Problema pratico: Test statistico = regola di decisione

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1 La verifica delle ipotesi statistiche Problema pratico: Quale, tra diverse situazioni possibili, riferite alla popolazione, è quella meglio sostenuta dalle evidenze empiriche? Coerenza del risultato campionario con un ipotesi specificata per la popolazione: se il risultato campionario si verrà a trovare talmente lontano dal valore teorizzato dall ipotesi fatta per θ da cadere in un insieme di valori ritenuti non coerenti (in quanto troppo poco probabili) con l ipotesi su θ, tale risultato avvalorerà la possibilità di ipotesi alternative a quella specificata. Test statistico = regola di decisione che ad ogni valore campionario associa una decisione sul parametro θ.

2 La logica della verifica delle ipotesi Punto di partenza: Informazione su un parametro Ipotesi sul parametro: θ = θ 0 Punto di arrivo: Campione Conferma l ipotesi Non conferma l ipotesi TEST Decisione sul valore del parametro ipotizzato : l ipotesi sul parametro è vera La vera distribuzione è centrata su θ 0 θ 0 H : l ipotesi sul parametro è falsa La vera distribuzione non è centrata su θ 0 θ

3 Richiamando gli intervalli di confidenza: Dati: un campione X,, X n, un parametro θ ed una statistica T n, il cui valore calcolato sul campione è t n La probabilità: ( θ θ ) P t + = α n ha un senso solo se il valore di θ è noto (nel qual caso non ha utilità)

4 Se θ è noto: Prima di estrarre il campione t n non è fisso bensì una v.c. (campionaria), quindi si può ragionare sulla probabilità che t n cada in un certo intervallo intorno a θ. A che scopo? Per stabilire se la nostra conoscenza su θ è avvalorata dall evidenza empirica (cioè dal campione) Esempio: t n = media campionaria σ N µ, n σ σ P µ zα Xn µ + zα = α n n µ z α σ n µ σ µ + zα X n L intervallo è fisso, perché è centrato su µ varia al variare del campione tra tutti i possibili campioni, µ è fisso

5 Le ipotesi statistiche Ipotesi statistica: affermazione che specifica completamente o parzialmente la distribuzione di probabilità di una v.c. X. Ipotesi nulla : Informazione sulla popolazione riconosciuta come valida fino a prima all esperimento campionario (valida fino a prova contraria): Ipotesi alternativa H: : θ = θ 0 Complemento all ipotesi nulla. È costituita da un singolo valore o da un insieme di valori possibili per θ e considerati alternativi a θ 0 : H : θ = θ H : θ < θ 0 H : θ > θ 0 H : θ θ 0 Ipotesi semplice Ipotesi unidirezionale Ipotesi bidirezionale Le ipotesi e H sono esaustive e disgiunte: o vale l una o vale l altra. In ogni caso la decisione è presa rispetto ad H0

6 Test e regole di decisione Il test permette di stabilire se le osservazioni campionarie debbano ritenersi coerenti con l ipotesi nulla oppure no Da un punto di vista operativo, effettuare il test significa definire una statistica, detta statistica-test test T n, la cui distribuzione campionaria sia nota, così che: campione casuale (X,, X n ) un valore numerico coerente con H0 non coerente con H0 Spazio campionario: insieme dei valori che la statistica-test può assumere Distribuzione campionaria: Distribuzione di probabilità della statistica-test

7 Come prendere la decisione Una volta calcolato il valore campionario t n della statistica-test, detto valoretest, si può seguire una delle due seguenti procedure alternative: Livello di significatività osservato: si cerca (sulle tavole) il p-value, ossia la probabilità di ottenere un valore di T n maggiore del valore osservato t n (P[T n > t n ]) p-value = grado di coerenza di p-value θ t n T n Regione critica: si fissa a priori il livello di significatività del test - α, che identifica sulla distribuzione della statistica-test due regioni: Regione di accettazione: insieme dei valori di T n coerenti con Regione di rifiuto (o regione critica): insieme di valori di T n non coerenti con? t n - α α θ t α T n Accettazione Rifiuto

8 Regione critica per un test statistico con ipotesi alternativa unidirezionale:? t n : θ = θ 0 H : θ > θ 0 - α α θ 0 t α T n Accettazione Rifiuto Regione critica per un test statistico con ipotesi alternativa bidirezionale: t n : θ = θ 0 H : θ θ 0 α/ - α α/ -t α/ θ 0 t α/ T n Rifiuto Accettazione Rifiuto

9 Errori di I e II specie Indipendentemente dalla regola adottata, il test porta sempre a dover scegliere tra due possibili decisioni, e H e a poter commettere due possibili errori: rifiutare un ipotesi vera Vera Falsa accettare un ipotesi falsa Accetto Ok Errore di II specie Rifiuto Errore di I specie Ok Esempio: : piove Piove Non piove Ombrello SI Ombrello NO Ok Danno più grave Danno meno grave Ok N.B.: non esiste la decisione giusta!!! c è sempre il rischio di sbagliare, ma è possibile gestirlo e controllarlo QUANTIFICANDOLO

10 Rischio di errori di I e II specie Vera Falsa : θ = θ 0 H : θ = θ Accetto Rifiuto Ok Errore di I specie Errore di II specie Ok vera α Vera Falsa θ 0 Accetto Rifiuto - α α β - β β falsa θ Definizioni: α = probabilità di errore di I specie = livello di significatività - α = probabilità di accettare correttamente (affidabilità del test) β = probabilità di errore di II specie - β = potenza del test = probabilità di rifiutare correttamente (varia al variare di θ, quindi può essere determinato solo se H è un ipotesi semplice )

11 Approccio conservativo del test L ipotesi nulla è quella che, se vera, lascia invariate le cose L errore di I specie è considerato più grave di quello di II specie Mai lasciare la via vecchia ( ) per la nuova (H ) Esempi: fino ad EVIDENTE prova contraria : vecchio farmaco migliore del nuovo H : nuovo farmaco migliore del vecchio : assoluzione H : condanna Il vecchio è migliore Il nuovo è migliore Innocente Colpevole Vecchio Ok Danno meno grave Assolvo Ok Danno meno grave Nuovo Danno più grave ok Condanno Danno più grave ok È per questo che: L ipotesi nulla e l ipotesi alternativa non sono equivalenti ai fini della decisione, nel senso che il test non è mai conclusivo circa H, ma concerne solo la possibilità che dal campione si possa pervenire al rifiuto o al non rifiuto di.

12 Verifica di ipotesi sulla media µ X ~ N(µ, σ ) σ nota L elemento che determina la decisione sono i valori critici Con essi va confrontato il valore-test (valore della statistica-test calcolata sul campione) I valori critici sono ottenuti dalla distribuzione della statistica-test, fissato il livello di significatività desiderato per il test Per la media: Xn µ P zα zα = α σ n Valori critici Statistica-test

13 Esempio La frequenza cardiaca dei maschi giovani sani segue una distribuzione Normale con media µ = 7 battiti al minuto (bpm) e varianza σ = 64. Si misura la frequenza cardiaca su un campione di 5 atleti maschi e si ottiene una media pari a 68,7 bpm. Si verifichi, ad un livello di significatività del 5%, che la frequenza cardiaca degli atleti è diversa da quella della popolazione di tutti i maschi sani. Soluzione test sulla media, bilaterale distribuzione normale, varianza nota σ = 64 σ = 8 = 68,7 α = 0,05 α/ = 0,05 n = 5 Ipotesi Statistica test Valori critici Regola di decisione Valore test (v test ) Decisione : µ = 7 H : µ 7 X test ± z = ±,96 α µ = σ n -,96 v test,96 si accetta v test -,96 oppure v test,96 si rifiuta 68,7 7 vtest = =, ,06 -,96 si rifiuta

14 Esempio La quantità di merci in transito negli aeroporti italiani si distribuisce normalmente con una media pari a 8,7 (migliaia di tonnellate) e uno scarto quadratico medio pari a 8. In un campione di 0 aeroporti viene registrato un valore medio pari a 5. Utilizzando un livello di significatività dell %: a) Verificare l ipotesi che il transito medio di merci sia rimasto invariato; b) Verificare l ipotesi che il transito medio di merci non sia diminuito Soluzione a) test sulla media, bidirezionale distribuzione normale, varianza nota σ = 8 = 5 α = 0,0 α/ = 0,005 n = 0 Ipotesi Statistica test Valori critici Regola di decisione Valore test (v test ) Decisione : µ = 8,7 H : µ 8,7 X test µ = σ n ± z = ± z = ±,58 α 0,005 -,58 v test,58 si accetta H0 v test -,58 oppure v test,58 5 8,7 vtest = =, ,58 -,07,58 si accetta H0 si rifiuta H0

15 b) test sulla media, unidirezionale distribuzione normale, varianza nota Ipotesi Statistica test Valore critico : µ = 8,7 H : µ < 8,7 X test µ = σ n z = z =,33 α 0,0 Regola di decisione v test -,33 v test < -,33 si accetta H0 si rifiuta H0 Valore test (v test ) Decisione 5 8,7 vtest = =, ,07 -,33 si accetta H0

16 Verifica di ipotesi sulla media µ X ~ N(µ, σ ) σ non nota Xn µ P tα t n α = α n s n Valori critici Statistica-test Come scegliere la statistica-test per la media? X ~ N no n > 30 no??? si si σ noto no X µ s n ~ t n si X µ σ n ( ) ~ N 0,

17 Esempio La frequenza cardiaca dei maschi giovani sani segue una distribuzione Normale con media µ = 7 battiti al minuto (bpm). Si misura la frequenza cardiaca su un campione di atleti maschi e si ottiene una media pari a 68,7 bpm ed una varianza corretta pari a 75,. Si verifichi, ad un livello di significatività del 5%, che la frequenza cardiaca degli atleti è diversa da quella della popolazione di tutti i maschi sani. Soluzione test sulla media, bidirezionale distribuzione normale, varianza non nota s = 75, s = 8,67 = 68,7 α = 0,05 α/ = 0,05 n = Ipotesi : µ = 7 H : µ 7 Statistica test test = µ s n 0 Valori critici Regola di decisione Valore test (v test ) Decisione ± t0,05; = ±,0 -,0 v test,0 si accetta v test -,0 oppure v test,0 si rifiuta 68,7 7 3,3 vtest = = =,3 8, 67,5 -,0 -,3,0 si accetta

18 Verifica di ipotesi sulla proporzione π p P π zα z α = α ( π π) n Valori critici Statistica-test

19 Esempio In una scommessa con un amico, lanciando 00 volte una moneta si sono ottenute 54 teste. Abbiamo il sospetto che l amico ci abbia ingannati utilizzando una moneta truccata. Si verifichi questa ipotesi ad un livello di significatività del 0%. Soluzione test sulla proporzione, bidirezionale (unidirezionale) α = 0,0 p =0,54 n=00 Ipotesi Statistica test Valori critici Regola di decisione : π = 0,5 H : π 0,5 (H : π > 0,5) p π0 test = π π ( ) 0 0 n ± z0,05 =, 645 ( z0, =,8 ) -,645 v test,645 si accetta v test -,645 oppure v test,645 si rifiuta ( ) v test,8 si accetta v test >,8 si rifiuta Valore test (v test ) 0,54 0,50 ( ) 0,50 0,50 00 = 0,80 Decisione -,645-0,8,645 si accetta (0,80 <,8 si accetta H0)

20 Verifica di ipotesi sulla differenza tra medie X e Y ~ N no n e n y > 30 no??? si si σ X e σ Y note no σ X = σ Y si no ( X Y) ( µ µ y ) s n s + n y y ~ t ( n + ny ) si ( X Y) ( µ µ y ) s + n n y ~ t ( n + ny ) no σ X = σ Y si ( X Y) ( µ µ y ) σ + n n y ( ) ~ N 0, ( X Y) ( y ) µ µ σ σ + y n n y ( ) ~ N 0, s = ( ) ( ) s n + s n X X Y Y n + n Stimatore corretto dello sqm comune y

21 Esempio Gli pneumatici di due diverse marche, X e Y, di uguale prezzo, sono garantiti dalle case costruttrici per la stessa durata media di km e una deviazione standard di.000 km, uguale per le due marche. Da un campione di 4 utilizzatori della marca X risulta una durata media di Km, mentre da uno di 9 utilizzatori della marca Y risulta una durata media di Km. Supponendo che la durata degli pneumatici si distribuisca secondo una legge Normale, si verifichi se esiste tra le due marche una differenza significativa al 5%. Soluzione test sulla differenza tra medie, bidirezionale distribuzione Normale, varianze note uguali Ipotesi : µ = µ Y H : µ X µ Y α = 0,05 n X =4 n Y =9 X, Y ~ N = y = σ X = σ Y =.000 Statistica test test = ( X Y) ( µ µ y ) σ + n n y Valori critici Regola di decisione Valore test (v test ) Decisione ± z0,05 = ±,96 -,96 v test,96 si accetta v test -,96 oppure v test,96 si rifiuta vtest = =, ,93 < -,96 si rifiuta

22 Esempio Gli pneumatici di due diverse marche, X e Y, di uguale prezzo, sono garantiti dalle case costruttrici per la stessa durata media di km e la stessa varianza incognita. Da un campione di 4 utilizzatori della marca X risulta una durata media di Km ed una varianza pari a , mentre da uno di 9 utilizzatori della marca Y risulta una durata media di Km ed una varianza pari a Supponendo che la durata degli pneumatici si distribuisca secondo una legge Normale, si verifichi se esiste tra le due marche una differenza significativa al 5%. Soluzione test sulla differenza tra medie, bidirezionale distribuzione Normale, varianze non note uguali α = 0,05 = y = n Y =9 n X =4 X ~ N s = X s = Y

23 Ipotesi : µ = µ Y H : µ X µ Y Statistica test test = ( X Y) ( µ µ y ) s + n n y con: s = ( ) ( ) s n + s n X X Y Y n + n y Valori critici ± t0,05; = ±,08 Regola di decisione -,08 v test,08 si accetta v test -,08 oppure v test,08 si rifiuta s + = = 038, Valore test (v test ) Decisione vtest = = =,87 038, , ,87 < -,08 si rifiuta

24 Esempio Gli pneumatici di due diverse marche, X e Y, di uguale prezzo, sono garantiti dalle case costruttrici per la stessa durata media di km ma con varianze diverse e incognite. Da un campione di 4 utilizzatori della marca X risulta una durata media di Km ed una varianza pari a , mentre da uno di 9 utilizzatori della marca Y risulta una durata media di Km ed una varianza pari a Supponendo che la durata degli pneumatici si distribuisca secondo una legge Normale, si verifichi se esiste tra le due marche una differenza significativa al 5%. Soluzione test sulla differenza tra medie, bidirezionale distribuzione Normale, varianze non note diverse α = 0,05 = y = n Y =9 n X =4 X ~ N s = X s = Y

25 Ipotesi : µ = µ Y H : µ X µ Y Statistica test test = ( X Y) ( µ µ y ) s n s + n y y Valori critici Regola di decisione ± t0,05; = ±,08 -,08 v test,08 si accetta v test -,08 oppure v test,08 si rifiuta Valore test (v test ) Decisione vtest = =, ,9 < -,08 si rifiuta

26 Esempio Nelle regioni italiane si misura il livello di inquinamento ambientale con il numero di denunce emesse dalla popolazione residente. Nelle 0 regioni del Nord risultano in media 9. denunce mentre nelle del Centro- Sud la media è Verificare l ipotesi che le due aree geografiche sono caratterizzate dallo stesso livello di inquinamento al livello di significatività del 5% y Valore test Valori critici g.d.l. α Decisione: ± Si accetta : µ - µ Y = 0 H : µ X - µ Y 0 IC 95% ( µ -µ y ) = [ -.39 ; 3.76 ] Contiene lo 0

27 La spezzata delle medie X AREA Geografica Y Classi di REDDITO Totale Medie NORD CENTRO SUD Totale

28 Decomposizione della varianza La varianza di X è data dalla somma di due componenti: varianza esterna = varianza delle medie di gruppo varianza interna = media delle varianze di gruppo Se: G = numero di gruppi; µ j = media dell j-esimo gruppo; n j = numerosità dell j-esimo gruppo (j =,.,G); Quanto differiscono le medie tra loro e rispetto alla media generale? allora: ossia: σ = σ + µ µ ( ) G G n n j j j j n j = n j = V A R IA N Z A V A R IA N Z A IN T E R N A E S T E R N A σ TOT = σ INT + σex T

29 A cosa serve scomporre la varianza? n. bot Media e varianza costanti Varianza delle medie σ et = 0 Media delle varianze σ int = σ Stesso comportamento tra le due distribuzioni: CH MM scelta il numero di bottiglie acquistate è lo stesso per chi sceglie le due marche n. bot Medie diverse, varianza costante Varianza delle medie σ et 0 Media delle varianze σ int < σ Diverso comportamento tra le due distribuzioni: CH MM scelta il numero di bottiglie acquistate è diverso a seconda della marca scelta

30 Rapporto di correlazione di Pearson η Y X 0 Classe j ma h- - h tot y n n n h n. y n n n h n.... y. i n.... ij.. ni.... y k n k n k n kh nk. tot n. n. n.j n.h n Quando X è quantitativo: σ η = = r ( µ µ ) i i EXTX i= X Y σ c X ( ˆ j µ X ) n j j= n Quando Y è quantitativo: σ η = = c ( µ µ ) j Y j EXTY j= Y X σ r Y ( yi µ Y ) ni i= n N.B.: Su una tabella mista è possibile misurare anche l indipendenza assoluta con l indice del χ

31 Proprietà e interpretazione 0 η X Y η = X Y 0 Perfetta indipendenza in media: le medie delle distribuzioni condizionate di X sono tutte uguali tra loro ed uguali alla media generale (µ X ) η = X Y Perfetta dipendenza in media: le varianze delle distribuzioni condizionate di X sono nulle. Ad ogni modalità di Y corrisponde una sola intensità di X che presenta frequenza non nulla ηy X ηx Y L indice non è simmetrico (salvo eccezioni)

32 Esempio Fatturato (Y) Settore Merceologico (X) >500 Totale Alimentari 5 3 Bevande Healt Care 6 Ice Packaging Totale X 4 modalità Y 5 classi ( aperte) σ η = = r ( µ µ ) i Y i EXTY i= Y X σ c Y ( ŷj µ Y ) n j j= n. Media generale di Y: ( ) µ = h Y ŷjn j = = n j= ,96 Nota: Il valore centrale della prima classe (aperta) è stato ottenuto considerando che, nella successione di valori del carattere fatturato, i valori più bassi sono di poco superiori a 00 (che si assume, quindi, come estremo inferiore della classe); quello dell ultima classe è ottenuto considerando come estremo superiore della classe il valore massimo effettivamente osservato: ( )/ = 56

33 . Medie di Y condizionate alle modalità di X c ŷjnj j= ( ) µ = = = n 348, 48 c yjnj j= ( ) µ = ˆ = = 66,67 n 3 c 3 ŷjn3j 3 j= ( ) µ = = = n 384,33 c 4 ŷjn4j 4 j= ( ) µ = = = n 4 4

34 3. Confronto tra le medie condizionate µ = 348, 48 µ = 66,67 µ = 3 384,33 µ = 4 4 Commento: si può vedere che le medie delle distribuzioni condizionate differiscono dalla media generale di Y, quindi i due caratteri non sono indipendenti in media. Ma quanto è forte il legame di dipendenza in media?

35 r ( i Y ) i ( ) ( ) i= c j= 4. Calcolo del numeratore dell indice µ µ n = 348, , ,67 394, ( ) ( ) + 384,33 394, , 96 4 = ,4 5. Calcolo del denominatore dell indice ( j Y ) j ( ) ( ) ŷ µ n = , , ( ) ( ) ( ) , , ,96 8 = Calcolo dell indice r ( µ µ ) σ i Y ni EXTY i= ,4 η = = = = Y X σ c Y ( ŷj µ Y ) n j j= 0,03 La dipendenza in media del carattere FATTURATO dal carattere SETTORE MERCEOLOGICO è praticamente nulla ossia: il fatturato in media non dipende dal settore merceologico

36 Il test F Ipotesi: :µ i = µ j i,j =,, G le medie sono uguali in tutti i gruppi H : µ i µ j almeno una media differisce dalle altre H Dev 0 Se le medie sono uguali, la varianza tra i gruppi è nulla: = Più le medie differiscono, più: Statistica test: Dev EXT Dev 0 INT ( ) ( ) Dev TOT Dev Dev EXT / G P > F G ;n G; α = α Dev INT / n G EXT INT = Dev TOT Statistica-test Valore critico Più basso è il rapporto, più realistica è l'ipotesi nulla Più elevato è il rapporto, meno realistica è l'ipotesi nulla

37 Fatturato e settore merceologico :µ i = µ j i,j =,, G le vendite medie sono uguali in tutti i settori H : µ i µ j almeno una media differisce dalle altre ANOVA univariata FATT Fra gruppi Entro gruppi Totale Somma dei Media dei quadrati df quadrati F Sig , ,4,36, , , ,30 49 F Decisione: 0,807 0,36 σ σ EXT INT Basso valore di F = bassa σ EXT = medie vicine Il p-value è molto alto: Si accetta l ipotesi di vendite medie uguali tra i settori, confermata dal campione osservato.

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39 ANOVA Source DF Sum of squares Mean squares F Pr > F Fra gruppi < 0,000 Entro gruppo Totale Il p-value è molto basso: Si rifiuta l ipotesi reddito medio uguale nelle tre le aree geografiche.

40 Verifica di ipotesi sull indipendenza tra due caratteri ( n n ) n i j ij ij ij χ ( r ) ( c ) ( n n ) ij ij P χ α ( ) ( ) = α ; r c i j n ij Statistica-test Valore critico La variabile χ è continua, non può essere negativa e varia tra zero e infinito. La sua forma e il suo centro dipendono dal numero di gradi di libertà. La sua forma funzionale è: f(;g) = ep g g Γ g g= g=4 g=

41 Verifica di ipotesi sull indipendenza tra due caratteri VOTO VOTO Totale Meno di e lode OCCUPAZIONE ATTUALE Non occupato Precario Occ. stabile Totale χ ( n ) ij n ij = = n i j ij 3,84 : X ed Y indipendenti H : X ed Y non indipendenti α = 0,05 Distribuzione del chi-quadro -α χ 0,05;6 =,59 α Ipotesi Statistica test Valore critico Regola di decisione : χ = 0 H : χ > 0 test ( n ij nij ) = n i j ij χ 0,05; 6 =,59 v test,59 si accetta v test >,59 si rifiuta 3,84 Zona di accettazione,59 Zona di rifiuto ( n ) ij n ij n i j ij Valore test (v test ) Decisione ( n ij nij ) vtest = = 3,84 n i j ij 3,84 <,59 si accetta

42 FASI DELLA DEFINIZIONE DEL MODELLO Specificazione del modello: scelta del tipo di funzione da utilizzare per descrivere un fenomeno; definizione delle ipotesi di base Stima dei parametri: uso di stimatori dei parametri caratteristici della funzione scelta Verifica: della significatività delle stime del rispetto delle ipotesi di base (rimozione delle ipotesi, analisi dei residui) Uso del modello: ai fini per i quali è stato specificato (descrittivi, previsivi, ecc.) 4

43 IPOTESI DI BASE DEL MODELLO DI REGRESSIONE Ipotesi deboli: Necessarie perché le stime godano di proprietà ottimali, ossia siano non distorte e a varianza minima (BLUE, Teorema di Gauss-Markow). y i = α + β i + ε i. E(ε i ) = 0 3. var(ε i ) = var(y i ) = σ 4. cov(ε i, ε j ) = 0 (i j) 5. X nota e senza errore Varianza costante, omoschedasticità Assenza di autocorrelazione X non stocastica Ipotesi forte: Necessaria per verificare la significatività delle stime 6. ε N(0, σ) La varianza di ε (o di y) σ rientra tra i parametri da stimare Se ci fosse correlazione tra gli errori significherebbe che esistono altri fattori oltre a X ad influenzare Y, esclusi dal modello. Inoltre implicherebbe un legame anche tra le y i L ipotesi distribuzionale (6) è fondamentale nella fase inferenziale 43

44 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL MODELLO Y f(ε) E(Y X) = a + b 3 4 X Distribuzioni degli errori (intorno alla stima di Y): media 0, varianza costante, indipendenti, distribuiti Normalmente 44

45 VERIFICA DEL MODELLO Significatività dell R : R = 0 H : R > 0 Significatività di a e di b : β = 0 H : β 0 ( ) ( ) ( ) dev reg R n = = dev e n R test ;n b β = t test n sb F F a,,n- α : α = 0 H : α 0 a α = t test n sa α/ α/ -t a/,n- t a/,n- 45

46 Varianze della regressione Varianza dei residui: ( ) ( ) ev ( Y) Devianza dei residui: ( ) ( ) cod X,Y dev e R = = dev X d dev y s = n e i n i= ( ) ( ) cod X,Y dev ( e) = dev X s = errore standard della regressione Varianza di a: s s = a + n n i= ( ) i s a = errore standard della stima di α Varianza di b: s = s b n i= ( ) i s b = errore standard della stima di β 46