STATISTICA DESCRITTIVA UNIVARIATA

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1 Capitolo zero: STATISTICA DESCRITTIVA UNIVARIATA La STATISTICA è la scienza che si occupa di fenomeni collettivi che richiedono lo studio di un grande numero di dati. Il termine STATISTICA deriva dalla parola STATO, già gli antichi Romani facevano censimenti per contare gli abitanti e per conoscere le loro caratteristiche: età, professione,ecc. I censimenti sono indagini statistiche che riguardano l intera popolazione residente nello stato. Si chiama POPOLAZIONE STATISTICA l insieme su cui si fa l indagine statistica. Il termine popolazione si usa anche quando tale insieme non è costituito da persone, ad esempio le auto immatricolate in Italia nel 2011 potrebbero essere oggetto di una indagine statistica e quindi costituire la popolazione oggetto dell indagine. Per ragioni economiche spesso le indagini statistiche riguardano un CAMPIONE e non l intera popolazione, in tal caso è essenziale che il campione sia rappresentativo altrimenti l indagine statistica darebbe risultati errati. Esempio: per stimare quante persone vanno al cinema in un mese, non bisogna rilevare i dati nelle vicinanze di una sala cinematografica perché il campione non sarebbe rappresentativo ( alcune persone potrebbero percorrere quella strada proprio perché vanno al cinema!). Un grave errore in questo senso è stato commesso negli Stati Uniti quando si stava facendo una sondaggio telefonico, pre-elettorale, per capire quale dei due candidati alla Casa Bianca avesse maggiore probabilità di vincere. Poiché in quegli anni, solo la popolazione più ricca e istruita aveva un telefono in casa, il campione intervistato non era rappresentativo avendo privilegiato la parte più abbiente della popolazione che era spesso repubblicana. Il risultato del sondaggio infatti, si rivelo completamente errato. ( Landon ( repubblicano), Roosevelt ( democratico), vinse Roosevelt mentre il sondaggio aveva previsto la vittoria di Landon) Per effettuare una INDAGINE STATISTICA bisogna: rilevare i dati, fare lo spoglio dei dati e correggere, se possibile, eventuali errori, elaborare i dati con strumenti matematici adatti interpretare i risultati ottenuti Il nostro studio riguarda prevalentemente gli ultimi due punti dell indagine statistica: l elaborazione dei dati con strumenti matematici e l interpretazione dei risultati dell indagine statistica. Si dice UNITA STATISTICA ogni elemento della popolazione, di ciascuna unità statistica si studia almeno un CARATTERE: 1 un CARATTERE QUALITATIVO è espresso con attributi, detti modalità del carattere: sesso: maschio / femmina colore dei capelli: castano, rosso, biondo, un CARATTERE QUANTITATIVO è frutto di un conteggio o di una misura ed è espresso con un numero intero o con un numero reale: paghetta settimanale(euro): [10, 20), [20,30) numero di ore di lezione al giorno: 6, 8

2 Per studiare i dati statistici si costruiscono delle tabelle dove, accanto ad ogni modalità del carattere, si riporta la frequenza di quella modalità. Tali tabelle si chiamano: SERIE se vi sono caratteri qualitativi SERIAZIONI se vi sono caratteri quantitativi. Si dice MUTABILE X, la tabella costituita dalle modalità qualitative e dalla relative frequenze ( assolute o relative o percentuali) X x 1 x 2 x 3 fa f 1 f 2 f 3 Si dice VARIABILE X, la tabella costituita dalle modalità quantitative e dalla relative frequenze ( assolute o relative o percentuali) X x 1 x 2 x 3 fa f 1 f 2 f 3 Noi studieremo prevalentemente le VARIABILI STATISTICHE e le seriazioni statistiche, ma vediamo alcune serie significative come esempio di mutabili statistiche. Tra le serie statistiche, le più importanti e diffuse sono le serie storiche: la serie che descrive l andamento del costo della benzina negli ultimi dieci anni, la serie che descrive il numero di multe date dai vigili urbani nei primi sette giorni dell anno in corso, ecc. Esempio: serie storica della produzione annua di olio, in quintali, e rappresentazione grafica con il diagramma cartesiano : Anno Produzione In quintali Esempio si di serie : serie delle materie scolastiche preferite dai ragazzi e dalle ragazze e loro rappresentazione con diagramma a colonne Materia preferita maschi femmine Italiano 5 3 Storia 4 7 Geografia 4 2 Matematica 2 3 Scienze 6 4 Ed. Fisica 5 5

3 LE SERIAZIONI Esempio 1 Con uno strumento, si è rilevato, per 40 minuti consecutivi, il numero delle particelle cosmiche al minuto: Possiamo chiederci: Qual è il minor numero di particelle rilevato in un minuto? Qual è il maggior numero di particelle rilevato in un minuto? Quale numero di particelle è stato rilevato più frequentemente? Per quanti minuti sono state rilevate meno di 5 particelle al minuto? Qual è il numero medio di particelle rilevate al minuto? Ad alcune domande si può rispondere anche con i dati grezzi, ad altre no. La variabile statistica che dobbiamo studiare la indichiamo con X. X ha come modalità il numero di particelle cosmiche rilevate al minuto, essa può assumere i valori interi da 0 ( il valore minore rilevato) a 8 ( il valore massimo rilevato ), con una determinata frequenza assoluta. Il RANGE dei valori è 8-0=8 Ad ogni valore di X corrisponde una frequenza assoluta f a ( il numero di volte che si è ottenuto quel valore) Ad ogni valore di X corrisponde una frequenza relativa f r = f a /n, n è il numero dei dati, in questo caso n=40. La frequenza può anche essere espressa in modo percentuale f r *100 % Molto interessante è la frequenza cumulata: per ogni valore della variabile X, la frequenza cumulata é la somma delle frequenze assolute minori o uguali al valore di X considerato. In modo analogo si può costruire la tabella delle frequenze relative cumulate o di quelle percentuali cumulate. X f a f r f% f a cumulata 0 1 0,025 2,5% ,15 15% ,25 25% ,3 30% ,15 15% ,1 10% % % ,025 2,5% 40 Totale: % 40 numero dati vale sempre 1 vale sempre 100 numero dei dati 3 Istogramma che rappresenta la distribuzione della frequenza assoluta del numero di particelle al minuto. Frequenza assoluta cumulata del numero di particelle al minuto rilevate

4 Ora che i dati sono stati ordinati e rappresentati, possiamo rispondere ad alcune domande relative al fenomeno su cui è stata fatta l indagine statistica. Qual è il minor numero di particelle rilevato in un minuto? 0 (nessuna particella) Qual è il maggior numero di particelle rilevato in un minuto? 8 particelle Quale numero di particelle è stato rilevato più frequentemente? 3 particelle Per quanti minuti sono state rilevate meno di 5 particelle? 35 minuti Per quanti minuti sono state rilevate più di 4 particelle al minuto? 40-35= 5 minuti Qual è il numero medio di particelle rilevate al minuto? circa 3 particelle al minuto La variabile X appena studiata è numerica e discreta perché i valori che assume sono il risultato di un conteggio. La variabile Y che assume come valore l altezza dei giocatori del Novara Calcio è numerica e continua, perché i valori sono frutto di una misura. Talvolta è necessario suddividere l intervallo dei valori da rappresentare in classi. Divideremo l intervallo in classi della stessa ampiezza, il numero delle classi può variare tra 3 e 15, solo in casi eccezionali il numero delle classi può arrivare a 20. Per ottenere una buona distribuzione statistica si può usare la regola seguente: se N è il numero dei dati, si calcola se i dati sono 80, con la formula si ottiene e si approssima il risultato: = classi Esempio 2 Gli ottanta dati seguenti indicano le emissioni giornaliere di gas inquinante da un impianto industriale espresse nella stessa unità di misura. 4 Il Range dei valori è R= =25.6 Poiché i dati sono 80 decidiamo di dividere l intervallo [6.2, 31.8] in 7 parti uguali dette classi. L ampiezza di ciascuna classe è a=(32-6.2)/7=3,7 NB: il valore maggiore è stato arrotondato per eccesso. A volte, prima di suddividere le classi si aggiunge uno, per essere certi di avere tutti i dati distribuiti nelle 7 classi. Quando la distribuzione statistica è suddivisa in classi, bisogna calcolare il valore centrale di ogni classe: classe [c,d[

5 5 Il valore centrale è (c+d)/2 Classe Valore centrale Fa Fr F % F cumulata totale Istogramma delle frequenze assolute : i valori sull asse x sono quelli centrali di ogni classe Grafico delle frequenze cumulate, detto anche ogiva Sull asse x vanno riportati i valori massimi di ogni classe e sull asse y la frequenza cumulativa della rispettiva classe Qual è il valor medio della distribuzione? 18,73 Indici di posizione centrale di una distribuzione di frequenze: valori medi MODA: il dato, o la classe di dati, che ha maggiore frequenza. La moda si calcola sia con caratteri qualitativi che con caratteri quantitativi. La moda può non esistere (se tutti i dati o tutte le classi hanno la stessa frequenza) o non essere unica ( se ci sono più dati o più classi con la massima frequenza) la moda può essere molto lontana dal centro della distribuzione la MODA è utile quando è importante conoscere quale sia il valore che si ottiene con maggiore frequenza e si usa se, il dato o la classe, hanno una frequenza notevolmente superiore agli altri dati o classi. ESEMPIO: In una città l orario dei negozi di alimentari è libero. Uno straniero appena giunto in città chiede quale sia l orario di apertura dei negozi di alimentari. Conviene rispondere indicando la MODA cioè l orario rispettato dalla maggior parte dei negozi di alimentari.

6 MEDIANA: è un valore che divide a metà i dati, ordinati in maniera crescente o decrescente. La mediana si calcola con i caratteri quantitativi o con quelli qualitativi ordinabili ( ad esempio la modalità titolo di studio è ordinabile, la modalità colore degli occhi non è ordinabile). La MEDIANA non risente dei valori estremi perché si determina indicando il valore centrale se la distribuzione ha un numero dispari di dati, oppure indicando la media aritmetica tra i due valori centrali se la distribuzione ha un numero pari di dati. La MEDIANA è l indice centrale da considerare quando c è molta variabilità tra i dati. La MEDIANA è il valore che divide a metà l intervallo della distribuzione statistica e corrisponde al cinquantesimo percentile e anche al secondo quartile. I quartili sono dei punti che dividono l intervallo dei dati in quattro parti, ognuna delle quali contiene il 25% dei dati. ATTENZIONE: se la distribuzione e divisa in classi, si stima come mediana il valore centrale della classe in cui cade il dato centrale ( o la media dei due dati centrali) 6 classe Valore centrale f a f C [ [ 157,5 3 3 [ [ 162,5 4 7 [ [ 167, [ [ 172, [ [ 177, [ [ 182, totale 24 Mediana= (x 13 +x 12 )/2 = (172,5+172,5)/2= 172,5 La MEDIA ARITMETICA è quel valore che sostituito a tutti i termini della distribuzioni lascia invariata la somma. La media si calcola solo se i caratteri sono quantitativi. La MEDIA ARITMETICA risente dei valori estremi della distribuzione utilizzarla quando c è molta variabilità tra i dati. e non conviene LA MEDIA PESATA è la media aritmetica calcolata considerando i pesi ( la frequenza ) di ogni xi dove xi è il dato di indice i e pi il suo peso Nel caso in cui i dati siano raggruppati in classi si usa il valore centrale di ogni classe: xi è il valore centrale della classe i-esima ed fi la frequenza della classe i-esima

7 Indici di variabilità di una distribuzione di frequenze IL RANGE o CAMPO DI VARIAZIONE: la differenza tra il massimo valore dei dati e il minimo valore dei dati oppure la differenza tra l estremo superiore dell ultima classe e l estremo inferiore della prima classe se i dati sono suddivisi in classi. NB: se tutti i dati sono uguali RANGE=0 Lo SCARTO è la differenza tra ogni valore della distribuzione e la media aritmetica x i -. Lo SCARTO SEMPLICE MEDIO è la media aritmetica dei valori assoluti degli scarti S= La VARIANZA è il valor medio degli scarti al quadrato o Se i dati sono raggruppati in classi si considera come xi il valore centrale di ogni classe o Lo SCARTO QUADRATICO MEDIO o DEVIAZIONE STANDARD è la radice quadrata della varianza 7 Quando i dati sono suddivisi in classi, si utilizza come xi il valore centrale di ogni classe Il COEFFICIENTE DI VARIABILITA ( che si può calcolare solo se la media non è nulla) è il rapporto tra lo scarto quadratico medio e la media aritmetica in valore assoluto σ/ μ e viene espresso in percentuale. E un numero puro che permette di confrontare tra loro la variabilità di diverse distribuzioni statistiche. Esempio: Giacomo ha preso questi voti: 5,7,6,8,9,7 il coeff. di variabilità è σ/ μ =1,29/7=0,18=18% Luca ha preso questi voti: 4,5,6,5,6 il coeff. di variabilità è σ/ μ =0,75/5,2=0,14=14% Marco ha preso questi voti : 7,7,7,7,7,7,7 il coeff. di variabilità è σ/ μ =0/7=0 TABELLE CONSIGLIATE PER CALCOLARE LO SCARTO SEMPLICE MEDIO E LO SCARTO QUADRATICO MEDIO X Scarto (xi-μ) Valore assoluto dello scarto xi - μ Scarti al quadrato (xi-μ) 2-8,5 8,5 72,75... Tot ,5 CLASSI fi Xi valore centrale della classe tot x i *f i xi μ *fi (xi-μ) 2 *fi SCARTO SEMPLICE MEDIO : S= x 1 - μ + x n - μ = 27/6 =4,5 (6 è il numero dei dati) N

8 8 SCARTO QUADRATICO MEDIO : = = 5,6 DISTRIBUZIONE SEMPLICE: un esempio Si rileva la temperatura alle ore 12 ( mezzogiorno) in una certa località, per sette giorni consecutivi giorni Temperature in C lunedì -3 Media μ=( )/7=0 martedì 1 mercoledì 0 giovedì -1 venerdì 2 sabato -2 domenica 3 DISTRIBUZIONE PONDERATA: un esempio Mediana: (dispongo i dati in ordine crescente: - 3,-2,-1,0,1,2,3) = 0 Range: 3-(-3)=6 S=( )/7=1,71 σ 2 =( )/7=4 σ = 2 σ/ μ non si può calcolare, media nulla Costruire la tabella statistica e determinare la media, la mediana,la moda, il range, lo scarto semplice medio, la varianza, lo scarto quadratico medio e il coefficiente di variabilità relativi alla rilevazione statistica: su un campione di 100 famiglie si studia il numero di automobili di proprietà n. auto di proprietà σ 2 =[(-1.3) 2 *15+(0.3) 2 *48+(0.7) 2 *29+(1.7)2*8]/100=0.67 Scarto quadratico medio σ= 0.67=0.82 ; Moda: 1 auto Media: μ=(0*15+1*48+2*29+3*8)/ 100 =1.3 Mediana: è la media tra il 50 esimo e il 51 esimo dato (1+1)/2=1 Range: min 0, max 3 R=3-0=3 S=[ -1.3 * * * *8]/100=0,678 Varianza: σ/ μ =0.82/1.3=0,63=63% DISTRIBUZIONE PER CLASSI: un esempio Costruire la tabella statistica delle altezze, suddivise in classi, degli alunni di una classe secondaria e calcolare: la media, la moda, la mediana, il range, la varianza,lo scarto quadratico medio Classi di altezza fa fr f% fc scarto % % % % Tot v.c. fa fr f% fc Scarto *fa [ [ 137, ,96*4 [ [ 142, *12 [ [ 147, *9 [ [ 152, *3 tot circa 0 Moda: la classe [ [ Media: 137,5*4+142,5*12+147,5*9+152,5*3=144,46 Range : R= =20 σ 2 =[(6.96) 2 *4+(1.96) 2 *12+(3,04) 2 *9+(8,04) 2 *3]/28 =18.46 σ= 18.46=4.2 ; σ/ μ =4.29/144.46=0,03% Mediana= 142,5

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10 10 19) I voti riportati in un compito di matematica sono: Costruire una tabella con le frequenze assolute, relative, percentuali e cumulate. 20) I dati relativi al numero di componenti per un campione di famiglie sono riportati in tabella: N. componenti N. famiglie totale 1501 Calcola la frequenza relativa, la frequenza cumulata e la frequenza percentuale, la deviazione standard e il coefficiente di variabilità. Quante famiglie sono formate da più di 4 persone? Qual è la percentuale di famiglie formate da più di 4 persone? 21 )All esame di stato 45 studenti hanno conseguito i voti seguenti: Costruire una tabella con le frequenza assolute e relative riportando: a) i dati divisi in 5 classi b) i dati divisi in 9 classi 22) Si considerino li dati relativi alle altezze di 28 studenti : Dopo aver raggruppato i dati in classi di frequenza pari a 10cm ( ) costruire i grafici delle frequenze assolute, relative e cumulate. Si chiede inoltre : a. Quanti studenti sono alti meno di 160cm? b. Quale classe contiene il maggior numero di dati? [a. 5; b ] 23) I dati relativi al peso corporeo di 28 studenti di una classe sono i seguenti: Dopo aver raggruppato in classi di ampiezza pari a 5Kg, calcolare: a)frequenza assoluta, b)frequenza relativa c)frequenza percentuale d)frequenza cumulata

11 11 e) range, f) scarto semplice medio g) varianza h) deviazione standard i) coefficiente di variabilità 24) Nella corsa dei 200m, 30 ragazzi hanno fatto registrare i tempi misurati sino ai decimi di secondo: 29,3 31,2 28,5 37,6 30,9 26,0 38,0 37,0 22,8 35,2 35,8 37,7 29,6 26,9 36,9 39,6 29,9 30,0 36,6 34,1 38,2 35,0 28,8 37,8 32,4 31,8 38,1 34,0 36,0 36,1 Costruire una tabella raggruppando i dati in 5 classi : determinare frequenza, frequenza relativa e frequenza percentuale, media, moda, mediana, range, scarto semplice medio, varianza,deviazione standard, coefficiente di variabilità. Disegnare il diagramma delle frequenze. Determinare quale percentuale dei ragazzi ha corso i 200 m in meno di 29 secondi. 25) Le temperature massime in gradi Celsius registrate in una località sono Tracciare l istogramma, il poligono delle frequenze, il poligono delle frequenze cumulate. Determinare moda, media, mediana, deviazione standard ESERCIZIO 1-Un entomologo sta studiando un bruco divoratore di foglie; esaminando 300 foglie ha trovato dei bruchi secondo i numeri riportati in tabella n dei bruchi n delle foglie Calcolare il numero medio di bruchi per foglia e la relativa deviazione standard. [ media=173/300 = 4%, σ 2 =(263/300)-(173/300) 2 ; σ= radq(48971/90000)= 0,74] ESERCIZIO 2- Si consideri il numero di giorni che un unguento impiega per far guarire di una dermatite: n giorni frequenza Determina la media e la varianza. [media= 236/61=3,87; σ 2 =998/61-(3,87) 2 =1,38] ESERCIZIO 3- Due ditte pubblicizzano le loro pile ministilo a 4,5 Volt e entrambe dicono che le pile hanno una carica di 1,25 A/h. Si scelgono due campioni di 50 pile da ciascuna ditta e si compila la tabella delle frequenze assolute con cui sono stati osservati i valori di carica: carica in A/h 1,15 1,20 1,25 1,30 Prima ditta Seconda ditta Stabilire per quale ditta il valore medio di carica è più attendibile. [prima ditta media=1,24 A/h, σ 2 =0,065/50=0,0013, σ=0, seconda ditta media=1,24 A/h, σ 2 = 0,045,σ=0,067]