CONTINUITA E DERIVABILITA

Transcript

1 CONTINUITA E DERIVABILITA La continuità e la derivabilità di una unzione sono proprietà dierenti. TEOREMA: CONTINUITA DELLE FUNZIONI DERIVABILI Se è una unzione derivabile in un punto, allora è continua in Dimostrazione Ipotesi: ' inito Tesi: Scriviamo: Segue: costante per ipotesi Allora: c.v.d. Osservazione. derivabile in continua in no viceversa!. non è continua in non derivabile y = continua in R però non è derivabile in = la tg a = è dierente a seconda che si arrivi da destra o sinistra

2 ESTREMANTI E PUNTI CRITICI ricerca dei massimi e minimi delle unzioni De: punto di massimo La unzione ha un massimo relativo o locale in se esiste un I / _ I De: punto di minimo La unzione ha un minimo relativo o locale in se esiste un I / _ I N.b. se la proprietà valgono su tutto il dominio allora sono massimi o minimi assoluti De: estremante I punti del dominio in corrispondenza dei quali la raggiunge un ma o un min si dicono stremanti per De: punto critico È una soluzione dell equazione =,, 3 trovati dalla risoluzione dell equazione punti con la tg orizzontale TEOREMA Se deinita in D è derivabile in Quindi un estremante è sempre un p.critico. N.b.: non vale il viceversa D e se è estremante per allora =. dall equazione = trovi gli estremanti ma anche i lessi.

3 CRITERIO DELLA DERIVATA PRIMA. = ottengo punti critici. > crescente < decrescente esempio crescente p critici y D y ' : 3 FUNZIONI CONCAVE E CONVESSE Funzione convessa in : concavità verso l alto se esiste I in cui il graico non è mai al di sotto della retta tg in P Funzione concava in : concavità verso il basso se esiste I in cui il graico non è mai al di sopra della retta tg in P

4 Flesso: in P, il graico della unzione ha un punto di lesso se in tale punto il graico attraversa la retta tg in P. Flesso a tg obliqua y = y =D[y ] lesso a tg orizzontale p. critico la y è lesso a tg verticale p. di non derivabilità CRITERIO DELLA DERIVATA SECONDA lessi e concavità. si trova la y. si risolve y = si trovano i lessi obliqui e orizzontali 3. y > > convessa < concava

5 TEOREMI FONDAMENTALI Funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Teorema dell esistenza degli zeri 3. Teorema dei valori intermedi Funzioni continue e derivabili. Teorema di Rolle. Teorema di Cauchy 3. Teorema di Lagrange. Teorema di De l Hopital FUNZIONI CONTINUE Teorema di Weierstrass Se è una unzione continua in un intervallo chiuso [a, b], allora ra i valori assunti da ne esiste sempre uno massimo e uno minimo che possono anche coincidere. Teorema dei valori intermedi Se è una unzione continua in un intervallo chiuso [a, b], allora assume almeno una volta tutti i valori compresi tra a e b. Oss. Le unzioni continue trasormano intervalli in intervalli. F: I I

6 Teorema dell esistenza degli zeri Se è una unzione continua in un intervallo chiuso [a, b] e se a ed b hanno segno opposto, allora esiste almeno un punto c ] a, c Ovvero Se una unzione cambia segno in un intervallo ed è continua, allora ha almeno uno zero. taglia l asse. Oss. L inverso del teorema è also. Non è vero che se c / c allora la cambia segno. Es. y = Oss. Il teorema di esistenza degli zeri da una condizione suiciente, non necessaria. Oss. 3 Il teorema di esistenza degli zeri è una conseguenza del teorema dei valori intermedi. FUNZIONI CONTINUE E DERIVABILI Teorema di Rolle Data una unzione che sia. deinita e continua in [a, b]. derivabile in ]a, b[ 3. a = b allora esiste almeno un valore c ] a, ' c tg // asse in almeno punto del graico c, c, c3 Assicura l esistenza del punto critico.

7 Controesempi y = NO NO SI Teorema di Cauchy Date due unzioni e g che siano deinite, continue in [a, b] e derivabili in ]a, b[, con la condizione: g ] a, b[ b a ' c Allora esiste almeno un punto c ] a, g b g a g' c Dimostrazione: b a k g b g a b a kg b kg a b kg b chiamiamo : F kg. * Risulta : F b F a a kg a * F è continua e derivabile in ]a, b[ e Fa = Fb Dunque la F soddisa il teorema di Rolle Esiste c ] a, ' c F' c ' c kg' c da k cui ' c CVD g' c