazione? Qual è un margine di errore accettabile? Misurazioni Il margine di errore è principalmente determinato dallo strumento utilizzato. Ad esempio se misuriamo il foglio di carta A4 con un righello, possiamo ottenere una misura a meno di un millimetro La nostra misurazione del foglio A4 sarà perciò 21, 0 ± 0, 1 cm di larghezza e 29, 7 ± 0, 1 cm di altezza Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 42/?

43 Misurazioni In altre parole, scrivendo che la larghezza è 21, 0 ± 0, 1 cm intendiamo che la misura esatta è un valore compreso tra 20, 9 cm e 21, 1 cm È anche possibile valutare l errore percentuale, cioè confrontare l errore nella misurazione con la grandezza che si vuole misurare. 0, 1 21 Un errore dello 0, 5% è intrinseco nella misurazione che stiamo effettuando. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 43/?

44 Misurazioni Se passiamo a considerare le aree, l errore riportato nelle misurazioni lineari si ripercuote sull area Si ha infatti la misura della larghezza è un valore compreso tra 20, 9 cm e 21, 1 cm la misura dell altezza è un valore compreso tra 29, 6 cm e 29, 8 cm Applicando la formula dell area del rettangolo si ha la misura dell area è un valore compreso tra 20, 9 29, 6 = 618, 64 cm 2 e 21, 1 29, 8 = 628, 78 cm 2 con un margine di errore di 10, 14 cm 2 (ovvero ±5, 07 cm 2 Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso). speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 44/?

45 Misurazioni Un errore di ±0, 1 cm nella misurazione delle lunghezze ci porta un errore di ±5 cm 2 nella misurazione dell area Una volta valutato l errore della misurazione ci rendiamo conto che la misura dell area è 623 ± 5 cm 2. quindi non avrebbe senso esprimere l area del foglio A4 con questi numeri: 623, , 7 619, 5 Infatti la parte decimale è del tutto irrilevante. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 45/?