Operatori limitati nello spazio di Hilbert: aspetti generali

Capitolo 2 Operatori limitati nello spazio di Hilbert: aspetti generali Sia H uno spazio di Hilbert. Indichiamo con B(H) l insieme degli operatori lineari limitati su H. Cioè A B(H) se, e soltanto se esiste C > 0 tale che Ax C x, x H. (2.1) Essendo H uno spazio di Banach, continuano, ovviamente, a valere tutte le affermazioni a suo tempo fatte per gli operatori lineari su uno spazio di Banach. In particolare, B(H) è uno spazio vettoriale su C. Tuttavia, nel caso di uno spazio di Hilbert, vi sono delle peculiarità rilevanti sulle quali ci soffermeremo. 2.1 Definizioni di base 2.1.1 La norma di un operatore Ricordiamo che in B(H) è possibile definire una norma nel modo seguente. A = Ax sup x H;x 0 x. Cioè, A è il più piccolo dei numeri C > 0 che soddisfano la (2.1). provare che A si può esprimere anche nei modi seguenti. A = sup Ax = sup Ax. x 1 x =1 Lasciamo al lettore di Esercizio 2.1.1 Verificare che la definita sopra soddisfa le proprietà di una norma. 2.1.2 Aggiunto di un operatore Sia A B(H), x, y H. Posto L A,y (x) = (Ax, y)

18 2. Operatori limitati nello spazio di Hilbert: aspetti generali L A,y è un funzionale lineare limitato su H; per il lemma di Riesz esiste allora un unico y H tale che L A,y (x) = (x, y ) x H Poniamo A y = y. È facile verificare che A è un operatore lineare. Le relazioni seguenti mostrano che A è limitato per x = A y si ha (x, A y) = (Ax, y) A x y A y 2 A A y y il che prova, ad un tempo, che A è limitato e che A A. Un immediata conseguenza della definizione di aggiunto è l uguaglianza A = A. La precedente discussione può essere riassunta nel seguente Teorema 2.1.2 Per ogni operatore A B(H) esiste un operatore limitato A tale che (Ax, y) = (x, A y) x, y H (2.2) Inoltre, A = A e A = A Dimostrazione Resta da provare soltanto l uguaglianza delle norme. Abbiamo già visto che A A A B(H). Applicando questa stessa relazione ad A si ha: A A ma A = A e quindi l asserto. Esempio 2.1.3 Sia I = [0, 1]. In L 2 (I) consideriamo, per g C(I), lo spazio delle funzioni continue in I, l operatore T g f = gf f L 2 (0, 1). L operatore T g è limitato; infatti, T g f 2 = 1 0 gf 2 dx max x [0,1] g(x) 2 1 0 f 2 dx. La relazione precedente mostra anche che T g g := max x [0,1] g(x). In realtà, T g = g. Infatti, posto L = g, per ogni a ]0, L[, l insieme E = {x I : g(x) > a} è un aperto di misura positiva. Indicata con χ E (x) la funzione caratteristica di E (chiaramente, χ E L 2 (I)), si ha g(x)χ E (x) 2 dx a 2 χ E (x) 2 dx. I Questa disuguaglianza implica a T g L. Ma a è arbitrario in ]0, L]. Dunque, T g = L. Determiniamo adesso l aggiunto; sia h L 2 (0, 1), si ha: I (T g f, h) = 1 gf h dx = 1 0 0 e quindi T g = Tḡ. In particolare se g è reale, T g = T g. g h dx = (f, Tḡh) Esercizio 2.1.4 Nell esempio precedente si sostituisca l ipotesi g C(I) con quella, evidentemente più debole, g L (I). Dimostrare che le affermazioni stabilite nell Esempio 2.1.3 si estendono a questo caso, con ovvie modifiche delle dimostrazioni.

2.1. Definizioni di base 19 Diamo adesso alcune proprietà elementari dell applicazione : A B(H) A B(H). Esercizio 2.1.5 Dimostrare che se A, B B(H) e (Ax, x) = (Bx, x), per ogni x H, allora A = B. Proposizione 2.1.6 (b) (AB) = B A (a) A A è un anti-isomorfismo isometrico di B(H) in B(H) (c) Se A ha un inverso limitato, A 1, anche A ha inverso limitato e (A ) 1 = (A 1 ) (d) A A = A 2 Dimostrazione (a) È facile dimostrare che (A + B) = A + B e che (λa) = λa. Dal fatto che A = A A B(H) segue che l applicazione è suriettiva. Per l iniettività, supponiamo che A = 0. Allora A = A = 0 e quindi A = 0. (b) ((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A y) = (x, B A y) x, y H (c) Se A ha inverso limitato, allora dalla (b) segue che il che prova la (c). A (A 1 ) = (A 1 A) = I = I = (A 1 ) A (d) Abbiamo provato a suo tempo che AB A B. Quindi A A = A A = A 2. D altra parte A A sup (x, A Ax) = sup Ax 2 = A 2 x =1 x =1 Teorema 2.1.7 B(H) è una *-algebra di Banach. Dimostrazione L applicazione A A gode, come abbiamo visto, della proprietà A = A; essa è, cioè, un involuzione in B(H). B(H) è pertanto un algebra involutiva normata o, brevemente, una *-algebra normata. Per completare la dimostrazione occorre provare che B(H) è uno spazio completo nella sua norma. Sia {A n } una successione di Cauchy in B(H). Allora, per ogni x H, la successione {A n x} è una successione di Cauchy in H ed ammette perciò limite y. Posto Ax = y, si definisce un operatore lineare di H in sé. Proviamo che A è limitato. Dato che {A n } una successione di Cauchy, la successione delle norme è limitata. Poniamo M = sup A n. Si ha allora, ( ) Ax = lim A n x lim sup A n x M x, x H. n Resta da provare che A n converge ad A in norma. Se ɛ > 0, esiste n ɛ N tale che, per ogni n, m > n ɛ, A n A m < ɛ. Fissato n > n ɛ si ha Quindi, se n > n ɛ, risulta (A n A)x = lim m (A n A m )x lim m A n A m x ɛ x. A n A = sup (A n A m )x ɛ. x 1

20 2. Operatori limitati nello spazio di Hilbert: aspetti generali Osservazione 2.1.8 Una *-algebra di Banach A la cui norma soddisfa la condizione a a = a 2, per ogni a A è detta una C*-algebra. La (d) proposizione 2.1.6 ci consente di concludere che B(H) è una C*-algebra. 2.2 Alcuni tipi di operatori limitati 2.2.1 Operatori simmetrici, operatori positivi Definizione 2.2.1 Un operatore A B(H) tale che A = A è detto simmetrico ( o autoaggiunto o hermitiano). Un operatore simmetrico A B(H) è caratterizzato dalla proprietà che (Ax, x) è un numero reale per ogni x H. Osservazione 2.2.2 Dato un qualsiasi operatore A B(H), poniamo H = A + A 2, e K = A A. 2i Gli operatori H e K sono simmetrici e A = H + ik. Quindi ogni operatore A B(H) è combinazione lineare di operatori simmetrici. Esempio 2.2.3 L operatore di moltiplicazione considerato nell esempio 2.1.3 è simmetrico se, e soltanto se g è una funzione a valori reali. Definizione 2.2.4 Un operatore A B(H) è detto positivo se (Ax, x) 0 per ogni x H. Esempio 2.2.5 Dato un qualunque A B(H), l operatore A A è positivo. Infatti, (A Ax, x) = (Ax, Ax) = Ax 2 0. Proposizione 2.2.6 Un operatore positivo A B(H) è necessariamente simmetrico. Dimostrazione Si ha, infatti, Dall identità di polarizzazione segue, allora, che (Ax, x) = (x, Ax) = (x, Ax), x H. (Ax, y) = 1 3 i k (A(x + i k y), x + i k y) = 1 4 4 k=0 3 i k ((x + i k y), Ax + i k y) = (x, Ay), x, y H. k=0

2.2. Alcuni tipi di operatori limitati 21 L insieme degli elementi positivi di B(H) sarà indicato con B(H) +. Esso è un cono; gode, cioè, delle proprietà seguenti. (a) A + B B(H) +, A, B B(H) + ; (b) λa B(H) +, A, B B(H) +, λ 0; (c) B(H) + { B(H) + } = {0}. La nozione di positività ci permette di definire una relazione d ordine nell insieme B(H) s degli operatori simmetrici di B(H). Se A, B B(H) s, diremo che A B se B A 0. Con una dimostrazione simile a quella fatta per la disuaglianza di Schwarz [Proposizione 1.2.3], si prova che, se A 0, detta disuguaglianza di Schwarz generalizzata. Se A 0, esistono m 0 e M > 0 tali che che equivale a dire L esistenza di m è ovvia. Quanto ad M si ha (Ax, y) 2 (Ax, x)(ay, y), x, y H, (2.3) mi A MI, (2.4) m(x, x) (Ax, x) M(x, x), x H. (Ax, x) Ax x A x 2 = A (x, x), x H. Dunque A è un possibile valore di M. Si può anzi provare che A è la più piccola costante positiva per cui la (2.4) è soddisfatta. Una successione {A n } di operatori limitati è detta limitata se esiste L > 0 tale che A n L, per ogni n N. Per le successioni monotone e limitate di operatori simmetrici vale un teorema di regolarità simile a quello che vale per le successioni di numeri reali con le stesse proprietà. Teorema 2.2.7 Ogni successione monotona e limitata {A n } di operatori simmetrici di B(H) converge ad un operatore simmetrico limitato. Dimostrazione Senza essere restrittivi si può supporre che 0 A 1 A 2... A n... I. Siano n, m N con n > m. In questo caso A n A m 0. Applicando la (2.3), si ha, per ogni x H (A n A m )x 4 = ((A n A m )x, (A n A m )x) 2 ((A n A m )x, x)((a n A m ) 2 x, (A n A m )x).

22 2. Operatori limitati nello spazio di Hilbert: aspetti generali Adesso osserviamo che, per le ipotesi fatte, ((A n A m ) 2 x, (A n A m )x) x 2. Dunque (A n A m )x 4 ((A n A m )x, x). La successione di numeri positivi {(A n x, x)} è crescente e limitata e, dunque, convergente. Essa è, perciò di Cauchy. Lo è, quindi, anche la successione {A n x}. Poniamo Ax = lim n A n x. Lasciamo al lettore di verificare che A è limitato e simmetrico. Teorema 2.2.8 Ogni operatore positivo A ammette un unica radice quadrata positiva; esiste, cioè, un unico operatore X 0 tale che X 2 = A. L operatore A 1/2 := X commuta con A e con tutti gli operatori limitati che commutano con A. Dimostrazione Si può supporre A I. Il nostro scopo è di provare l esistenza di una (e una sola) soluzione dell equazione X 2 = A. Posto A = I B, con 0 B I, e Y = I X, l equazione da risolvere prende la forma Costruiamo una successione per ricorrenza ponendo { Y0 = 0 Y n+1 = 1 2 (B + Y 2 n ) Per induzione su n si prova facilmente che (a) ogni Y n è un polinomio in B a coefficienti reali non negativi; (b) Y n 0, per ogni n 0; (c) Y n Y n+1, per ogni n 0; (d) Y n 1, per ogni n 0. Y = 1 2 (B + Y 2 ). (2.5) La (a) è pressoché immediata. La (b) segue dalla (a) una volta dimostrato che se B 0 allora B n 0 (esercizio!), per ogni n. Dalla (a) discende che Y n Y m = Y m Y n per ogni n, m. La (c) è certo vera per n = 0. Supponiamo che Y n 1 Y n. La differenza Y n Y n 1 è un polinomio in B a coefficienti reali non negativi e così pure Y n Y n 1. Si ha allora Y n+1 Y n = 1 ( (B + Y 2 2 n ) (B + Yn 1) 2 ) = 1 ( Y 2 2 n Yn 1) 2 = 1 2 (Y n + Y n 1 )(Y n Y n 1 ) 0. Anche la (d) è ovviamente vera per n = 0. Supponiamo allora che Y n 1. Si ha, allora Y n+1 = 1 2 ( B + Y 2 n ) 1 2 ( B + Y 2 n ) = 1 2 ( B + Y n 2 ) 1. Non resta che applicare il Teorema 2.2.7 per concludere che la successione {Y n } ammette limite Y. Un semplice passaggio al limite nell uguaglianza Y n+1 = 1 2 (B +Y 2 n ) ci permette di affermare che Y è soluzione dell equazione 2.5. Visto che Y è limite forte di una successione di polinomi in B esso commuta con B e con ogni operatore che commuta con B. Di conseguenza X = I = Y commuta con A e con ogni operatore che commuta con A.

2.2. Alcuni tipi di operatori limitati 23 Resta da provare l unicità. Supponiamo che esista un altro operatore positivo Z tale che Z 2 = A. Cominciamo con l osservare che AZ = ZA = Z 3 e, quindi, Z commuta con X. X e Z sono operatori positivi. Quindi anch essi ammettono radici positive. Indichiamole con T ed S rispettivamente. Sia x H e poniamo y = (X Z)x. Si ha T y 2 + Sy 2 = (T 2 y, y) + (S 2 y, y) = (Xy, y) + (Zy, y) = ((X + Z)(X Z)x, y) = ((X 2 Z 2 )x, y) = ((A A)x, y) = 0. Dunque, T y = Sy = 0. Ne segue che Xy = T 2 y = 0 e Zy = S 2 y = 0. Quindi, (X Z)x 2 = ((X Z) 2 x, x) = ((X Z)y, x) = 0. Dall arbitrarietà di x segue che X = Z. Corollario 2.2.9 Siano A e B operatori positivi che commutano. Allora AB è un operatore positivo. La dimostrazione è lasciata come esercizio. Abbiamo già visto che, se A B(H), allora A A è un operatore positivo. La sua radice positiva (A A) 1/2 è detta modulo di A e si denota con A. 2.2.2 Operatori di proiezione Una classe molto importante di operatori nello spazio di Hilbert è quella delle proiezioni. Definizione 2.2.10 Un operatore P B(H) è chiamato un proiettore (o una proiezione) ortogonale se P = P 2 = P Il seguente teorema stabilisce la corrispondenza biunivoca tra proiettori ortogonali e sottospazi di H. Teorema 2.2.11 Sia P un proiettore ortogonale in H. Posto M P = {y H : y = P y}, allora M P coincide con l immagine di P ed è un sottospazio chiuso di H. Viceversa, se M è un sottospazio chiuso di H, esiste un proiettore P in H tale che M = M P Dimostrazione È ovvio che M P ImP. L inclusione inversa si ottiene dalle relazioni y = P x P y = P 2 x = P x = y. Il fatto che M P è chiuso è immediato. Sia, viceversa, M un sottospazio chiuso di H. Ogni elemento x H si può decomporre come x = y + z con y M e z M. Poniamo y = P x. È, adesso, molto facile dimostrare che P è un proiettore e che M = M P. In questa corrispondenza se P è il proiettore su M P, I P è il proiettore su M P. Esempio 2.2.12 Sia y un vettore fissato in H, con y = 1,. L operatore P y definito da P y x = (x, y)y, x H è, come si verifica facilmente un proiettore ortogonale. Il sottospazio di H corrispondente è il sottospazio unidimensionale generato da y.

24 2. Operatori limitati nello spazio di Hilbert: aspetti generali Esempio 2.2.13 In L 2 (E), dove E è un insieme misurabile, l operatore P F di moltiplicazione per la funzione caratteristica χ F di un sottoinsieme misurabile F di E è un proiettore. Il sottospazio corrispondente è isomorfo a L 2 (F ). Proposizione 2.2.14 Siano P e Q gli operatori di proiezione sui sottospazi M ed N, rispettivamente. Le sequenti affermazioni sono equivalenti. (i) M N ; (ii) QP = P ; (iii) P Q = P ; (iv) P x Qx, x H. (v) P Q. Dimostrazione (i) (ii): Se M N, allora per ogni x H, P x M N ; quindi QP x = P x. (ii) (iii): Si ha P Q = (QP ) = P = P. (iii) (iv): Se P Q = P, allora P x = P Qx Qx. (iv) (v): (P x, x) = (P 2 x, x) = (P x, P x) = P x 2 Qx 2 = (Qx, Qx) = (Qx, x), x H. Quindi P Q. (v) (i): Supponiamo che P Q e sia y M. Allora, (y, y) = (P y, y) (Qy, y) = (Qy, Qy) = Qy 2. Quindi, Qy = y. Ma y = Qy + (I Q)y e y 2 = Qy 2 + (1 Q)y 2, perché Qy e (I Q)y sono ortogonali. In conclusione, (I Q)y = 0. Cioè, y = Qy e, dunque, y N. 2.2.2.1 Il reticolo dei proiettori La proposizione 2.2.14 mette in evidenza che l ordinamento parziale dei sottospazi di H, stabilito dall inclusione, si riflette completamente sui proiettori di H. Se {M α } è una qualsiasi famiglia di sottospazi, il più grande sottospazio chiuso contenuto in tutti gli M α, che indicheremo con α M α è, chiaramente, il sottospazio α M α. Se indichiamo con P α il proiettore su M α, al sottospazio α M α corrisponderà un proiettore che indicheremo con α P α. Si ha P α P α, α In modo analogo, se indichiamo con α M α il sottospazio di H generato dalla famiglia {M α } ad esso corrisponderà un proiettore α P α con la proprietà α. P α α P α, α.

2.2. Alcuni tipi di operatori limitati 25 Osservazione 2.2.15 Valgono le relazioni (I P α ) = I α α P α (I P α ) = I α α P α In particolare Proposizione 2.2.16 Se P e Q sono proiettori che commutano, corrispondenti, rispettivamente ai sottospazi M ed N, allora P Q = P + Q P Q, P Q = P Q, M N = M + N. 2.2.2.2 Sottospazi invarianti per un operatore Definizione 2.2.17 Un sottospazio M si dice invariante per l operatore A B(H) se AM M; cioè, se Ax M per ogni x M. Proposizione 2.2.18 Se M è invariante per A, anche la sua chiusura M lo è. La dimostrazione è lasciata per esercizio al lettore. Proposizione 2.2.19 Sia P B(H) un proiettore. Se AP = P A, allora M P è un sottospazio invariante per A. Dimostrazione Se x M P, si ha, infatti, P x = x e quindi AP x = Ax; per l ipotesi di commutatività, P Ax = Ax e, quindi, Ax M P. Il fatto che un sottospazio chiuso M sia invariante per A non implica in generale che il proiettore P M su M commuti con A. Esempio 2.2.20 Sia A un operatore limitato ed assumiamo che esista un vettore y H, con y = 1, tale che Ay = λy, per un certo λ C. È allora evidente che il sottospazio M y generato da y è invariante per A. Tuttavia, il proiettore P y su M y, in generale, non commuta con A. Ricordando, infatti, che, se x H, P y x = (x, y)y, si ha P y Ax = (Ax, y)y e AP y x = (x, y)ay = λ(x, y)y. D altra parte, se, in quest esempio, si suppone che M y sia invariante anche per A, allora si ha, com è facile vedere, A y = λy e, quindi, P y Ax = (Ax, y)y = (x, A y)y = λ(x, y)y, x H, e dunque P y A = AP y. Questo non è un caso come mostra la seguente proposizione. Proposizione 2.2.21 Se M è un sottospazio chiuso invariante sia per A sia per A, allora il proiettore P M su M commuta con A (e con A ).

26 2. Operatori limitati nello spazio di Hilbert: aspetti generali Dimostrazione Infatti, se x, y H, si ha (P M Ax, y) = (Ax, P M y) = (x, A P M y) = (x, P M A P M y), perché A P M y M. D altra parte, dato che per ogni x H, AP M x M, (AP M x, y) = (P M AP M x, y) = (x, P M A P M y). Dunque AP M = P M A. Teorema 2.2.22 Ogni operatore simmetrico A si decompone nella differenza di due operatori positivi A + e A tali che A + A = A A + = 0. Dimostrazione Sia A = (A 2 ) 1/2. Dato che A è limite di una successione di polinomi in A 2, esso commuta con A e con ogni operatore limitato che commuta con A. Poniamo A + = A + A 2 e A = A A. 2 È chiaro che A = A + A. Inoltre, A + A = 1 4 ( A + A)( A A) = 1 4 ( A 2 A 2 ) = 0. Dimostriamo che A + e A sono positivi. Sia M = {x H : A + x = 0}. M è un sottospazio chiuso di H. Indichiamo con P il proiettore corrispondente. Dalla definizione segue che A = A + + A È chiaro che A + P = P A + = 0. D altra parte, per ogni x H, A x M, dato che A + A = 0. Dunque, P A x = A x, per ogni x H, ovvero, P A = A P = A. Allora A = P A + + P A = P (A + + A ) = P A. Quindi A si esprime come prodotto di operatori positivi che commutano. Ne segue che A 0. D altra parte, A + = A A = A P A = (I P ) A 0, per lo stesso motivo. 2.2.3 Operatori isometrici e unitari Definizione 2.2.23 Un operatore U B(H) è detto em isometrico se (Uf, Ug) = (f, g) f, g H (2.6) Da questa definizione segue immediatamente che per un operatore isometrico U U = I e che, inoltre Uf = f f H. Un operatore isometrico è dunque necessariamente iniettivo, ma non è detto che sia suriettivo; se lo è allora U ha inverso U 1 ovunque definito e limitato. In questo caso l operatore sarà detto unitario. Proposizione 2.2.24 Se U è un operatore isometrico le seguenti condizioni sono equivalenti (i) U è unitario; (ii) U = U 1 ; (iii) U U = UU = I;

2.2. Alcuni tipi di operatori limitati 27 (iv) anche U è isometrico. Dimostrazione (i) (ii). Se U 1 esiste si ha: (Uf, g) = (Uf, UU 1 g) = (f, U 1 g) e questo implica che U = U 1. (ii) (iii) è banale. (iii) (iv) segue subito dalla definizione di operatore isometrico. (iv) (i). Se U ed U sono entrambi isometrici, si ha, per definizione: U U = UU = I. Quindi U ha inverso ovunque definito e limitato. Cioé U è unitario. Esempio 2.2.25 In L 2 (R) consideriamo l operatore U definito nel modo seguente. Se t R, poniamo f t (x) = f(x t) e definiamo (Uf)(x) = f t (x), f L 2 (R). Lasciamo al lettore di verificare che U è un operatore unitario. Esempio 2.2.26 In L 2 ([0, + [) consideriamo l operatore U definito nel modo seguente. Se t > 0, poniamo f t (x) = { f(x t) se x t 0 se x < t e definiamo (Uf)(x) = f t (x), f L 2 ([0, + [). Quest operatore è isometrico ma non è unitario. Il suo aggiunto U associa a g(x) L 2 ([0, + [) la funzione g t (x) = f(x + t) e non è, perciò, isometrico. Esempio 2.2.27 Sia H = L 2 (R). La trasformata di Fourier f = T f data da f(x) = 1 2π R f(y)e ixy f(y)dy definisce un operatore unitario di H in sé. L operatore inverso T 1 f = f è dato da f(x) = 1 2π R f(y)e ixy f(y)dy. Questi fatti costituiscono il contenuto del Teorema di Fourier-Plancharel. È il caso di notare che gli integrali usati per definre sia la trasformata di Fourier sia la sua inversa devo essere intesi nel senso della convergenza in L 2 (R), essi sono cioè il risultato di approssimazioni con i corrispondenti integrali calcolati su una successione di funzioni regolari convergenti ad f (nel caso del primo integrale) o ad f nel caso del secondo.

28 2. Operatori limitati nello spazio di Hilbert: aspetti generali 2.3 Topologie in B(H): convergenza forte e convergenza debole Oltre alla topologia della norma (detta anche topologia uniforme) in B(H) è utile introdurre altre topologie. Esse non sono definite da una norma, ma da famiglie separanti di seminorme. Definizione 2.3.1 Sia E uno spazio vettoriale su C. Una seminorma su E è un applicazione p di E in R che associa a v p(v) con le seguenti proprietà: (i) p(v) 0 v E (ii) Se v = 0, allora p(v) = 0 (iii) p(αv) = α p(v) α C v E (iv) p(v + w) p(v) + p(w) v, w E Una famiglia {p α } α I `detta separante se per ogni v E, v 0, esiste α I tale che p α (v) 0. Una famiglia separante di seminorme definisce su E un topologia localmente convessa di Hausdorff su E. Una base d intorni di 0 è costituita dagli insiemi del tipo U = {v E : p αi (v) < ɛ; i = 1, 2,..., n}. 2.3.1 La topologia forte di B(H) Sia H uno spazio di Hilbert. La famiglia di seminorme {p x ; x H} in B(H) definite da p x (A) = Ax, x H, induce su B(H) una topologia localmente convessa, che indicheremo con t s, detta topologia forte degli operatori. Essendo p x (A) = Ax A x, x H la topologia t s è meno fine della topologia uniforme t u definita dalla norma degli operatori limitati. Quindi, per esempio, se una successione {A n } di operatori limitati converge in norma ad un operatore limitato A, essa converge ad A anche fortemente. Il viceversa è, in generale falso. Esempio 2.3.2 Sia {e n } una base ortonormale di uno spazio di Hilbert separabile H. Consideriamo la successione {P n } di proiettori definiti da n P n x = (x, e k )e k. Dalle proprietà delle basi ortonormali deduciamo che, per ogni x H, n x (x, e k )e k 0, n. k=1 k=1 Cioè, (I P n )x 0, per ogni x H o, in altri termini, P n I fortemente. La successione {P n } non converge a I in norma, perché I P n = 1, per ogni n N.

2.4. Commutanti e Algebre di von Neumann 29 2.3.2 La topologia debole di B(H) La famiglia di seminorme {p x,y ; x, y H} in B(H), definite da p x,y (A) = (Ax, y), x, y H, induce su B(H) un altra topologia localmente convessa, che indicheremo con t w, detta topologia debole degli operatori. Essendo p x,y (A) = (Ax, y) Ax y, x H la topologia t w è meno fine della topologia forte. 2.4 Commutanti e Algebre di von Neumann Sia M us sottoinsieme di B(H). Il commutante M di M è definito da M = {X B(H) : AX = XA, A M.} Porremo M = (M ) ; M è detto il bicommutante di M. Risulta M M ; M := (M ) = M, etc. Si vede facilmente che M è una sottoalgebra di B(H). Se M = M, cioè se M contiene, insieme con un elemento A anche il suo aggiunto A, allora M è una *-sottoalgebra di B(H). Proposizione 2.4.1 Per ogni M B(H), M è un algebra debolmente (e quindi, fortemente e uniformemente) chiusa. Se M è una sottoalgebra di B(H), contenente l identità I, la sua chiusura debole M w è certamente un sottoinsieme di M, perché questo è debolmente chiuso. Teorema 2.4.2 Sia M una *-sottoalgebra di B(H), contenente l identità I. Allora M = M s, la chiusura forte di M. Dimostrazione Dobbiamo dimostrare che, fissato un B M, per ogni ɛ > 0 e per ogni x H esiste A M tale che Bx Ax < ɛ. Sia x H e definiamo M = Mx = {Cx; C M}. Il sottospazio M è invariante per ogni operatore A M (e quindi anche per A ). Anche la sua chiusura M è, dunque invariante per ogni operatore di M. Per la proposizione 2.2.21 il proiettore P := P M commuta con ogni operatore A M. Cioè P M. Si ha quindi, P B = BP e M è invariante anche per B. Questo implica che Bx M. Quindi esiste A M tale che Bx Ax < ɛ. Corollario 2.4.3 Sia M una *-sottoalgebra di B(H), contenente l identità I. affermazioni sono equivalenti. Le seguenti (i) M è debolmente chiusa.

30 2. Operatori limitati nello spazio di Hilbert: aspetti generali (ii) M = M. Dimostrazione (i) (ii): Utilizzando il teorema precedente si ha, M M s M w M = M s. Quindi M w = M s = M. Se M è debolmente chiusa, risulta allora M = M. L implicazione (i) (ii) è ovvia, dato che M è, in ogni caso, debolmente chiusa. Osservazione 2.4.4 Le *-sottoalgebre di B(H), con identità, per cui si verifica l una o l altra delle condizioni equivalenti del precedente corollario, svolgono un ruolo chiave nella teoria degli operatori. Esse sono dette Algebre di von Neumann, dal nome di John von Neumann che per primo le studiò (1948 circa). La teoria delle algebre di von Neumann rappresenta uno degli argomenti più fecondi della ricerca matematica contemporanea e trova applicazioni negli ambiti più disparati: dalla Geometria non commutativa alle Teorie quantistiche. La loro trattazione va comunque al di là dell ambito di un corso iniziale sulla teoria degli operatori.