La verifica delle ipotesi statistiche

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1 La verifica delle ipotesi statistiche Problema pratico: Quale, tra diverse situazioni possibili, riferite alla popolazione, è quella meglio sostenuta dalle evidenze empiriche? Coerenza del risultato campionario con un ipotesi specificata per la popolazione: se il risultato campionario si verrà a trovare talmente lontano dal valore teorizzato per da cadere in un insieme di valori ritenuti non coerenti (in quanto troppo poco probabili) con l ipotesi su, tale risultato avvalorerà la possibilità di ipotesi alternative a quella specificata. Test statistico = regola di decisione che ad ogni valore campionario associa una decisione sul parametro.

2 La logica della verifica delle ipotesi Punto di partenza: Informazione su un parametro Ipotesi sul parametro: = 0 Punto di arrivo: Campione Conferma l ipotesi Non conferma l ipotesi TEST Decisione sul valore del parametro ipotizzato H 0 : l ipotesi sul parametro è vera La vera distribuzione è centrata su 0 0 H 1 : l ipotesi sul parametro è falsa La vera distribuzione non è centrata su 0 1

3 Richiamando gli intervalli di confidenza: Dati: un campione X 1,, X n, un parametro ed una statistica T n, il cui valore calcolato sul campione è t n La probabilità: P t 1 n ha un senso solo se il valore di è noto (nel qual caso non ha utilità) A meno che

4 Se è noto: Prima di estrarre il campione t n non è fisso bensì una v.c. campionaria (T n ), quindi si può ragionare sulla probabilità che T n assuma valore compreso (ossia che t n cada) in un certo intervallo intorno a. A che scopo? Per stabilire se la nostra conoscenza su è avvalorata dall evidenza empirica (cioè dal campione) Esempio: t n = media campionaria N, n P z Xn z 1 n n z n z n X L intervallo è fisso, perché è centrato su varia al variare del campione tra tutti i possibili campioni, è fisso

5 Le ipotesi statistiche Ipotesi statistica: affermazione che specifica completamente o parzialmente la distribuzione di probabilità di una v.c. X. Ipotesi nulla H 0 : Informazione sulla popolazione riconosciuta come valida fino a prima all esperimento campionario (valida fino a prova contraria): Ipotesi alternativa H 1 : H 0 : = 0 Complemento all ipotesi nulla. È costituita da un singolo valore o da un insieme di valori possibili per e considerati alternativi a 0 : H 1 : = 1 H 1 : < 0 H 1 : > 0 H 1 : 0 Ipotesi semplice Ipotesi unidirezionale Ipotesi bidirezionale Le ipotesi H 0 e H 1 sono esaustive e disgiunte: o vale l una o vale l altra. In ogni caso la decisione è presa rispetto ad H 0

6 Test e regole di decisione Il test permette di stabilire se le osservazioni campionarie debbano ritenersi coerenti con l ipotesi nulla oppure no Da un punto di vista operativo, effettuare il test significa definire una statistica, detta statistica-test T n, la cui distribuzione campionaria sia nota, così che: campione casuale (X 1,, X n ) un valore numerico coerente con H 0 non coerente con H 0 Spazio campionario: insieme dei valori che la statistica-test può assumere Distribuzione campionaria: Distribuzione di probabilità della statistica-test

7 Errori di I e II specie Indipendentemente dalla regola adottata, il test porta sempre a dover scegliere tra due possibili decisioni, H 0 e H 1 e a poter commettere due possibili errori: rifiutare un ipotesi vera H 0 Vera Falsa accettare un ipotesi falsa Accetto Ok Errore di II specie Rifiuto Errore di I specie Ok Esempio: H 0 : piove Piove Non piove Ombrello SI Ombrello NO Ok Danno più grave Danno meno grave Ok N.B.: non esiste la decisione giusta!!! c è sempre il rischio di sbagliare, ma è possibile gestirlo e controllarlo QUANTIFICANDOLO

8 Rischio di errori di I e II specie H 0 Vera Falsa H 0 : = 0 H 1 : = 1 Accetto Rifiuto Ok Errore di I specie Errore di II specie Ok H 0 vera H 0 Vera Falsa Accetto 1 - Rifiuto 1-0 H 0 falsa 1 Definizioni: = probabilità di errore di I specie = livello di significatività del test 1 - = probabilità di accettare correttamente (affidabilità del test) = probabilità di errore di II specie 1 - = potenza del test = probabilità di rifiutare correttamente (varia al variare di 1, quindi può essere determinato solo se H 1 è un ipotesi semplice )

9 Approccio conservativo del test L ipotesi nulla è quella che, se vera, lascia invariate le cose L errore di I specie è considerato più grave di quello di II specie Mai lasciare la via vecchia (H 0 ) per la nuova (H 1 ) Esempi: fino ad EVIDENTE prova contraria H 0 : vecchio farmaco migliore del nuovo H 1 : nuovo farmaco migliore del vecchio H 0 : Tizio è innocente H 1 : Tizio è colpevole H 0 Il vecchio è migliore Il nuovo è migliore H 0 Innocente Colpevole Vecchio Ok Danno meno grave Assolvo Ok Danno meno grave Nuovo Danno più grave ok Condanno Danno più grave ok È per questo che: L ipotesi nulla e l ipotesi alternativa non sono equivalenti ai fini della decisione, nel senso che il test non è mai conclusivo circa H 1, ma concerne solo la possibilità che dal campione si possa pervenire al rifiuto o al non rifiuto di H 0.

10 Come prendere la decisione Una volta calcolato il valore campionario t n della statistica-test, detto valoretest, si può seguire una delle due seguenti procedure alternative: Livello di significatività osservato (approccio di Fisher): si cerca (sulle tavole) il p-value, ossia la probabilità di ottenere un valore di T n maggiore del valore osservato t n (P[T n > t n ]) p-value = grado di coerenza di H 0 p-value t n T n Regione critica (approccio di Neymann- Pearson): si fissa a priori il livello di significatività del test 1 -, che identifica sulla distribuzione della statistica-test due regioni: Regione di accettazione: insieme dei valori di T n coerenti con H 0 Regione di rifiuto (o regione critica): insieme di valori di T n non coerenti con H 0? t n 1 - t T n Accettazione Rifiuto

11 Regione critica per un test statistico con ipotesi alternativa unidirezionale:? t n H 0 : = 0 H 1 : > t T n Accettazione Rifiuto Regione critica per un test statistico con ipotesi alternativa bidirezionale: t n H 0 : = 0 H 1 : 0 / 1 - / -t / 0 t / T n Rifiuto Accettazione Rifiuto

12 Verifica di ipotesi sulla media X ~ N(, ) nota La decisione si basa sui valori critici Con essi va confrontato il valore-test (valore della statistica-test calcolata sul campione) I valori critici sono ottenuti dalla distribuzione della statistica-test, fissato il livello di significatività desiderato per il test Per la media: Xn P z z 1 n Valori critici Statistica-test

13 Esempio La frequenza cardiaca dei maschi giovani sani segue una distribuzione Normale con media = 7 battiti al minuto (bpm) e varianza = 64. Si misura la frequenza cardiaca su un campione di 5 atleti maschi e si ottiene una media pari a 68,7 bpm. Si verifichi, ad un livello di significatività del 5%, che la frequenza cardiaca degli atleti non sia diversa da quella della popolazione di tutti i maschi sani. Soluzione test sulla media, bilaterale distribuzione normale, varianza nota = 64 = 8 68,7 = 0,05 / = 0,05 n = 5 Ipotesi H 0 : = 7 H 1 : 7 Statistica test Valori critici X test z 1,96 n Regola di decisione - 1,96 v test 1,96 si accetta H 0 v test < -1,96 oppure v test > 1,96 si rifiuta H 0 Valore test (v test ) 68,7 7 vtest, Decisione -,06 < -1,96 si rifiuta H 0

14 Esempio La quantità di merci in transito negli aeroporti italiani si distribuisce normalmente con una media pari a 18,7 (migliaia di tonnellate) e uno scarto quadratico medio pari a 8. In un campione di 0 aeroporti viene registrato un valore medio pari a 15. Utilizzando un livello di significatività dell 1%: a) Verificare l ipotesi che il transito medio di merci sia rimasto invariato; b) Verificare l ipotesi che il transito medio di merci non sia diminuito Soluzione a) test sulla media, bidirezionale distribuzione normale, varianza nota Ipotesi H 0 : = 18,7 H 1 : 18,7 = 8 15 = 0,01 / = 0,005 n = 0 Statistica test Valori critici X test n z z,58 0,005 Regola di decisione -,58 v test,58 si accetta H0 v test < -,58 oppure v test >,58 si rifiuta H0 Valore test (v test ) 15 18,7 vtest, Decisione -,58 -,07,58 si accetta H0

15 b) test sulla media, unidirezionale distribuzione normale, varianza nota Ipotesi H 0 : = 18,7 H 1 : < 18,7 Statistica test Valore critico X test n z z,33 0,01 Regola di decisione v test -,33 si accetta H0 v test < -,33 si rifiuta H0 Valore test (v test ) 15 18,7 vtest, Decisione -,07 -,33 si accetta H0

16 Verifica di ipotesi sulla media X ~ N(, ) non nota Xn P t t 1 n1 n 1 s n Valori critici Statistica-test Come scegliere la statistica-test per la media? X ~ N no n > 30 no??? si si noto no X s n ~ t n 1 si X n ~ N 0,1

17 Esempio La frequenza cardiaca dei maschi giovani sani segue una distribuzione Normale con media = 7 battiti al minuto (bpm). Si misura la frequenza cardiaca su un campione di 1 atleti maschi e si ottiene una media pari a 68,7 bpm ed una varianza corretta pari a 75,1. Si verifichi, ad un livello di significatività del 5%, che la frequenza cardiaca degli atleti non sia diversa da quella della popolazione di tutti i maschi sani. Soluzione test sulla media, bidirezionale distribuzione normale, varianza non nota s 75,1 s = 8,67 68,7 = 0,05 / = 0,05 n = 1 Ipotesi H 0 : = 7 H 1 : 7 Statistica test test s n 0 Valori critici t,01 0,05;11 Regola di decisione -,01 v test,01 si accetta H 0 v test -,01 oppure v test,01 si rifiuta H 0 Valore test (v test ) 68,7 7 3,3 vtest 1,3 8,67 1,5 Decisione -,01-1,3,01 si accetta H 0

18 Verifica di ipotesi sulla proporzione p P z z 1 1 n Valori critici Statistica-test

19 Esempio In una scommessa con un amico, lanciando 100 volte una moneta si sono ottenute 54 teste. Abbiamo il sospetto che l amico ci abbia ingannati utilizzando una moneta truccata. Si verifichi questa ipotesi ad un livello di significatività del 10%. Soluzione test sulla proporzione, bidirezionale (unidirezionale) = 0,10 p =0,54 n=100 Ipotesi H 0 : = 0,5 H 1 : 0,5 (H 1 : > 0,5) p 0 Statistica test test 1 Valori critici 0 0 n z 1,645 0,05 z 1,8 0,1 Regola di decisione - 1,645 v test 1,645 si accetta H 0 v test -1,645 oppure v test 1,645 si rifiuta H 0 ( ) v test 1,8 si accetta H 0 v test > 1,8 si rifiuta H 0 Valore test (v test ) 0,54 0,50 0,50 1 0, ,80 Decisione -1,645-0,8 1,645 si accetta H 0 (0,80 < 1,8 si accetta H0)

20 Verifica di ipotesi sulla differenza tra medie X e Y ~ N no n e n y > 30 no??? si X si e Y note no X = Y si no X Y y s n s n y y ~ t n n y si X Y y s 1 1 n n y ~ t n n y X Y y no X = Y si 1 1 n n y ~ N 0,1 X Y y y n n y ~ N 0,1 s s n 1 s n 1 X X Y Y n n Stimatore corretto dello sqm comune y

21 A cosa serve il test sulla differenza tra medie? Se su due campioni X ed Y su cui si osserva lo stesso fenomeno si calcolano le rispettive medie (campionarie) esse presenteranno quasi certamente due valori numericamente diversi. Il problema è: tale differenza è significativa, cioè dovuta ad una differenza strutturale tra i due campioni, oppure è dovuta ad una naturale oscillazione della media, data la variabilità del fenomeno?

22 Esempio Gli pneumatici di due diverse marche, X e Y, di uguale prezzo, sono garantiti dalle case costruttrici per la stessa durata media di km e una deviazione standard di.000 km, uguale per le due marche. Da un campione di 14 utilizzatori della marca X risulta una durata media di Km, mentre da uno di 9 utilizzatori della marca Y risulta una durata media di Km. Supponendo che la durata degli pneumatici si distribuisca secondo una legge Normale, si verifichi se esiste tra le due marche una differenza significativa al 5%. Soluzione Ipotesi Statistica test test sulla differenza tra medie, bidirezionale distribuzione Normale, varianze note uguali H 0 : = Y H 1 : X Y test X Y y 1 1 n n y = 0,05 n X =14 n Y =9 X, Y ~ N y X = Y =.000 Valori critici z 1,96 0,05 Regola di decisione - 1,96 v test 1,96 si accetta H 0 v test -1,96 oppure v test 1,96 si rifiuta H 0 Valore test (v test ) vtest, Decisione -,93 < -1,96 si rifiuta H 0

23 Esempio Gli pneumatici di due diverse marche, X e Y, di uguale prezzo, sono garantiti dalle case costruttrici per la stessa durata media di km e la stessa varianza incognita. Da un campione di 14 utilizzatori della marca X risulta una durata media di Km ed una varianza pari a , mentre da uno di 9 utilizzatori della marca Y risulta una durata media di Km ed una varianza pari a Supponendo che la durata degli pneumatici si distribuisca secondo una legge Normale, si verifichi se esiste tra le due marche una differenza significativa al 5%. Soluzione test sulla differenza tra medie, bidirezionale distribuzione Normale, varianze non note uguali = 0, y n Y =9 n X =14 X ~ N sx sy

24 Ipotesi H 0 : = Y H 1 : X Y Statistica test test X Y y 1 1 s n n y con: s s n 1 s n 1 X X Y Y n n y Valori critici t,08 0,05;1 Regola di decisione -,08 v test,08 si accetta H 0 v test -,08 oppure v test,08 si rifiuta H s 038, Valore test (v test ) vtest, , 8 038, Decisione -,87 < -,08 si rifiuta H 0

25 Esempio Gli pneumatici di due diverse marche, X e Y, di uguale prezzo, sono garantiti dalle case costruttrici per la stessa durata media di km ma con varianze diverse e incognite. Da un campione di 14 utilizzatori della marca X risulta una durata media di Km ed una varianza pari a , mentre da uno di 9 utilizzatori della marca Y risulta una durata media di Km ed una varianza pari a Supponendo che la durata degli pneumatici si distribuisca secondo una legge Normale, si verifichi se esiste tra le due marche una differenza significativa al 5%. Soluzione test sulla differenza tra medie, bidirezionale distribuzione Normale, varianze non note diverse = 0, y n Y =9 n X =14 X ~ N sx sy

26 Ipotesi H 0 : = Y H 1 : X Y Statistica test test X Y y s n s n y y Valori critici t,08 0,05;1 Regola di decisione -,08 v test,08 si accetta H 0 v test -,08 oppure v test,08 si rifiuta H 0 Valore test (v test ) vtest, Decisione -,91 < -,08 si rifiuta H 0

27 Esempio Nelle regioni italiane si misura il livello di inquinamento ambientale con il numero di denunce emesse dalla popolazione residente. Nelle 10 regioni del Nord risultano in media 9.1 denunce con s.q.m. 6, mentre nelle 1 del Centro-Sud la media è con s.q.m. 6. Ipotizzando che il numero di denunce segua una distribuzione Normale, verificare l ipotesi che le due aree geografiche siano caratterizzate dallo stesso livello di inquinamento al livello di significatività del 5% y 3.85 Valore test Valore critico 1.75 g.d.l. 0 a 0.05 Decisione: Si accetta H 0 H 0 : - Y = 0 H 1 : X - Y > 0 IC 95% ( m -m y ) = [ -1.4 ; 9.1 ] Contiene lo 0

28 La spezzata delle medie X AREA Geografica Y Classi di REDDITO Totale Medie NORD CENTRO SUD Totale

29 Decomposizione della varianza La varianza di X è data dalla somma di due componenti: varianza esterna = varianza delle medie di gruppo varianza interna = media delle varianze di gruppo Se: G = numero di gruppi; j = media dell j-esimo gruppo; n j = numerosità dell j-esimo gruppo (j = 1,.,G); Quanto differiscono le medie tra loro e rispetto alla media generale? allora: 1 1 G G jnj j nj n j1 n j1 VARIANZA INTERNA VARIANZA ESTERNA ossia: TOT INT EX T

30 A cosa serve scomporre la varianza? n. bot Media e varianza costanti Varianza delle medie et = 0 Media delle varianze int = Stesso comportamento tra le due distribuzioni: CH MM scelta il numero di bottiglie acquistate è lo stesso per chi sceglie le due marche n. bot Medie diverse, varianza costante Varianza delle medie et 0 Media delle varianze int < Diverso comportamento tra le due distribuzioni: CH MM scelta il numero di bottiglie acquistate è diverso a seconda della marca scelta

31 Rapporto di correlazione di Pearson Y X Classe j ma h-1 - h tot y 1 n 11 n 1 n 1h n1. y n 1 n n h n.... y. i n.... ij.. ni.... y k n k1 n k n kh nk. tot n.1 n. n.j n.h n Quando X è quantitativo: i i EXTX i1 X Y c X ˆj X n j j1 r n Quando Y è quantitativo: j Y j EXTY j1 Y X r Y yi Y ni i1 c n N.B.: Su una tabella mista è possibile misurare anche l indipendenza assoluta con l indice del

32 Proprietà e interpretazione 0 1 X Y X Y 0 Perfetta indipendenza in media: le medie delle distribuzioni condizionate di X sono tutte uguali tra loro ed uguali alla media generale (μ X ) X Y 1 Perfetta dipendenza in media: le varianze delle distribuzioni condizionate di X sono nulle. Ad ogni modalità di Y corrisponde una sola intensità di X che presenta frequenza non nulla Y X X Y L indice non è simmetrico (salvo eccezioni)

33 Esempio Fatturato (Y) Settore Merceologico (X) >500 Totale Alimentari Bevande Healt Care Ice Packaging Totale X 4 modalità Y 5 classi ( aperte) i Y i EXTY i1 Y X c Y ŷj Y n j j1 r n 1. Media generale di Y: h Y ŷn j j j n ,96 Nota: Il valore centrale della prima classe (aperta) è stato ottenuto considerando che, nella successione di valori del carattere fatturato, i valori più bassi sono di poco superiori a 100 (che si assume, quindi, come estremo inferiore della classe); quello dell ultima classe è ottenuto considerando come estremo superiore della classe il valore massimo effettivamente osservato: ( )/ = 156

34 . Medie di Y condizionate alle modalità di X n 1 c 1 ŷn j 1j 1 j1 348, 48 c yn j j j ˆ 66,67 n 3 c 3 ŷn j 3j 3 j n 1 384,33 c 4 ŷn j 4j 4 j n 14 41

35 3. Confronto tra le medie condizionate 1 348, 48 66, , Commento: si può vedere che le medie delle distribuzioni condizionate differiscono dalla media generale di Y, quindi i due caratteri non sono indipendenti in media. Ma quanto è forte il legame di dipendenza in media?

36 r i Y i i1 c j1 4. Calcolo del numeratore dell indice n 348, , ,67 394, ,33 394, , ,14 5. Calcolo del denominatore dell indice j Y j ŷ n , , , , , Calcolo dell indice r i Y ni EXTY i , Y X c Y ŷj Y n j j1 0,013 La dipendenza in media del carattere FATTURATO dal carattere SETTORE MERCEOLOGICO è praticamente nulla ossia: il fatturato in media non dipende dal settore merceologico

37 Il test F Ipotesi: H 0 : m i = m j i,j = 1,, G le medie sono uguali in tutti i gruppi H 1 : m i m j almeno una media differisce dalle altre H 0 H 1 Se le medie sono uguali, la varianza tra i gruppi è nulla: Più le medie differiscono, più: Statistica test: Dev EXT Dev 0 INT Dev TOT Dev 0 Dev Dev EXT / G 1 P F G1;n G; 1 Dev INT / n G EXT INT Dev TOT Statistica-test Valore critico Più basso è il rapporto, più realistica è l'ipotesi nulla Più elevato è il rapporto, meno realistica è l'ipotesi nulla

38 Il test F Ipotesi: H 0 : m i = m j i,j = 1,, G le medie sono uguali in tutti i gruppi H 1 : m i m j almeno una media differisce dalle altre H 0 : H 1 : EXT INT Dev / G 1 Dev / n G Dev / G 1 EXT Dev / n G INT 0 0 H 0 : = 0 H 1 : > 0

39 Fatturato e settore merceologico H 0 : m i = m j i,j = 1,, G le vendite medie sono uguali in tutti i settori H 1 : m i m j almeno una media differisce dalle altre ANOVA Source DF Sum of squares Mean squares F Pr > F Fra gruppi Entro gruppi Totale F Decisione: 0,89 0,04 EXT INT Basso valore di F = bassa EXT = medie vicine Il p-value è molto alto: Si accetta l ipotesi di vendite medie uguali tra i settori, confermata dal campione osservato.

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41 X AREA Geografica Y Classi di REDDITO Totale Medie NORD CENTRO SUD Totale ANOVA Source DF Sum of squares Mean squares F Pr > F Fra gruppi Entro gruppi Totale Il p-value è basso: Si rifiuta l ipotesi reddito medio uguale nelle tre le aree geografiche.

42 Verifica dell ipotesi di indipendenza H 0 : X ed Y sono indipendenti H 1 : X ed Y non sono indipendenti Ipotesi di indipendenza in media ANOVA: test F H 0 : = 0 H 1 : > 0 Ipotesi di indipendenza assoluta Test del H 0 : = 0 H 1 : > 0 Ipotesi di indipendenza lineare Test su H 0 : = 0 H 1 : > 0 Test su R H 0 : R = 0 H 1 : R > 0

43 Verifica di ipotesi sull indipendenza assoluta tra due caratteri n n i j ij ij ij n r 1c 1 nij n ij P ; r 1 c 1 1 i j n ij Statistica-test Valore critico La variabile è continua, non può essere negativa e varia tra zero e infinito. La sua forma e il suo centro dipendono dal numero di gradi di libertà. La sua forma funzionale è: 1 f(;g) ep g g g g= g=4 g=

44 Verifica di ipotesi sull indipendenza tra due caratteri Conteggio OCCUPAZIONE ATTUALE ATTUALE Non occupato Precario Occ. stabile Totale VOTO VOTO Meno di e lode Totale n ij nij n i j ij 3,84 H 0 : X ed Y indipendenti H 1 : X ed Y non indipendenti = 0,05 Distribuzione del chi-quadro 1-0,05;6 1,59 Ipotesi H 0 : = 0 H 1 : > 0 Statistica test Valore critico Regola di decisione test n ij n n i j ij 0,05; 6 1,59 v test 1,59 si accetta H 0 v test > 1,59 si rifiuta H 0 ij 3,84 Zona di accettazione 1,59 Zona di rifiuto n ij nij n i j ij Valore test (v test ) nij nij vtest 3,84 n i j ij Decisione 3,84 < 1,59 si accetta H 0

45 Verifica dell ipotesi di indipendenza lineare Modello di regressione lineare semplice Fasi del modello: Specificazione del modello: scelta del tipo di funzione da utilizzare per descrivere un fenomeno; definizione delle ipotesi di base Stima dei parametri: uso di stimatori dei parametri caratteristici della funzione scelta Verifica: della significatività delle stime del rispetto delle ipotesi di base (rimozione delle ipotesi, analisi dei residui) Uso del modello: ai fini per i quali è stato specificato (descrittivi, previsivi, ecc.) 45

46 IPOTESI DI BASE DEL MODELLO DI REGRESSIONE Ipotesi deboli: Necessarie perché le stime godano di proprietà ottimali, ossia siano non distorte e a varianza minima (BLUE, Teorema di Gauss-Markow) 1. y i = + i + i. E( i ) = 0 3. var( i ) = var(y i ) = 4. cov( i, j ) = 0 (i j) 5. X nota e senza errore Varianza costante, omoschedasticità Assenza di autocorrelazione X non stocastica Ipotesi forte: Necessaria per verificare la significatività delle stime 6. N(0, ) La varianza di (o di y) rientra tra i parametri da stimare Se ci fosse correlazione tra gli errori significherebbe che esistono altri fattori oltre a X ad influenzare Y, esclusi dal modello. Inoltre implicherebbe un legame anche tra le y i L ipotesi distribuzionale (6) è fondamentale nella fase inferenziale 46

47 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL MODELLO Y f() E(Y X) = a + b X Distribuzioni degli errori (intorno alla stima di Y): media 0, varianza costante, indipendenti, distribuiti Normalmente y i i.i.d. con media e varianza costanti 47

48 VERIFICA DEL MODELLO Significatività dell R H 0 : R 0 H 1 : R > 0 Significatività di a e di b H 0 : 0 H 1 : b 0 dev reg R n dev e n 1 R test 1;n b t test n sb F F a,1,n- a H 0 : 0 H 1 : a 0 a t test n sa a/ a/ -t a/,n- t a/,n- 48

49 Varianze della regressione Varianza dei residui: ev Y Devianza dei residui: cod X, Y dev e R 1 dev X d dev y s 1 n s n e i i1 cod X, Y dev e 1 dev X errore standard della regressione Varianza di a: s s a 1 n n i1 i s a errore standard della stima di Varianza di b: s s b n i1 1 i s b errore standard della stima di 49

50 Da un campione di 7 aziende risultano i seguenti valori del numero totale di dipendenti (X) e del numero di dipendenti laureati (Y): Dip. totali (X) Dip. Laureati (Y) a)disegnare la retta di regressione di Y su X; b)misurare la bontà dell adattamento; c)sapendo che 1 s e 3,89 n i n i1 verificare la significatività del modello al livello dell 1% i yi y i y i y i yi y y i i ,9 9 1,65 3, ,71 0 0, ,71 4 7,37 5, ,71 9,94 5, ,9 1 0,08 0, ,9 1 1,65-1, ,9 4 5, 4, ,43 18

51 cov, y cod, y 18 b 0,64 dev 8 a y b 4,9 0,64 8-0,86 Equazione della retta: y y 0,86 0,64 0-0,86 8 4,9 cov, y cod, y devreg devres R 1 dev y dev y dev dev y 18 R 8 19, 43 0,6 y

52 Test su R, unilaterale Ipotesi H 0 : R = 0 H 1 : R > 0 Statistica test Valore critico F 0,01;1;5 = 16,58 Regola di decisione v test 16,58 si accetta H 0 v test 16,58 si rifiuta H 0 Valore test X devreg test F 1;n devres n 1 R 0,6 5 vtest 7,36 1 0,6 R n Decisione 7,36 16,58 si accetta H 0 La relazione lineare tra y ed non è significativa Si rifiuta il modello lineare

53 F 0,05;1;5 = 6,608 ANOVA Source DF Sum of squares Mean squares F Pr > F Model Error Corrected Total Significatività dei coefficienti Source Value Standar d error t Pr > t Lower bound (95%) Upper bound (95%) Intercept

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55 Test su b, bilaterale Ipotesi H 0 : b = 0 H 1 : b 0 Statistica test Valori critici t 0,005;5 = 4,03 Regola di decisione Valore test X b s t test n in cui: - 4,03 v test 4,03 si accetta H 0 v test - 4,03 oppure v test 4,03 si rifiuta H 0 0,64 vtest 1,7 0,37 s s n i1 1 1 s 1,57 0,37 8 i Decisione - 4,03 1,7 4,03 si accetta H 0 La relazione lineare tra y ed non è significativa Si rifiuta il modello lineare

56 Test su a, bilaterale Ipotesi H 0 : a = 0 H 1 : a 0 Statistica test test n Valori critici t 0,005;5 = 4,03 X a s t s s 1 n n i1 i Regola di decisione - 4,03 v test 4,03 si accetta H 0 v test - 4,03 oppure v test 4,03 si rifiuta H 0 Valore test 3,89 8 s 1 1, ,86 vtest 0,63 1,35 Decisione - 4,03-0,63 4,03 si accetta H 0

57 Verifica di ipotesi sul confronto tra due varianze