Esercizi per il corso di Metodi di Matematici per l Ingegneria M. Bramanti April 8, 22 Esempi ed esercizi sul passaggio al limite sotto il segno di integrale per l integrale di Lebesgue, e confronto con l integrale di Riemann Nella teoria di Riemann, se ff n g è una successione di funzioni f n : [a; b]! R limitate e Riemann integrabili e inoltre f n! f uniformemente in [a; b], si può garantire che R b a f n (x) dx! R b f (x) dx. Supponiamo di sapere soltanto che le a funzioni f n sono misurabili, jf n (x)j c per ogni x 2 [a; b] e per ogni n, e inoltre f n! f puntualmente quasi ovunque in [a; b]. Per il teorema di Lebesgue della convergenza dominata risulterà R b a f n (x) dx! R b f (x) dx, sotto ipotesi che a quindi sono molto più deboli della convergenza uniforme. Esempio Sia f n (x) = jxj =n in [ ; ]. Si ha f n (x)! q.o. ma non uniformemente (poiché f n () = si ha kf n k = ). Perciò la teoria di Riemann non è applicabile. In base al teorema della convergenza dominata, invece, essendo jf n (x)j (e la costante è integrabile in [ ; ]) risulta R f n (x) dx! R dx = 2. sin nx nx 3=2 Esempio 2 Sia f n (x) = in [; +): Controlliamo anzitutto che ciascuna f n 2 L. Per x! è f n (x) nx =, integrabile in un intorno di. nx 3=2 x =2 D altro canto jf n (x)j = sin nx, integrabile in un intorno di. Perciò nx 3=2 nx 3=2 f n 2 L [; +): Per n! ; f n (x)! puntualmente ovunque. Cerchiamo una dominante integrabile su [; +). Per trovarla è più semplice ragionare separatamente sugli intervalli [; ] e [; +). Si ha: per x 2 [; ] ; jf n (x)j nx = 2 L [; ] (abbiamo usato la disuguaglianza jsin tj jtj); nx 3=2 x =2 per x 2 [; +); jf n (x)j 2 L [; +) (abbiamo usato le nx 3=2 x 3=2 disuguaglianze jsin tj e =n ). Dunque jf n (x)j g (x) = x =2 per x 2 [; ] x 3=2 per x 2 [; +) con g 2 L [; +);
perciò il teorema di Lebesgue è applicabile, e + f n (x) dx! + dx = : Si osservi che, diversamente dall esempio precedente, questa volta la maggiorante integrabile è una funzione illimitata. Si poteva anche, del resto, valutare direttamente l integrale: + sin nx dx = nx3=2 nx = t; dx = dt n = p n + = sin t dt = c t3=2 + sin t dt 3=2 n n p n! per n! perché c = R + sin tdt è una costante (abbiamo dimostrato all inizio che ogni t 3=2 f n è L, questa integranda è f ). Nei prossimi esercizi, l obiettivo è calcolare f n (x) dx; lim n! I evitando se possibile di calcolare ciascun integrale (cioè cercando di applicare il teorema di Lebesgue della convergenza dominata). Quando I è un intervallo limitato, inoltre, ci si può chiedere se è possibile applicare la teoria di Riemann (criterio della convergenza uniforme). Seguire la traccia indicata in ogni esercizio, svolgendo i dettagli.. Sia f n (x) = nxe n2 x 2 in [; ]. La successione tende a zero puntualmente ma non uniformemente in [; ]. In base alla teoria di Riemann non possiamo quindi calcolare il limite dell integrale di f n. Cerchiamo una maggiorante integrabile. Si calcola fn (x) ; si determina il massimo di f n (x) ; si trova che questo è limitato al variare di n (anzi è costante), perciò vale una disuguaglianza del tipo jf n (x)j c per ogni x 2 [; ] e per ogni n, e il teorema di Lebsegue è applicabile. Per confronto, si può calcolare direttamente l integrale (la primitiva è elementare!) e farne il limite. 2. Si calcoli ora il limite di R + f n (x) dx dove f n sono le stesse funzioni dell esempio precedente, applicando il teorema della convergenza dominata. Suggerimento: per trovare la maggiorante integrabile in [; +) dimostrare che è f n (x) f (x) se x ; per far questo, dimostrare che per ogni x la successione ff n (x)g è monotona decrescente; per far questo, calcolare la derivata... rispetto ad n. 3. Sia f n (x) = n x e n2 x 2 in [; ]. Studiare il limite dell integrale su [; ] per ; >. (Rispetto all esempio precedente, in questo caso la funzione non ha una primitiva elementare per ogni ; > ; perciò è naturale cercare di calcolare il limite degli integrali senza calcolare gli integrali). t n 2
Il limite puntuale è zero per ogni ; > ; perciò se troviamo una maggiorante integrabile, anche il limite degli integrali è zero. Si osservi il passaggio: La funzione f n (x) = n x e n2 x 2 = (nx) x e n2 x 2 : (nx) e n2 x 2 è limitata in [; ] perché la funzione g (t) = t e t2 è limitata su [; +) (veri- carlo) e la funzione precedente è g (nx). Quindi si può scrivere f n (x) cx : Di conseguenza per < + il limite dell integrale è zero (perché?). Per calcolare il limite dell integrale per + si imposti il calcolo esplicito di R f n (x) dx con la sostituzione nx = t. Cosa si trova? In questi casi quindi, a posteriori, è vero o falso che lim n! I f n (x) dx = I lim f n (x) dx? n! 4. Sia f n (x) = +nx in [; ] con >. Calcolare il limite di f n e dell integrale di f n, usando il teorema della convergenza dominata. 5. Sia f n (x) = nx +n 2 x. Dimostrare che f 2 n tende a zero puntualmente ma non uniformemente in [ ; ]. Calcolare il limite dell integrale usando il teorema di Lebesgue. 6. Sia f n (x) = nx +n 2 x 2 in [; +); con 2 R. Determinare per quali sta in L [; +) e per questi calcolare il limite dell integrale. Suggerimento. Dopo aver determinato gli per i quali f n 2 L [; +), cercare una maggiorante naturale ; per gli per i quali questa è integrabile, il teorema di Lebesgue è applicabile. Per gli altri ; calcolare esplicitamente l integrale oppure valutarlo mediante la sostituzione nx = t. 7. Sia f n : [; ]! R 2 f n (x) = sin (2 n x) per x 2 [; 2 n ] altrimenti. Vale il passaggio al limite sotto il segno di integrale? 8. Sia g n = ( ) n f n con f n come nell esempio precedente. Vale il passaggio al limite sotto il segno di integrale? Che di erenza si nota rispetto all esercizio precedente? 9. Esempio sul teorema di Fatou. Sia f n : [; 2]! R f n = (;) se n è pari (;2) se n è dispari. Calcolare separatamente R 2 liminff n (x) dx e liminf R 2 f n (x) dx. Che cosa si osserva? 3
. Esempio sul teorema di Fatou. Sia f n (x) = sin 2 (nx) in [; ] per n = ; 2; 3; ::: Calcolare separatamente R liminff n (x) dx e liminf R f n (x) dx. Che cosa si osserva?. Sia f n (x) = x n e nx su (; ). Suggerimento. Per discutere il limite dell integrale, dimostrare che f n (x) f (x) per ogni n e per ogni x 2 (; ) : 4
Soluzioni di alcuni esercizi Soluzione 3. Si trova lim n!+ 8 < n x e n2 x 2 dx = : se < + R + t e t2 dt se = + + se > + : Poiché l integranda tende a zero per ogni ; > ; per + non vale il passaggio al limite. Soluzione 6. f n 2 L [; +) per < <. Ora è x f n (x) se x 2 [; ] f (x) se x 2 [; +) che è una funzione L se < <. Pertanto l integrale tende a zero per < <. Notare che non si poteva calcolare esplicitamente. Per = l integrale si calcola e vale 2. Per < < l integrale tende a +; questo si può vedere eseguendo la sostituzione nx = t nell integrale. Si noti che nei casi a posteriori si vede che il passaggio al limite sotto il segno di integrale non vale. Soluzione 7. Puntualmente f n (x)! in [; ]. L integrale vale 2 per ogni n. Perciò non vale il passaggio al limite. Soluzione 8. Qui è ancora g n (x)! ma questa volta non esiste neppure il limite dell integrale, perché vale ( ) n 2. Soluzione 9. Si ha: 2 liminf liminff n (x) dx = 2 2 dx = f n (x) dx = liminf = : In questo caso quindi nella disuguaglianza del teorema di Fatou vale la disuguaglianza stretta. Soluzione. Esempio sul teorema di Fatou. Sia f n (x) = sin 2 (nx) in [; ]. Invece liminf sin 2 (nx) dx = 2 f n (x) dx = 2 : per ogni n ; quindi f (x) = liminf sin 2 (nx) = perché per ogni x 2 [; ] fsin nxg n ha sottosuccessioni convergenti ad ogni numero compreso in [ ; ] ; quindi (sin nx) 2o ha sottosuccessioni convergenti ad 5
ogni numero compreso in [; ] : Perciò liminff n (x) dx = dx = : Come nell esempio precedente quindi nella disuguaglianza del teorema di Fatou vale la disuguaglianza stretta. n. Soluzione. f n (x) = x n e nx = x e Poiché per ogni x > è < x x e < x x n ; la successione e è monotona decrescente (e tendente a zero) per ogni x x ssato. Quindi f n (x)! puntualmente, inoltre f n (x) xe x 2 L (; ), quindi per il teorema della convergenza dominata R + f n! : 6