Fondamenti di Elettronica Digitale

Fondamenti di Elettronica Digitale

Design bstraction Levels SSTEM + MODULE GTE IRUIT S n+ G DEVIE n+ D

Informazione analogica La voce umana e la trasmissione dei segnali di radio e televisione sono comunicazioni di tipo NLOGIO V(t) ovvero le grandezze fisiche sono funzioni continue del tempo t

Informazione digitale La trasmissione dei segnali nei computer ed in generale nei circuiti elettronici avviene in modo DIGITLE Il bit (binary unit) è l unità di misura fondamentale dell'informazione. Lo stato "zero" e "uno" può essere realizzato con la presenza o l'assenza di tensione elettrica in un circuito

Da nalogico a Digitale V(t) soglia t I segnali elettrici continui (analogici) vengono convertiti in segnali digitali. V(t) V(t) soglia soglia t t

Sensibilità al rumore V(t) V(t) t t V(t) V(t) soglia t t minore sensibilità al rumore 8

La rappresentazione delle informazioni Tutte le informazioni sono rappresentate in forma binaria o digitale utilizzando due soli simboli: ed on una cifra binaria si possono quindi rappresentare soltanto due informazioni: ovvero presenza o assenza di segnale elettrico

IL IT Unità fisica di informazione che vale oppure. Il nome proviene da inary Digit Si utilizzano i multipli del bit: Kilo Kb ~ un migliaio (24) Mega Mb ~ un milione (24x24) Giga Gb ~ un miliardo (Mbx24) Tera Tb ~ mille miliardi (Gbx24)

odifica binaria Per poter rappresentare un numero maggiore di informazioni è necessario utilizzare sequenze di bit. Utilizzando due bit si possono rappresentare quattro informazioni diverse: Il processo che fa corrispondere ad una informazione una configurazione di bit prende il nome di codifica dell informazione.

Sequenze di bit Numero di bit nella sequenza Informazioni rappresentabili 2 4 3 8 4 6 5 32 6 64 7 28 8 256

I caratteri utilizzati nella comunicazione scritta 52 lettere alfabetiche maiuscole e minuscole cifre (,, 2,, 9) Segni di punteggiatura (,. ; :!? ^ \ ) Segni matematici (+, -,, ±, {, [, >, ) aratteri nazionali (à, è, ì, ò, ù, ç, ñ, ö,...) ltri segni grafici (,,, @,, ) In totale 22 caratteri circa. Si pone quindi la necessità di codificare in numeri binari almeno 22 caratteri. La sequenza di bit necessaria a rappresentare 22 simboli deve essere composta da 8 bit e prende il nome di ODIE.

odice SII: merican Standard ode for Information Interchange (7 bit) 2 3 a b c D High-SII estensione ad 8 bit

IL SISTEM DI NUMERZIONE INRIO

Sistema decimale 2 3 6 È un numero composto da quattro cifre (digit) 2 3 6 = + 2 + 3 + 6 + 2 + 3 + 6

2 3 6 3 2 peso delle cifre La base è perché nel sistema decimale ci sono simboli on un numero decimale ad n cifre è possibile rappresentare n quantità diverse (zero incluso)

Nel sistema di numerazione binario abbiamo solo due simboli:, è ancora un numero composto da quattro cifre (binary digit = IT) 2 3 2 2 2 2

2 3 2 2 2 2 ONVERSIONE D INRIO DEIMLE 8 + 4 + 2 + = (in decimale) on un numero binario ad n cifre è possibile rappresentare 2 n quantità diverse (zero incluso)

ONVERSIONE D DEIMLE INRIO Es. 3 2 5 Si deve procedere per passi successivi 3 2 5 : 2 = 6 2 resto 6 2 : 2 = 8 resto

ONVERSIONE D DEIMLE INRIO 3 2 5 : 2 = 6 2 resto 6 2 : 2 = 8 resto 8 : 2 = 4 resto 4 : 2 = 2 resto 2 : 2 = resto : 2 = 5 resto 5 : 2 = 2 resto 2 : 2 = resto : 2 = resto

Il sistema binario onversione da decimale a binario Metodo delle divisioni successive: (2) = () 2 Si considerano i resti della divisione per 2 dal basso verso l alto a gruppo di 4 2 6 3 5 7 3

Il sistema binario onversione da binario a decimale Ogni bit viene moltiplicato per il peso (2 elevato alla posizione) e la somma dei prodotti è il numero decimale corrispondente (64+32+6+8+=2) it Posizione 6 5 4 3 2 Peso 64 32 6 8 4 2 Prodotto 64 32 6 8

Il sistema binario Posizione: 4 3 2 it più significativo (MS) it meno significativo (LS) 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 + 2 = 6 + + 4 + + = 2

Il sistema binario on n bit si possono scrivere i numeri interi compresi fra e 2 n - it Intervallo Da a 2 Da a 3 3 Da a 7 4 Da a 5 5 Da a 3 6 Da a 63 7 Da a 27 8 Da a 255 9 Da a 5 Da a 23

Il sistema binario odifica a 2 bit (4 configurazioni) bin dec 2 3 odifica a 3 bit (8 configurazioni) bin dec 2 3 4 5 6 7

SOMM DI NUMERI INRI + + + + = = = = + + = + = riporto

SOMM DI NUMERI INRI Riporto ddendo (6) + ddendo () = Somma (7)

PRODOTTO DI NUMERI INRI x x x x = = = =

Porte Logiche fondamentali ed universali

OPERTORI INRI (o LOGII, o OOLENI) SOMM PRODOTTO NEGZIONE

lgebra booleana: logica binaria (a due stati) è una variabile booleana: = oppure = Funzioni logiche elementari per l algebra ooleana: OR, ND, NOT 32

Logica positiva: livello di tensione + elevato corrisponde all logico; livello di tensione + basso corrisponde allo logico; Logica negativa: livello di tensione + elevato corrisponde allo logico; livello di tensione + basso corrisponde all logico.

La porta OR Tabella di verità Ingresso Ingresso Uscita orrisponde all operatore SOMM

La porta ND Ingresso Ingresso Uscita orrisponde all operatore PRODOTTO

La porta NOT Ingresso Uscita orrisponde all operatore NEGZIONE

PROPRIET FONDMENTLI NOT ND OR + = = = = = = = += += += +=

( ) è una espressione logica (o ooleana) il cui valore è funzione dei valori assunti dalla variabili,,

( ) NOT ND ( ) OR (+) NOT

Dal circuito alla tabella di verità

Leggi di De Morgan a) prima legge di De Morgan (+) = b) seconda legge di De Morgan ( ) = + Ne consegue che una qualsiasi funzione logica può essere implementata utilizzando: o sole porte logiche OR e NOT o sole porte logiche ND e NOT La scelta ottimale dipende dalla tecnologia con cui vengono integrate le porte logiche elementari

Teoremi dell algebra di oole () : ) : ) : ) : ) Duale d Duale c Duale b Duale a

Teoremi dell algebra di oole (2) Z Z Duale va distributi propr Z Z h Z Z Duale DeMorgan teorema Z Z g Z Z Z Duale assoc propr Z Z Z f Duale a commutativ propr e ) ( ) :(._ ) _ ( )...... :...... ) ) ( ) ( :.._ ) _ ( ) ( ) :. )

Teoremi dell algebra di oole (3) ) ( ) ( ) ( ) :( ) ) ( : ) ) ( ) :( _. _ ) ) ( : ' ) Z Z Z Z Duale Z Z Z Z l Duale k Duale diretta fusione teor j Duale inclusione dell teorema i

Teoremi dell algebra di oole (4) Z Z Duale Z Z n Z Z Z Duale Z Z Z m ) ( ) :( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) :( )

Forme canoniche F F(,,,...) Una qualsiasi funzione logica binaria di cui sia nota la Tabella della verità, può essere espressa da: a) somma di prodotti delle variabili binarie di ingresso b) prodotto di somme delle variabili binarie di ingresso Tali espressioni costituiscono le cosidette Forme canoniche della funzione

a) somma di prodotti Esempio : esprimere come somma di prodotti fondamentali la funzione logica a tre variabili binarie definita dalla Tabella della Verità: F Si considerino le sole combinazioni delle variabili binarie di ingresso corrispondenti ad una uscita F di valore, e per queste sole si scrivano i prodotti delle variabili (se ) o dei loro negati (se ). F Forma canonica della funzione logica definita dalla tabella della verità.

Esempio 2: esprimere come prodotto di somme fondamentali la funzione logica a tre variabili binarie definita dalla Tabella della Verità: F Si considerino le sole combinazioni delle variabili binarie di ingresso corrispondenti ad una uscita F di valore, e per queste sole si scrivano le somme delle variabili (se ) o dei loro negati (se ). b) prodotto di somme Forma canonica della funzione logica definita dalla tabella della verità F

Operatori logici universali NOR = OR negato = OR con NOT in cascata NND = ND negato = ND con NOT in cascata ltri operatori di conveniente impiego: OR NOR OR esclusivo OR esclusivo negato Tutti disponibili in forma integrata (Porte logiche)

Operatore logico NOR (somma logica complementare o negata) convenzionalmente rappresentato dal simbolo di figura svolge la somma logica negata delle variabili binarie evidenziata dalla tabella Equivalente a: NOR + + OR NOT +

Operatore logico NND (prodotto logico complementare o negato) convenzionalmente rappresentato dal simbolo di figura svolge il prodotto logico negato delle variabili binarie evidenziato dalla tabella Equivalente a: NND ND NOT

NND e NOR sono operatori logici universali Una qualsiasi funzione logica F(,,, ) è implementabile tramite opportune combinazioni: o di soli operatori logici NND o di soli operatori logici NOR Tramite soli operatori logici NND (o analogamente NOR) è possibile implementare i tre operatori logici fondamentali ND, OR, NOT Segue verifica per gli operatori NND. naloga procedura si applica per gli operatori NOR

Esempio : implementare l operatore NOT mediante operatori NND soluzione = NND = Tabella della Verità =

Esempio 2: implementare l operatore ND mediante operatori NND Soluzione NND NND Tabella della Verità

Esempio 3: implementare l operatore OR mediante operatori NND Soluzione NND NND NND = + De Morgan Tabella della Verità +

Operatore logico OR (Exclusive OR) convenzionalmente rappresentato dal simbolo di figura confronta le variabili in ingresso e fornisce uscita solo quando gli ingressi sono fra loro differenti OR Funzione logica OR F Significato logico: Se o o (non entrambi!) sono veri, anche F è vero

Operatore logico NOR convenzionalmente rappresentato dal simbolo di figura confronta le variabili in ingresso e fornisce uscita solo quando gli ingressi sono fra loro uguali NOR SME F Funzione logica NOR NOR F Significato logico: Se entrambi e sono o veri o falsi, anche F è vero

Dalla Tabella di verità al circuito logico

Mappe di Karnaugh Sono una forma alternativa di rappresentazione di funzioni booleane. Una mappa per una funzione di n variabili ha 2 n caselle. La rappresentazione è comoda per n fino a 5. Le caselle corrispondo alle 2 n configurazioni di valori delle variabili secondo un ordine opportuno dove l adiacenza logica tra due configurazioni di valori delle variabili si riflette in un adiacenza geometrica tra due caselle con un lato in comune. I termini prodotto che scaturiscono da una sintesi fatta con le mappe di K si chiamano primi implicanti e devono assicurare una copertura completa della mappa. celle adiacenti celle non adiacenti Un elemento della tabella puo appartenere a più raggruppamenti (elemento nella tabella a sinistra) che sono però sempre espressione di una potenza di 2. Questo consente di semplificare ulteriormente l espressione. D D

Rappresentazione della funzione logica binaria:,...),, ( F F F Tabella della verità Mappa di Karnaugh In ognuna delle 2 n caselle della Mappa di Karnaugh si riporta il valore assunto dalla funzione F corrispondente alla combinazione delle n variabili di ingresso relativa alla casella stessa (valore del mintermine). F

Rappresentazione della funzione logica binaria:,...),, ( F F F Tabella della verità Mappa di Karnaugh In ognuna delle 2 n caselle della Mappa di Karnaugh si riporta il valore assunto dalla funzione F corrispondente alla combinazione delle n variabili di ingresso relativa alla casella stessa (valore del mintermine). F F

Procedura di minimizzazione di funzioni logiche binarie rappresentate mediante mappa di Karnough Sintesi di F minima come somma di prodotti logici. Procedura: a) raggruppare gli contigui (in orizzontale o in verticale) in sottogruppi di, 2, 4, 8, b) identificare il numero minimo di sottogruppi distinti, partendo dai sottogruppi maggiori b) con riferimento al sottogruppo: escludere le variabili binarie che cambiano considerare le sole variabili binarie che rimangono invariate come variabile stessa se, variabile negata se c) trascrivere il prodotto logico per ciascun sottogruppo d) rappresentare la F come somma dei prodotti logici suddetti

Esempio Tabella della verità F Mappa di Karnaugh Individuo il sottogruppo ( sottogruppo da 2) individuo la variabile che cambia: trascrivo il prodotto delle variabili che rimangono invariate: Funzione logica minima: F = Procedura convenzionale: applico le regole della logica binaria Forma canonica: F F essendo:

Esempio 2 Mappa di Karnaugh Funzione logica minima: F N..: le celle al bordo orizzontale o verticale si considerano fra loro contigue Esempio 3 Mappa di Karnaugh Funzione logica minima: F due sottogruppi da 2 celle, di cui uno verticale ed uno orizzontale

Esempio 4 D Mappa di Karnaugh sottogruppo da 4: sottogruppo da 2: D sottogruppo da : D Funzione logica minima: F= + D + D

Esempio 5 (comprese condizioni indifferenza) D Mappa di Karnaugh - - -

Esempio 5 (comprese condizioni indifferenza) D Mappa di Karnaugh sottogruppi da 4: sottogruppo da 2: D Funzione logica minima: F= + D

Possono esistere casi in cui alcune combinazioni di ingressi non sono lecite. In questi casi le corrispondenti uscite sono indefinite. Questi casi possono essere sfruttati vantaggiosamente per semplificare ulteriormente l espressione algebrica. d esempio consideriamo la funzione che identifica se una cifra decimale (rappresentata in forma binaria), è pari. D 2 3 4 5 6 7 8 9 D x x x x - - - - - x x x x x gli ingressi corrispondenti a queste uscite non sono leciti x x - x

Possono esistere casi in cui alcune combinazioni di ingressi non sono lecite. In questi casi le corrispondenti uscite sono indefinite. Questi casi possono essere sfruttati vantaggiosamente per semplificare ulteriormente l espressione algebrica. d esempio consideriamo la funzione che identifica se una cifra decimale (rappresentata in forma binaria), è pari. D 2 3 4 5 6 7 8 9 D x x x x - - - - - x x x x x gli ingressi corrispondenti a queste uscite non sono leciti x x D - x

Progetto logico Data una funzione logica binaria, determinare una possibile combinazione di Operatori logici che la implementino Operatori logici elementari ND; OR; NOT Operatori logici universali NND; NOR La soluzione non è univoca: esiste una soluzione ottimale: vincoli tecnologici ed economici

Progetto logico: procedura Descrizione funzionale della rete combinatoria definizione della relazione logica fra l uscita F e le variabili binarie di ingresso,,,... Rappresentazione tramite Tabella della verità Deduzione della funzione logica F(,,, ) in forma canonica (o somma di prodotti o prodotti di somme) Minimizzazione della funzione logica o tramite le leggi elementari della logica binaria o tramite le Mappe di Karnaugh Sintesi della funzione tramite Operatori logici elementari (ND, OR, NOT) e/o universali (NND, NOR)

Descrizione funzionale della rete combinatoria Esempio: date tre variabili binarie in ingresso,,, si abbia: F= per =; F= per = Rappresentazione tramite Tabella della verità F Deduzione della funzione logica F(,,, ) in forma canonica Somma di prodotti: Prodotto di somme: F F

Minimizzazione della funzione logica o tramite le leggi elementari della logica binaria F o tramite le Mappe di Karnaugh Mappa di Karnaugh Funzione logica minima: F 2 sottogruppi orizzontali da 2:,

Sintesi della funzione tramite operatori logici elementari (ND; OR; NOT) F NOT ND ND OR F

Sintesi della funzione tramite operatori logici universali (NND oppure NOR) In questo esempio parto da forma SP, quindi uso il NND: F NND NND F NND