Confronto tra gruppi (campioni indipendenti)

Confronto tra gruppi (campioni indipendenti) Campioni provenienti da una popolazione Normale con medie che possono essere diverse ma varianze uguali campioni: Test z or t sulla differenza tra medie 3, 4, o più campioni: ANalysis Of Variance (ANOVA): test F sull'indice η

Analysis of variance (inferential approach) Studio dei fattori che influenzano il tempo impiegato da un topo ad uscire da un nuovo labirinto 4 gruppi ognuno di 3 topi, tali che: Ipotesi: l esperienza ha un effetto sul tempo Esperienza precedente: Group 1: 1 labirinto Group : labirinti Group 3: 3 labirinti Group 4: 4 labirinti Se l ipotesi è vera ci si aspetta che una maggiore esperienza faccia decrescere il tempo impiegato ad uscire dal labirinto

Dati Gruppo 1 3 4 11 7 6 5 Tempi 9 9 5 3 10 8 7 4 Medie 10 8 6 4 1 11 10 9 Time 8 7 6 5 4 3 Group 1 Group Group 3 Group 4

Come interpretare le differenze Le apparenti differenze tra le medie potrebbero essere dovute alla variabilità del campione piuttosto che all effetto dell esperienza Le differenze sono significative? Ipotesi: nessun effetto dell esperienza µ 1 = µ = µ 3 = µ 4 I 4 gruppi provengono dalla stessa popolazione L'Analisi della varianza (ANOVA) è il metodo per testare questa ipotesi

Notazione dell'anova y ij = j-ma osservazione del gruppo i (independemente dal ruolo di righe e colonne nella tabella dei dati) G = numero di gruppi n = numero di osservazioni (uguale) in ciascun gruppo Ogni gruppo contiene lo stesso numero n di osservazioni H 0 : µ 1 = µ = = µ G H a : Almeno una media è diversa dalle altre Si suppone che i gruppi abbiano la stessa varianza σ

Test dell'uguaglianza tra ciascuna coppia 4 = 6 t test separati sarebbero necessari per testare l'ipotesi nulla. Oltre ad essere un processo lungo, 6 t test separati sugli stessi dati avrebbero un livello di significatività globale α molto più basso rispetto a quello usato in un unico test.

Il test F Se le medie sono uguali, la varianza tra i gruppi è nulla: σ = 0 Più le medie sono diverse, più σ σ EXT σint 0 σ EXT = σ INT La decisione è basata sul rapporto: σ σ EXT INT 1. Più basso è il rapporto, più realistica è l'ipotesi nulla Più alto è il rapporto, meno realistica è l'ipotesi nulla. Livello di significatività della decisione: σ σ EXT INT ~ F G 1;n G

Risultati dell'anova σ σ MS SS (k 1) = = MS SS (n k) EXT EXT EXT INT INT INT Sum of squares DoF Mean of squares F (observed) Significance Variability Among groups (external) B Within groups (internal) W SS EXT k-1 MS EXT = SS EXT /(k-1) SS INT n-k MS INT = SS INT /(n-k) Total SS TOT n-1 MS TOT = SS TOT /(n-1) = σ F = MS EXT /MS INT P-value

Fonti di variabilità SS TR = devianza dovuta ai trattamenti: tra i gruppi SS E = devianza residua: nei gruppi (non dovuta ai trattamenti ma alla variabilità comunque presente nei dati) Nell'equazione: SS T = SS TR + SS E SS T = devianza totale n osservazioni: SS T ha n -1 g.d.l. k trattamenti: SS TR ha k -1 g.d.l. SS E ha k j= 1 (n 1) = n k j g.d.l

Risultati dell'esperimento dei topi ANOVA SS DoF MS F p-value Among 60 3 0 0 0,000449 Within 8 8 1 Total 68 11 Decisione Il valore di F ed il p-value portano a rifiutare H 0 I campioni provengono da 4 popolazioni tra le quali almeno una differisce dalle altre L'esperienza ha un effetto sul tempo impiegato ad uscire dal labirinto

Osservazioni Quando G = il test ANOVA è uguale al test t, poichè: F 1,m = t m Negli studi sperimentali è possibile selezionare campioni bilanciati (= della stessa dimensione) attraverso il Disegno degli esperimenti ; questo non è sempre possibile nelle scienze economiche o sociali (studi osservazionali) Vantaggi dei campioni blanciati Il test è meno sensibile a piccole deviazioni dall'omoschedasticità. Ciò non è vero quando I campioni hanno dimensioni diverse La potenza del test è massima quando i gruppi hanno la stessa numerosità

Fatturato e settore merceologico Ipotesi nulla: le vendite medie sono uguali in tutti i settori SM FATT Ice Packaging 101 Food 109 Food 33 Food 199 FATT Fra gruppi Entro gruppi Totale ANOVA univariata Somma dei Media dei quadrati df quadrati F Sig. 130575,47 3 4355,14,36,807 6141114,893 46 13350,5 671690,30 49 Health Care 354 Ice Packaging 145 Drinks 467 Food 177 Food 161 Health Care 158 Ice Packaging 115 Ice Packaging 108 Food 1444 Health Care 493 Ice Packaging 185 F Decisione: Ice Packaging 85.. 0,807 0,36 σ σ EXT INT Basso valore di F = bassa σ EXT = medie vicine Il p-value è molto alto: Si accetta l ipotesi di vendite medie uguali tra i settori, confermata dal campione osservato.

Mini-glossario ANOVA Fattore sperimentale (o di classificazione): variabile responsabile della differenza tra le medie. Trattamento: modalità (dati qualitativi) o livello (dati ordinali) di un fattore. Disegno degli esperimenti: insieme di regole per assegnare le osservazioni ai trattamenti.

Test di omoschedatsicità Test di Hartley, per gruppi di uguale dimensione Test di Bartlett, per gruppi di dimensioni diverse Per entrambi l ipotesi nulla è: H : σ = σ =... = σ = σ 0 1 k H 1 : almeno una varianza è diversa Se si rifiuta H 0 non si dovrebbe procedere con l ANOVA In alcuni casi i dati possono essere trasformati per stabilizzare la varianze. Se le cause dell eteroschedasticità non sono identifcate l esperimento dovrebbe essere ripetuto

Se l ipotesi nulla si rifiuta Conclusione: Almeno una media differisce dalle altre (il trattamento ha un effetto) Ulteriore analisi Quali coppie di trattamenti differiscono? Test delle ipotesi: Confronti multipli H 0 : µ i = µ j, i e j Gruppi di uguale dimensione Alcuni esempi 1. Least Significant Difference (LSD) di Fisher. Multiple-range test di Duncan 3. Procedura di Student Newman Keuls 4. Honestly Significant Difference (HSD) di Tukey 5. Metodo di Scheffè

ANOVA a due vie (two-way) Test dell effetto di due fattori Tabella dei dati: Fattore A 1... j... k Fattore B y 11 y 1... y 1j... y 1k y 1. y 1 y... y j... y k y...................... y i1 y i... y ij... y ik y i...................... y r1 y r... y rj... y rk y r. y.1 y.... y.i... y.k y........ y.1 y y. j. y. k y 1. y. y i. y r. Ciascuna y ij è una v.c. Normale Y ij ~ N(µ ij ; σ )

Decomposizione della devianza k r j= 1 i= 1 ( Yij Y.. ) = ( Y.j Y.. ) + ( Yi. Y.. ) + ( Yij Y.j Yi. + Y.. ) ( Yij Y.. ) = k (.j..) (.i.. ) = r Y Y + k Y Y + j= 1 i= 1 k r j= 1 i= 1 colonne ( Yij Y.j Yi. Y.. ) + + r righe SST = SSK + SSR + SSE r = numero di righe k = numero di colonne

I rsultati della two-way ANOVA Source of variation Sum of squares DoF Means of squares Among columns Among rows Error (= within) Total SS * K k 1 M S * = SS * / k 1 SS * r 1 M S * = SS * / r 1 R SS * E ( k )( r ) SS * T rk 1 K R 1 1 M S * = SS * /( k 1)( r 1) E K R E r = numero di righe k = numero di colonne

Il test r = numero di righe k = numero di colonne 1) Test sull effetto del fattore A (colonne) H 0 : µ i = µ j i, j = 1,,k H 1 : almeno una media diversa ) Test sull effetto del fattore B (righe) H 0 : µ i = µ j i, j = 1,,r H 1 : almeno una media diversa Ipotesi nulle H 0 : µ 1 =... = µ j =... = µ k SS χ K (k 1) F = (k 1) MSK (k 1) = ~ SSE MSE χ(k 1)(r 1) ~ F (k 1)(r 1) (k 1)(r 1) (k 1);(k 1)(r 1) H 0 : µ 1 =... = µ i =... = µ r SS χ R (r 1) F = (r 1) MSR (r 1) = ~ SSE MSE χ(k 1)(r 1) ~ F (k 1)(r 1) (k 1)(r 1) (r 1);(k 1)(r 1)

Esempio Si vuole sapere quale combinazione di diesel e carburatore da la migliore performance. Esperimento: 5 carburatori e 4 tipi di diesel. Stessa quantità di diesel in ogni carburatore. Le performance sono in tabella: Carburatori 1 3 4 5 y. j y i. 1 10 13 9 14 11 57 11,4 Diesel 5 10 5 10 6 36 7, 3 6 1 5 10 6 39 7,8 4 4 8 4 11 5 3 6,4 r = 4 k = 5 y i. y. j 5 43 3 45 8 164 6,5 10,75 5,75 11,5 7

Risultati C y.. rk = = 164 ( )(5) = 1344, 8 4 SS = y C = ( 10 + 5 +... + 5 ) 1344, 8 = 191, T 4 5 ij i= 1 j= 1 SS K k y j + + + =. (... ) C = 5 43 8 r 4 j= 1 1344, 8 = 108, SS R r yi (57 + +... + ) =. C = 36 3 k 5 i= 1 1344, 8 = 73, 0,0000075561 SS = SS ( SS + SS ) = 191, ( 108, + 73, ) = 9, 8 E T K R Source of variation Sum of squares DoF Means of squares F Tra carburatori 108, 4 7,05 33,11 Tra diesel 73, 3 4,40 9,86 P-value 0,00000 0,000007 Residua 9,8 1 0,8 Totale 191, 19 5,17

Decisioni 1) Test sull effetto del fattore A (colonne) H 0 : µ i = µ j i, j = 1,,k H 1 : almeno una media diversa P-value basso, rifutiamo H 0 I 5 carburatori hanno diverse performance con ogni diesel ) Test sull effetto del fattore B (righe) H 0 : µ i = µ j i, j = 1,,r H 1 : almeno una media diversa P-value basso, rifutiamo H 0 I 4 diesel hanno performance diverse in ogni carburatore Possiamo scegliere la combinazione migliore sulla tabella dei dati