Sistema di numerazione binario

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1 Sistema di numerazione binario Liberamente tratto da: Wikipedia, l'enciclopedia libera Il sistema numerico binario è un sistema numerico posizionale in base 2. Posizionale significa che ogni cifra ha un significato diverso a seconda della sua posizione. Anche i numeri decimali (quelli a cui siamo abituati noi) sono posizionali Per esempio: il numero 121 è composto da 1 2 e 1. Ma il primo e l ultimo 1 non hanno lo stesso significato. Infatti x x = 1 x x x10 0 = 121 Il numero 1 più ha destra ha un significato di 1, mentre il numero più a sinistra ha un significato di 100. Il sistema binario utilizza solo due simboli, di solito indicati con 0 e 1 In informatica il sistema binario è utilizzato per la rappresentazione interna dell'informazione dalla quasi totalità degli elaboratori elettronici, in quanto le caratteristiche fisiche dei circuiti digitali rendono particolarmente conveniente la gestione di due soli valori, rappresentati fisicamente da due diversi livelli di tensione elettrica: 0 ha valore di spento, 1 ha il valore di acceso. Analogamente a quanto fatto per un numero decimale, per scoprire il numero binario a quale numero decimale corrisponde devo moltiplicare ogni cifra per una potenza di 2 e sommarli assieme. L esponente da applicare alla base 2 dipende dalla posizione in cui sta il numero da moltiplicare. Esempio: prendiamo il numero: (2) PS: (2) ci indica che è proprio un numero binario Numero binario: Posizione delle cifre

2 Come avete notato, si conta da destra (i numeri a destra sono sempre i più piccoli, come nell esempio nel numero decimale 121) e si parte da 0. Eseguiamo ora la conversione da decimale a binario: Posizione delle cifre Numero binario: Conversione in decimale 1 x x x x x x 2 0 Calcoli 1 x x x x x 2 +1 x 1= Calcoli = = = 39(10). Quindi abbiamo scoperto che: (2) = 39(10). Analogamente posso convertire il numero 39 in un numero binario DIVIDIAMO il nostro NUMERO per 2. Avremo: 39 : 2 = 19 + RESTO 1. Il RESTO di questa divisione, ovvero 1, rappresenta l'unita' di 1 ORDINE. Ora dividiamo il QUOZIENTE 19 sempre per 2. Avremo: 39 : 2 = 19 + RESTO 1 19 : 2 = 9 + RESTO 1. Il RESTO di questa divisione, ovvero 1, rappresenta l''unita' di 2 ORDINE. Ora dividiamo il QUOZIENTE 9 per 2. Avremo: 39 : 2 = 19 + RESTO 1 19 : 2 = 9 + RESTO 1 9 : 2 = 4 + RESTO 1. Il RESTO di questa divisione, ovvero 1, rappresenta l''unita' di 3 ORDINE.. 2

3 Ora dividiamo il QUOZIENTE 4 per 2. Avremo: 39 : 2 = 19 + RESTO 1 19 : 2 = 9 + RESTO 1 9 : 2 = 4 + RESTO 1 4 : 2 = 2 + RESTO 0. Il RESTO di questa divisione, ovvero 0, rappresenta l''unita' di 4 ORDINE. Ora dividiamo il QUOZIENTE 2 per 2. Avremo: 39 : 2 = 19 + RESTO 1 19 : 2 = 9 + RESTO 1 9 : 2 = 4 + RESTO 1 4 : 2 = 2 + RESTO 0 2 : 2 = 1 + RESTO 0. Il RESTO di questa divisione, ovvero 0, rappresenta l''unita' di 5 ORDINE. Ora dividiamo il QUOZIENTE 1 per 2. Avremo: 39 : 2 = 19 + RESTO 1 19 : 2 = 9 + RESTO 1 9 : 2 = 4 + RESTO 1 4 : 2 = 2 + RESTO 0 2 : 2 = 1 + RESTO 0 1 : 2 = 0 + RESTO 1. Il RESTO di questa divisione, ovvero 1, rappresenta l''unita' di 6 ORDINE. Quindi, se prendiamo i resti delle successive divisioni in ordine contrario (1, 0, 0, 1, 1, 1) abbiamo esattamente il numero binario cercato: 3

4 ATTENZIONE!!! Le divisioni successive devono essere eseguite fino a quando non otteniamo come QUOZIENTE lo ZERO. Quindi non dobbiamo fermarci al quoziente 1. Nel sistema binario, un numero può essere scritto come la somma di prodotti di numeri minori della base 2, per le potenze decrescenti del 2. Quindi il nostro numero potrebbe essere scritto così: 1 x x x x x x 2 0 = =1 x x x x x 2 +1 x 1= = = = 39 4

5 Quindi possiamo scrivere: 39(10) = (2). Generalmente ogni numero binario che utilizziamo è composto da 8 cifre, ognuna delle quali viene chiamta bit. In informatica il bit è un informazione molto piccola. Per questo generalmente si utilizzano i suoi multipli che sono: 8 bit (indicato con b) = 1 byte (indicato con B) 1024 B = 1 MB (MegaByte) 1024 MB = 1 GB (GigaByate) 1024 GB = 1 TB (TeraByte) Operazioni con i numeri binari ADDIZIONE L'ADDIZIONE tra due o più NUMERI BINARI si esegue come una normale addizione. MEMORANDUM: Elemento neutro: 0 0+0=0 0+1=1 Esempio: 1+1=0 resto 1 vogliamo sommare tra loro i numeri binari e che indicano, rispettivamente, i numeri decimali 19 e 17. Iniziamo con l'incolonnare i due numeri: I addendo II addendo = Somma 1+0=1 5

6 Ora sommiamo la cifra di 1 ordine del primo addendo e quella del secondo addendo. Dovremo eseguire: = 2. Ma sappiamo che 2 UNITA' di un DATO ORDINE, formano 1 UNITA' dell'ordine IMMEDIATAMENTE SUPERIORE. Scriviamo allora, come somma 0 e come riporto nella colonna di ordine superiore il numero 1. Ci dobbiamo ricordare infttin che 1 +1 = 10 in notazione binaria, ovvero 0 con resto 1. Avremo: riporto 1 I addendo II addendo = Somma 0 Ora sommiamo la cifra di 2 ordine del primo addendo e quella del secondo addendo. Dovremo eseguire: = 1. Ma dobbiamo anche aggiungere 1 che ne riportava e quindi avremo 2 che vanno a formare una unità di ordine superiore. Quindi scriviamo: riporto 1 1 I addendo II addendo = Somma 0 0 6

7 Ora sommiamo la cifra di 3 ordine del primo addendo e quella del secondo addendo. Avremo: = 0. Aggiungiamo 1 che ne riportava e abbiamo 1. Ovvero: riporto 1 1 I addendo II addendo = Somma Ora sommiamo la cifra di 4 ordine del primo addendo e quella del secondo addendo. Avremo: Ovvero: = 0. riporto 1 1 I addendo II addendo = Somma Infine sommiamo la cifra di 5 ordine del primo addendo e quella del secondo addendo. Avremo: = 2: che vanno a formare una unità di ordine superiore. Quindi scriviamo: 7

8 riporto I addendo II addendo = Somma Allora la somma di e è uguale a Verifichiamo con il SISTEMA DECIMALE: NUMERO BINARIO NUMERO DECIMALE = 17 = Infatti: 1 x x x x x x 2 0 = = 1 x x x 8+ 1 x 4+ 0 x x 1 = = = 36. 8

9 SOTTRAZIONE 0-0=0 Anche la SOTTRAZIONE tra due NUMERI BINARI 1-0=1 si esegue come una normale sottrazione. Bisogna però tenere conto che ogni volta che si 1-1=0 deve SOTTRARRE dalla cifra 0 la cifra 1, occorre (1)0-1=1 CHIEDERE IN PRESTITO una unità alla cifra di ordine immediatamente superiore e che essa vale 2 UNITA' dell'ordine immediatamente inferiore. Esempio: vogliamo sottrarre al numero binario il numero binario 1110 che indicano, rispettivamente, i numeri decimali 29 e 14. Iniziamo con l'incolonnare i due numeri: minuendo sottraendo = differenza MEMORANDUM: Elemento neutro: 0 Ora sottraiamo dalla cifra di 1 ordine del minuendo, la cifra di 1 ordine del sottraendo. Dovremo eseguire: Avremo: 1-0 = 1. minuendo sottraendo = differenza 1 9

10 Ora sottraiamo dalla cifra di 2 ordine del minuendo, la cifra di 2 ordine del sottraendo. Dovremo eseguire: 0-1. Non possiamo eseguire l'operazione. Allora dobbiamo farci prestare 1 unità dalla cifra di 3 ordine che vale 2 unità di ordine inferiore. Quindi avremo: prestito 2 minuendo sottraendo = differenza 1 Quindi la nostra differenza diventa: 2-1 = 1 ovvero prestito 2 minuendo sottraendo = differenza 1 1 Volendo vedere lo stesso concetto in maniera più formale, quando chiediamo un unità alla cifra successiva non stiamo sostituendo lo 0 con un 1 ma aggiungiamo 1 a 0, formando 10 (ovvero 2 in numero decimale) quindi la nostra operazione risulta, in binario 10-1 = 1, vale a dire, in decimale, 2-1=1. 10

11 Ora sottraiamo dalla cifra di 3 ordine del minuendo, la cifra di 3 ordine del sottraendo ricordando che c'è stato il prestito di un'unità. Quindi la sottrazione da eseguire diventa: 0-1. Non possiamo eseguire l'operazione. Allora dobbiamo farci prestare 1 unità dalla cifra di 4 ordine che vale 2 unità di ordine inferiore. Quindi avremo: prestito 2 2 minuendo sottraendo = differenza 1 1 Quindi la nostra differenza diventa: 2-1 = 1 ovvero prestito 2 2 minuendo sottraendo = differenza Ora sottraiamo dalla cifra di 4 ordine del minuendo, la cifra di 4 ordine del sottraendo ricordando che c'è stato il prestito di una unità. Quindi la sottrazione da eseguire diventa :

12 Non possiamo eseguire l'operazione. Allora dobbiamo farci prestare 1 unità dalla cifra di 5 ordine che vale 2 unità di ordine inferiore. Quindi avremo: prestito minuendo sottraendo = differenza Quindi la nostra differenza diventa: 2-1 = 1 ovvero prestito minuendo sottraendo = differenza Di conseguenza, la cifra di 5 ordine del minuendo è rimasta a zero. Pertanto avremo: prestito minuendo sottraendo = differenza

13 Allora la differenza tra e 1110 è uguale a Verifichiamo con il SISTEMA DECIMALE: NUMERO BINARIO NUMERO DECIMALE = 14 = Infatti: 1 x x x x 2 0 = = 1 x x x 2+ 1 x 1 = = =

14 MOLTIPLICAZIONE Così come accade per le altre operazioni, anche la MOLTIPLICAZIONE tra due NUMERI BINARI si esegue come una normale moltiplicazione ricordando, però, che 2 UNITA' di un DATO ORDINE, formano 1 UNITA' dell'ordine IMMEDIATAMENTE SUPERIORE. Esempio: MEMORANDUM: Elemento neutro: 1 0x0=0 1x0=0 0x1=0 1x1=1 vogliamo moltiplicare il numero binario 111 con il numero binario 101 che indicano, rispettivamente, i numeri decimali 7 e 5. Procediamo nei modi consueti: I fattore x II fattore = Iniziamo col moltiplicare la cifra di 1 ordine del II fattore (1) per ciascuna cifra del I fattore, in modo da ottenere il primo prodotto parziale: I fattore x II fattore = I prodotto parziale Moltiplichiamo la cifra di 2 ordine del II fattore (0) per ciascuna cifra del I fattore, in modo da ottenere il secondo prodotto parziale: 14

15 I fattore x II fattore = I prodotto parziale II prodotto parziale Moltiplichiamo la cifra di 3 ordine del II fattore (1) per ciascuna cifra del I fattore, in modo da ottenere il terzo prodotto parziale: I fattore x II fattore = I prodotto parziale II prodotto parziale II prodotto parziale

16 Ora eseguiamo la somma dei tre prodotti parziali ricordandoci che 2 UNITA' di un DATO ORDINE, formano 1 UNITA' dell'ordine IMMEDIATAMENTE SUPERIORE. I fattore x II fattore = I prodotto parziale II prodotto parziale II prodotto parziale riporti 1 1 = prodotto Quindi il prodotto tra 111 e 101 è uguale a Verifichiamo con il SISTEMA DECIMALE: NUMERO BINARIO NUMERO DECIMALE 111 x 7 x 101 = 5 = Infatti: 1 x x x x x x 2 0 = = 1 x x x x x x 1= =

17 DIVISIONE Anche nel caso della DIVISIONE tra due NUMERI BINARI si applicano le regole consuete della divisione ricordando sempre che 2 UNITA' di un DATO ORDINE, formano 1 UNITA' dell'ordine IMMEDIATAMENTE SUPERIORE. Esempio: vogliamo dividere il numero binario con il numero binario 100 che indicano, rispettivamente, i numeri decimali 60 e 4. Procediamo nei modi consueti: Abbassiamo le prime tre cifre del dividendo 111 e dividiamo per 100. Il risultato è 1. Moltiplichiamo 1 per 100 e otteniamo 100. Eseguiamo = 11. Abbassiamo la quarta cifra del dividendo 1 e dividiamo 111 per 100. Il risultato è 1. Moltiplichiamo 1 per 100 e otteniamo 100. Eseguiamo = 11. Abbassiamo la quinta cifra del dividendo 0 e dividiamo 110 per 100. Il risultato è 1. Moltiplichiamo 1 per 100 e otteniamo 100. Eseguiamo = 10. Abbassiamo l'ultima cifra del dividendo 0 e dividiamo 100 per 100. Il risultato è 1. Moltiplichiamo 1 per 100 e otteniamo 100. Eseguiamo = 0. Quindi la divisione tra e 100 è uguale a Verifichiamo con il SISTEMA DECIMALE: MEMORANDUM: Elemento neutro: 1 NUMERO BINARIO NUMERO DECIMALE : 60 : 100 = 4 = x0=0 1x0=0 0x1=0 1x1=1 17

18 Infatti: 1 x x x x 2 0 = Facciamo un altro esempio. = 1 x x x x 1 = = 15. vogliamo dividere il numero binario con il numero binario 101 che indicano, rispettivamente, i numeri decimali 25 e 5. Procediamo nei modi consueti: Abbassiamo le prime tre cifre del dividendo 110e dividiamo per 101. Il risultato è 1. Moltiplichiamo 1 per 101 e otteniamo 101. Eseguiamo ricordando che quando occorre CHIEDERE IN PRESTITO una unità alla cifra di ordine immediatamente superiore essa vale 2 UNITA' dell'ordine immediatamente inferiore quindi il risultato è 1. Quindi la divisione tra e 101 è uguale a 101. Verifichiamo con il SISTEMA DECIMALE: Abbassiamo la quarta cifra del dividendo 0 e dividiamo 10 per 101. Il risultato è 0. Abbassiamo la quinta cifra del dividendo 1 e dividiamo 101 per 101. Il risultato è 1. Moltiplichiamo 1 per 101 e otteniamo 101. Eseguiamo = 0. NUMERO BINARIO NUMERO DECIMALE : 25 : 101 = 5 = Infatti: 1 x x x 2 0 = = 1 x x x 1 = = 5. 18

19 Esercizi Scrivi in base due i seguenti numeri dati in base dieci: 8, 21, 34, 126, 354, 531, 945 Scrivi in base due i seguenti numeri dati in base dieci, usando 1 byte: 17, 23, 65, 241, 257 Converti dalla base 2 alla base 10 i seguenti numeri binari: 1101,11011, , , , , Esegui le seguenti operazioni nel sistema binario e verifica poi i risultati nel sistema decimale Esercizi svolti: 19

20 Il codice Ascii ASCII (acronimo di American Standard Code for Information Interchange, Codice Standard Americano per lo Scambio di Informazioni) è un codice per la codifica di caratteri. La standard ASCII è stato pubblicato dall'american National Standards Institute (ANSI) nel In italiano viene pronunciato aschi /ˈaski/ o asci /ˈaʃʃi/, mentre la pronuncia originale inglese è askey /ˈæski/. Basato sull alfabeto inglese, il codice ASCII codifica 128 caratteri in 7 bit come mostrato in figura. 95 caratteri sono stampabili: inlcudono i numeri da 0 a 9, le lettere dalla A alla Z sia in minuscolo che maiuscolo (i codici sono differenti) e simboli di punteggiatura. Il codice ASCII originale comprendeva anche 33 codici di controllo non stampabili, alcuni di essi ora obsoleti. Il successore del codice ASCII è ASCII ESTESO basato su 8 bit. I codici aggiuntivi da 128 a 256 costituiscono il set di caratteri estesi (speciali, matematici, grafici, lettere accentate ecc). Esistono molte versioni del codice ASCII: lo standard per la scrittura in italiano è Latin-1 o ISO/IEC Il Codice Unicode (ISO 10646) Unicode è un sistema di codifica realizzato da Unicode Consortium che assegna un numero univoco ad ogni carattere usato per la scrittura di testi, in maniera indipendente dalla lingua, dalla piattaforma informatica e dai programmi utilizzati. Unicode usa codici a 16 bit, pari a caratteri, e permette di operare su dati e programmi provenienti da tutto il mondo. I caratteri Unicode sono codificati con sequenze di lunghezza varuiabile di byte detti UTF (Unicode transformation Format): 8 bit (UTF-8), 16 bit e 32 bit La codifica UTF-8 sfrutta la parziale compatibilità con la codifica ASCII: infatti i primi 128 caratteri di Unicode sono esattamente quelli previsti da ASCII e i primi 256 corrispondono all ASCII esteso. Pertanto usa 1 byte per Latin-1, 2 byte per il cirillico, greco.. e 3 byte per gli ideogrammi. 20

21 Il codice ASCII 21