GIROSCOPIO Scopo dell esperienza: Verificare la relazione: ω p = bmg/iω dove ω p è la velocità angolare di precessione, ω è la velocità angolare di rotazione, I il momento principale d inerzia assiale, m la massa del giroscopio e g l accelerazione di gravità e b la distanza fra baricentro del giroscopio e punto di appoggio (= polo di rotazione). Teoria fisica Nella trattazione del moto dei corpi rigidi si può andare dal caso più semplice di moto di un corpo vincolato, in cui l asse è in ogni caso fisso, al moto di un corpo non vincolato attorno ad un asse coincidente con un asse centrale d inerzia (anche in questo caso l asse risulta fisso), al corpo che ruota attorno ad un asse centrale d inerzia, ma essendo soggetto ad un momento di forza (e l asse mostra un moto di precessione attorno ad una direzione fissa) fino al caso in cui il corpo è posto inizialmente in rotazione attorno ad un asse diverso da un asse centrale d inerzia ed il moto si svolga sotto l azione di un sistema di forze qualunque. Nei casi più generali la soluzione delle equazioni del moto può risultare molto complicata. Analizziamo alcuni casi particolari, che risultano pertanto di trattazione semplificata. Il momento angolare totale è la somma dei singoli momenti angolari che, di norma, non sono paralleli all asse di rotazione: di conseguenza in generale anche il momento angolare totale non è parallelo all asse di rotazione. Ci si può chiedere se esista, per ogni corpo, un asse di rotazione tale che il momento angolare totale risulti parallelo ad esso. La risposta è si: qualsiasi sia la forma del corpo è possibile trovare di minimo tre direzioni fra di loro perpendicolari tali che, se il corpo ruota attorno a quell asse, il momento angolare totale risulti parallelo all asse di rotazione. Essi sono chiamati assi principali di inerzia ed i corrispondenti momenti di inerzia sono detti momenti principali di inerzia. Gli assi principali di inerzia costituiscono un sistema di riferimento solidale col corpo ed, in generale, ruotano rispetto all osservatore. Quando il corpo ha un qualche tipo di simmetria, gli assi principali di inerzia coincidono con questi assi di simmetria. 1
Quando un corpo ruota attorno ad un asse principale di inerzia, il momento angolare totale è parallelo alla velocità angolare e si può scrivere la relazione vettoriale: L = Iω Nel caso più generale di rotazione del corpo rigido attorno ad un asse qualsiasi, il momento angolare totale può essere espresso rispetto agli assi principali di inerzia come: L = I 1 ω x0 u x0 + I 2 ω y0 u y0 + I 3 ω z0 u z0 dove u x0, u y0, u z0 sono i tre versori degli assi principali d inerzia e ω x0, ω y0, ω z0 sono le corrispondenti componenti della velocità angolare. L ed ω hanno direzioni diverse, ma usando questa espressione, I 1, I 2, I 3 sono quantità fisse (essendo riferite agli assi principali d inerzia) che possono essere valutate per ogni corpo. I versori u x0, u y0, u z0 non sono fissi nello spazio, ma ruotano con il corpo stesso, essendo ad esso solidali. Come esempio, possiamo vedere nel caso in figura come nasca il vettore momento angolare: il corpo ruota attorno all asse di rotazione con velocità angolare ω, scomponibile rispetto alle tre direzioni u x0, u y0, u z0 che caratterizzano gli assi principali d inerzia. Il momento di inerzia rispetto ad ognuno di questi assi è stato calcolato ed è riportato in figura. Il vettore momento angolare nasce dalla somma vettoriale delle tre componenti I 1 ω x0 u x0 + I 2 ω y0 u y0 + I 3 ω z0 u z0, non coincide con il vettore ω, e varia come direzione nello spazio durante la rotazione del corpo, non essendo i tre versori degli assi principali d inerzia fissi nello spazio. Se il modulo del momento angolare rimane costante, si ha comunque una variazione del momento 2
angolare, riconducibile all azione di un momento della forza, legata alla variazione della direzione del momento angolare stesso. Il giroscopio è costituito da una ruota libera di ruotare attorno ad un asse, passante per un punto fisso, posto a distanza h dal centro di massa della ruota. L asse di rotazione coincide con uno degli assi principali d inerzia del giroscopio stesso. Il giroscopio ha simmetria cilindrica (rispetto all asse z): i momenti d inerzia rispetto all asse x e y coincidono mentre quello rispetto all asse z è diverso. I z viene detto momento assiale, mentre I x = I y = I xy viene detto momento equatoriale. Sperimentalmente si può calcolare il momento d inerzia assiale tenendo l asse del giroscopio orizzontale e attaccando una massa sulla circonferenza perimetrale del giroscopio. Il giroscopio diventa così un pendolo composto, dal cui periodo di oscillazione è possibile ricavare il momento di inerzia, che è la somma del momento di inerzia del puro giroscopio + il contributo mr 2 dovuto alla massa m posta a distanza R dall asse. I z = I z + mr 2 Anche per ricavare il momento d inerzia equatoriale si sfrutta la possibilità di trasformare il giroscopio in un pendolo composto che può oscillare attorno ad un asse passante per il punto di appoggio. Essendo d la distanza del centro di massa del giroscopio dal punto di appoggio, il momento di inerzia misurato attraverso il periodo è: = I xy + Md 2 I xy 3
da cui è possibile ricavare I xy Il giroscopio è caratterizzato da due moti: il moto di precessione e quello di nutazione. 1) moto di precessione Il giroscopio può essere pensato come una trottola che ruota intorno ad un asse principale d inerzia con velocità angolare ω grande, diretta lungo l asse. Il polo di rotazione (O) non coincide col baricentro del corpo (B), in cui è applicata la forza peso mg. Il momento della forza rispetto ad O è τ = b mg. Il vettore L = Iω è diretto lungo l asse del giroscopio, mentre τ è perpendicolare all asse. Il momento meccanico fa variare solo la direzione del momento angolare, che ruota perpendicolarmente all asta ed a τ, descrivendo una circonferenza in senso antiorario. dθ è l angolo percorso dal vettore L nel tempo dt alla velocità angolare ω p, da cui risulta che: dθ = ω p dt. Chiamando r il raggio della circonferenza descritta dal vettore L si può dire che: dl = r dθ per la definizione dell angolo in radianti, e: r = L sen ϕ ove ϕ è l angolo tra il vettore L e la direzione della verticale. È facile verificare che : dl = r dθ = L sen ϕ dθ = L sen ϕ ω p dt. Dalla II equazione cardinale del moto si ha che: 4
Allora: dl = τ dt dl = τ dt dl = τ dt = L sen ϕ ω p dt Visto che τ = mgb sen ϕ e L = Iω, possiamo ricavare il valore di ω p : ω p = mgb/iω ω p è la velocità di precessione; abbiamo così stabilito il legame che intercorre tra la velocità angolare di rotazione (ω) e quella di precessione. È stata fatta un approssimazione: per poter scrivere L = Iω si assume ω>>ω p. 2) moto di nutazione (non utilizzata nell a.a.2003/2004) Mentre il moto di precessione avviene su un piano orizzontale, quello di nutazione è un oscillazione lungo una direzione verticale. In generale l angolo ϕ non rimane costante, ma oscilla fra due valori fissi in modo che l estremo di L, mentre precede attorno a z, oscilli fra due cerchi C e C. Consideriamo una ruota che giri rapidamente attorno al suo asse orizzontale, con l estremo B poggiato su un sostegno verticale in modo che l asse possa ruotare, sia in un piano orizzontale sia in un piano verticale, con attrito ridotto al minimo. Teniamo la ruota in posizione orizzontale in modo che non preceda, e lasciamola poi libera all istante t= 0. il momento della forza agisce in modo che il punto A si abbassi e questo porta ad una variazione del momento angolare L nella direzione dell asse y. Tuttavia, a causa della sospensione dell asse nel punto B e dell orientazione verticale del supporto, il momento angolare nella direzione y si deve conservare ed il sistema acquista una velocità angolare ω diretta lungo y. La ruota ed il suo asse girano in 5
senso antiorario. Tuttavia il valore di ω è maggiore di quello che si dovrebbe avere per soddisfare la pura condizione di moto di precessione, cioè la variazione di momento angolare nella direzione orizzontale è maggiore di quanto dovrebbe essere secondo la relazione ω p = mgb/l. Questa situazione richiede una velocità angolare nella direzione di τ, ma in verso opposto e l asse si muove di nuovo verso l alto. Man mano che l asse precede con velocità angolare ω è presente anche il moto a festone mostrato in figura. Nel caso generale, il moto di nutazione si sovrappone a quello della precessione, dando origine a quel percorso frastagliato del vettore momento angolare attorno all asse verticale. Possiamo cercare di concentrare l attenzione sul solo moto di nutazione. Supponiamo quindi di essere in una condizione in cui il polo coincida col baricentro: il momento della forza τ è nullo, essendo nullo il braccio della forza, perciò: τ = 0 L = costante Il momento angolare L è costante sia in modulo sia in direzione. Esso è legato a ω tramite una matrice d inerzia o tensore: L = I ω Quando gli assi di rotazione coincidono con gli assi principali d inerzia, la matrice I è molto semplificata: è una matrice diagonale che ha sulla diagonale principale I x, I y e I z mentre tutti gli altri elementi sono nulli. Essendoci anche una simmetria cilindrica, I x = I y = I xy ed il momento angolare si può scrivere: L = I xy ω x u x + I xy ω y u y + I z ω z u z dove ω x, ω y e ω z sono le componenti della velocità angolare di rotazione ω rispetto al sistema degli assi principali d inerzia. Non necessariamente però il momento angolare coincide con l asse di rotazione del corpo: ciò avviene solo se la rotazione avviene attorno ad un asse centrale d inerzia. 6
In particolare poniamo il giroscopio nella situazione caratterizzata da questo stato di moto equilibrato e notiamo che l asse non ha moto di precessione. Agiamo poi con l applicazione di una rapida forza perturbante, rompendo la situazione di equilibrio che si era istaurata. Il giroscopio reagisce come abbiamo visto sopra, mostrando il moto di oscillazione attorno alla posizione di equilibrio. Consideriamo un particolare istante in cui gli assi principali coincidano con gli assi del sistema di riferimento del laboratorio. Possiamo scomporre la velocità di rotazione ω in due componenti (in questo istante la terza componente risulta nulla), una lungo l asse z e l altra lungo la direzione del momento angolare. Quest ultima esprime il moto della nutazione, che produce una precessione dell asse di rotazione attorno alla direzione del momento angolare, che in questo caso è fisso. Abbiamo quindi due velocità di rotazione: ω N, nella stessa direzione di L, ed ω, che forma un angolo θ con L: le due velocità si sommano vettorialmente. Notiamo che la componente x della velocità angolare può essere espressa anche attraverso la proiezione sull asse x della velocità ω N, che le componenti del momento angolare possono essere espresse attraverso i momenti di inerzia per le relative componenti delle velocità angolari e che senθ = ω x/ ω N = L x /L Possiamo cioè scrivere che: L x = L sen θ L y = 0 (1) L z = L cos θ (θ è l angolo compreso tra il versore -k e la direzione di L). Visto che L = I ω: L x = I xy ω x L y = 0 (2) L z = I z ω z 7
Dall uguaglianza di (1) e (2) si ottiene che: ω N /ω z = I z /(I xy cos θ) Sapendo che ω = 2πf, dove f è la frequenza, si ricava che: f n = (I z /(I xy cos θ)) f z dove f z è la frequenza di rotazione e f n è la frequenze di nutazione. Sotto l ipotesi che θ sia piccolo, si può fare l approssimazione: cos θ 1. Allora: f n = (I z /I xy ) f z 8