Evoluzione di una popolazione isolata in presenza di risorse illimitate

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1 Raccola di modelli in forma di sao Allevameno di Fibonacci,,,, --- generazione nmero di coppie di conigli giovani non ferili nmero di coppie di conigli adli ferili nmero di coppie di conigli adli prelevai coppie di conigli Popolazione sdenesca in n corso riennale,,,, --- anno formaivo i nmero di sdeni al i-simo anno di corso i,, i coefficiene di promozione all i-simo anno di corso nmero di sdeni che ermina il corso di sdi Evolzione di na popolazione isolaa in presenza di risorse illimiae α-β asso di crescia della popolazione differenza ra il asso di riprodzione α e qello di moralià β. Evolzione di na popolazione isolaa in presenza di risorse limiae K asso di crescia della popolazione K capacià porane del sisema odello Preda-predaore di oka-volerra p p K ε e densià di individi nella popolazione delle prede e dei predaori rispeivamene; e assi di crescia delle prede e dei predaori rispeivamene;

2 p probabilià di predazione; ε coefficiene di conversione della biomassa. Ti i coefficieni che appaiono nel modello sono sreamene posiive. odello di Sreeer e Phelps del BOD e del DOD k k k BOD domanda biochimica di ossigeno dova ad n deerminao carico inqinane in mg/l; DOD defici di ossigeno disciolo in mg/l; k asso di consmo dell ossigeno da pare della popolazione dei baeri kasso di re-ossigenazione dell acqa carico di inqinane immesso Ammorameno di n debio,,,, --- empo in anni debio all anno Rcosane valore della raa che viene annalmene resiia per scalare il debio R raa annale ρ ineresse anno sl debio ρ Qeso sisema dinamico pò essere ilizzao per calcolare na formla noa come formla dell ammorameno di n debio. Infai, essendo il sisema in qesione TI e empodiscreo l scia pò essere calcolaa ilizzando la noa formla di agrange: A i A i B i evidenemene in qeso caso Aρ, B-. Sia N il nmero di anni in ci si vole esingere il debio. Indicando con D il valore iniziale del debio, cioè D e ponendo che N avremo: N ρ N D N i ρ N i R Considerando che αα α N- α N /α, essendo in qeso caso αρ, è facile calcolare che ρ R D N ρ assa che rasla senza ario

3 posizione velocià forza eserna applicaa Sisema massa-molla-ario viscoso posizione; velocià; massa; kcosane elasica della molla; bcoefficiene di ario viscoso: forza eserna applicaa; b k assa che roa senza ario in n piano vericale pendolo

4 g sin l ml θ posizione angolare velocià angolare odello Coppia-Velocià angolare Si consideri la relazione che inercorre ra la coppia eserciaa da n moore s na massa roane e la velocià angolare della massa sessa. In qeso caso abbiamo dove J è il momeno d inerzia e k il coefficiene di ario viscoso, per ci i parameri e T del sisema sono m/k TJ/k. Sisema di lieviazione magneica

5 ; ; i ; R k g Circio RC serie

6 C R i Ree elerica RC non lineare C R R i BN bipolo non lineare la ci cada di ensione è del ipo indicao in figra. odello del lago

7 livello del lago afflsso di acqa g efflsso di acqa g S S odello immissario-emissario Si spponga che n lago sia alimenao da n nico immissario con poraa e che la poraa di deflsso dell emissario sia proporzionale al volme d acqa presene nel lago, cioè k. Inolre si spponga che il lago sia anche alimenao per via soerranea da na falda acqifera la ci poraa sia proporzionale al volme di acqa presene nella falda. Se si sppone che la falda non sia alimenaa dall eserno, il che è verificao approssimaivamene nei periodi sicciosi, n semplice bilancio di massa permee di ricavare le segeni eqazioni. odelli di n sisema idrico k h h k Si consideri il sisema idralico rappresenao in figra, cosiio da n lago con de immissari, no di poraa scarico di na cenrale e lalro di poraa k scioglimeno di n nevaio di volme.

8 Imponendo la conservazione della massa, si oiene: per ci, se si considera come variabile di scia la poraa dellemissario del lago, il sisema risla descrio dalla erna: Ree di serbaoi i livello del liqido nel serbaoio i-simo; poraa volmerica in ingresso nella ree livello oale di liqido nel sisema α frazione della poraa volmerica che ginge al serbaoio A area dei serbaoi, consideraa gale nei re serbaoi

9 k i coefficiene che deermina la poraa volmerica in scia dal serbaoio i-simo. A k A k A A k A A k α α odello di diffsione di n epidemia di Kermack e ckendrick β α α nmero di individi ssceibili di essere infeai; nmero di individi che si infea α e β de coefficieni posiivi odello di n sisema economico Un ene pbblico ha n capiale soggeo ad n ineresse fisso i. Per sao ale ene finanzia aivià clrali di varia nara ad n asso proporzionale al capiale. Te le alre aivià dellene enrae o scie amenano o diminiscono il capiale ad n asso. Soo qese condizioni, se la variabile di scia è il capiale, si pò scrivere odello di Dinamica dei prezzi Si spponga di operare in n mercao in ci valgono le segeni ipoesi: a il mercao è chiso; b a la prodzione è raccola e immessa sl mercao prodzione offera; c la domanda nell anno -esimo decresce linearmene con il prezzo dello sesso anno; d la semina nell anno -esimo cresce linearmene con il prezzo dell anno -esimo; e vi è eqilibrio anno per anno ra domanda e offera Indicao con il prezzo del prodoo nell anno -esimo, dalle ipoesi fae sege che la domanda d nell anno -esimo è daa da menre l offera s gale alla prodzione è daa da

10 Dallipoesi s d sege qindi che pò essere riscria nella forma sandard: Il prezzo di eqilibrio si deermina ponendo nella, per ci si oiene Si noi che ale prezzo è posiivo se a > c cioè se per prezzi molo bassi la domanda spera l offera. Tenendo cono della, la pò essere riscria nella forma che mosra che i prezzi hanno n comporameno oscillaorio e endono al prezzo di eqilibrio nellipoesi d<b, cioè nell ipoesi in ci loffera sia meno sensibile al prezzo che la domanda. odello del sisema di posizionameno di n anenna per elecomnicazioni Un anenna con momeno d inerzia j e soggea ad ario viscoso deve poer essere pnaa in qalsiasi direzione v e per qeso moivo viene gidaa vedi figra da n moore che esercia na coppia proporzionale; secondo n coefficiene K, all errore angolare e dell anenna cioè alla differenza ra la posizione desideraa v e la posizione reale dellanenna. anenna è n sisema del secondo ordine le ci variabili di sao sono posizione angolare all isane velocià angolare all isane Dalla descrizione del problema sege che le eqazioni di sao dell inero sisema sono dove H è il coefficiene di ario viscoso il momeno di ario è proporzionale e opposo alla velocià angolare. Tale sisema è lineare perché del ipo con

11 odello del sisema di conrollo di de serbaoi in cascaa De serbaoi connessi in cascaa sono alimenai da na poraa che pò essere variaa per mezzo di na elerovalvola. Se A ea sono le sezioni dei de serbaoi le eqazioni di sao sono e la rasformazione di scia è Il sisema è qindi lineare con marici A, B, C dae da odello di n sisema ermico Si consideri il recipiene rappresenao in figra, con enene na qanià in massa di n maeriale di capacià ermica c. Dea la emperara eserna e qella inerna, si ha

12 dove k è la cosane che regola lo scambio ermico ra eserno ed inerno proporzionale allo sbalzo di emperara -. odello dinamico di n pendolo inverso monao s n carrello o schema del carropone e di n pendolo inverso sono mosrai in Fig a e Fig. b rispeivamene. E chiaro che i de modelli sono idenici con l avverenza che se si assme che le roazioni siano posiive in senso aniorario e che lo zero venga fissao in corrispondenza del pendolo allineao verso il basso caso del carropone nel caso del pendolo inverso bisognerà porre θπ. Ricavando il modello dinamico per il carropone poremo ilizzare le sesse eqazioni anche nel caso del pendolo inverso sosiendo al poso di θ n angolo θ ale che θ π θ. Fig. a: Schema di n carropone Fig. b Pendolo inverso Procediamo qindi a scrivere le eqazioni del moo considerando il caso del carropone. Per qano rigarda il pendolo le forze sono disegnae con linee in di colore nero, menre le componeni dell accelerazione inerziale del so baricenro sono mosrae con linee colorae in rosso l accelerazione cenripea, in ciano l accelerazione angenziale o angolare, in verde l accelerazione dova alla raslazione del carro.

13 Fig. : Carropone: forze ed accelerazioni coinvole nel modello accelerazione inerziale del baricenro del pendolo è gale alla somma veoriale delle re frecce colorae mosrae in Fig. b che adesso passeremo a gisificare. a componene dell accelerazione lngo il pendolo è pari a l ϑ e viene chiamaa accelerazione cenripea. E presene in qalsiasi oggeo la ci velocià sa cambiando direzione. a componene dipende dall accelerazione del pno di aacco del pendolo legaa al movimeno del carrello. a componene l è il rislao dell accelerazione angolare del pendolo ed è sempre perpendicolare al pendolo. esisenza di qese re componeni pò essere gisificaa analiicamene rappresenando la posizione del baricenro del pendolo, rispeo ad n sisema di riferimeno inerziale, come n veore e derivando ale veore de vole. a Fig. c mosra i versori i e j di n sisema di riferimeno inerziale ed il veore r che descrive la posizione del baricenro del pendolo. Si pò esprimere il veore r come sege: r i l isinθ j cosϑ Si pò qindi ricavare che la derivaa prima di r è: θ e la sa derivaa seconda è : r i lθ i cosθ j sinϑ r i lθ i cosθ j sinϑ lθ i senθ j cosϑ Ciò dimosra che l accelerazione del baricenro del pendolo ha le re componeni indicae nella figra sopra riporaa. In paricolare il ermine l ϑ è allineao lngo il pendolo e pna verso l asse di roazione menre il ermine l θ è allineao perpendicolarmene al pendolo e pna nella direzione di na roazione posiiva. Una vola noe e le forze e le accelerazione dei corpi si pò procedere all applicazione della legge di Newon. Per qano rigarda il carrello Fig. a si osservi che esso è vincolao a moversi in direzione e perano l applicazione della legge di Newon pora alla segene eqazione: b N F

14 in ci si è indicao con la massa del carrello in kg, con b in N/m/sec, il coefficiene di ario del carrello con l in m la disanza del baricenro dell asa dal cenro di roazione. Infine N indica la forza di reazione incognia del pendolo. Occorre adesso alre eqazioni al fine descrivere compiamene la dinamica del modello eliminando nel conempo le incognie reazioni vincolari N e P. a forza di reazione N pò essere oena scrivendo l eqazione di Newon per il moo di raslazione del pendolo in direzione, oenendo: N m mlϑ cosϑ mlϑ sinϑ Sosiendo la nella si oiene m b mlϑ cosϑ mlϑ sinϑ F che descrive il moo del carrello. applicazione della legge di Newon alle forze in direzione rasversale al pendolo consene di oenere la segene eqazione: P sinϑ N cosϑ mg sinθ ml ϑ m cosϑ 4 applicazione della legge di Newon ai momeni inorno al baricenro del pendolo fornisce la segene eqazione: Pl sinϑ Nl cosϑ I ϑ dove I indica il momeno di inerzia rispeo al baricenro del pendolo. Ricavando dal qesa eqazione PsinθNcosθ e sosiendo nella 4 si oiene la segene eqazione: I ml ϑ mgl sinθ mi cosϑ. odello in forma di sao del carropone e eqazioni e 7 consenono di porre il modello in forma di sao che è poi fnzionale alla rappresenazione dei sisema in ambiene SIUINK. Per far ciò si raa di eliminare dalla il ermine in ϑ e dalla 7 qello in. Per semplificare i calcoli consideriamo il caso di pendolo con massa concenraa in pna e ario del carrello nllo. Qese de ipoesi comporano rispeivamene I si ricordi che I è il momeno di inerzia dell asa rispeo al baricenro e b. In al caso la e la 7 si riscrivono rispeivamene: m mlϑ cosϑ mlϑ sinϑ F l ϑ g sin θ cosϑ 9 Al fine di risolvere qeso sisema risla ile scriverlo in forma mariciale come sege: cos m ml θ sin cos F mlϑ ϑ θ l ϑ sin g θ che porà essere risolo rovando l inversa della marice qadraa al primo membro ilizzando ad esempio il Smbolic ool di alab si veda il codice riporao in Appendice. Si rova: 6 7 8

15 e ancora ponendo v F mlϑ sinθ mg sinθ cosθ sin m θ ϑ F cosθ mlϑ cosθ g msinθ l msin θ, ω θ, si porà scrivere: v ω θ F mlω sinθ mg sinθ cosθ sin v m θ cos cos sin F θ mlω θ g m θ ω l msin θ. odello in forma di sao del pendolo inverso e eqazioni del pendolo inverso possono essere oene da qelle del carropone ponendo θ π θ. Ciò compora le segeni sosizioni: cosθ - cosθ, sinθ - sinθ, a gisificazione di qese posizioni è immediaa calcolando cosπθ e sinπθ mediane le noe formle di addizione degli archi.. E ovvio che nessna variazione dovrà essere effeaa si simboli in ω in qano derivando rispeo θ π θ la presenza di π è ininflene. Effeando le sosizioni indicae dalla si oiene: v ω θ F mlω sinθ mg sinθ cosθ sin v m θ cos sin cos sin F θ mlω θ θ g m θ ω l msin θ. Fnzione di rasferimeno del carropone linearizzao Per linearizzare il modello del carropone rispeo a piccoli sposameni inorno alla posizione θ sosiiamo cosθ ; sinθ θ e ϑ. In al modo le eqazioni e 7 possono essere linearizzae rispeivamene come sege: m b mlϑ F I ml ϑ mglθ mi 4 5 Trascrando il ermine di ario si oiene la segene fnzione di rasferimeno ra l ingresso di conrollo F e l angolo del carico sospeso θ: Θ s ml 6 F s I ml m m l s mgl m.4 Fnzione di rasferimeno del pendolo inverso linearizzao

16 Come già osservao le eqazioni e 7 descrivono anche il modello del pendolo inverso. Tavia in al caso la linearizzazione va effeaa inorno alla posizione θ π con le modalià sopra indicae. 7 F ml b m ϑ 8 mi mgl ml I θ ϑ Anche in qeso caso si pò oenere la fnzione di rasferimeno, ancora na vola senza ario, che risla: 9 m mgl s l m ml I ml s F s Θ.5 odello linearizzao in forma di sao del pendolo inverso Dalla effeando le posizioni cosθ ; sinθ θ, ϑ ω e sin θ, si oiene: l v l m g mg l m g F mg F v v ω θ θ θ ω ω θ Nel segio raando di pendolo inverso qando non vi sarà rischio di confsione omeeremo l apice sll angolo θ e inenderemo che sia posiivo in senso aniorario e misrao a parire dalla vericale ala come mosrao in Fig. b... Implemenazione del modello in forma di sao in ambiene SIUINK e eqazioni 8 possono essere implemenae in ambiene SIUINK ilizzando no schema del ipo riporao in Fig. Fig. Schema Simlink del Sisema pendolo inverso monao s carrello

17 I blocchi f che compaiono nello schema sono rappresenai dai secondi membri della erza e qara eqazione riporae in 8. a simlazione di qeso sisema a ciclo apero non è comnqe ile in qano, come sarebbe possibile dimosrare maemaicamene, il sisema è insabile nell inorno dello sao di eqilibrio caraerizzao da ϑ e ϑ. a simlazione assme significao nell ambio di no schema di conrollo in reroazione in presenza di n conrollore in grado di sabilizzare il sisema. limo aggiornameno /9/7