MODELLI MULTISTATO Introuzone a moell multstato Esempo moello multstato per escrvere la progressone una malatta I moell multstato Un moello multstato per l asscurazone malatta
Introuzone a moell multstato INTRODUZIONE AI MODELLI MULTISTATO Il moello per la urata aleatora fno al verfcars un etermnato evento può essere vsto come un partcolare moello multstato con ue stat soltanto: 2 l nvuo è n vta l nvuo è eceuto In tale moello è possble soltanto l passaggo allo stato allo stato 2 2 Un moello con ue cause uscta può nvece essere escrtto meante un moello multstato con tre stat: 2 l nvuo è uscto per altra causa 2
Introuzone a moell multstato In tal moell le probabltà passaggo tra gl stat possono essere escrtte meante le ntenstà ( mortaltà e uscta per altra causa). In stuazon pù general s parla ntenstà passaggo a uno stato all altro. Un altro esempo moello a tre stat è l asscurazone nvaltà permanente. 2 l nvuo è attvo 2 l nvuo è nvalo l nvuo è eceuto La probabltà passaggo allo stato allo stato 2 pene all ntenstà nvaltà; la probabltà passaggo allo stato 2 allo stato pene all ntenstà mortaltà per gl nval e la probabltà passaggo allo stato allo stato pene all ntenstà mortaltà per gl attv.
Esempo moello multstato per escrvere la progressone una malatta ESEMPIO DI MODELLO MULTISTATO PER DESCRIVERE LA PROGRESSIONE DI UNA MALATTIA Il moello Paner per escrvere la progressone ell AIDS è un moello a 6 stat a b l nvuo è non nfetto l nvuo è seropostvo ma non è ammalato I successv tre stat escrvono progressv sta ella malatta: 2a 2b L ultmo stato rguara l ecesso: 4 l nvuo è eceuto a b 2a 2b 4 Poché sono possbl solo passagg a uno stato a quello successvo, le urate permanenza ne sngol stat sono escrtte a moell a una sola causa uscta e le ntenstà uscta sono ette ntenstà progressone 4
Esempo moello multstato per escrvere la progressone una malatta Sa T urata aleatora permanenza nello stato, = a,b, 2a, 2b, Ipotes: T, = a,b, 2a, 2b, stocastcamente npenent ntenstà progressone costant: µ, = a,b, 2a, 2b, In tal potes, la urata permanenza n uno stato non pene alla urata permanenza negl altr stat. Sa P µ t µ t ( T > t) = e f T ( t) = e µ p, + ( t) probabltà che un nvuo presente nello stato, sa nello stato + opo t ann p, + ( t) = t e 0 µ r µ e µ + ( t r) r 5
Esempo moello multstato per escrvere la progressone una malatta Per la stma el moello, se s spone elle nformazon sulle urate esatte n cu s sono avut passagg tra var stat, le stme massma verosmglanza elle ntenstà progressone sono ate a rapport tra le numerostà e passagg, a uno stato all altro, e le esposzon total esatte. Spesso però nformazon questo tpo non sono sponbl; per esempo, nello stuo Paner at sponbl erano: - urata tempo n cu l nvuo è stato osservato, raggruppate n 4 grupp urate ( =, 2,, 4): -6 mes; 6-2 mes; 2-24 mes; 24-6 mes - stato n cu l nvuo s trovava all nzo ell osservazone - nformazone se urante l osservazone l nvuo è rmasto nello stesso stato oppure se ne è uscto I parametr le verosmglanze µ, = a,b, 2a, 2b,, possono essere stmat separatamente massmzzano ( ) L µ = a,b, 2a, 2b, 6
Esempo moello multstato per escrvere la progressone una malatta Con rfermento allo stato, = a,b, 2a, 2b,, sano n l numero nvu osservat appartenent all -esmo gruppo urate, =, 2,, 4 l numero nvu relatv all -esmo gruppo urate, =, 2,, 4, usct allo stato urante l osservazone r la urata mea osservazone per gl nvu relatv all -esmo gruppo urate, =, 2,, 4, e non usct allo stato urante l osservazone (per semplctà s assume r = 4, 5mes, r 2 = 9 mes, r = 8 mes, r 4 = 0 mes) p la probabltà che un nvuo appartenente all -esmo gruppo urate, =, 2,, 4, rmanga nello stato urante l osservazone 7
8 Esempo moello multstato per escrvere la progressone una malatta La verosmglanza n funzone el parametro µ è allora ( ) = = 4 ) ( n p p L µ esseno r p e µ = Dalla logverosmglanza ( ) + = = 4 ) )log( ( ) log( p n p l µ s ottene l equazone verosmglanza che s può rsolvere per va numerca. = = 4 0 p n p p µ
I moell multstato I MODELLI MULTISTATO Sa {, 2, K,N} S = l nseme egl stat F l nseme elle transzon {(, ) ;, } F S Se lo stato nca lo stato nzale all stante 0, s potzza che tutt gl stat raggungbl allo stato meante transzon rette o nrette. S efnsce moello multstato la coppa ( S, F ) S sano Con rfermento a un rscho (per esempo un nvuo) sa S (t) lo stato occupato al rscho al tempo t 0 S potzza S ( 0) = { ( t); t 0} S è un processo stocastco a parametro contnuo con valor n S s nca con (z) s lo stato occupato al processo nell stante z > 0 n una realzzazone { s (t)} el processo stocastco { S( t); t 0} 9
I moell multstato S rà che l processo { ( t); t 0} S è una catena markovana a parametro contnuo se per ogn 0 τ < u e per ogn,, s (z) con 0 z < τ,,, s( z) S tal che s ha (( S( z) = s( z)) ( S( ) = ) ( S( = ) ) > 0 P τ ( S( = ( S( z) = s( z)) ( S( τ ) = ) ) = P( S( = S( τ ) ) P = Le probabltà conzonate ( S( = S( t ) P ( t, = P ) = 0 t u sono ette probabltà transzone; esseno P ( t, t) = 0 per e P ( t, t) = per = Le probabltà transzone sosfano le seguent propretà: 0 P ( t, per ogn, ; 0 t u S P ( t, = per ogn ; 0 t u 0
I moell multstato S efnscono noltre le probabltà permanenza ( S( z) = per ogn z [ t, u] S( t ) P ( t, = P ) = Le probabltà transzone sosfano le equazon Chapman-Kolmogorov P ( t, = P ( t, w) P ( w, t w u k S k S efnscono le ntenstà transzone µ ( t) = lm S prova che u t P ( t, u t k t P ( z, t) = ep µ ( u z S prova noltre che sotto conzon general per le ntenstà transzone s possono etermnare, a partre a esse, le probabltà transzone. Transton ntensty approach: assegnate le ntenstà transzone, a queste s etermnano le probabltà transzone.
Un moello multstato per l asscurazone malatta UN MODELLO MULTISTATO PER L ASSICURAZIONE MALATTIA Un esempo mportante è l moello per l asscurazone malatta (Permanent Health Insurance PHI) 2 l nvuo è attvo 2 l nvuo è nvalo l nvuo è eceuto Supponamo che le ntenstà transzone sano costant, npenent all età raggunta: 2 ( t ) µ 2 µ ( t ) = µ µ 2 ( t ) = µ 2 µ 2 ( t ) = µ 2 µ = a esse s possono ottenere le probabltà permanenza nello stato attvo o nvalo e le probabltà ecesso, rspettvamente allo stato attvo e allo stato nvalo. Il moello può essere utlzzato per stmare le ntenstà transzone penent soltanto all età e costante a tratt su ogn ntervallo età (, + ) 2
Un moello multstato per l asscurazone malatta Sano a µ a µ a µ µ le ntenstà transzone relatve alla classe età (, + ) a Supponamo che s sponga osservazon su nvu nella classe età e che per ogn nvuo sano rlevat le urate tempo tra ue transzon successve numer transzon cascun tpo
Un moello multstato per l asscurazone malatta S prova che la verosmglanza elle osservazon è L ove a a a ( ) [ a a ( ) ] [ a ( ) ] a u a s a r µ, µ, µ, µ = ep µ + µ c ep µ + µ w ( µ ) ( µ ) ( µ ) ( µ ) c w u s r è l tempo totale osservato nello stato attvo è l tempo totale osservato nello stato nvalo è l numero totale transzon allo stato attvo allo stato eceuto è l numero totale transzon allo stato nvalo allo stato eceuto è l numero totale transzon allo stato attvo allo stato nvalo è l numero totale transzon allo stato nvalo allo stato attvo S ottengono le seguent stme massma verosmglanza: a u µˆ = µˆ = c w µˆ a s = c µˆ a r = w Anche per tale moello s pone l problema ella perequazone elle stme ottenute. In letteratura sono stat propost a tale scopo moell GLM. 4
Rferment bblografc RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI S. Haberman, E. Ptacco, Actuaral moels for sablty nsurance, Chapman & Hall, 999 (Par..,.,.4, 4., 4.2) D. Lonon, Survval moels an ther estmaton, Acte publcatons, 997 (Par. 0., 0.2) 5