Soluzioni Cat. M1 (Alunni di prima Media)

VIII Edizione Giochi di Achille e la tartaruga 12-DIC-2013 Chieti - Italia Con il Patrocinio del Comune di Chieti Il Responsabile coordinatore dei giochi: Prof. Agostino Zappacosta Chieti - Tel. 0871 65843 (cell.: 340 47 47 952) e-mail: agostino_zappacosta@libero.it sito: www.matematicabruzzo.it Soluzioni Cat. M1 (Alunni di prima Media) Quesito 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Risposta esatta D E A A C B C D D E 23 66 6 1/4 2500 43 Vale punti 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 8 8 12 12 Il massimo punteggio previsto è 100. Una risposta mancante vale 1 punto. Una risposta sbagliata vale 0 punti. Quesito 1 (vale 4 punti) [Questo scambio!!!! A chi conviene???] Gabriele ha ventidue monete da dieci centesimi di euro ed altre da 5 centesimi di euro. Se nel suo portamonete ci sono 5,15 quante sono le monete da cinque centesimi possedute da Gabriele? A) 103; B) 51; C) 55 D) 59; E) nessuno dei precedenti. Soluzione Quesito 1: D) 59 monete da 5 centesimi. 20 monete da 10 centesimi valgono (22x10) = 220 centesimi di euro = 2,20. (5,15 2,20) = 2.95 = 295 centesimi di euro. Le monete da 5 centesimi saranno (295 : 5) = 59. Quesito 2 (vale 4 punti) [E bello pedalare!!! Ma che fatica!!!!] 104ª Milano-Sanremo 2013 (Il vincitore ha impiegato 5 ore, 37 minuti e 20 secondi) Ordine Ordine Corridore (nazione) Ritardo arrivo arrivo Corridore (nazione) Ritardo 1 Gerald Ciolek (Ger): 5:37:20 0:00:00 88 Ioannis Tamouridis (Gre) 0:11:19 9 Mark Cavendish (GBr) 0:00:14 95 Alessandro Proni (Ita) 0:11:39 38 Mauro Santambrogio (Ita) 0:00:20 96 Kristijan Koren (Slo) 0:11:44 43 Eduard Vorganov (Rus) 0:00:56 102 Sergio Pardilla Bellon (Spa) 0:11:46 45 Moreno Moser (Ita) 0:02:42 109 Bertjan Lindeman (Ned) 0:11:49 46 Roberto Ferrari (Ita 0:03:26 124 Baden Cooke (Aus) 0:11:56 52 Davide Appollonio (Ita) 0:05:13 125 Martin Velits (Svk) 0:13:09 81 Jorge Azanza Soto (Spa) 0:07:49 134 Francesco Chicchi (Ita) 0:15:03 82 Paul Martens (Ger) 0:08:59 135 Vladimir Isaichev (Rus) 0:18:25 83 Marco Bandiera (Ita) 0:09:20 Soluzioni_Cat._M1_VIII-Ed_Giochi_Achille_tartaruga_CH_12-12-2013 Pagina 1

Nella tabella c è la classifica (con i relativi ritardi) di alcuni corridori che hanno partecipato alla Milano-Sanremo dell Edizione 2013. Quale è stato il tempo impiegato dallo spagnolo Jorge Azanza Soto? A) 07:49:20; B) 12:86:20; C) 07:37:20; D) 07:37:69; E) nessuno dei precedenti. Soluzione Quesito 2: E) Lo spagnolo Jorge Azanza Soto ha impiegato 5 h 45 m 09 s. Basta sommare al tempo impiegato dal vincitore, il distacco del corridore spagnolo che è stato di 7 minuti e 49 secondi. 5 h 37 m 20 s + 0 h 07 m 49 s = 5 h 44 m 69 s e trasformando i secondi in minuti (69 s = 60 s + 9 s = 1 m e 9 s.) otteniamo che i minuti diventano 44 + 1 = 45. Così5 h 44 m 69 s = 5 h 45 m 09 s. Quesito 3 (vale 4 punti) [Aprite bene gli occhi!!!!!!] Un numero palindromo è quel numero che letto, sia da destra che da sinistra, ha lo stesso valore. Per es. 11 e 40604 sono numeri palindromi. Quanti numeri palindromi ci sono in questo elenco? 13033; 13421; 13441; 13513; 13613; 13913; 14341; 16661; 17107; 17117; 18371; 19891; 21121; 23623; 27127; 27271; 27427; 27527; 27827; 29129; 29429; 29629; 31013; 31231; 31531; 33113; 33223; 37337; 37537; 39239; 39293; 39439; 39839; 41141; 41341; 41411; 41641; 41941; 43543; 43943. A) 5; B) 15; C) 13; D) 17; E) nessuno dei precedenti. Soluzione Quesito 3: A) I numeri palindromi sono 5: 14341; 16661; 19891; 31013; 39293. Si procede in questo modo: a) Eliminare tutti i numeri in cui la prima cifra è diversa dall ultima. 13033; 13421; 13441; 13513; 13613; 13913; 14341; 16661; 17107; 17117; 18371; 19891; 21121; 23623; 27127; 27271; 27427; 27527; 27827; 29129; 29429; 29629; 31013; 31231; 31531; 33113; 33223; 37337; 37537; 39239; 39293; 39439; 39839; 41141; 41341; 41411; 41641; 41941; 43543; 43943. b) Eliminare, dai numeri rimasti, tutti quelli in cui la seconda cifra è diversa dalla penultima. 13421; 13441; 14341; 16661; 18371; 19891; 31013; 33113; 33223; 39293. A questo punto i numeri rimasti sono tutti palindromi e sono cinque: 14341; 16661; 19891; 31013; 39293. Quesito 4 (vale 4 punti) [Fate bene i conti!! Non fate morire i conigli!!] Alberto, Bruno, Cesare, Daniele ed Eugenio sono 5 allevatori di conigli. Il primo consuma 2 kg di mangime ogni 5 giorni e ne acquista 124 kg. Il secondo consuma 3 kg di mangime ogni settimana e ne acquista 153 kg. Il terzo consuma 3 kg di mangime ogni 8 giorni e ne acquista 132 kg. Il quarto consuma 4 kg di mangime ogni 9 giorni e ne acquista 144 kg. Il quinto consuma 5 kg di mangime ogni 2 settimane e ne acquista 120 kg. Chi finirà per prima il mangime? A) Alberto; B) Bruno; C) Cesare; D) Daniele; E) Eugenio. Soluzione Quesito 4: A) Alberto (dopo 310 giorni). Alberto: 124 : 2 = 62 volte 5 gg. gg (62 5) = 310 giorni (durata del mangime a disposizione); Bruno: 153 : 3 = 51 volte 7 gg. gg (51 7) = 357 giorni (durata del mangime a disposizione); Cesare: 132 : 3 = 44 volte 8 gg. gg (44 8) = 352 giorni (durata del mangime a disposizione); Daniele: 144 : 4 = 36 volte 9 gg. gg (36 9) = 324 giorni (durata del mangime a disposizione); Eugenio: 120 : 5 = 24 volte 14 gg. gg (24 14) = 336 giorni (durata del mangime a disposizione). Quesito 5 (vale 5 punti) [Numeri disubbidienti!!! Non vogliono mettersi in file ordinate!!] Massimo ha un mucchietto di figurine. Se le conta a 4 a 4, gliene avanzano 3. Se, invece, le conta a 7 a 7 ne avanzano 3. Quante figurine ha Massimo? Attenzione: E un numero compreso tra 150 e 180. A) 160; B) 163; C) 171; D) 178; E) nessuno dei precedenti. Soluzioni_Cat._M1_VIII-Ed_Giochi_Achille_tartaruga_CH_12-12-2013 Pagina 2

Soluzione Quesito 5: C) 171. Risposta esatta: C) 171 Parto da un multiplo di 4 vicino a 150 cioè 152 e vado a 4 a 4 ottenendo così: 152, 156, 160, 164, 168, 172, 176 e 180. Parto da un multiplo di 7 vicino a 150 e vado a 7 a 7 ed ottengo: 140, 147, 154, 161, 168, 175. Se avanzano sempre 3 figurine, a tutti questi numeri dovrò aggiungere 3. In questo modo otterrò questi numeri: 155, 159, 163, 167, 171, 175, 179 e 183. Nell altro elenco otterrò: 143, 150, 157, 164, 171, 178. Il numero183 si esclude subito in quanto non è un numero compreso tra 150 e 180. L unico che resta in comune ai due gruppi è 171. Quesito 6 (vale 5 punti) [Attenzione!!! Non calpestate il nastro bianco che divide le corsie!!!!] Le piste di atletica leggera generalmente sono formate da 8 corsie larghe ciascuna 122 cm. La corsia n. 1 (la più corta) è quella più interna e misura esattamente 400 metri. Le altre sono lunghe sempre 8 m in più rispetto alla corsia vicina. Così la corsia n. 3 misura 8 m più della corsia n. 2 che a sua volta misura 8 m in più rispetto alla corsia n. 1. Alessia si sta allenando in pista col suo compagno Leonardo. Alessia corre in prima corsia e Leonardo in sesta corsia. Quando Leonardo ha finito il decimo giro, Alessia sta transitando proprio in quel momento sul traguardo. Sapendo che hanno corso alla stessa velocità, quanti giri ha percorso Alessia? A) 10; B) 11; C) 4000; D) 13; E) nessuno dei precedenti Soluzione Quesito 6: B) 11 giri. La sesta corsia misura esattamente metri 440 = 400 + 5 8 = 400 + 40. Leonardo, perciò, dopo 10 giri ha percorso m (440x10) = m 4400. Alessia che corre in prima corsia, lunga solo 400 metri per percorrere la stessa distanza dovrà fare 11 giri (4400 : 400 = 11). Quesito 7 (vale 5 punti) [Mi raccomando!!! Non otturate l imbuto dei numeri!!!!] In questo imbuto di numeri, i numeri nelle caselle sono messi in modo tale che un numero è il risultato della sottrazione dei numeri scritti nelle due caselle che gli stanno immediatamente A =? B C D= 389 sopra. Per esempio, il numero della casella I è la differenza dei numeri che stanno nelle due caselle F e G. Nella casella E= 279 F G indicata con la lettera A che numero dobbiamo mettere? A) 300; B) 110; C) 913; H I = 89 D) 190; E) Nessuno dei precedenti. L = 23 Soluzione Quesito 7: C) 913. Nella casella H dobbiamo mettere 112 che si ottiene eseguendo la somma 89 + 23. Nella casella F dobbiamo mettere 167 che si ottiene eseguendo la sottrazione 279 112. Nella casella G dobbiamo mettere 78 che si ottiene eseguendo la sottrazione 167 89. Nella casella C dobbiamo mettere 467 che si ottiene eseguendo la somma 389 + 78. Nella casella B dobbiamo mettere 634 che si ottiene eseguendo la somma 467 + 167. Finalmente, nella casella A dobbiamo mettere 913 che si ottiene eseguendo la somma 634 + 279. A destra c è l imbuto dei numeri completo. A=913 B=634 C=467 D= 389 E= 279 F=167 G =78 H=112 I = 89 L = 23 Soluzioni_Cat._M1_VIII-Ed_Giochi_Achille_tartaruga_CH_12-12-2013 Pagina 3

Quesito 8 (vale 5 punti) [Cercate di essere puntuali!!!] 10 00 12 12 20 13 Ora Minuti Giorno Mese Anno In questo orologio digitale facendo la somma delle cifre dei tre numeri che indicano giorno, mese ed anno otteniamo 12 (1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 0 + 1 + 3). La somma delle cifre dei numeri che indicano ore e minuti, invece, vale 1 (1 + 0 + 0 + 0 = 1). Ricordiamo che negli orologi digitali le ore vanno da 00 a 23, mentre i minuti vanno da 00 a 59. Nel giro di 4 ore (dalle ore 05.00 alle ore 09.00), quante volte la somma delle quattro cifre (che indicano le ore ed i minuti) è uguale a 12? A) 18; B) 21; C) 22; D) 23; E) nessuno dei precedenti. Soluzione Quesito 8: D) 23. La somma delle cifre del numero che indica le ore vale 5 (0 + 5 = 5), 6 (0 + 6 = 6), 7 (0 + 7 = 7) oppure 8 (0 + 8 =8). Quindi bisogna cercare, tra i numeri che indicano i minuti, tutti quelli in cui la somma delle cifre vale 7, 6, 5 oppure 4. Solo così otterremo 12 (5 + 7, 6 + 6, 7 + 5 oppure 8 + 4) Durante le 4 ore indicate, gli unici numeri che vanno bene sono in tutto 23: 04, 05, 06; 07; 13, 14, 15, 16; 22, 23, 24; 25; 31, 32, 33; 34; 40, 41; 42,43, 50; 51 e 52. Concludendo i 23 diversi orari che potremo formare sono i seguenti: 05:07; 05:16; 05:25; 05:34; 05:43; 05;52; 06:06; 06:15; 06:24; 06;33; 06:42; 06:51; 07:05; 07:14; 07:23; 07:32; 07:41; 07:50; 08:04; 08:13; 08:22; 08:31; 08:40. Quesito 9 (vale 6 punti) [Attenzione!!! non fate fuggire i cavalli!!!!] Roberto, per costruire un recinto per i cavalli, ha adoperato dei bastoni di faggio di diversa lunghezza. Nella costruzione ha proceduto come indicato nelle tre figure. La fig. 1 mostra come sono stati inchiodati i primi sette bastoni. Le fig. 2 e 3 mostrano come Roberto, ha proceduto nel lavoro, inchiodando gli altri bastoni. Fig.1 Fig. 2 Fig. 3.. Quanti bastoni sono stati necessari per costruire il recinto della fig. 30? A) 180; B) 210; C) 187; D) 181; E) nessuno dei precedenti. Soluzione Quesito 9: D) 181. Passando dalla figura 1 alla 2 si devono aggiungere 6 bastoni Per passare dalla figura 2 alla 3 se ne devono aggiungere altri 6. Per passare dalla figura 3 alla 4 se ne devono aggiungere altri 6. E così via. Quindi per passare dalla figura 1 alla figura 30, devo aggiungere per 29 volte 6 bastoni. Perciò per costruire il recinto Roberto deve adoperare 181 bastoni (7 + 29 6 = 7 + 174 = 181) Quesito 10 (vale 6 punti) Qual è il numero di 2 cifre in cui la somma delle sue cifre è uguale alla metà del prodotto delle stesse cifre? A) 42; B) 41; C) 81; D) 61; E) nessuno dei precedenti. Soluzioni_Cat._M1_VIII-Ed_Giochi_Achille_tartaruga_CH_12-12-2013 Pagina 4

Soluzione Quesito 10: E) Bastava scegliere uno tra questi tre numeri: 36; 44 o 63. Infatti per 36 e 63 la somma delle cifre vale 9 (3 + 6 = 6 + 3 = 9). Il prodotto, invece, vale 18 (3 6 = 6 3 = 18). Verifichiamo così che la somma delle cifre (9) è proprio la metà del prodotto delle stesse cifre (18). La stessa cosa avviene per 44: somma delle cifre = 8 (4 + 4 = 8); prodotto delle cifre = 16 (4 4 = 16). Anche in questo caso 8 è esattamente la metà di 16. Soluzione semplice: verifica varie alternative: A) 42 4 + 2 = 6; 4 2 = 8; 6 non è la metà di 8. Perciò l alternativa A) è da scartare. B) 41 4 + 1 = 5; 4 1 = 4; 5 non è la metà di 4. Perciò l alternativa B) è da scartare. C) 81 8 + 1 = 9; 8 1 = 8; 9 non è la metà di 8. Perciò l alternativa C) è da scartare. D) 61 6 + 1 = 7; 6 1 = 6; 7 non è la metà di6; Perciò l alternativa D) è da scartare. Siccome tra le 5 alternative una sola è quella giusta, non resta che la E). Quindi non era necessario trovare il numero o i numeri!!! Quesito 11 (vale 6 punti) [Che fortuna!!! Avere un numero fortunato!!!!] Ad ogni nome di battesimo corrisponde un numero fortunato secondo il cosiddetto Metodo della Piramide". Il procedimento è molto semplice: si associa ad ogni lettera dell'alfabeto un numero (A = 1, B = 2, C = 3, ecc...). Qui si tiene conto dell alfabeto inglese formato da 26 lettere. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 Z O R R O 6 5 8 8 5 1 3 6 3 4 9 9 13 18 31 Se il numero supera 9 si considera solo l'unità (ad esempio 16 = 6; 12 = 2); quindi si scrivono le cifre relative alle lettere del proprio nome come l esempio che abbiamo riportato qui a fianco (col nome ZORRO ). A questo punto si sommano la prima e la seconda cifra e si scrive il risultato nella riga che si trova sotto ai due numeri che sto sommando. Così 6 + 5 = 11; ma si prende solo l unità che si scrive sotto ai due numeri 6 e 5. Si ripete il procedimento con le altre cifre fino alla fine del rigo, scrivendo i risultati sul rigo successivo: (8 + 5 = 13, ma si prende solo 3), (8 + 8 = 16, ma si prende solo 6), (8 + 5 = 13 ma si prende solo 3). E si procede in questo modo rigo per rigo. Però, arrivati alle ultime due righe, se la somma supera 9 si prende tutto il numero (4 + 9 = 13; 9 + 9 = 18). Infine l ultimo rigo ci dà il numero fortunato legato a quel nome. In questo caso il numero fortunato di Zorro è 31. A questo punto la domanda è: qual è il numero fortunato di DELIA? Soluzione Quesito 11: il numero fortunato di DELIA è 23. Associamo alla lettera D il numero 4, alla lettera E il numero 5, alla lettera L il numero 2, alla lettera I il numero 9 e alla A il numero 1. Scriviamo sotto a ciascuna lettera questi numeri. Il numero 9 del terzo rigo si ottiene sommando 4 + 5 = 9; così 7 si ottiene sommando le cifre 5 e 2; sommando 2 e 9 si ottiene 11 ma di 11 si prende solo la cifra delle unità cioè 1. Lo stesso si fa con 9 + 1 = 10 (si prende solo lo zero). Al rigo successivo otteniamo 9 + 7=16 ma si prende solo 6; 7 + 1 = 8 e 1 + 0=1 e li scriviamo su questo rigo. Infine 6 + 8 = 14 e 8 + 1 = 9 formano il penultimo rigo e si prendono per intero. Nell ultimo rigo il numero risultante 23 (14 + 9) si prende per intero. Concludendo, il numero fortunato di DELIA è 23 (vedi a destra). D E L I A 4 5 2 9 1 9 7 1 0 6 8 1 14 9 23 Soluzioni_Cat._M1_VIII-Ed_Giochi_Achille_tartaruga_CH_12-12-2013 Pagina 5

Quesito 12 (vale 6 punti) [Chi è nato prima??? L uovo o la gallina???] 6 galline fanno 30 uova in 6 giorni. In quanti giorni produrranno 330 uova? Soluzione Quesito 12: 66 giorni. Se in 6 giorni le 6 galline, producono 30 uova, in un solo giorno ne produrranno la sesta parte cioè: 30 : 6 = 5 uova. Per produrre 330 uova sono necessari perciò 66 giorni (330 : 5). Quesito 13 (vale 8 punti) Un serbatoio ha due rubinetti: uno di carico ed uno di scarico. Quello di scarico lo svuota in due ore e quello di carico lo riempie in tre ore. Se apro entrambi i rubinetti, dopo quanto tempo (in ore) si svuoterà il serbatoio? Soluzione Quesito 13: 6 ore. In un ora il serbatoio, per effetto del rubinetto di scarico, si svuota per metà, mentre, nello stesso tempo, per effetto del rubinetto di carico, si riempie per un terzo. Alla fine di un ora, quindi il serbatoio si è svuotato di un sesto [1/2 1/3 = (3 2) / 6 = 1/6]. Se in un ora il serbatoio si svuota di un sesto, per svuotarsi completamente occorreranno 6 ore. Quesito 14 (vale 8 punti) [Attenzione!!!!! Ai Giochi d azzardo!!!!!] Lanciando due dadi qual è la probabilità che il prodotto dei due numeri usciti sia dispari? Soluzione Quesito 14: 1 su 4 (1/4). Il n. 1 del primo dado si può abbinare con ciascuno dei 6 numeri del secondo dado formando le seguenti 6 coppie: (1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1,5); (1, 6). Eseguendo i 6 prodotti, otteniamo: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Cioè tre numeri dispari e tre numeri pari. La stessa cosa avviene per il n. 3 e n. 5, sempre del primo dado. Infatti: il n. 3 del primo dado si può abbinare con ciascuno dei 6 numeri del secondo dado formando le seguenti 6 coppie: (3, 1); (3,2); (3, 3); (3, 4); (3,5); (3, 6). Eseguendo i 6 prodotti, otteniamo: 3; 6; 9; 12; 15;18. Cioè 3 numeri dispari e tre numeri pari; il n. 5 del primo dado si può abbinare con ciascuno dei 6 numeri del secondo dado formando le seguenti 6 coppie: (5, 1); (5,2); (5, 3); (5, 4); (5,5); (5, 6). Eseguendo i 6 prodotti, otteniamo: 5; 10; 15; 20; 25; 30. Cioè 3 numeri dispari e tre numeri pari. Se invece sul primo dado compare un numero pari (2, 4 oppure 6) allora tutti i 18 prodotti che possiamo ottenere sono tutti numeri pari perché pari pari = pari e pari dispari = pari. Riepilogando: tutti i casi possibili sono 36 = 6x6, in quanto ogni numero del primo dado si può abbinare con tutti e 6 i numeri del secondo dado. Casi in cui appare un prodotto pari (3 + 3 + 3 + 6 + 6 + 6) = 27 casi favorevoli all uscita di due numeri il cui prodotto è pari. Casi in cui appare un prodotto dispari (3 + 3 + 3 + 0 + 0 + 0) = 9 casi favorevoli all uscita di due numeri il cui prodotto è dispari. 27 su 36 = 3 su 4 (si semplifica la frazione dividendo sia 27 che 36 per 9). Soluzioni_Cat._M1_VIII-Ed_Giochi_Achille_tartaruga_CH_12-12-2013 Pagina 6

Quesito 15 (vale 12 punti) Quanto vale la somma di tutti i numeri dispari minori di 100? Soluzione Quesito 15: 2500. I numeri dispari minori di 100 sono cinquanta: 01, 03, 05, 07, 09, 11, 13,, 95, 97, 99. La somma perciò vale 50 2 = 2500. Si può fare anche in altro modo. Si eseguono 25 somme tra i 50 numeri dispari prendendo, a due a due, quelli equidistanti dagli estremi: 1+99 = 100; 3+97 = 100; 5+95 = 100;..49+51 = 100. Sommando 25 volte 100 otteniamo 25 100 = 2500. Quesito 16 (vale 12 punti) [Aguzzate bene la vista!!] Quanti quadrati, di tutte le dimensioni, vedete in questa figura? Soluzione Quesito 16: 43. Fig. 1 Fig. 2 Fig3 Fig. 4 Fig. 5 20 quadrati piccoli (fig. 1); 9 quadrati medi (con lato = diagonale quadrato piccolo: contiene 4 triangolini) (fig. 2); 9 quadrati medi (formati da 4 caselle con 8 triangolini) (fig. 3); 4 quadrati medi (formati da 4 caselle tipo fig. 2 con 16 triangolini) (fig. 4); 1 quadrato grande formato da 9 quadrati del tipo indicato in fig. 2: vedi fig. 5. Come si vede, i quadrati sono in tutto 43 (20 + 9 +9 +4+1) Soluzioni_Cat._M1_VIII-Ed_Giochi_Achille_tartaruga_CH_12-12-2013 Pagina 7