LE DERIVATE. La pendenza di un tratto di strada: è misurata dal coefficiente angolare della retta se il tratto è rettilineo.

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1 La pendenza di un tratto di strada: è misurata dal coeiciente angolare della retta se il tratto è rettilineo. 1

2 La pendenza di un tratto P,R non rettilineo descritto da y è data dal coeiciente angolare della retta r passante per P e R espresso da m r o + o tanα r

3 La pendenza in un punto P di un tratto rettilineo o non rettilineo rappresentato da y y è dato dal coeiciente angolare della retta tangente t se esiste in P alla curva: m t lim 0 o + o tanα t 3

4 Osservazioni 1. Per ar avvicinare il punto R al punto P sulla curva, occorre che la unzione y sia continua!. Poiché il punto R può avere ascissa maggiore o minore dell ascissa di P, per deinire la pendenza in P occorre che ci si possa avvicinare sia da destra che da sinistra a P ottenendo lo stesso risultato: o + o lim o + lim 0 0 o 4

5 L equazione della retta tangente in P è data da: y * o o o La pendenza in P alla curva viene indicata con: utilizzando la simbologia di Lagrange, e viene chiamata derivata prima della unzione in. Esistono altri modi per indicare la derivata prima, ad esempio la notazione di Leibniz: d d o o 5

6 Esempio 1 Si consideri la curva senza punti angolosi descritta dalla unzione continua y ed un generico punto P, sulla curva. Si consideri un secondo punto sulla curva di coordinate R +, +. La pendenza in P alla curva è: lim 0 lim 0 lim 0 + lim 0 6

7 7 LE DERIVATE Analogamente per la unzione si ottiene: 3 y lim 3 3 lim 3 3 lim lim

8 Generalizzando usando la ormula di Newton per lo sviluppo della potenza n- esima del binomio si ottiene: n n 1 n Per le altre unzioni elementari si ottiene: sin cos cos sin a a ln a 8

9 9 LE DERIVATE La derivata prima e le operazioni algebriche. Date due unzioni derivabili nello stesso insieme si ha: [ ] g g g ± ± ± [ ] * g g g g + g g g g g

10 Esempio sin cos Per la unzione y tan si ottiene: tan sin cos cos * cos sin * cos sin cos + sin cos cos cos + sin cos 1 / cos 1 + tan 10

11 La derivata delle unzioni composte chain rule. Si consideri : y F g ottenuta componendo le due unzioni t g y t Usando algebricamente la notazione di Leibniz si ottiene: df d d d d dt * dt d t * g g * g La derivata di una unzione composta è data dal prodotto delle derivate delle unzioni componenti. 11

12 La derivata delle unzioni inverse. Sia y una unzione derivabile e dotata di 1 unzione inversa y g y Anche l inversa è derivabile e risulta: d 1 g y dy dy d 1 1

13 Esempio 3. Si consideri la unzione y e. Essa è invertibile e derivabile. La derivata della unzione inversa ln y è: ln y e y e 13

14 Le unzioni marginali L aggettivo marginale accanto ad una unzione sta ad indicare la derivata prima della unzione. Ad esempio i costi marginali sono espressi dalla derivata della unzione dei costi. NOTA: IL VALORE DEL COSTO MARGINALE IN CORRISPONDENZA AD UN LIVELLO DI PRODUZIONE INDICA UN APPROSSIMAZIONE DELLA VARIAZIONE DEI COSTI QUANDO SI AUMENTA LA PRODUZIONE DI UNA UNITA. 14

15 Il segno della derivata prima. Se la derivata prima di una unzione è positiva negativa allora la unzione è crescente decrescente. Si rammenti che la derivata prima indica il ceiciente angolare della retta tangente e si usi la prima proprietà del coeiciente angolare. 15

16 Massimi e minimi relativi. Data una unzione y si dice che in presenta un massimo relativo se o D vicino a. La unzione y presenta un minimo o relativo in se o < o D vicino a o. o o o > 16

17 Nei punti A e C la unzione presenta due valori di massimo relativo mentre in B si ha un minimo relativo. 17

18 Come determinare i punti di ma e min relativi. In corrispondenza ad un punto di ma rel. si ha: < A > A crescente decrescente > 0 < 0 In corrispondenza ad un punto di min rel. si ha: < B > B decrescente crescente < 0 > 0 18

19 Se la unzione è derivabile nei punti A e B si ha: Riassumendo: in corrispondenza ad un valore in cui la unzione derivabile presenta un ma o un min relativo, la derivata prima è nulla e il segno cambia passando da valori più piccoli a valori maggiori di. o o 19

20 Se la derivata prima in o è nulla ma non cambia segno passando da valori più piccoli a valori più grandi di o allora in corrispondenza a quel valore la unzione presenta un punto di lesso orizzontale. 0

21 Procedura 1. Calcolo della derivata prima y della unzione y. risoluzione dell equazione 0. Se tale equazione non ammette soluzioni, non esistono punti critici e il procedimento si conclude. Se esistono soluzioni si prosegue, 3. determinazione del segno della derivata prima nell insieme X, 4. conronto del segno di vicino ad ogni valore estremale con le situazioni indicate nelle igure 7.15, 7.16, classiicazione dei punti critici in punti di massimo e minimo relativo, lessi orizzontali. 1

22 Esempio 4 Si consideri il caso seguente: unzione di domanda p q unzione di costo C T q 10 + q 6q + 1q 3 unzione dei ricavi unzione dei guadagni + R T q pq 0.1q 10q 3 GT q RT q CT q 10 q + 5.9q q

23 Il procedimento per il calcolo del valore di q che massimizza i guadagni conduce a: G T q 3q q I guadagni marginali si annullano in corrispondenza ai valori: q0,1775 e q Per il teorema sul segno di un trinomio di secondo grado si ha: 3

24 In corrispondenza al primo valore i proitti sono minimi, in corrispondenza a q i proitti sono massimi. Si osservi che in corrispondenza ad entrambi i valori i ricavi marginali sono uguali ai costi marginali q 4

25 Derivando la derivata prima si ottiene la derivata seconda che può essere indicata con il simbolo: y Il segno della derivata seconda da indicazioni sulla concavità e convessità di una unzione e consente di individuare una procedura alternativa per il calcolo dei massimi e dei minimi relativi. 5

26 Dal graico della curva concava si può veriicare che al crescere di il coeiciente angolare della retta tangente alla curva cresce; ovvero la derivata prima coe. ang. cresce al crescere di. 6

27 Se una unzione cresce la sua derivata è positiva. Ma la derivata della derivata prima è la derivata seconda. Quindi se una unzione è concava la sua derivata seconda è positiva. Attenzione a non legare il risultato alla crescenza della unzione. Se la unzione è decrescente e concava la derivata seconda è comunque positiva. 7

28 Analogamente se la derivata seconda è negativa la unzione è convessa. Si deinisce lesso un punto in corrispondenza al quale la unzione cambia la sua concavità: 8

29 Si osservi che in un punto di minimo relativo per una unzione liscia la unzione è concava, in un punto di ma relativo la unzione è convessa, come riportato nelle igure bue seguenti 9

30 Analogamente in un punto di lesso orizzontale si ha 30

31 Teorema di Rolle Si consideri una unzione y 1. continua nell intervallo chiuso [ a,b] ;. derivabile in ] a,b[ ; 3. la unzione assume valori uguali negli estremi dell intervallo a b. Allora esiste almeno un punto interno all intervallo nel quale la derivata prima della unzione si annulla: 0 o 31

32 Se la unzione è costante allora in ogni punto dell intervallo la derivata prima è uguale a 0 e il teorema è dimostrato. Se la unzione non è costante almeno il minimo o il massimo della unzione viene raggiunto in un punto interno all intervallo. 3

33 In quel punto la unzione è derivabile per ipotesi e in più nulla per la condizione necessaria per i valori estremanti!. Si noti che ipotizzare il minimo raggiunto in un estemo dell intervallo e il massimo nell altro ci riporterebbe al caso della unzione costante per l ipotesi 3 del teorema. 33

34 Teorema di Lagrange o del valor medio Si consideri una unzione 1. continua nell intervallo chiuso a,b ;. derivabile in a,b ; ] [ Allora esiste almeno un punto interno all intervallo nel quale risulta: o Si osservi che Rolle è un caso particolare di Lagrange. y b b [ ] a a 34

35 Graicamente si può descrivere il teorema dicendo che esiste un punto sulla curva che rappresenta geometricamente la unzione nel quale la retta tangente è parallela alla retta passante per gli estremi. 35

36 Teorema di Cauchy o degli incrementi initi Si considerino due unzioni y e y g. Esse soddisano le condizioni seguenti: Sono continue nell intervallo Sono derivabili nell intervallo [ a,b] ] a,b[ g 0 a,b Allora esiste un punto interno all intervallo in cui ] [ b g b a g a g o o 36

37 LE FORME INDETERMINATE. Nascono dal calcolo del limite di una combinazione algebrica di unzioni,, +,0, , Tutte le orme indeterminate possono essere ricondotte alle prime.,1 37

38 TEOREMA DI DE L HOSPITAL. Siano g : A R due unzioni derivabili in A; sia un punto di accumulazione per A e sia: lim 0 o Il calcolo del rapporto dei limiti genera la.i.. Sia 0 inoltre: 1. g o 0. l o Allora o lim g, o lim o e lim g g 0 g o l o 0 38